第十二章 概率与统计12.4

第十二章 概率、随 机变量及其分布
§12.4 二项分布
知识梳理
ZHISHISHULI
1.条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫 PAB
做_条__件__概__率_，用符号_P_(_B_|A__)来表示，其公式为P(B|A)＝ PA (P(A)>0). 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝nAB .
多维探究
题型二 独立重复试验与二项分布
命题点1 独立事件的概率
例2 某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、
乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道 题答的正概确率的是概率34，是甲14、.若丙各两家个庭家回庭答都是回否答正错确误互的不概影率响是. 112，乙、丙两个家庭都回 (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 解 有0个家庭回答正确的概率为 P0＝P( A B C )＝P( A )·P( B )·P( C )＝41×85×31＝956， 有 1 个家庭回答正确的概率为 P1＝P(A B C ＋ A B C ＋ A B C) ＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝274， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为 P＝1－P0－P1＝1－956－274＝2312.
则 P(X＝0)＝C03250353＝12275，
P(X＝1)＝C13·52·352＝15245，
P(X＝2)＝C23252·53＝13265， P(X＝3)＝C33253530＝1285. 所以X的分布列为
解 记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道
题”分别为事件A，B，C，则P(A)＝3， 4
且有PPBA··PPCC＝＝41，112，
即[P1－BP·PAC]·＝[114－，PC]＝112，
所以 P(B)＝83，P(C)＝23.
∴P(A B ＋ A B)＝P(A B )＋P( A B)
＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.
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2.[P54T2]已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相 同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的 条件下，第二次拿到红球的概率为
P(B|A)＝PPAAB＝41.
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4. 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
解 令X表示5次预报中预报准确的次数，
则 X～B5，0.8.


“5 次预报中恰有 2 次准确”的概率为 P(X＝2)＝C25×0.82×1－0.83
X0 1 2 3 27 54 36 8
P 125 125 125 125
思维升华
(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法 ①首先判断几个事件的发生是否相互独立. ②求相互独立事件同时发生的概率的方法 (ⅰ)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； (ⅱ)正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算. (2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 ①在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k 的值，再准确利用公式求概率. ②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件 之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率.
nA (2)条件概率具有的性质 ①_0_≤__P_(_B_|A__)≤__1_； ②如果B和C是两个互斥事件， 则P(B∪C|A)＝P__(B__|A_)_＋__P_(_C_|_A_).
2.相互独立事件 (1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件_A_，__B_ _是__相__互__独__立__事__件__. (2)若A与B相互独立，则_A__与__B_，与__A_与___B_，A__与__B__也都相互独立. (3)若P(AB)＝P(A)P(B)，则__A_与__B_相__互__独__立__.
命题点2 独立重复试验 例2 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么
出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得
10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则 扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为 1，且各次击鼓出现
3 A.10
√1
B.3
3 C.8
2 D.9
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3.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事
件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于
1 A.8
√1
B.4
2 C.5
1 D.2
解析 P(A)＝C32＋C52C22＝25，P(AB)＝CC2225＝110，
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率. 解 “5 次预报中恰有 2 次准0.83×0.8≈0.02.
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
题型一 条件概率
例1(2)一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每 次都能投中).设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小 正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)，P(A|B). 解 如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4， ∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝91， P(A|B)＝nnABB＝41.
题组一 教材改编
1.[P55T3]天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是
0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一
个地方降雨的概率为
A.0.2
B.0.3
√C.0.38
D.0.56
解析 设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，
则两地恰有一地降雨为 A B ＋ A B，
X 10 20 100 33 1
P8 8 8
－200
1 8
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)， 则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝81. 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－183＝1－5112＝551112. 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是551112.
3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种 试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生， 且任何一次试验中发生的概率都是一样的. (2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p，则P(X＝k)＝C__knp_k_(1_－__p_)_n_－_k_(k_＝__0_,_1_,2_，__…__，__n_)，此时称随机变 量X服从_二__项__分__布_，记为_X_～__B_(_n_，__p_)，并称p为成功概率. (3).两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝_p_，D(X)＝_p_(_1_－__p_) . (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝_n_p_，D(X)＝_n_p_(1_－__p_)_.
例3 为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家 用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15 人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h 的有25人. (1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求 这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率； 解 平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数 为 C240，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A， 则事件 A 所包含的基本事件数为 C115C125， 所以所求的概率 P(A)＝CC115C420215＝1250× ×2359＝2552.
(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆， 记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列.
解 根据样本估计总体的思想，从总体中任取 1 辆车，平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的概率为14000＝25， 故 X～B3，52.X 的可能取值为 0,1,2,3，
＝10×0.64×0.008≈0.05.
(2)5次预报中至少有2次准确的概率； 解 “5 次预报中至少有 2 次准确”的概率为 P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1) ＝1－C05×0.80×1－0.85－C15×0.8×1－0.84＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99.
2 音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
解 X可能的取值为10,20,100，－200.
根据题意，有 P(X＝10)＝C13×211×1－122＝38， P(X＝20)＝C23×122×1－121＝38，
P(X＝100)＝C33×213×1－210＝81， P(X＝－200)＝C03×120×1－123＝18. 所以X的分布列为