圆周角与圆心角、弧的关系
弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解(基础)
弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础）责编：康红梅【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。
同弧所对的圆周角和圆心角关系
同弧所对的圆周角和圆心角关系好吧，咱们今天聊聊同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系。
听上去有点高大上的样子，但其实这玩意儿简单得很。
想象一下，圆就像一个大大的披萨，真的是好吃得让人流口水。
每个角就像披萨上的不同切片，切得好，大家都能享受。
而这个同弧，简单来说，就是同一块披萨上，两种不同的切法。
圆心角就像披萨的中心，指向那些食材的地方。
而圆周角嘛，就像披萨边上的小朋友，偷偷瞄着那些食材。
你看，虽然位置不同，但其实大家都在关注同一个东西。
是不是有点意思？我们再来深挖一下这两位主角的性格。
圆心角，哈哈，绝对是个主场掌控者。
它在圆心那里，权威得不得了。
这个角的大小跟所夹的弧成正比，越大的弧，它的角就越大，真是个显摆的家伙。
就像一个站在舞台的明星，所有的光都洒在它身上。
然后是圆周角，嘿嘿，它的日子也不差。
它就像个听众，坐在一边，听着圆心角的故事。
它的大小，嘿，你猜猜，竟然只跟那段弧的大小有关，和圆心的位置半毛钱关系都没有。
简直是个低调的王者，真让人羡慕。
说到这里，咱们再聊聊这两个角的具体关系。
圆心角和圆周角之间，有个黄金比例哦。
圆心角的大小是圆周角的两倍。
就像一对双胞胎，虽然一个高一个矮，但却是同一个基因。
有人可能会说，这么简单的关系，谁不会啊？可你可别小看这玩意儿，生活中可是常常用得着。
比如在设计一个花坛，或者在绘制地图的时候，这些角的关系可是相当重要的。
得好好把握住。
再说说这个同弧的意思吧。
想象一下，你跟朋友一起分享一块披萨，你吃一口，朋友也来一口。
虽然你们的位置不同，但依然是在分享同一个口味。
也就是说，不论你坐在哪个地方，所看到的都是同一块圆的风景。
没错，这就是同弧带来的乐趣。
数学里常常有这种奇妙的现象，角的关系往往让人惊讶。
就像在生活中，你可能没想到，原来身边的人和事也有着千丝万缕的联系。
还有一个有趣的现象就是，咱们在学习的时候，常常会遇到这种巧妙的关系。
记得我第一次听到这个知识点的时候，简直是惊呆了。
圆周角弧长公式
圆周角弧长公式
弧长计算公式是一个数学公式，为L=n×π×r/180，L=α×r。
其中n是圆心角度数（角度制），r是半径，L是圆心角弧长，α是圆心角度数（弧度制）。
与圆心角有关的定理圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，则对应的其余各组量也相等。
理解：
（1）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角。
（2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧。
（3）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等。
圆周角和圆心角演示课件
A
A
=
1 2
∠AOC.
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
•16
练习： D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
.O
X
A
B
B
A
BA
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=_1_3_0°。
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半 圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________
A A
O
O
B
C
B
C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
•10
想一想
类比圆心角探知圆周角
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
A
A
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆 周角和圆心角之间有的关系.
•11
图１ 不是
图２
不是
图４
2、指出图中的圆周角。
不是
是
图３
不是
图５
•7
A
O B
⌒ ⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？
C 它们都对着同一条弧所对的
•8
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC和 圆周角∠A是同对一条弧。
A
A
O B
A O
圆心角和圆周角的概念
圆心角和圆周角的概念
圆心角和圆周角是圆的基本概念，用来描述圆中角的大小。
1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角的大小可以用度数来衡量，例如
30°或60°。
圆心角所对的弧长与圆心角的度数成正比。
2.圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的大小也可以用
度数来衡量，例如30°或60°。
圆周角所对的弦长与圆周角的度数成正比。
举例来说，假设我们有一个半径为r的圆，现在想象一条直径将这个圆分成两个完全相等的部分。
沿着这条直径，我们可以找到一个顶点在圆心，两边与圆相交的角，这就是一个圆心角。
如果我们将这个圆心角的一边延长，它可以与一条弧相交，而这条弧所对的弦正好是直径。
因此，这个圆心角所对的弧长等于圆的直径，也就是2r。
而这个圆心角的度数是180°，因此它所对的弧长等于2r。
同样地，如果我们有一个顶点在圆上，两边与圆相交的角，这就是一个圆周角。
如果我们延长这个角的两条边，它们会相交于一个点，这个点到圆心的距离等于半径。
因此，这个角所对的弦长等于圆的半径，也就是r。
而这个圆周角的度数是180°，因此它所对的弦长等于r。
同弧所对的圆心角和圆周角的关系
同弧所对的圆心角和圆周角的关系
圆周角和圆心角的关系：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，即圆周角定理。
圆周角是顶点在圆周上的角，圆心角是顶点在圆心上的角。
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距
中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
2、在同圆或等圆中，成正比的弧所对的圆周角等同于它面元的圆心角的`一半(圆周
角与圆心角在弦的同侧)。
3、圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半。
4、直径面元的圆周角就是直角;90度的圆周角面元的弦就是直径。
5、圆心角计算公式：θ=(l/2πr)×°=°l/πr=l/r(弧度)。
即为圆心角的度数等同于它面元的弧的度数;圆周角的度数等同于它面元的弧的度数
的一半。
数学圆弧知识点总结
数学圆弧知识点总结圆弧是圆周上的一段弧线，它是圆的一部分。
圆弧是圆的重要组成部分，它在数学中有着广泛的应用，涉及几何、三角、微积分等多个领域。
本文将对圆弧的基本概念、性质、相关公式以及应用进行总结，希望对读者有所帮助。
一、基本概念1. 圆弧的定义圆的周长是圆心角为360度的圆心所对应的圆弧长。
圆弧是由圆周上的一点到另一点的弧线。
2. 圆弧的度量圆弧的度量通常用弧长或圆弧所对的圆心角来表示。
弧长是圆弧上的一段弧线的长度，通常用L来表示。
圆心角是圆心所对应的圆弧所夹的角度，通常用θ来表示。
3. 圆弧的相关概念圆周角是圆周上的一个角，它的度数等于它所对应的圆心角的度数。
极坐标弧是自极坐标到点的线段，由于任意点到极点都有唯一的对应的角度，所以最后的极坐标弧就成为了一个圆弧。
二、性质1. 圆弧的性质（1）圆弧等分定理：圆上的两个弧等分同心圆的两个弧。
（2）异角等周定理：一个圆的异角对的弧相等的意思就是指圆心角相等的弧相等。
（3）圆心角和圆周角的关系：圆心角是弧所对圆心的角，而圆周角是弧所对圆周上的某个点的角。
（4）定义：两个异角对的圆弧是两个异极点所分别对应的两个环，例如，在篮球比赛中球员与篮球的关系。
（5）角和角对不一样。
例如，在篮球比赛中的任务有：第一项任务是什么，第二项任务是什么，第三项任务是什么，等等。
2. 圆弧的相关公式（1）圆周长的计算公式：C=2πr。
（2）圆弧的弧长计算公式：L=θr，其中θ表示圆心角的度数，r表示圆的半径。
（3）圆周角和弧度的关系：弧度制是用圆周的半径r与弧长l之比表示角的大小。
弧长l 是弧所度的圆周段的长度。
π：2r=l，l=πr。
三、应用1. 圆弧在几何图形中的应用（1）圆弧与圆心角的关系：在几何图形中，圆弧和圆心角的关系是非常密切的，圆弧所对的圆心角可以用来求解各种问题。
（2）圆弧的测量：使用圆规、分度尺等仪器测量圆弧的长度。
（3）圆弧的切线问题：求圆弧的切线长、切线与圆的位置关系等。
圆周角与圆心角、弧的关系
(教案)圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
5．圆的内接四边形对角之和是180度。
6．弧的度数确实是圆心角的度数。
解题思路：1．已知圆周角，能够利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，能够利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，能够求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
注意圆周角定义的两个差不多特点：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。
二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。
利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个差不多特点：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】明白得圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。
已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去查找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情形：（1）圆心O在∠BAC的一边上 O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C●假如圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●假如圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将那个角转化为上述情形的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3.3_圆周角和圆心角的关系(2)
C
老师期望: 你可要理 解并掌握 这个模型.
●
O
B
即
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
演示
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
条件：圆周角与圆心角对同一条弧。 结论：圆周角是圆心角的一半。
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
思考与巩固
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
1 解: ∠A= ∠BOC=25°. 2
A B C
●
O
练习、在下列各图中， ∠α １＝ 150° ，∠α ２＝ 60°，
C 返回
D
B
总结：圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90度的圆周角所对的弦是直径。
推论3： 圆内接四边形对角互补。 对角互补的四边形内接于圆。
探究：直径或半圆所对的圆周角的度数 1、探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ 2、90°的圆周角所对的弦是否是直径？ 线段AB是⊙O的直径，点C是 ⊙O上任意一点（除点A、B）， 那么，∠ACB就是直径AB所对的圆 周角.想想看，∠ACB会是怎么样 的角？为什么呢？
3.3 圆周角和圆心角 的关系
《圆周角——圆周角和圆心角、弧的关系》PPT课件
解：PA＋PB＝PC.证明如下： 如图①，在 PC 上截取 PD＝PA，连接 AD. ∵∠APC＝60°，∴△PAD 是等边三角形． ∴PA＝DA，∠PAD＝60°. ∵∠CPB＝60°，∴∠BAC＝60°. ∴∠PAD＝∠BAC. ∴∠PAB＝∠DAC. 由(1)知 AB＝AC，∴△PAB≌△DAC(SAS)．∴PB＝DC. ∵PD＋DC＝PC，∴PA＋PB＝PC.
则易得 PD＝ 3，PA＝PB＝PC＝2 3. ∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°， ∴四边形 PEOD 是矩形． ∴OE＝PD＝ 3，PE＝OD＝3－1＝2. ∴CE＝ PC2－PE2＝ 12－4＝2 2. ∴OC＝CE＋OE＝2 2＋ 3. ∴点 C 的纵坐标为 2 2＋ 3. 【答案】B
当点 P 为A︵B的中点时，E 与 F 重合，PE＋CF＝PC， 即 PC 为⊙O 的直径． ∴此时四边形 APBC 的面积最大． 易求得 AB＝ 3， ∴S 四边形 APBC＝12× 3×2＝ 3.
同学们下课啦
授课老师：xxx
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教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
答案显示
1．顶点_在__圆__上___，并且__两__边____都与圆相交，这样的角叫做圆 周角．
2．在⊙O 中，A，B 是圆上任意两点，则A︵B所对的圆心角有 ___1_____个，所对的圆周角有__无__数____个；弦 AB 所对的圆 心角有___1___个，所对的圆周角有__无__数____个．
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
圆周角和圆心角、弧的关系ppt课件
即 ∠ C = 1 ∠ AOB. 2
请你完成图 (2)和图 (3)两种情况的证明.
ppt课件
13
2. 圆周角定理：
知2－讲
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
要点精析：
(1)圆周角相对于圆心的位置关系有三种，因此定理的证明
ppt课件
（来自《典中点》）
21
知2－练
4 (2015·海南)如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆 心O，点P是 ¼ AMB 上一点，则∠APB的度数为( ) A．45° B．30° C．75° D．60°
ppt课件
（来自《典中点》）
22
知识点 3 同弧或等弧所对的圆周角
知3－导
想一想 在如图的射门游戏中，当球员在B ， D，E处射门
ppt课件
（来自《典中点》）
19
知2－练
2 (2016·绍兴)如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上， »AB »BC ，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是( ) A．60° B．45° C．35° D．30°
ppt课件
（来自《典中点》）
20
知2－练
3 (2015·珠海)如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若 ∠C＝25°，则∠BOD的度数是( ) A．25° B．30° C．40° D．50°
圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
（来自教材）
ppt课件
11
知2－讲
1. 圆周角定理的证明： 已知：如图, ∠ C是 »AB 所对的圆 周角， ∠ AOB是 »AB 所对的圆心角. 求证： ∠ C= 1 ∠ AOB 2 分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三 种情况讨论：
中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题(含答案)
中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。
2.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
3.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
4.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
5.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。
②性质：I：圆内接四边形的对角互补。
II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
练习题1、（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．【解答】解：如图，∵OA＝OC＝1，AC＝，∴OA2+OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，∴∠AD'C＝135°，故答案为：45°或135°．2、（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC 即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圆形镜面的半径为cm，故答案为：cm．3、（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．【解答】解：∵∠ADC是所对的圆周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120．4、（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．5、（2022•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AB ⌒所对的圆周角，则∠APD 的度数是 ．【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD ＝∠BOD ，进而得出∠AOD ＝60°，由圆周角定理得出∠APD ＝∠AOD ＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴，∴∠AOD ＝∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD ＝∠AOB ＝60°，∴∠APD ＝∠AOD ＝×60°＝30°，故答案为：30°．6、（2022•徐州）如图，A 、B 、C 点在圆O 上，若∠ACB ＝36°，则∠AOB ＝ ．【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB ＝∠AOB ，∠ACB ＝36°，∴∠AOB ＝2×∠ACB ＝72°．故答案为：72°．7、（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．8、（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．9、（2022•甘肃）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70．。
圆的确定,圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系
儒洋教育学科教师辅导讲义6、多边形与圆如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形，提示：1、与圆的确定有关的两个图形一定要学生重点理解。
2、补充两个知识点：线段垂直平分线的性质和角平分线的性质3、和学生一起重点分析课本例题1和2，理解题目考察的细节和解题方法。
二、例题分析：1、以线段AB为弦的圆的圆心的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
cm。
2、已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则扇形的弧长是cm，扇形的面积是23、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆；例1：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，（1）当d=2厘米时，有d r，点在圆（2）当d=7厘米时，有d r，点在圆（3）当d=5厘米时，有d r，点在圆4、下列四边形：①平行四边形，②菱形；③矩形；④正方形。
其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）A、①②③④B、②③④C、②③D、③④5、（07上海中考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块 B．第②块C．第③块 D．第④块6、三角形的外接圆的圆心是（），A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点7、直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为。
（三）巩固练习1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为．2、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；3、三角形的外心一定在该三角形上的三角形（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形，第7题 （第2题） 7、如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=_______8、如图，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）B A CEDOF（第8题） （第11题）9、已知，如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、Ｂ和C 、D 。
九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验版知识精讲
九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 1. 圆心角、圆周角的概念. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系. 3. 圆周角定理及推论.二、知识要点：1. 弧、弦、圆心角（1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则︵AB ＝︵CD ，AB ＝CD ；（2）若︵AB ＝︵CD ，则∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD ；（3）若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，︵AB ＝︵CD.OABCD2. 圆周角（1）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.③②①（3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.三、重点难点：本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.【典型例题】例1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB ＝∠DOC ，试说明：（1）︵DB ＝︵AC ； （2）BD ＝AC.B分析：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，∴︵BD ＝︵AC. （2）∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，∴BD ＝AC.解：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＝︵AB ， ∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，即︵BD ＝︵AC.（2）由（1）得︵BD ＝︵AC ，∴BD ＝AC.例2. 如图所示，C 是︵AB 的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（ ） A. 7个 B. 3个 C. 2个 D. 1个分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC ＝∠ABC ＝∠CAB ＝∠CDB ，故与∠ADC 相等的角共有3个.解：B评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求.例3. 如图所示，BC 为半圆O 的直径，G 是半圆上异于B 、C 的点，A 是︵BG 的中点，AD ⊥BC 于点D ，BG 交AD 于点E ，请说明AE ＝BE.分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE 与BE 相等，可转化为说明∠BAD ＝∠ABE ，圆周角∠ABE 所对的弧为︵AG ，连结AB 、AC 即可解决问题.C解：连结AB 、AC. ∵︵AB ＝︵AG ，∴∠ABE ＝∠ACB. 又∵AD ⊥BC ，∴∠ABD ＋∠BAE ＝90°.∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠ABD ＋∠BCA ＝90°， ∴∠BCA ＝∠BAE. ∴∠BAE ＝∠ABG ， ∴AE ＝BE.例4. 如图所示，在⊙O 中，∠AOC ＝150°，求∠ABC 、∠ADC 、∠EBC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC 、∠EBC 和∠ADC 的度数关系.分析：解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如劣弧AC 所对的圆心角是∠AOC ，所对的圆周角是∠ABC ，优弧ABC 所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC.解：∵∠AOC ＝150°，∴∠ABC ＝12∠AOC ＝75°.∵∠α＝360°－∠AOC ＝360°－150°＝210°，∴∠ADC ＝12∠α＝105°，∠EBC ＝180°－∠ABC ＝180°－75°＝105°.∵∠ABC ＋∠ADC ＝75°＋105°＝180°，∠EBC ＝∠ADC ＝105°， ∴∠ABC 和∠ADC 互补，∠EBC 和∠ADC 相等. 评析：理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角性质解题的前提.例5. 如图所示，AB 、CD 是⊙O 的弦，∠A ＝∠C. 求证：AB ＝CD.分析：此题的证明方法很多，由于AB 和CD 在圆中，且为弦，可证明AB 和CD 所对的圆心角相等或弧相等，也可直接或间接利用全等证明AB 和CD 相等. 等等.解法一：如图（1）所示，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F.∴AB ＝2AE ，CD ＝2CF ，∠AEO ＝∠CFO ＝90°. 又∵∠A ＝∠C ，OA ＝OC ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF. ∴AB ＝CD.(1)解法二：如图（2）所示，连结OB 、OD.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D. ∵∠A ＝∠C ，∴∠B ＝∠D. ∴△OAB ≌△OCD ，∴AB ＝CD.(2)(3)解法三：如图（3）所示，连结AC. ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠3.又∵∠BAO ＝∠DCO ，∴∠2＝∠4. ∴︵BC ＝︵AD.∴︵BC ＋︵BD ＝︵AD ＋︵BD ，即︵AB ＝︵CD ， ∴AB ＝CD.例6. AB 、BC 、CA 是⊙O 的三条弦，O 到AB 的距离OE 等于12AB ，求∠C 的度数.分析：∠C 可能为一个钝角，也可能为一个锐角，要分类画图、分析和解答.BB m解：如图（1）所示，连结AO 、BO.因为OE ⊥AB ，所以EB ＝AE ＝12AB.又OE ＝12AB ，所以EB ＝OE ＝AE.所以∠EBO ＝∠EOB ＝∠EOA ＝∠EAO ＝45°.所以∠C ＝12∠AOB ＝12（∠AOE ＋∠EOB ）＝12×90°＝45°.如图（2）所示，由（1）得∠AOB ＝90°，所以优弧A m B 所对的圆心角是270°，所以∠C ＝135°.即∠C 的度数为45°或135°.评析：图（1）中，△ABC 为锐角三角形，圆心在△ABC 内部；图（2）中，△ABC 为钝角三角形，圆心O 在△ABC 外部，两种情形都符合题意，所以本题应有两解.【方法总结】1. 圆不仅是轴对称图形和中心对称图形，实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合，这样就把圆和其他的中心对称图形区别开来，即圆不仅是中心对称图形，而且还突破了中心对称图形旋转180°后才能与原来图形重合的局限性，得出圆所特有的性质：圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这叫做圆的旋转不变性. 利用这一性质可以推出圆的一些其他性质.2. 在利用圆心角、弧、弦的关系定理解题时，我们应注意：①作圆心到弦的垂线是圆中一种常见的作辅助线的方法；②由圆心到弦的垂线、弧、圆心角的相等来证明弦相等是证明线段相等的一条重要途径.3. 圆周角定理及其推论在证明和计算中应用非常广泛，它是证明角相等、线（弦）相等、弧相等的重要依据，尤其是其推论为在圆中确定直角、构成垂直关系创造了条件，它是圆中的一个很重要的性质，要熟练掌握. 同时它也是证明弦为直径的常用方法，若图中有直径，往往构造直径所对的圆周角形成直角，这也是圆中重要的辅助线.【预习导学案】（点和圆的位置关系）一、预习前知1. 圆可以看作是到__________的距离等于__________的点的集合，也就是说圆上的点到圆心的距离都等于__________.2. 圆的内部可以看作是到__________的距离小于半径的点的集合.3. 圆的外部可以看作是到__________的距离大于半径的点的集合.二、预习导学1. ⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线的距离OD ＝3cm . 点A 、B 、C 在直线l 上，若AD ＝23cm ，BD ＝4cm ，CD ＝5cm . 则点A 在⊙O__________，点B 在⊙O__________，点C 在⊙O__________.2. 下列条件中，可以画一个圆，并且只可以画一个圆的条件是（ ） A. 已知圆心 B. 已知半径 C. 已知三点 D. 过直线上两点和直线外一点3. 三角形外接圆的圆心是（ ） A. 三内角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三中线的交点 D. 三高线的交点4. 用反证法证明：“在△ABC 中，至少有两个内角是锐角”时，第一步假设__________成立.反思：（1）点和圆有哪些位置关系？（2）经过不在同一直线上的三点画圆的时候，如何确定圆心？（3）反证法的基本思路和一般步骤是怎样的？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 一条弦分圆周为5∶7，这条弦所对的两个圆周角分别为（ ）A. 150°，210°B. 75°，105°C. 60°，120°D. 120°，240°2. 已知AC 为⊙O 的直径，弦AB ＝10cm ，∠BAC ＝30°，那么⊙O 的半径为（ ）A. 5cmB. 52cmC. 1033cmD. 2033cm3. 如图所示，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，已知∠ECB ＝60°，∠AED ＝65°，那么，ADE的度数为（ ）A. 40°B. 45°C. 55°D. 65°*4. 如图所示，劣弧︵AE 所对的圆心角为40°，则∠B ＋∠D 等于（ ） A. 320° B. 160° C. 300° D. 260°D5. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，∠ACD ＝15°，则∠BAD 的度数为（ ） A. 75° B. 72° C. 70° D. 65°6. 如图所示，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则圆周角∠ACB 的度数为（ ） A. 80° B. 100° C. 120°D. 130°**7. 已知⊙O 的半径为6cm ，⊙O 的一条弦AB 的长为63cm ，则弦AB 所对的圆周角是（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°二、填空题1. 如图所示，D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，则AC 与CB 弧长的大小关系是__________.2. 如图所示，点A 、B 、C 、E 都在圆周上，AE 平分∠BAC 交BC 于点D ，则图中相等的圆周角是__________.3. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，︵BC ＝︵BD ，∠A ＝30°，则∠BOD ＝__________.AB4. 如图所示，已知⊙O 的半径为2，圆周角∠ABC ＝30°，则弦AC 的长是__________.5. 如图所示，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝40°，D 是︵AC 上任意一点，那么∠D 的度数是__________.A**6. 如图所示，A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上顺次五点，且AB ＝BC ＝CD ，如果∠BAD ＝50°，那么∠AED ＝__________.B三、解答题1. 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F. （1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE ＝OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？︵AB 与︵CD 的大小关系？为什么？∠AOB 与∠COD 呢？BD2. 如图所示，AB 、DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ＝CE ，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？*3. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC ＝PC. PB 的延长线交⊙O 于D. 求证：AC ＝DC.P*4. 如图所示，已知A 、B 、C 、F 、G 是⊙O 上的五点，AF 交BC 于点D ，AG 交BC 于点E ，且BD ＝CE ，∠1＝∠2. 求证：AB ＝AC.试题答案一、选择题1. B2. C3. C4. B5. A6. D7. D二、填空题 1. 相等2. ∠ABC ＝∠AEC ，∠ACB ＝∠AEB ，∠BAE ＝∠CAE ＝∠BCE ＝∠CBE3. 60°4. 25. 130°6. 75°三、解答题1.（1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE ＝OF ，理由是：因为∠AOB ＝∠COD ，所以AB ＝CD. 因为OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以AE ＝12AB ，CF ＝12CD ，所以AE ＝CF. 又因为OA ＝OC ，所以R t △OAE≌R t △OCF. 所以OE ＝OF. （2）如果OE ＝OF ，那么AB ＝CD ，︵AB ＝︵CD ，∠AOB ＝∠COD ，理由是：因为OA ＝OC ，OE ＝OF ，所以R t △OAE ≌R t △OCF. 所以AE ＝CF ，又因为OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以AE ＝12AB ，CF ＝12CD. 所以AB ＝2AE ，CD ＝2CF. 所以AB ＝CD. 所以︵AB ＝︵CD ，∠AOB ＝∠COD.2. BE ＝CE. 理由：∵AB 、DE 为⊙O 的两条相交的直径，∴∠AOD ＝∠BOE ，∴BE ＝AD ，又∵AD ＝CE ，∴BE ＝CE.3. 连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADP ＝90°，∵AC ＝CP ，∴CD ＝12AP. ∴CD ＝AC ＝12AP.∴AC ＝DC.4.∵∠1＝∠2，∴⌒BF ＝⌒CG ，∴BF ＝CG ，⌒BG ＝⌒CF ，∴∠FBC ＝∠GCE. 又BD ＝CE ，∴△BFD ≌△CGE （SAS ），∴∠F ＝∠G. ∴⌒AB ＝⌒AC ，∴AB ＝AC.。
圆周角和圆心角弧的关系
知2－练
5 (中考·泰安)如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且 四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F， 则∠BAF等于( ) A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
知识点 3 同弧或等弧所对的圆周角
知3－讲
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等，相等的圆周角所对的弧也相等． 拓展：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦也相等. 易错警示：同一条弧所对的圆周角有无数个，它们都 相等；这里特别要注意不要误认为“同弦所对的圆周 角都相等”，因为一条弦所对的圆周角有两个．
解： 连接OC，如图，∵BC＝BD，
∴ BC BD.
∴∠BOC＝∠BOD＝65°.
∴∠A＝ 1 2
∠BOC＝
1 2
×65°
＝32.5°.
知3－讲
总结
知3－讲
同圆或等圆中的弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系 可以互相转化，当某个结论不好求时，可运用转化思 想将其转化为求与之相关的另一结论．
知3－练
例2 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD
= 60°，∠ADC =70°，求∠APC的度数. 分析：∠APC等于圆周角∠BAD
与∠ADC之和. 解：连接BC，则∠ACB=90°，
∠DCB =∠ACB -∠ACD = 90°- 60° = 30°.
又 ∵∠BAD =∠DCB = 30°, ∴ ∠APC = ∠BAD +∠ADC = 30° +70°=100°.
证明： 方法一：如图，延长CD交⊙O于点H. ∵AB是直径，CD⊥AB， ∴ AC AH . ∵点C是 AE 的中点， ∴ AC CE, ∴ AH CE, ∴∠ACF＝∠CAF，∴AF＝CF.
教案：圆周角与圆心角的关系
教案：圆周角与圆心角的关系。
一、圆周角与圆心角的定义圆周角：在一个圆上，两个相邻的线段所夹的角叫做圆周角。
圆周角的度数等于其所对应的圆弧的度数。
圆心角：在一个圆上，以圆心为顶点，两条切线所夹的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于其所对应的圆弧的度数的一半。
二、圆周角与圆心角的性质1.圆周角和圆心角的度数是正比例关系。
根据圆周角的定义可知，一个圆上的所有圆周角的度数之和等于360度。
而根据圆心角的定义可知，一个圆上的所有圆心角的度数之和也等于360度。
因此，我们可以得出圆周角和圆心角的度数是正比例关系。
2.圆周角和其所对应的圆弧的大小相等。
因为圆周角的度数等于其所对应的圆弧的度数，所以圆周角和其所对应的圆弧的大小相等。
3.圆心角是其所对应的圆弧的一半。
根据圆心角的定义可知，圆心角的度数等于其所对应的圆弧的度数的一半。
因此，圆心角是其所对应的圆弧的一半。
4.在同一个圆上，圆周角相等的两条弧所对应的圆心角也相等。
根据圆周角的定义可知，两个圆周角的度数相等当且仅当它们所对应的圆弧的长度相等。
而圆心角的度数是其所对应的圆弧的一半，因此，在同一个圆上，圆周角相等的两条弧所对应的圆心角也相等。
5.在同一个圆上，圆心角相等的两个弧所对应的圆周角不一定相等。
由圆心角的定义可知，同一个圆上，圆心角相等的两个弧所对应的圆周角不一定相等。
这是因为圆心角只与它所对应的圆弧的长度有关，而圆周角则与整个圆弧的长度有关。
三、圆周角与圆心角的关系圆周角与圆心角之间有以下的关系：1.在同一个圆上，相等的圆心角所对应的圆弧长度大的圆周角也大。
由圆心角的定义可知，圆心角的度数等于其所对应的圆弧的度数的一半。
因此，相等的圆心角所对应的圆弧长度大的圆周角也大。
2.在同一个圆上，圆周角相等的两个弧所对应的圆心角不一定相等。
由圆心角的定义可知，同一个圆上，圆心角相等的两个弧所对应的圆周角不一定相等。
这是因为圆心角只与它所对应的圆弧的长度有关，而圆周角则与整个圆弧的长度有关。
圆周角与圆心角的关系
圆周角与圆心角的关系(1、2)一、弧与圆心角的关系当∠AOB= 1o 时， 则 1o= 360（） ，而此时AB的度数=360（）∴二、圆心角与圆周角的关系 1、圆周角的定义一个角的顶点在 ，角的两边 ，叫圆周角 练习：判断下列图形是否是圆周角2、圆周角与圆心角的关系圆周角与圆心角的关系：圆周角与弧的度数的关系：在等圆或同圆中，弧、圆周角、圆心角的关系：1、等弧所对的圆周角、圆心角 ；2、同弧所对的圆心角直径所对的圆周角是 ，90o 圆周角所对的弦是 1、已知圆中一条弧所对圆周角为75°，则这条弧的度数是 ________ 2、圆周角是24°，则它所对的弧是___________． 三、练习：1、在下列图形中找出相等的角D2、如图，已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是2题 3题 4题3、如图，AB 是⊙O 的直径， BC=BD ，∠A=25°，则∠BOD= 。
4、如图，点A 、B 、C 、D 是圆O 上四点，且点D 是弧AB 的中点，CD 交OB 于E ，∠AOB=100°，∠OBC=55°，则∠OEC=__________度.5、如图,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是 AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.5题7题8题6、在⊙O 中，∠AOB=72°则弦AB 所对的圆周角是 。
6.1已知⊙O 中的弦AB 长等于半径，求弦AB 所对的圆周角和圆心角的度数．7、如图AB 为直径，∠BED ＝40°则∠ACD ＝______．8、如图OA 、OB 是⊙O 的半径，∠AOB ＝40°，∠OBC ＝50°， 则∠ACB ＝______∠OAC ＝______． 9、如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC10、如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P ,若CD=3,AB=4,求tan ∠BPD 的值.C11、如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A 、点B ，点A 的坐标为（0，3），M 是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径长为12、如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠CAB=30°，则∠D 的度数为13、如图，直径为10的⊙A 经过点C （0，5）和点O （0，0），B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为13、1如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为上一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为14、如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于OBABO。
圆的角度与弧长的计算
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汇报时间：20XX/XX/XX
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目录
CONTENTS
1 圆的角度与弧长的关系 2 弧长计算公式 3 角度与弧长的应用 4 弧长计算中的特殊情况 5 弧长计算中的近似方法 6 弧长计算中的误差分析
圆的角度与弧长的关系
角度与弧长的定义
角度：圆上两点之间的夹角大小
近似方法的应用场景
弧长计算：在几何学中，弧长计 算是常见的应用场景，近似方法 可以快速得到近似结果。
数值分析：在数值分析中，近似 方法可以用来求解微分方程、积 分方程等数学问题，提高计算效 率和精度。
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物理模拟：在物理模拟中，常常 需要用到近似方法来模拟复杂的 物理现象，如流体动力学、电磁 学等。
误差对计算结果的影响
弧长计算中的误 差来源：测量误 差、计算方法误 差等
误差对计算结果 的影响：可能导 致结果不准确， 影响后续分析和 应用
减小误差的方法 ：提高测量精度 、选择合适的计 算方法等
误差分析的意义 ：有助于提高计 算结果的可靠性 ，促进工程实践 的顺利进行
提高弧长计算精度的措施
增加测量次数： 通过多次测量， 减少误差，提
弧长计算公式
弧长计算公式推导
弧长公式：弧长 = 圆 心角/360° × 圆的周 长
推导过程：通过将圆 心角划分为若干个小 的角度，利用极限思 想逼近圆周，从而得 到弧长的计算公式
应用场景：适用于计 算各种圆弧的长度， 如扇形、弓形等
注意事项：在使用弧 长计算公式时，需要 确保圆心角和圆的半 径已知
弧长计算中的近似方法
弧长计算的近似公式
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知3－讲
例3 [中考·黔西南州]如图，在⊙O中，
，
∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为( )
A．65° B．75° C．50° D．55°
导引：由
，可知∠ABC＝∠ACB，
已知∠BAC＝50°，故根据三角形内
角和定理，可求出∠ABC的度数，再
根据“同弧所对的圆周角相等”，可得结果．
∵
，∴∠ABC＝∠ACB.
圆周角与圆心角、弧的 关系
2020/8/18
1 课堂讲解 2 课时流程
圆周角的定义 圆周角和圆心角的关系 同弧或等弧与所对圆周角的关系
逐点 导讲练
课堂小结
作业提升
知识点
1 圆周角的定义
知1－导
顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角. 如图，图(1)中∠APB是圆周角，图(2)和图(3)中 ∠AQB不是圆周角， 图(4)中的∠ASB是圆周角，而∠ASC不是圆周角.
(2)当圆心O落在∠APB的一条边上时，∠AOB与∠APB具有怎样的 大小关系？说明理由.
(3)当圆心O在的内部和外部时，(2)中的结论还成立吗？和同学进行 交流.
知2－导
通过探究，我们发现，当圆心O在∠ARB的一条边上时，如图 ，
∠APB= ∠AOB. ∴ OP =OA， ∴∠OPA=∠OAP. 又∵∠AOB=∠OP A+∠OAP， ∴∠AOB=2∠APB，即∠APB=
（来自《教材》）
知2－讲
总结
在同一个圆中，根据相等的弧所对的圆心角相等 和圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 半可知，若两条弧相等，则其中一条弧所对的圆心角 等于另一条弧所对的圆周角的2倍．
知2－讲
（来自《点拨》）
知2－练
1 [中考·河池]如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD＝48°，则∠BAC的 大小是( ) A．60° B．48° C．30° D．24°
数是( )
A．15° B．25°
C．30° D．75°
3 【中考·济宁】如图，在⊙O中，
，∠AOB
＝40°，则∠ADC的度数是( )
A．40° B．30°
C．20° D．15°
（来自《典中点》）
知3－练
“圆周角定理”是圆中的又一个重要定理，其作用在 于转化同弧所对的圆心角与圆周角、同弧或等弧所对的 圆周角之间的数量关系．在应用这一定理时，要注意 “同弧、等弧”的前提条件，只有准确识别图形中角的 位置关系，才能得到角之间的数量关系．
结论
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆心角的一半.
例2 如图 ，点 A，B，C 均在⊙O 上，∠OAB = 46°. 求∠ACB的度数.
解：如图，连接OB. ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA. ∵∠OAB =46°， ∴∠AOB= 180°－2∠OAB =180°－2×46°= 88°. ∴∠ACB= ∠AOB= 44°.
∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＝ ×(180°－50°)
＝65°.∴∠AEC＝∠ABC＝65°，故选A.
知3－讲
A
（来自《点拨》）
总结
在一个圆中求一个圆周角的度数，可以从三个 方面转化：
(1)转化为求该圆周角所对的弧所对的圆心角的 度数；
(2)转化为求该圆周角所对的弧所对的其他圆周 角的度数；
(3)转化为求与该圆周角所对的弧相等的弧所对 的圆心角或圆周角的度数．
（来自《点拨》）
1 【中考·柳州】下列四个图中，∠x为圆周角的是( )
知1－练
（来自《典中点》）
知识点
2 圆周角和圆心角的关系
知2－导
如图，∠AOB和∠APB分别是 所对 的圆心角和圆周角.
(1)当点P在圆上按顺时针方向移动时(点 P与点B不重合)，按照圆心O和圆周角的位置 关系，可以分为几种不同的情形？说出你的判断并画 出相应的图形.
（来自《点拨》）
知2－练
2 【中考·张家界】将量角器按如图所示的方式放置 在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A，B的读数分别为100°， 150°，则∠ACB＝________．
（第2题）
（第3题）
3 【中考·绍兴】如图，BD是⊙O的直径，点A，C在
⊙O上，
，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是( )
知3－讲
（来自《点拨》）
知3－练
1 [中考·海南]如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P 是 上一点，则∠APB的度数为( ) A．45° B．30° C．75° D．60°
（来自《点拨》）
2 【中考·自贡】如图，在⊙O中，弦AB与CD交于
点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度
A．60° B．45° C．35° D．30°
（来自《典中点》）
知识点
3 同弧或等弧与所对圆周角的关系
结合弧、弦、圆心角之间的关系定理和圆周角 定理的推论可知：在同圆或等圆中，相等的圆周角所 对的弧相等，所对的弦也相等，进而相等的弧所对的 圆心角也相等．即在同圆或等圆中，圆周角、圆心角、 弧、弦这四个量中有一组量相等，则可推出其他三组 量相等，也称之为“四量关系定理”.
例1 如图所示，∠BAC是圆周角的是( )
A
知1－讲
导引：顶点A必须在圆上，故排除D；AB , AC 必须分 别与圆相交，B，C都不符合，故排除B，运用定义法和排除法，判断一个角是不是圆周角，必须抓 住圆周角定义中的两个特征： (1)角的顶点在圆周上；(2)角的两边都与圆相交．
∠AOB.
对于圆心O在∠APB内部的情形，如图，连接 PO并延长交⊙O于点D，
∵PD过圆心O， ∴∠APD = ∠AOD，∠BPD = ∠BOD.
∴∠APD+∠BPD= ∠AOD+ ∠BOD.
∴∠APB= ∠AOB.
知2－导
做一做
知2－导
如图，对于圆心O在圆周角∠APB外部的情形，证明 ∠APB= ∠AOB.