高中数学典型例题解析导数及其应用
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三、经典例题导讲
［例１]已知2)
2
cos
1(x
y+
=,则='y．
错因：复合函数求导数计算不熟练,其x
2与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了，导致错解为：
)
2
cos
1(
2
sin
2x
x
y+
-
='.
正解：设2
u
y=,x
u2
cos
1+
=，则)
2(
)
2
sin
(
2
)
2
cos
1(
2'
⋅
-
⋅
='
+
=
'
'
=
'x
x
u
x
u
u
y
y
x
u
x
)
2
cos
1(
2
sin
4
2
)
2
sin
(
2x
x
x
u+
-
=
⋅
-
⋅
=∴)
2
cos
1(
2
sin
4x
x
y+
-
='.
[例2]已知函数
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
+
≤
+
=
)1
)(1
(
2
1
)1
)(1
(
2
1
)
(
2
x
x
x
x
x
f判断f(x)在ｘ=1处是否可导?
错解:1
)1(
,1
)1
1(
2
1
]1
)
1
[(
2
1
lim
2
2
=
'
∴
=
∆
+
-
+
∆
+
→
∆
f
x
x
x
。
分析: 分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导．
解:1
)1
1(
2
1
]1
)
1
[(
2
1
lim
lim
2
2
=
∆
+
-
+
∆
+
=
∆
∆
-
-→
∆
→
∆x
x
x
y
x
x
∴f(x)在ｘ=1处不可导.
注:+
→
∆0
x，指x∆逐渐减小趋近于0;-
→
∆0
x,指x∆逐渐增大趋近于０。
点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即
x
x
f
x
x
f
x∆
-
∆
+
→
∆
)
(
)
(
lim0
,△x→0,包括△x→０+,与△x→0-，因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等,如果都存在且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数.
[例３］求3
22+
=x
y在点)5,1(P和)9,2(
Q处的切线方程。
错因:直接将P，Q看作曲线上的点用导数求解。
分析:点P在函数的曲线上,因此过点P的切线的斜率就是y'在1
=
x处的函数值；
点Q不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线.
解:4
.
4
,3
2
1
2=
'
∴
='
∴
+
==x
y
x
y
x
y
即过点P的切线的斜率为４，故切线为:1
4+
=x
y．
设过点Q的切线的切点为)
,
(
y
x
T，则切线的斜率为0
4x，又
2
9
-
-
=
x
y
k PQ,