【精品课件】梁弯曲变形的计算
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材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
梁的弯曲(工程力学课件)
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。
5-3 梁的弯曲变形
§5-3 梁的弯曲变形
【例题】求等截面直梁的挠度方程、最大挠度及最大转角。
解：
1）建立坐标系并写出弯矩方程
M ( x ) P ( x L)
2）写出微分方程并积分
EIw" M ( x) P( L x)
1 P( L x ) 2 C 2 1 EIw P( L x)3 Cx D 6 EIw
4）根据强度条件和刚度条件选择工字钢 由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面模量 Wz=3.09xl0-4m3 ，惯性矩Iz=3.40x10-5m4，可见选择22a工字 钢作梁能同时满足强度和刚度要求。
§5-3 梁的弯曲变形
六、提高梁弯曲刚度的措施
梁的弯曲变形与梁的弯曲刚度EI、约束条件、梁的跨度 以及梁所受载荷等因素有关，要降低梁的弯曲变形，以 提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：
§5-3 梁的弯曲变形
【例题】按载荷叠加法求A点转角和C点挠度。
解：
1）载荷分解如图
§5-3 梁的弯曲变形
2）由梁的简单载荷变形表查简单载荷引起的变形。
AP Pa 2 4 EI
wCP
Aq
Pa3 6EI
qa3 3EI 5qa 4 24 EI
wCq
3）叠加得到总变形。
5）最大挠度及最大转角
wmax PL3 w( L) 3EI
max
PL2 ( L) 2 EI
§5-3 梁的弯曲变形
【例题】求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
1）建立坐标系并写出弯矩方程
P( x a) M ( x) 0 (0 x a) (a x L )
《梁的变形计算》课件
为，常用于研究液体和高
值分析方法，可用于求解
于模拟材料在超过弹性限
分子材料的变形特性。
结构和材料的变形问题，
度时的非弹性变形。
让复杂的变形计算变得简
单。
变形计算的实际案例分析
1
结构Байду номын сангаас程
使用变形计算方法来分析桥梁的变形，确保其在荷载下的结构完整性。
2
汽车工程
通过变形计算预测车辆在碰撞事故中的形变情况，以确保车辆乘员的安全。
航空航天工程
变形计算在航空航天器的设计和飞行控制中发挥着关键作用，确保飞行器在各种工况下的结 构完整性。
常见的变形计算方法
1 弹性和塑性变形计算 2 流变学方法
3 基于有限元法的变形
弹性变形计算用于预测结
流变学方法用于描述材料
计算
构在小应变范围内的形变
在受力作用下的粘弹性行
有限元法是一种常用的数
行为，而塑性变形计算用
1 复杂结构的变形计算 2 多物理场耦合的变形 3 智能化变形计算
挑战在于对于复杂和大尺
计算
人工智能和机器学习的应
度结构的变形计算，需要
未来的发展方向是将变形
用将使变形计算更加智能
更高效和精确的数值分析
计算与其他物理场耦合，
化，提高计算效率和准确
方法。
如热、电和磁等，实现更
性。
全面的工程分析。
3
航空航天工程
使用变形计算方法来优化飞行器的结构设计，提升飞行性能和燃油效率。
变形计算的软件工具和技术
常用的变形计算软件
ANSYS、ABAQUS、Nastran等软件是工程领域常用的 变形计算工具。
常用的变形计算技术和方法
材料力学 第6章 梁的弯曲变形
(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。 按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″， 负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
则 w'2为高阶微量，可略去不计，故
挠曲线的近似微分方程
M x
w EI z
EIw''= −M (x)
(6-1b)
图6-5
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
6.4 积分法计算梁的变形
对于等直梁，可以直接积分，计算梁的挠度和转角。 将式(6-1b)积分一次，得到
EIw′ = EIθ = −∫ M (x) dx + C
maxFl 2 2EI来自A xyF
θmax B
x
wmax
l
图6-7 例题 6-1 图
wm a x
Fl 3 3EI
θ max为正值，表明梁变形后，截面B顺时针转动；
wmax为正值，表明点B位移向下。
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
例题6-2 一简支梁受均布荷载q作用，如图6-8所示。试求梁的转角方程和 挠度方程， 并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D
第九章梁的弯曲变形-PPT精品文档
第九章 梁的弯曲变形
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程：
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 位移）确定：
0 , y 0 简支梁： y A B
悬臂梁： 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为：
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
ห้องสมุดไป่ตู้
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程：
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 位移）确定：
0 , y 0 简支梁： y A B
悬臂梁： 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为：
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
ห้องสมุดไป่ตู้
《梁的变形计算》课件
塑性变形计算需要考虑材料的 屈服点和应力应变曲线等参数 。
塑性变形计算方法适用于梁在 长期受力作用下的变形计算， 但精度也相对较低。
03
梁的变形实例分析
简支梁的变形计算
简支梁的变形计算公式
结果分析
$f = frac{M}{EI}$，其中$M$为梁所 受的弯矩，$E$为弹性模量，$I$为梁 的惯性矩。
根据计算，该简支梁在集中力偶作用 下的挠度为0.12m。
计算实例
以跨度为6m，截面为矩形（高 200mm，宽300mm）的简支梁为例 ，计算其在跨中作用集中力偶 M=10kN·m时的挠度。
连续梁的变形计算
1 2 3
连续梁的变形计算公式
对于等跨连续梁，其最大挠度可按简支梁计算； 对于不等跨连续梁，需按弹性理论或实验方法确 定。
结果分析
根据计算，该悬臂梁在集中力偶作用下的挠度为0.15m。
04
梁的变形与结构安全
梁的变形对结构安全的影响
梁的变形会导致结构 承载能力下降，影响 结构安全。
梁的变形会导致结构 疲劳损伤，缩短结构 使用寿命。
梁的变形会导致结构 稳定性降低，容易发 生失稳和倒塌。
防止梁的变形的措施
加强梁的支撑和约束，提高梁的 刚度和稳定性。
THANKS
感谢观看
新型材料的梁的变形研究
总结词
研究新型材料（如碳纤维、玻璃纤维等）对梁的变形特性的 影响。
详细描述
随着新型材料的广泛应用，研究其在梁结构中的变形行为对 于工程应用具有重要意义。需要深入探讨新型材料的梁在受 力过程中的变形规律、破坏模式和承载能力等方面的特性。
高温环境下梁的变形研究
总结词
研究高温环境下梁的变形行为和热应力分布。
【材料力学课件】07-弯曲变形
w(a −− ) = w(a ++ )
L
挠度是光滑的：
θ (a −− ) = θ (a ++ )
20
例 求图示梁的挠度曲线。 弯矩
y qL / 2
2 2
q x x
1 22 1 22 M ( x) = − qL + qLx − qx 2 2
L
qL
转角 挠度
θ ( x) =
q ⎛ 1 22 1 22 1 33 ⎞ − L x + Lx − x + C ⎟ ⎜ 2 6 EI ⎝ 2 ⎠
w(0) = 0 , D = 0
25 w(l ) = 0 , C = − q00l 33 384
4 2 4 2 ⎡11 1 1 1 1 22 25 33 ⎤ l l 3 4 3 4 w( x) = ⎢ q00lx − q00x + q00 x − − q00l x − − q00l x⎥ 24 24 2 2 2 384 EI ⎣ 48 ⎦
q ⎛ 1 22 22 1 33 1 44 w( x) = ⎜ − L x + Lx − x + Cx + D ⎞ ⎟ EI ⎝ 4 6 24 ⎠
边界条件 θ (0) = 0
C =0
w(0) = 0
D=0
qx 22 22 (x − 4 Lx + 6 L22 ) w( x) = − 24 EI
21
7.2.2 用奇异函数求挠度方程
3 2 2 0 0
3 1 ⎤ l l 1 ⎡11 1 1 2 3 2 2 3 2 θ ( x ) = ⎢ q00lx − q00x + q00 x − − q00l x − + C⎥ EI ⎣16 6 6 2 2 ⎦ 1
《建筑力学梁的弯曲》PPT课件
M A＝0， M B＝0
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l
2．写出剪力和弯矩方程
x AC
FS x1 ＝Fb / l 0 x1 a
M x1＝Fbx1 / l 0 x1 a
CB FS x2 ＝ Fa / l a x2 l
M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
x 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。
FSE O
FAy
ME
O
FSE
ME FBy
FBy
F 3
FAy
5F 3
分析右段得到： FBy
Fy 0 FSE FBy 0
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
ME
3Fa 2
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等 于截面任一侧外力的代数 和。
2 5.832 105
92.55106 Pa 92.55MPa
目录
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql 2 / 8 67.5kN m
B
x
FBY
x 90kN
x
180
120
3. 全梁最大正应力
30 最大弯矩
K
z M max 67.5kN m
y
截面惯性矩
I z 5.832 105 m4
A
1m
FAY
C
l = 3m
2. C 截面最大正应
B
x
180
120 30 力 C 截面弯矩
梁弯曲变形的计算
材料力学
3） 应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果求和
5ql 4 ql 4 ql 4 wC wCi 384 EI 48EI 16 EI i 1
3
wC1
11ql 4 ( ) 384 EI
wC2 wC3
ql 3 ql 3 ql 3 B Bi 24 EI 16 EI 3EI i 1
材料力学
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 光滑连续条件 位移边界条件
~
~
~
~
A
A
~ ~
~
~
~
~
~
~
~
A A
A
A
~
~
wA 0
wA 0
wA
－弹簧变形
wAL wAR
~
wAL wAR
A 0
AL AR
材料力学
~
A
~
~
A A AA
A
A
A AA
超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。 2.求解方法： 解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
材料力学
材料力学
例5：试分析细长轴车削过程中顶尖的作用，已知：工件的抗弯刚度 为EIZ，切削力为F，且作用在零件的中间位置，零件长度为l。
2
x
d y 2 dx
d y M ( x) 所以 2 dx EI z
2
O
1
2
M (x ) < 0
dy dx 2 < 0
3） 应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果求和
5ql 4 ql 4 ql 4 wC wCi 384 EI 48EI 16 EI i 1
3
wC1
11ql 4 ( ) 384 EI
wC2 wC3
ql 3 ql 3 ql 3 B Bi 24 EI 16 EI 3EI i 1
材料力学
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 光滑连续条件 位移边界条件
~
~
~
~
A
A
~ ~
~
~
~
~
~
~
~
A A
A
A
~
~
wA 0
wA 0
wA
－弹簧变形
wAL wAR
~
wAL wAR
A 0
AL AR
材料力学
~
A
~
~
A A AA
A
A
A AA
超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。 2.求解方法： 解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
材料力学
材料力学
例5：试分析细长轴车削过程中顶尖的作用，已知：工件的抗弯刚度 为EIZ，切削力为F，且作用在零件的中间位置，零件长度为l。
2
x
d y 2 dx
d y M ( x) 所以 2 dx EI z
2
O
1
2
M (x ) < 0
dy dx 2 < 0
梁弯曲变形的计算
第7章 梁弯曲变形的计算§7-1 挠度与转角及梁的刚度条件梁变形前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。
梁变形前后位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移，如图7-1所示。
在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度，用v 表示；角位移是横截面变形前后的夹角，称为转角，用θ表示。
而dxx dv x )()(=θ，可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程Y=f(x)。
梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将其弹性变形限制在一定范围内，即满足刚度条件][][max max θθ≤≤v v式中的和][v ][θ分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。
§7-2 挠度曲线的近似微分方程忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为： 式（a）表明梁轴线上任一点的曲率)(1x ρ与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚度)(x M EI 成反比。
如图7-2所示。
而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程v 之间存在下列关系：)(xEIx M x )()(1=ρ （a） 232221)(1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+±dx dv dx vd x ρ （b）将上式代入式（a），得到EIx M dx dv dx v d )(12322=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+±（c） 小挠度条件下，1<<=θdxdv，式（c）可简化为： EI x M dxv d )(22=±（d）在图7-3所示的坐标系中，正弯矩对应着22dx vd 的正值（图7-3a），负弯矩对应着22dxvd 的负值（图7-3b），故式（d）左边的符号取正值EI x M dx v d )(22= （8-1）式（7-1）称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。
显然，小挠度微分方程仅适用于线弹性范围内的平面弯曲问题。
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积分一次 EdI w EI1F(xl)2C
dx 2
再积分一次
EIw1F(xl)3C xD 6
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0
x 0, wA 0
代入求解
C1F2l, D1F3l
2
6
5）确定转角方程和挠度方程
y
Ax
wB
l
EI1F(xl)21F2l
2
2
EIw 1F(xl)31F2xl1F3l
d 2w dx2
M (x) EIz
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。
挠曲线的近似微分方程为：
d 2w M (x) dx2 EIz
积分一次得转角方程为：
EIz
d2w dx2
M(x)
EzId dw x EzIM (x)d xC
再积分一次得挠度方程为：
E zw I M (x )dx C d x x D
CB 段： ax2 l
y
F
A
A
D C B B x
F Ay
wmax
F By
x1
x2
a
b
E2I F 2 lx 2 2 b F 2(x 2 a )2 F 6 l(lb 2 b 2 )
E2I F 6 w lx 2 3 b F 6(x 2 a )3 F 6 l(l2 b b 2 )x 2
6）确定最大转角和最大挠度
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续
条件确定。
位移边界条件
光滑连续条件
~
~
~
AA A AA
wA 0
~
~
~
~ ~~ ~
~ ~
~
~
AA
AA
A
A A
A
A AA AA
A
AA AA
A
A
~
~
~~ ~
~
~
~
A AA A
wA 0
A 0
wA
－弹簧变形
wALwAR
ALAR
wALwAR
§7-3 用积分法求弯曲变形
AC 段： 0x1 a
EId2w1 dx12
M(x1)Fl bx1
Ed d I 11w xEI(x1)F 2lb x1 2C1
EI1w F 6l bx13C1x1D1
CB 段：
ax2 l
Ed Id2w 2 22 xM (x2)F l x b2F(x2a)
y
F
A
A
DC
F Ay
wmax
x1
x2
a
b
B B x
i1
由于梁的边界条件不变，因此
n
w wi i 1
重要结论：
n
i, i 1
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。
wC1
wC2 wC3
例3 已知简支梁受力如图示，
q、l、EI均为已知。求C 截面 的挠度wC ；B截面的转角B
F By
Ed d I2 2w x E(Ix2)F 2 lxb 2 2F 2(x2 a )2 C 2
E2Iw F 6 lxb 3 2F 6(x2 a )3 C 2x2D 2
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, w1(0) 0 x2 l, w2(l) 0
光滑连续条件 x1x2a, x1x2a,
第7章 弯曲变形的计算
本章主要内容
§7-1 概述 §7-2 挠曲线的近似微分方程 §7-3 用积分法求弯曲变形 §7-4 用叠加法求弯曲变形 §7-5 简单超静定梁 §7-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
§7-1 概 述
§7-2 挠曲线的近似微分方程
1.基本概念
挠曲线方程：
y
转角 挠度 挠曲线
ww(x)
挠度w：截面形心
w
在y方向的位移
x
x
w向上为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆钟向为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为： tan dw
dx
2.挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
1M
ρ EI z
忽略剪力对变形的影响
1 M(x)
(x) EIz
由数学知识可知：
代入求解，得
1(a)2(a)
w1(a)w2(a)
C1C2
1FblF3b
6
6l
D1 D2பைடு நூலகம்0
y
F
A
A
D C B B x
F Ay
wmax
F By
x1
x2
a
b
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0x1 a
EI1F 2l x b1 2F 6l(b l2b2)
EI1 wF 6l x b1 3F 6l(bl2b2)x1
EIdd2w x2 EIw'M ' (x)
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩
为 Mi (x) ，转角为 i ，挠度为 w i ，则有：
EIw i 'M ' i(x)
n
由弯矩的叠加原理知：Mi(x)M(x) i1
所以，
n
n
E I w''i E(Iwi)''M(x)
i1
i1
n
故
w'' (wi )''
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
y
FAx0, FAyF(), MA Fl( ) A x
wB
2）写出x截面的弯矩方程
l
F Bx
B
M (x ) F ( l x ) F (x l)
3）列挠曲线近似微分方程并积分
EIdd2w 2xM(x)F(xl)
令 d 0 dx
得，
xl,m axB6 F E(a lI b la)()
令 dw 0 dx
得，
y
F
A
A
DC
F Ay x1
x2
a
wmax
b
B B x
F By
xl2b2, 3
Fb (l2b2)3
w max
() 93EIl
§7-4 用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为w，则有：
A
2）弯矩方程
F Ay x1
F DC
wmax
B B x
F By
AC 段：
x2
M x1F Ax y1F l x b 1,0x1a
a
b
CB 段：
M x 2 F A x 2 yF ( x 2 a ) F lx 2 F b ( x 2 a ), a x 2 l
3）列挠曲线近似微分方程并积分
d2y
1
dx 2
[1 ( dy )2 ]3
dx
略去高阶小量，得
1 d2y
dx 2
所以 d2 y M(x) dx2 EIz
y M (x) > 0
M (x) > 0
d2y
dx 2 > 0
x
O
y
M (x) < 0
M (x) < 0
d2y
dx 2 < 0
x
O
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为：
6
26
6）确定最大转角和最大挠度
xl, ma xB2 F E 2,lIw ma x yB3 F E 3lI
F Bx
B
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
y
解 1）由梁整体平衡分析得：
A
F Ax 0,F Ay F l ,b F By F l a
dx 2
再积分一次
EIw1F(xl)3C xD 6
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0
x 0, wA 0
代入求解
C1F2l, D1F3l
2
6
5）确定转角方程和挠度方程
y
Ax
wB
l
EI1F(xl)21F2l
2
2
EIw 1F(xl)31F2xl1F3l
d 2w dx2
M (x) EIz
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。
挠曲线的近似微分方程为：
d 2w M (x) dx2 EIz
积分一次得转角方程为：
EIz
d2w dx2
M(x)
EzId dw x EzIM (x)d xC
再积分一次得挠度方程为：
E zw I M (x )dx C d x x D
CB 段： ax2 l
y
F
A
A
D C B B x
F Ay
wmax
F By
x1
x2
a
b
E2I F 2 lx 2 2 b F 2(x 2 a )2 F 6 l(lb 2 b 2 )
E2I F 6 w lx 2 3 b F 6(x 2 a )3 F 6 l(l2 b b 2 )x 2
6）确定最大转角和最大挠度
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续
条件确定。
位移边界条件
光滑连续条件
~
~
~
AA A AA
wA 0
~
~
~
~ ~~ ~
~ ~
~
~
AA
AA
A
A A
A
A AA AA
A
AA AA
A
A
~
~
~~ ~
~
~
~
A AA A
wA 0
A 0
wA
－弹簧变形
wALwAR
ALAR
wALwAR
§7-3 用积分法求弯曲变形
AC 段： 0x1 a
EId2w1 dx12
M(x1)Fl bx1
Ed d I 11w xEI(x1)F 2lb x1 2C1
EI1w F 6l bx13C1x1D1
CB 段：
ax2 l
Ed Id2w 2 22 xM (x2)F l x b2F(x2a)
y
F
A
A
DC
F Ay
wmax
x1
x2
a
b
B B x
i1
由于梁的边界条件不变，因此
n
w wi i 1
重要结论：
n
i, i 1
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。
wC1
wC2 wC3
例3 已知简支梁受力如图示，
q、l、EI均为已知。求C 截面 的挠度wC ；B截面的转角B
F By
Ed d I2 2w x E(Ix2)F 2 lxb 2 2F 2(x2 a )2 C 2
E2Iw F 6 lxb 3 2F 6(x2 a )3 C 2x2D 2
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, w1(0) 0 x2 l, w2(l) 0
光滑连续条件 x1x2a, x1x2a,
第7章 弯曲变形的计算
本章主要内容
§7-1 概述 §7-2 挠曲线的近似微分方程 §7-3 用积分法求弯曲变形 §7-4 用叠加法求弯曲变形 §7-5 简单超静定梁 §7-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
§7-1 概 述
§7-2 挠曲线的近似微分方程
1.基本概念
挠曲线方程：
y
转角 挠度 挠曲线
ww(x)
挠度w：截面形心
w
在y方向的位移
x
x
w向上为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆钟向为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为： tan dw
dx
2.挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
1M
ρ EI z
忽略剪力对变形的影响
1 M(x)
(x) EIz
由数学知识可知：
代入求解，得
1(a)2(a)
w1(a)w2(a)
C1C2
1FblF3b
6
6l
D1 D2பைடு நூலகம்0
y
F
A
A
D C B B x
F Ay
wmax
F By
x1
x2
a
b
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0x1 a
EI1F 2l x b1 2F 6l(b l2b2)
EI1 wF 6l x b1 3F 6l(bl2b2)x1
EIdd2w x2 EIw'M ' (x)
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩
为 Mi (x) ，转角为 i ，挠度为 w i ，则有：
EIw i 'M ' i(x)
n
由弯矩的叠加原理知：Mi(x)M(x) i1
所以，
n
n
E I w''i E(Iwi)''M(x)
i1
i1
n
故
w'' (wi )''
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
y
FAx0, FAyF(), MA Fl( ) A x
wB
2）写出x截面的弯矩方程
l
F Bx
B
M (x ) F ( l x ) F (x l)
3）列挠曲线近似微分方程并积分
EIdd2w 2xM(x)F(xl)
令 d 0 dx
得，
xl,m axB6 F E(a lI b la)()
令 dw 0 dx
得，
y
F
A
A
DC
F Ay x1
x2
a
wmax
b
B B x
F By
xl2b2, 3
Fb (l2b2)3
w max
() 93EIl
§7-4 用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为w，则有：
A
2）弯矩方程
F Ay x1
F DC
wmax
B B x
F By
AC 段：
x2
M x1F Ax y1F l x b 1,0x1a
a
b
CB 段：
M x 2 F A x 2 yF ( x 2 a ) F lx 2 F b ( x 2 a ), a x 2 l
3）列挠曲线近似微分方程并积分
d2y
1
dx 2
[1 ( dy )2 ]3
dx
略去高阶小量，得
1 d2y
dx 2
所以 d2 y M(x) dx2 EIz
y M (x) > 0
M (x) > 0
d2y
dx 2 > 0
x
O
y
M (x) < 0
M (x) < 0
d2y
dx 2 < 0
x
O
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为：
6
26
6）确定最大转角和最大挠度
xl, ma xB2 F E 2,lIw ma x yB3 F E 3lI
F Bx
B
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
y
解 1）由梁整体平衡分析得：
A
F Ax 0,F Ay F l ,b F By F l a