矢量场和梯度算子

v r r r x y z r r = x + y + z = x + y + z = x y z r r r r r v x y z = x2 + y 2 + z 2 r = + + =3 x x x y z 2x x v = = , L ( × r ) x = z y = 0, L 2 2 2 r 2 x +y +z y z
矢量、矢量场和梯度算子
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坐标变换
坐标系 Oxyz 任一点 P 的坐标：
y′
B D
y
P
E
x = OA = BP,
x′ = OD,
y = OB = AP
x′
x
坐标系 Ox’y’z’ 任一点 P 的坐标：
θ O A OC = OE + EC = OA cosθ + AP sin θ θ
Ax ′ Ax = Ax cos θ + Ay sin θ v 矢量的表示: A = Ay A′ = Ax sin θ + Ay cosθ y A ′ z x Az = Az v r = y 推论：位矢是一个矢量 z 2010-9-21 3 什么是矢量？
标量与矢量运算
梯度算子
梯度算子▽是一个矢量算子
grad = = x +y +z 标量场梯度是一个矢量场： x y z v Ax Ay Az + + 矢量场散度是一个标量场： div = A = x y z v 矢量场旋度是一个矢量场： curl = × A v ( × A) x = y Az z Ay , L 2010-9-21 14 梯度算子
θ v
x
x
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矢量运算
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矢量的混合积
v v A and B
v v A× B
v v v ( A × B ) C v v v ( A × B ) × C
v v v A× B C
v v v ( A × B ) C 的大小为三个矢量所张成的平行
v B
( x × y ) vz = 1v v v v v v v v ( A × B ) C = ( B × C ) A = (C × A) B v v v v v v v v v = A ( B × C ) = B (C × A) = C ( A × B ) v v v v v v v v v ( A× B)× C = ( A C ) B ( B C ) A v v v v v v v v v C × ( A × B ) = (C B ) A ( C A) B
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什么是场？
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矢量及其几何表示
矢量场：矢量在空间的分布，对于空间任一点都指定或者赋 予某个唯一的矢量
v v 代数表示：函数 A ( r )
v v dr 几何表示：箭头、场线 A = dt
v v v xy v A ( x, y ) = A x, y = yx xy yx B ( x, y ) = xx + yy = r ( ) x = c sin ( t + δ ) dx dt = y d 2 x dy 2 = = x x2 + y 2 = c2 2010-9-21 11 什么是场？ ( t + δ ) dt dt dy dt = x y = c cos
, , 在每一点处的数值都满足矢量分量的变换规律 x y z
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梯度算子
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场在空间某个方向上的变化率(续)
, , 是一个矢量场的三个分量 x y z = cos θ + sin θ = cos θ + sin θ
x ′ x y = sin θ + cos θ x y y ′ = z ′ z
v v A or A v v × A or A ×
or
梯度算子是一个矢量微分算符：
作为矢量， 作为矢量，满足通常矢量点乘和叉乘运算法则 作为算符， 作为算符，需作用于表达式中的所有对象
与位置有关的矢量微分公式
v r r = = r , r
证明： 证明：
v r = 3,
v ×r = 0
矢量积的几何意义：
证明：
y
v B = ( Bx , By ,0 )
θ C x Ay Bz Az By 0 0 x v O A = ( A,0,0 ) C y ≡ Az Bx Ax Bz = 0 = 0 C A B A B Ax By ABy y x z x y v v v C = A × B, 大小为 AB sin θ ，即两个矢量张成的平行四
= C x cosθ + C y sin θ v v v v v v 推论：角动量 L = r × p、力矩 τ = r × F 是（赝）矢量。
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矢量运算
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标量与矢量运算(续)
v v 标量积的几何意义： A B = AB cos θ
v v A B = Ax Bx + Ay By + Az Bz = Ax Bx = AB cosθ
OD = OF DF = OB cosθ BP sin θ
y′ = OE
C
+ y cos (π 2 θ ) x′ = x cosθ + y sin θ = x cosθ y′ = x sin θ + y cosθ = x cos (π 2 + θ ) + y cosθ z′ = z 坐标变换
场在空间某个方向上的变化率
v dr = ( dx, dy , dz ) = ( nx dt , n y dt , nz dt ) = ( nx , n y , nz ) dt = ndt v v v d = ( r + dr ) ( r ) = dx + dy + dz x y z = nx + ny + nz dt y z x d = nx + ny + nz = φ在 n 方向上的变化率 dt x y z n 方向导数
边形的面积，方向满足右手法则。
θ为两个矢量之间的夹角： ≤ θ ≤ π 0
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矢量运算
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单位基矢
satisfying x x = 1 , x y = 0, L and x × y = z , L y 单位基矢的变换： y′ x ′ = x cos θ + y sin θ y ′ = x sin θ + y cos θ y′ y
单位基矢：x, y , z
x′
z′ = z
“完整”的矢量
x′
v A = Ax x + Ay y + Az z
O
指定了坐标系并且给出了矢量分量的含义 Ax = A x, L 突出了矢量是坐标变换下得不变量
v ′ ′ A = Ax x′ + A′ y ′ + Az z ′ = Ax x + Ay y + Az z y
(ψ ) = ( )ψ ,
ψ (ψ ) = ( ψψ )
(3) 代回原式并舍去矢量算符的下标得
(ψ ) = ( )ψ + ( ψ )
证毕
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梯度算子
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梯度算子
v v v 补例: 补例:用符号法证明 × ( A ) = ( ) × A + ( × A ) v 算符” 加上下标以示区别），得两项： ），得两项 证 (1) 视为“算符”，分别作用 φ 和 A（加上下标以示区别），得两项： v v v × ( A ) = × ( A ) + A × ( A )
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什么是矢量？
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标量与矢量的定义
定义：如果某个量在任一坐标系中仅需一个数（分量）描述， 并且在坐标变换下其分量是不变的，则称其为标量 标量 例子：质量m、电荷q、温度、 Newton时间t， etc. 推论：如果 a 和 b 是两个标量，则 a+b 和 ab 也都是标量。 定义：如果某个量在任一坐标系中需三个数（分量）描述， 并且在坐标变换下其分量与坐标的变换规律一样， 则称其为矢量 矢量。即 矢量
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六面体的体积，正负取决于这三 v A 个矢量是否满足右手法则确定。
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标量场及其几何表示
标量场：标量在空间的分布，对于空间任一点都指定或者赋 予某个唯一的标量（数）
v 代数表示：函数 ( r )
+q v +q ( r ) = const. 几何表示：等值面、等值线 -q -q -q -q +q +q +q +3q -q -q
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梯度算子
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与梯度算子有关的一些矢量恒等式
d ( r ) = r dr (ψ ) = ( )ψ + ( ψ ) v v v ( A ) = ( ) A + ( A ) v v v × ( A ) = ( ) × A + ( × A )
v v v v v v ( A × B ) = ( × A) B ( × B ) A v v v v v v v v v v × ( A × B ) = ( B ) A ( A) B + ( B ) A ( A ) B
如何由给定的标量和矢量得到新的标量和矢量。 v v 设 a、b为标量， 、B 为矢量。 A
v 1. 数乘： aA 其分量定义为 ( aAx , aAy , aAz ) v v 2. 矢量和： + B 其分量定义为 ( Ax + Bx , Ay + By , Az + Bz ) A v v 矢量的线性组合仍然是矢量 aA + bB
推论:位移、速度、加速度、动量等物理量是矢量
v v v v v v dr v v && v v & = , a ≡ v = r , p ≡ mv & v dr ≡ r2 r1 , v ≡ r dt
力为矢量是一个物理的假设，而不是数学的推论
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矢量运算
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标量与矢量运算(续)
v v v v 3. 标量积： B ≡ Ax Bx + Ay By + Az Bz = B A A v v v 2 2 矢量的长度：A = A ≡ A A = Ax + Ay + Az2
, 梯度算子 = , or = x + y + z x y z x y z = n ( ) x = x φ在 n 方向上的方向导数 n 2010-9-21 13 梯度算子
x ′ x y = sin θ + cos θ x y y ′ = z ′ z
如果对于任意矢量 A, Ax Bx + Ay By + Az Bz 是一个标量，则 v Bx , By , Bz 必是某个矢量 B 的分量。
= ( Ax cosθ + Ay sin θ )( Bx cos θ + By sin θ )
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矢量运算
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标量与矢量运算(续)
v v v 4. 矢量积：C = A × B,
证明：
C x Ay Bz Az By v v v v C y ≡ Az Bx Ax Bz A × B = B × A C A B A B y x z x y
′ ′ ′ y C x = A′ Bz Az B′ y
= ( Ax sin θ + Ay cos θ ) Bz Az ( Bx sin θ + By cos θ ) = Ax Bz sin θ + Ay Bz cos θ + Az Bx sin θ Az By cos θ
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梯度Hale Waihona Puke Baidu子
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关于梯度算子恒等式的符号法证明
例:用符号法证明(ψ ) = ( )ψ + ( ψ ) 算符” 加上下标以示区别），得两项： ），得两项 证 (1) 视为“算符”，分别作用 φ 和 ψ（加上下标以示区别），得两项：
(ψ ) = (ψ ) +ψ (ψ )
(2) 视 φ矢和 ψ 为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方： 矢量” 遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：
证明：
v v / ( A B ) = Ax′ Bx′ + Ay′ B′y + Az′ Bz′
+ ( Ax sin θ + Ay cosθ )( Bx sin θ + By cosθ ) + Az Bz v v = Ax Bx + Ay By + Az Bz = A B v v 1 2 推论：动能 T = mv 、功 F dr 是标量 2v