北京市西城区2019-2020学年高三上学期期末数学试题

北京市西城区2019-2020学年高三上学期期末数学

试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 设集合,若集合有且仅有个元素,则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3. 在中,若,则（）

A．B．C．D．

4. 设,且则下列不等式中一定成立的是（）

B．

A．

C．D．

5. 已知直线与圆有公共点,则实数a的取值范围为（）

A．B．C．D．

6. 设三个向量互不共线,则“”是“以为边长的三角形存在”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（）

A．100B．

C．300D．400

8. 已知函数,若存在区间,使得函数f(x)在区间上的值域为则实数的取值范围为（）

A．B．

C．D．

二、填空题

9. 在的展开式中,的系数为___________.

10. 已知向量满足,其中,那么

_____________

11. 在公差为的等差数列中, ,且成等比数列, 则______________

12. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有

__________个

13. 对于双曲线,给出下列三个条件:

①离心率为;

②一条渐近线的倾斜角为;

③实轴长为,且焦点在轴上.

写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程__________．

三、双空题

14. 某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来天内,这种水果每箱的销售利润(单位:元)与时间,单位:天)之间的函数关系式为

, 且日销售量 (单位:箱)与时间之间的函数关系式为

①第天的销售利润为__________元;

②在未来的这天中,公司决定每销售箱该水果就捐赠元给“精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间的增大而增大,则的最小值是__________．

四、解答题

15. 已知函数

（1）求函数的最小正周期;

（2）求函数在区间上的最小值和最大值.

16. 高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统计,在2018年这一年内从市到市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为万人次.为了解乘客出行的满意度,现从中随机抽取人次作为样本,得到

老年人中年人青年人

满意度

乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满

12 1 20 2 20 1

意)

5分(一

2 3 6 2 4 9

般)

0分(不

1 0 6 3 4 4

满意)

（1）在样本中任取个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;

（2）在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取人次,记其中老年人出行的人次为.以频率作为概率,求的分布列和数学期望;

（3）如果甲将要从市出发到市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.

17. 如图,在三棱柱中,平面为正三角形, 侧面

是边长为的正方形,为的中点.

（1）求证平面;

（2）求二面角的余弦值;

（3）试判断直线与平面的位置关系,并加以证明.

18. 已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点.

（1）证明:点在轴的右侧;

（2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率

19. 已知函数其中

（1）当时,求曲线在点处的切线方程;

（2）当时,求函数的单调区间;

（3）若对于恒成立,求的最大值.

20. 设整数集合,其中，且对于任

意，若，则

（1）请写出一个满足条件的集合;

（2）证明:任意;

（3）若,求满足条件的集合的个数.