幂函数及应用全部
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学科教师辅导讲义
教学主任签字：
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．
[例1] (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝⎛⎭⎫12x
；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2
；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(2)已知幂函数y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出定义域．
(1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.
[答案] B
(2)[解] ∵y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.
当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －
3，且有x ≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －
3，(x ≠0)或y ＝x 0(x ≠0)． [类题通法]
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．
[活学活用]
函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式． 解：根据幂函数的定义得
m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1.
当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f (x )＝x －3
在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．
故f (x )＝x 3.
已知α取－2，－12，1
2
，2
[例2] (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象，四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )
A ．－2，－12，1
2，2
B ．2，12，－1
2，－2
C ．－12，－2,2，12
D ．2，12，－2，－1
2
(2)如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．－1
[解析] (1)令x ＝2，则22>212>2－12
>2－
2，
故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为2，12，－1
2
，－2.故选B.
(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0 [答案] (1)B (2)B [类题通法] 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1 或y ＝x 1 2 或y ＝x 3) 来判断． [活学活用] 已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c