一阶常微分方程的解法

一阶常微分方程的解法

摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。

关键词：变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法

Solution of first-order differential equation

Abstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate.

Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method

1. 引言

一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.

2. 一般变量分离 2.1 变量可分离方程

形如

()()dy

f x

g y dx

= （1.1） 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = （1.2） 的方程，称为变量可分离方程。分别称（1.1）、（1.2）为显式变量可分离方程和

微分形式变量可分离方程[1]

.

(1) 显式变量可分离方程的解法

在方程（1.1）中， 若()0g y ≠，（1.1）变形为

()()

dy

f x dx

g y =

积分得

()()

dy

f x dx C

g y =+⎰⎰ （1.3） 此为（1.1）的解．

若()0g y =，0y ∃使0()0g y =，则0y y =也是（1.1）的解． 注：当0y y =不包含于（1.3）时要特别补上解0y y =．

例1

：求解方程dy dx =．

解:当1y ≠±时，方程的通积分为

C =+，即

arcsin arcsin y x C =+ 即 sin(arcsin )y x C =+.

另外，方程还有解1y =±，不包含在通解中.

(2) 微分形式变量可分离方程的解法

方程

1122()()()()M x N y dx M x N y dy = （1.2）

是变量可分离方程的微分形式表达式.这时，x 和y 在方程中的地位是“平等”的，即x 和y 都可以被认为是自变量或函数[1].

在求常数解时，若10()0N y =，则0y y =为方程（1.2）的解.同样，若

20()0M x =，则0x x =也是方程（1.2）的解.

当()()120N y M x ≠时,用它除方程(1.2)两端,分离变量,得

()()

()()

2112N y M x dy dx N y M x =

上式两端同时积分,得到方程(1.2)的通积分

()

()

()()

211

2N y M x dy dx C N y M x =+⎰⎰

例2:求解方程

()()

22110x y dx y x dy -+-=

解:首先,易见1,1y x =±=±为方程的解.其次,当()

22(1)10x y --≠时,分离变量得

221

1

0ydy xdx x y --+

=

积分，得方程的通积分

22ln 1ln 1ln x y C -+-= （C ≠0）

或 ()()

2211x y C --= （C ≠0）

以上容归纳了变量可分离方程的解法,.有些方程虽然不是变量可分离方程,但是经过变量变换之后,就能化成变量可分离方程,接下来归纳了两类可化为变量可分离的方程及其解法.

2.2可化为变量可分离方程

(1) 第一类可化为变量可分离的方程:齐次微分方程

如果一阶显式方程

(,)dy

f x y dx = （1.4） 的右端函数(,)f x y 可以改写为y x 的函数()y

g x

，那么称方程（1.4）为一阶齐次

微分方程,也可以写为

()dy y

g dx x

= (1.5) 作变量变换

y

u x

= (1.6)

于是y ux =，从而

dy du

u x dx dx

=+ (1.7) 把（1.6），（1.7）代入（1.5）得

()du

x

u g u dx

+= 即 ()du g u u dx x

-= (1.8) 方程（1.8）是一个变量可分离方程,当()0g u u -≠时,分离变量并积分,得到它的通积分