巧用“隐藏的”圆来解题

巧用“隐藏的”圆来解题

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巧用“隐藏的”圆来解题-中学数学论文

巧用“隐藏的”圆来解题

张妹燕

（常熟市实验中学，江苏苏州215500）

摘要：从具体的题目出发，再现了课堂中圆的一些简单性质的特点，就“圆中直径所对的圆周角是90°”，“圆中半径相等”，“圆中最长的弦是直径”这三个方面讨论它们所等价的知识代换，在相应的题目中利用构造圆，提出了相应的解题措施，从而解决新的数学问题。

关键词：构造；圆；解题思维

中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-10-0054-02 学习初中数学：是要求中学生在数学学习活动中，通过理解数学知识内容，掌握一定的解题技能、技巧，并发展合情的思维推理来解决数学问题，而解题的关键是寻求有用的思路。

学生的解题思维能力的培养是学习数学的必要过程。其一方面来自于平时的练习，习惯由“因”得“果”；另一方面则要学生具有逆向思维，能够根据题目中所给出的条件寻找到变通的渠道，转换到其它内容来解决问题。在近几年的中考题中，这一类题频频出现，学生是防不胜防，得分率也不高，关键是解题的思路不会变通导致无法展开。

圆是初中几何教学中的最后一块内容，因此前面所学习的内容很多都可以在圆中一一体现，同时这些内容往往也可以借助圆来解决。本文主要从圆的三条性质出发，构造出圆，使其起到中间桥梁的作用，从而达到解题的目的。

一、圆中直径所对的圆周角是90°

学生对这一性质是相当容易掌握，在一些证明计算题中用的非常熟练，但前提是有圆的情况下是如此，当图形中不存在圆时，我们的同学是否也想到了呢？

联系点就是“90°”和“直角”。

例1：如图1，在4×5的方格中，A、B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB 为直角，则满足条件的点C个数为( )

A．3B．4C．5D．6

分析：由直角可联想到圆中直径所对的圆周角为90°，所以想到做出以AB为直径的圆，如图2，可以清楚的点出⊙O与方格的交点有6个，即为点C的个数，所以选D。

例2：如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD.若AD=3，BC=7，求梯形ABCD面积的最大值。

分析：根据梯形中的五种常用添线方法，学生不难想到首先平移对角线AC，使点A和点D重合，交BC的延长线于点E，如图4。

从平移方式我们易得：

AD=CE=3，∠BDE=90°，S梯形ABCD=S△BDE.

在△BDE中，底边BE=10

从图5中，可以发现要求出△BDE面积的最大值即只要求出BE边上高DF的最大值就可以了。由∠BDE=90°联想到做以BE为直径的半圆，从而清楚的看到当点D为半圆中点时这条高最大值为5，

所以

注：上面两题都是利用“直径所对的圆周角是90°”为中间桥梁，构造圆达到解题目的，并且将解题化繁为简，实现思维的拓展，要善于将数学问题“建模”，做到举一反三，灵活应用。

二、圆的半径相等

在圆的一些计算和证明题中，有相当一部分需要用到这条性质.那么在没有明确圆的题目中怎么会想到用这一性质呢？

联系点就是“线段相等”和“半径相等”。

例3：已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1，如图6所示，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，求F、C两点的距离。分析：本题的关键有两点“AE=AF”和“直线BC”，故可做以A为圆心，AE 为半径的圆与直线BC的交点即为要求的F点，且有两个这样的点，利用旋转的性质可得△ABF≌△ADE，从而得BF=DE=2，所以FC=5或1。

例4：如图7，在平面直角坐标系xOy中，点A（-1，a）是正比例函数y=-2x 上的一点，若B是坐标抽上的一点，且满足△ABO是以OA为腰的等腰三角形，试求出点B的坐标。

根据OA为腰故可推得是OA=OB或AO=AB，所以分别以O、A为圆心，5为

半径做出两圆，与坐标轴的交点即为所求的点B共6个（除原点O）。

注：上面两道题都是利用圆中半径相等来解题，使未知与已知之间建立了桥梁，方法简单易懂并且不漏解。

三、圆中最长的弦是直径

书上讲到这条性质的应用时，最简单的例题就是如：在半径为5的⊙O内有点P，PO=2，求点P到圆上的最短距离和最长距离.利用圆中直径最长可知，点P到圆上的最短距离为3，最长距离为7.根据这个解题思维模式，进行下列命题的变式拓展研究。

例5：如图8，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，点E为线段AB中点.在旋转过程中，求线段EC1长度的最小值和最大值。

分析：在△ABC绕点B旋转过程中，点C的运动路径是以B为圆心，BC长为半径的圆，故根据上述性质可知，只有当E、B、C1三点共线时存在最小值和最大值。

当EB与BC1夹角为0°时，线段EC1有最小值4，当EB与B C1夹角为180°时，线段EC1有最大值8。

变式：如图9，若上述条件不变，另有点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点

B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最小值与最大值。

分析：解题的原理和上面是一样去处理。在整个运动过程中，点P的运动路径也是以B为圆心，BP 长为半径的圆，不同之处在于BP的长度在变，所以要先求出BP的最小值和最大值。

（1）如图10,当点BP⊥AC时，BP有最小值。

∵BC=6，∠ACB=30°，∴BP=3

当EB与B P1夹角为0°时，线段EP1有最小值1，

当EB与B P1夹角为180°时，线段EP1有最大值5。

（2）如图8, 当点P与点C重合时，BP有最大值，结论和例5一致。

综合（1）、（2）可得线段EP1长度的最小值为1，最大值为8。

上述通过对圆中三条性质的探究，发现只要吃透这些性质，找到转化的关键点，锁定思维的方向，使得解题过程优化变短。

数学思想在人的实践活动中产生，数学思维能力在人的实践活动中培养，在近几年的中考题中，需要学生提高思维的应变能力，能将教材中的内容进行适当的延伸、拓展和构造，从而解决问题。