用公式法解一元二次方程(第2课时)
2.3用公式法求解一元二次方程第2课时教案
一、教学内容
本节课为“2.3用公式法求解一元二次方程”第2课时教案，依据人教版数学八年级上册教材，教学内容主要包括以下三个方面：
1.掌握一元二次方程的求根公式，即：
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
2.学会运用求根公式解决实际问题，特别是当判别式\(b^2 - 4ac\)大于、等于或小于0时的情况讨论。
此外，小组讨论环节中，我发现有的学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是在小组中缺乏足够的发言机会。针对这个问题，我计划在组织小组讨论时，更多地关注每个学生的参与情况，鼓励那些比较内向或不确定的学生发表自己的观点，让每个人都有机会表达自己的想法。
最后，从学生的提问和作业完成情况来看，我感到他们在计算过程中仍存在一些粗心大意的现象。为了提高学生的计算准确性，我打算在接下来的课程中，增加一些针对性的计算训练，并教导学生如何进行自我检查和同伴互评，以提高解题的正确率。
其次，判别式的概念及其与方程解的关系是本节课的一个重点和难点。我发现有些学生在判断判别式符号时容易出错，这说明对这个概念的理解还不够深入。在以后的教学中，我可以通过更多的实例和练习，让学生反复练习判别式的判断，同时强调其在解题过程中的重要性。
在实践活动中，学生们的讨论和实验操作都比较积极，但我也观察到有些小组在解决问题时思路不够清晰。这提示我在未来的活动中，应该更加注重引导学生如何有效地进行问题分析和解决。我可以通过提问和指导，帮助学生理清思路，提高他们解决问题的能力。
3.能够熟练运用求根公式求解一元二次方程，并对方程的解进行验证。
本节课将通过具体例题的讲解和练习，使学生更好地理解和掌握一元二次方程的公式法解法，提高解题能力。
一元二次方程的解法第2课时
一元二次方程的解法第2课时1．一元二次方程的求根公式及推导 (1)求根公式的定义一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，它的根是x ＝－b ±b 2－4ac2a.这个式子称为一元二次方程的求根公式．(2)求根公式的推导一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的过程．具体推导过程如下：由于a ≠0，在方程两边同除以a ，得x 2＋b a x ＋ca＝0.移项，得x 2＋b a x ＝－ca.方程两边同加上(b 2a )2，得x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2，即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2.由于4a 2＞0，所以当b 2－4ac ≥0时，可得x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a .所以x ＝－b ±b 2－4ac2a.(1)配方法是推导求根公式的基础．(2)由于4a 2＞0，所以只有当b 2－4ac ≥0时，式子b 2－4ac4a 2才是非负常数，方程才能开方．(3)由此可见，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a ，b ，c 确定的，只要确定了系数a ，b ，c 的值，代入公式就可求得方程的根．【例1】方程3x 2－8＝7x 化为一般形式是________，其中a ＝________，b ＝________，c ＝________，方程的根为________．解析：将方程移项可化为3x 2－7x －8＝0.其中a ＝3，b ＝－7，c ＝－8.因为b 2－4ac ＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x ＝7±1456.答案：3x 2－7x －8＝0 3 －7 －8 7±14562．公式法解一元二次方程(1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(2)公式法是解一元二次方程的一般方法，对于任何一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来．(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤：①将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，确定a ，b ，c 的值． ②计算b 2－4ac 的值，从而确定原方程是否有实数根．③若b 2－4ac ≥0，则把a ，b ，c 及b 2－4ac 的值代入求根公式，求出x 1，x 2；若b 2－4ac ＜0，则方程没有实数根．(1)此求根公式是指一元二次方程的求根公式，只有确认方程是一元二次方程时，方可使用．(2)“b 2－4ac ≥0”是一元二次方程求根公式的重要组成部分，是公式成立的前提条件，当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．(3)用公式法解一元二次方程时，一定先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值，并注意它们的符号．(4)当b 2－4ac ＝0时，应把方程的根写成x 1＝x 2＝－b2a ，从而说明一元二次方程有两个相等的实数根，而不是一个根．【例2】用公式法解下列方程： (1)2x (x ＋2)＋1＝0； (2)x 2＋4x －1＝10＋8x .分析：用公式法解一元二次方程时，先将一元二次方程写成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的形式，然后判断b 2－4ac 的值是大于等于0，还是小于0.若b 2－4ac ≥0，把a ，b ，c 的值代入求根公式求解；若b 2－4ac ＜0，则原方程没有实数根．解：(1)原方程可化为2x 2＋22x ＋1＝0. 因为a ＝2，b ＝22，c ＝1， 所以b 2－4ac ＝(22)2－4×2×1＝0. 所以x ＝－22±02×2＝－22.所以x 1＝x 2＝－22.(2)将原方程化为一般形式，得x 2－4x －11＝0. 因为a ＝1，b ＝－4，c ＝－11，所以b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－11)＝16＋44＝60. 所以x ＝4±602×1＝4±2152.所以x 1＝2＋15，x 2＝2－15.点拨：用公式法解一元二次方程时，必须满足b 2－4ac ≥0，才能将a ，b 及b 2－4ac 的值代入求根公式求解．当b 2－4ac ＜0时，原方程没有实数根．3．因式分解法(1)定义：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法．(2)因式分解法的理论依据：若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.(3)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．用因式分解法解一元二次方程的关键：一是要将方程右边化为0；二是方程左边要能分解为两个含未知数的一次因式的积．【例3】解下列方程： (1)x －3＝x (x －3)； (2)(x －2)2＝(2x ＋3)2； (3)x 2－23x ＝－3. 分析：⑴ 移项 右 边 左边能提取公因式(x －3)⑵ 移项 左边能用平方差公式进行分解⑶ 移项为 0左边正好是一个完全平方式解：(1)原方程可化为(x －3)－x (x －3)＝0. ∴(x －3)(1－x )＝0.∴x －3＝0，或1－x ＝0. ∴x 1＝3，x 2＝1.(2)原方程可化为(x －2)2－(2x ＋3)2＝0. ∴[(x －2)＋(2x ＋3)][(x －2)－(2x ＋3)]＝0， 即(3x ＋1)(－x －5)＝0. ∴3x ＋1＝0，或－x －5＝0.∴x 1＝－13，x 2＝－5.(3)原方程可化为x 2－23x ＋3＝0，即 x 2－23x ＋(3)2＝0. ∴(x －3)2＝0.∴x 1＝x 2＝ 3.4．因式分解法的两种类型一元二次方程右边化为0后，左边在因式分解时，可分为两种类型：(1)有公因式可提：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式． 例如，解方程x －3－x (x －3)＝0，可通过提公因式(x －3)，原方程变形为(x －3)(1－x )＝0.(2)能运用公式①平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )； ②完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2.运用完全平方公式解一元二次方程，实质上与用配方法是一致的，是配方法的特殊形式.例如，解方程x 2－4＝0，利用平方差公式变形为(x ＋2)(x －2)＝0； 解方程x 2－4x ＋4＝0，利用完全平方公式变形为(x －2)2＝0.在利用提公因式法、完全平方公式及平方差公式分解因式时，公因式可能是多项式，公式中的字母也可能代表多项式，因此，要注意从整体上观察，切不可盲目地去化简整理．【例4】解下列方程：(1)4(x －3)2－25(x －2)2＝0； (2)(2x ＋1)2＋4(2x ＋1)＋4＝0； (3)(x ＋3)(x －1)＝4x －4.分析：解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．(1) 右边为0 左边可整体利用平方差公式分解因式(2) 右边为0将2x ＋1作为一个整体，左边可利用完全平方公式进行因式分解(3) 移项后把右边化为0 变形后能提公因式(x －1)解：(1)原方程可变形为[2(x －3)]22即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0， 即(7x －16)(－3x ＋4)＝0. ∴7x －16＝0，或－3x ＋4＝0.∴x 1＝167，x 2＝43.(2)原方程可变形为(2x ＋1＋2)2＝0， 即(2x ＋3)2＝0.∴2x ＋3＝0.∴x 1＝x 2＝－32.(3)原方程可变形为 (x ＋3)(x －1)－4(x －1)＝0. ∴(x －1)2＝0.∴x 1＝x 2＝1.5．利用因式分解法解一元二次方程的误区 应用因式分解法解方程时，常有以下误区：(1)对因式分解法的基本思想不理解，没有将方程化为a ·b ＝0的形式就急于求解．对此要认真审题，看方程的一边是否是0，若不是0，应先化为0.(2)产生丢根现象．对于丢根现象，往往是因为在解方程过程中，出现方程两边不属于同解变形的步骤．避免这一错误的方法主要是注意方程两边不能同除以含有未知数的项．【例5】解方程：(1)(x －2)(x －3)＝6. (2)2x (x ＋1)＝3(x ＋1)． 解答 顾问点评(1)错解 x －2＝0，或x －3＝0，得x 1＝2，x 2＝3.用因式分解法时，右边必须是0，而本题中右边不是0正解整理，得x 2－5x ＝0，∴x (x －5)＝0.∴x ＝0，或x －5＝0.∴x 1＝0，x 2＝5.先整理成一般形式，再选择适当的方法(2)错解 方程两边同时除以(x ＋1)，得2x ＝3，解得x ＝32.出现两边同除以(x ＋1)的错误正解 移项，得2x (x ＋1)－3(x ＋1)＝0，∴(x＋1)(2x －3)＝0.∴x ＋1＝0，或2x －3＝0.解得x 1＝－1，x 2＝32.移项后可提公因式(x ＋1)6．选择适当的方法解一元二次方程解法 适合类型 注意事项 直接开平方法(x ±m )2＝n n ≥0时，有解；n ＜0时，无解配方法 x 2＋px ＋q ＝0二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方公式法 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 先化为一般形式再用公式．b 2－4ac ≥0时，方程有解；b 2－4ac ＜0时，方程无解因式 分解法 方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积 方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式选择的原则：首先要看因式分解法或直接开平方法是否可行，接着考虑配方法，最后考虑公式法．①因式分解法和直接开平方法虽然简便，但并非所有的方程都适用；②配方法适用于任何一个一元二次方程，但过程比较麻烦； ③公式法是在配方法的基础上，利用其导出的求根公式直接求解．因此，在解一元二次方程时，为了提高解题速度和准确率，应先观察方程特点，灵活选择适当的方法进行解题．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例6－1】选择适当的方法解下列方程： (1)3x (x －1)＝1－x ；(2)x 2－2x －11＝0； (3)2x 2－5x －1＝0. 分析：(1) 将方程右边的“1－x ”移到方程左边，则变为“x －1”，此时有公因式“x －1”可提.因式分解法(2) 仔细观察不难发现二次项系数与一次项系数的特点，“x 2－2x ”易于配方，可选用配方法求解.配方法(3) 公式法适用于任何一元二次方程，此题是一元二次方程的一般形式，确定a ，b ，c 的值，就可以直接代入公式求解. 公式法解：(1)原方程可化为3x (x －1)＋(x －1)＝0， ∴(x －1)(3x ＋1)＝0.∴x －1＝0，或3x ＋1＝0.∴x 1＝1，x 2＝－13.(2)移项，得x 2－2x ＝11，配方，得x 2－2x ＋1＝11＋1，即(x －1)2＝12. ∴x －1＝±23，即x ＝±23＋1. ∴x 1＝23＋1，x 2＝－23＋1. (3)∵a ＝2，b ＝－5，c ＝－1，b 2－4ac ＝(－5)2－4×2×(－1)＝33＞0， ∴x ＝－(－5)±(－5)2－4×2×(－1)2×2＝5±334.∴x 1＝5＋334，x 2＝5－334.【例6－2】用适当的方法解下列方程：(1)9(x ＋2)2＝16；(2)(x －1)2－(x －1)－6＝0； (3)4x 2－42x ＋1＝0；(4)(3x －4)2＝9x －12.分析：(1)题利用直接开平方法解较好．(2)题利用因式分解法解较好．(3)题利用求根公式法解较好．(4)题利用因式分解法解较好．解：(1)原方程变形为(x ＋2)2＝169，所以x ＋2＝±43，即x ＝±43－2.所以x 1＝－23，x 2＝－103.(2)原方程变形为(x －1＋2)(x －1－3)＝0，即(x ＋1)(x －4)＝0， 所以x ＋1＝0或x －4＝0.所以x 1＝－1，x 2＝4. (3)因为a ＝4，b ＝－42，c ＝1， 所以b 2－4ac ＝(－42)2－4×4×1＝16. 所以x ＝42±162×4＝2±12.所以x 1＝2＋12，x 2＝2－12.(4)原方程变形为(3x －4)2＝3(3x －4)， 即(3x －4)2－3(3x －4)＝0，分解因式，得(3x －4)[(3x －4)－3]＝0， 即(3x －4)(3x －7)＝0， 所以3x －4＝0或3x －7＝0. 所以x 1＝43，x 2＝73.7．用十字相乘法解一元二次方程十字相乘法能把某些二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)因式分解．这种方法的关键是把二次项的系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1·a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1·c 2，并使a 1c 2＋a 2c 1正好是一次项系数b ，那么可以直接写出结果：ax 2＋bx ＋c ＝(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)．当二次项系数为1时，上述公式变为x 2＋bx ＋c ＝(x ＋c 1)(x ＋c 2)．此时解决问题的关键是将常数项分解为两个数的积，且其和等于一次项系数．例如，分解因式2x 2－7x ＋3，利用上述方法将二次项系数与常数项分解为1×2与(－1)×(－3)，则交叉相乘再相加，得1×(－1)＋2×(－3)＝－7，结果正好等于一次项系数－7，于是二次三项式2x 2－7x ＋3可分解为(x －3)(2x －1)．【例7】用十字相乘法解下列方程： (1)x 2＋2x －8＝0； (2)6x 2＋5x －50＝0.分析：(1)此方程右边为0，二次项系数为1，常数项－8可分解为4×(－2)，而4＋(－2)＝2，于是原方程可化为(x ＋4)(x －2)＝0.(2)此方程右边为0，左边是一个二次三项式，由于6＝2×3，－50＝(－5)×10，则2×10＋3×(－5)＝5，于是原方程可化为(2x －5)(3x ＋10)＝0. 解：(1)原方程可化为(x ＋4)(x －2)＝0， ∴x ＋4＝0，或x －2＝0. ∴x 1＝－4，x 2＝2.(2)原方程可化为(2x －5)(3x ＋10)＝0， ∴2x －5＝0，或3x ＋10＝0.∴x 1＝52，x 2＝－103.。
2.3用公式法解一元二次方程(第2课时)-北师大版九年级数学上册教学案
北师大版数学九年级上册第二章第3节用公式法解一元二次方程（第2课时）导学案【教学目标】1．理解一元二次方程根的判别式；2．不解方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等．教学重点：一元二次方程根的判别式教学难点：理解一元二次方程根的判别式【教学过程】[知识回顾：]一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是：x ＝－b ±b 2－4ac 2a(其中b 2―4ac ≥0)． 这个公式成立的条件是：b 2―4ac ≥0．那么，有没有b 2―4ac ＜0的一元二次方程呢？如果有，这样的方程的解的情况又是怎样的？[问题探究：]对于方程x 2－2x ＋3＝0，有a ＝1，b ＝－2，c ＝3，得b 2―4ac ＝(－2) 2―4×1×3＝－8＜0,不满足b 2―4ac ≥0的条件，所以该方程不能用求根公式求解．事实上，将方程x 2－2x ＝―3，配方，得x 2－2x ＋1＝―3＋1，即(x －1) 2＝－2．∵x 取任何实数时，总有左边＝(x －1) 2≥0,而右边＝－2＜0,∴x 取任何实数时，都不能使(x －1) 2＝－2成立，即方程(x －1) 2＝－2无实数根．也就是方程x 2－2x ＋3＝0无实数根．[归纳总结，得出结论：]对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，(1) 当b 2―4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，（x ＝－b ±b 2－4ac 2a） (2) 当b 2―4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根，（x 1＝x 2＝－b 2a） (3) 当b 2―4ac ＜0时，方程无实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可以由b 2―4ac 来判定．我们把b 2―4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用“△”（读：delta ）来表示．[例1]不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x 2＋5＝7x ； (2) 4x (x －1)＋1＝0； (3) (x ＋1)(4x ＋1)＝2x ．[跟踪练习1]1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 5x 2＋x ＝7； (2) 25x 2＋20x ＋4＝0； (3) x 2－2x ＋3=0．[例2]若关于x的一元二次方程(k－1) x 2＋2x－2＝0有两个不相等实数根，求k的取值范围．[跟踪练习2]1．关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m≥1C．m≤1D．m＞12．关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定3．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________．4．已知关于x的一元二次方程kx2－2(k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；5．关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有两个实数根，求k的取值范围；[本课知识、方法总结：]1．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作：△＝b2－4ac，(1)当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；即x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b―b2－4ac2a；(2)当△＝0时，方程有两个相等的实数根；即x1＝x2＝－b2a．(3)当△＜0时，方程无实数根．反过来也成立．[拓展延伸：]1．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏总长40m．(1) 鸡场的面积能达到180m2吗？(2) 鸡场的面积能达到200m2吗？(3) 鸡场的面积能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．（提示：设平行于墙的一边为x m）答案例1（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根；[跟踪练习1]1．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程有两个不相等的实数根；例2 解：根据题意，得⎩⎨⎧△＝4－4×(－2)×(k －1)＞0k －1≠0 解得k ＞12且k ≠1． [跟踪练习2]1．D2．A3．k ＜－1144．k 的取值范围是k ＞－13且k ≠0． 5．k 的取值范围是k ≥32且k ≠2． [拓展延伸：]1．解：设平行于墙的一边长为x 米，则垂直于墙的一边长为40－x 2米，鸡场的面积为x ·40－x 2平方米． （1）当x ·40－x 2＝180时，解得 x 1＝20－210，x 2＝20＋210（不合题意，舍去）．∴鸡场的面积能达到180m 2，此时鸡场平行于墙的一边长为（20－210）米，垂直于墙的一边长为（10＋2010）米．（2）当x ·40－x 2＝200时，解得 x 1＝x 2＝20．∴鸡场的面积能达到200m 2，此时鸡场平行于墙的一边长为20米，垂直于墙的一边长为10米．（3）当x ·40－x 2＝250时，整理，得 x 2－40x ＋500＝0．∵△＝1600－4×1×500＜0，∴该方程没有实数根．∴鸡场的面积不能达到250m 2．。
公式法解一元二次方程(第2课时)
公式法解一元二次方程（第2课时）教学目标【知识与技能】：1.了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2.能够根据方程的系数，判断出方程根的情况。
3.根据根的情况确定含字母系数的一元二次方程中字母的值或取值范围；【过程与方法】：结合的使用求根公式解一元二次方程，培养学生运用公式解决问题的能力.综合运算能力。
【情感态度与价值观】：通过学生间的相互交流，进一步发展学生合作交流的意识与能力。
重难点：1．重点：一元二次方程求根公式的灵活运用。
．2．难点：根据根的情况确定含字母系数的一元二次方程中字母的值或取值范围。
教学过程一，课前复习1．公式法：解一元二次方程时，把各系数直接带入求根公式，而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫公式法。
2．求根公式：当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为___________的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。
其中，式子________叫做方程根的判别式，通常用希腊字母∆表示。
即∆=b2-4ac3. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac的符号来判定：①当b2-4ac______0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac______0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac______0时，方程没有实数根.4．用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。
（2）. 求出∆的值。
（3）. (a)当∆ >0 时，代入求根公式:写出一元二次方程的根：x1 = ______ ，x2 = ______ 。
(b)当∆=0时，代入求根公式：写出一元二次方程的根：x1 = x2 = ______ 。
(b)当∆<0时，方程实数根二．典例分析知识点1 根的判别式1.(苏州中考)下列关于x的方程有实数根的是( )A.x2-x+1=0B.x2+x+1=0C.(x-1)(x+2)=0D.(x-1)2+1=02.(自贡中考)一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根3.不解方程，判定下列一元二次方程根的情况：(1)9x2+6x+1=0；(2)3(x2-1)-5x=0.知识点2 用公式法解一元二次方程4用公式法解下列方程：(1)2x2-3x+1=0；(2)1-x=3x2；(3)2x2-3x-1=0；(4)4x2-4x-1=0.（5）；（6）；三．拓展提高5.(内江中考)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有不相等实数根，则k的取值范围是( )A.k＞B.k≥C.k＞且k≠1D.k≥且k≠16.(北海中考)若一元二次方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为______.7.关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根，则a满足的条件是______8、下列关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.(1)当m=3时，判断方程的根的情况。
届九年级数学上册 23 用公式法求解一元二次方程第二课时教学设计 新版北师大版
用公式法求解一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生已学习了一元一次方程、二元一次方程组等内容；已经经历将一些实际问题抽象成数与代数问题的过程及一元二次方程的建模过程；学习了用配方法解一元二次方程，掌握了数与代数的基本知识和基本技能和一定的运算技能。
这些为本节进一步用配方法解一元二次方程提供了基础。
学生活动经验基础：学生在七年级和八年级中有过方案设计的经历，经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，这些也构成了本课任务完成的活动经验基础。
二、教学任务分析体会方程是刻列出方程；课程标准对方程的要求是：能够根据具体问题中的数量关系，本节主要检验结果是否合理。
画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，因此设计了一个方案设计比较枯燥，为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，）通过一（1:活动，需要自行设计方案，因此需要适度的建模，为此制定本课时教学目标是巩固解一元体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，元二次方程的建模过程，通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际(2)二次方程的方法；问题的勇气、才能及个性。
三、教学过程分析整个教学过程共分七个环节进行。
第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入；第三环节：方案设计；第四环节：问题解答；第五环节：学以致用；第六环节：反思归纳；第七环节：布置作业。
第一环节：知识回顾活动内容：你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？活动目的： 1帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫。
第二环节：情境引入活动内容：师提出问题：现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？并使花园所占面积为荒要建造一个花园，，宽为１２m的矩形荒地上，在一块长为１６m 地面积的一半。
你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？活动目的：成为学生真正以同学生平等的身份提出问题，以情境引入课题，改变教师的权威地位，使学生真正成为意义上的合作者。
北师版数学九上第二章 3用公式法求解一元二次方程(共2课时53页)
2×1
2
即
x1 = 9，x2 = -2.
例 解方程 ： （1）x2 -7x -18 = 0； （2）4x2 + 1 = 4x.
解：（2）将原方程化为一般形式，得 4x2-4x + 1 = 0.
这里 a = 4，b = -4，c = 1.
∵ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×4×1 = 0，
∴
x
(9) 22
17 = 9 17 ，
4
2. 用公式法解下列方程：【选自教材P43 随堂练习】 （1）2x2 -9x + 8 = 0；（2）9x2 + 6x + 1 = 0 ；
（3）16x2 + 8x = 3； （4） x(x-3) + 5 = 0 .
解：（2）a = 9，b = 6，c = 1.
达标检测
1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：【选自教材P43 随堂练习】 （1）2x2 + 5 = 7x ； （2）4x(x-1) + 3 = 0 ； （3）4 ( y2 + 0.09 ) = 2.4y . （2）将方程化成一般形式：4x2 -4x + 3 = 0； ⊿ = b2 -4ac =(-4)2 -4×4×3 = -24 < 0 方程没有实数根.
b2 4ac 4a 2
(x
+
b 2a
)2
b2 4ac 4a 2
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 当b2 - 4ac ≥ 0 时，
b2 4ac 4a 2
是一个非负数，此时两边开平方，得
x+ b 2a
b2 4ac 4a 2
b b2 4ac x
2a
刘丽丽用公式法解一元二次方程(第2课时)
6x2-4=3x
鲜花为你盛开，你一定行！
课后作业
A：必做：课本P53 2
B：选做：探究方程x(2x-5)=-4 的解。
(19-2x)(15-2x)=77
探 求 新 知
例2 解方程
(1)（x+1）(3x-1)=1
把下列方程化成ax2+bx+c =0的形式，写出其中a, b, c 的值。
1、x2-3x=4 2 、4x2+1=4x 3、（2x+1)(x+2)=3
大变身： 4x+1=4x2
a=? b=? c=?
学习是件很愉快的事
例 2 解方程：
x 3 2 3x
2
探 索 奥 秘
探究例2：
两个方程的解有什 么不同？你能发现其中 的原因吗？
梳理归纳
通过上述方程的解法你 能总结出运用公式解一元二 次方程的步骤吗？
用公式法解方程：
（1பைடு நூலகம்y2+16 =10y
(19-2x)(15-2x)=77
小明和同学准备自制 解：原方程整理得：4x2-68x+208=0
拓展 提高
你能行!
1. 展示你的风采（2分） 若 与4a3是同类项，求n 的值。 2. 挑战你的能力（3分） 若两个连续奇数的积是323，求这两个数。
加油!
这是收获的
时刻，让我 们共享学习 的成果
这节课你有哪些收获？ 还有什么疑惑？
课堂 检测
1.
2.
练一练 一元二次方程2x2-5x=3其中a=_______b=_____ c=________ 一元二次方程2x2- 2 2 x 1 0 这 里b2 -4ac=_____ 解一解 用适当的方法解方程
【教育资料】21.2解一元二次方程21.2.2公式法第2课时用公式法解一元二次方程学习专用
第2课时 用公式法解一元二次方程基础题知识点 用公式法解一元二次方程1.用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3＝0时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是(D)A.a ＝3，b ＝2，c ＝3B.a ＝－3，b ＝2，c ＝3C.a ＝3，b ＝2，c ＝－3D.a ＝3，b ＝－2，c ＝32.方程x 2＋x －1＝0的一个根是(D)A.1－ 5B.1－52C.－1＋ 5D.－1＋523.一元二次方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是(A)A.p±p 2－4q 2B.－p±p 2－4q 2C.p±p 2＋4q 2D.－p±p 2＋4q24.一元二次方程a 2－4a －7＝0的解为5.用公式法解下列方程： (1)4x 2－4x ＋1＝0；解：Δ＝(－4)2－4×4＝0， x ＝4±08＝12.∴x 1＝x 2＝12.(2)x 2＋2x ＝0；解：Δ＝22－4×1×0＝4， x ＝－2±42×1，∴x 1＝0，x 2＝－2. (3)2x 2－3x －1＝0；解：Δ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17， x ＝3±172×2，∴x 1＝3＋174，x 2＝3－174.(4)(兰州中考)2y 2＋4y ＝y ＋2；解：2y 2＋3y －2＝0，Δ＝32－4×2×(－2)＝25， y ＝－3±252×2，∴y 1＝12，y 2＝－2.(5)x 2＋10＝25x ；解：x 2－25x ＋10＝0，∵Δ＝(－25)2－4×1×10＝－20<0， ∴此方程无实数解. (6)x(x －4)＝2－8x. 解：x 2＋4x －2＝0，Δ＝42－4×1×(－2)＝24， x ＝－4±242×1，∴x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6. 易错点 错用公式6.用公式法解方程：2x 2＋7x ＝4. 解：∵a ＝2，b ＝7，c ＝4， ∴b 2－4ac ＝72－4×2×4＝17. ∴x ＝－7±174，即x 1＝－7＋174，x 2＝－7－174.上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正.解：不正确.错误原因：没有将方程化成一般形式，造成常数项c 的符号错误. 正解：移项，得2x 2＋7x －4＝0， ∵a ＝2，b ＝7，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝72－4×2×(－4)＝81. ∴x ＝－7±812×2＝－7±94.即x 1＝－4，x 2＝12.中档题7.方程2x 2＋43x ＋62＝0的根是(D)A.x 1＝2，x 2＝ 3B.x 1＝6，x 2＝ 2C.x 1＝22，x 2＝ 2D.x 1＝x 2＝－ 6 8.若(x ＋y)(1－x －y)＋6＝0，则x ＋y 的值是(C)A.2B.3C.－2或3D.2或－39.(攀枝花中考)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为(C)A.－1或4B.－1或－4C.1或－4D.1或410.(许昌长葛月考)若实数m ，n 满足(m 2＋n 2)(m 2＋n 2－2)－8＝0，则m 2＋n 2＝4.11.(商丘拓城县月考)若代数式4x 2－2x －5与2x 2＋1的值互为相反数，则x 的值是1或－23.12.用公式法解下列方程：(1)3x(x －3)＝2(x －1)(x ＋1)； 解：原方程可化为x 2－9x ＋2＝0. x ＝9±732.∴x 1＝9＋732，x 2＝9－732.(2)(x ＋2)2＝2x ＋4.解：原方程可化为x 2＋2x ＝0. x ＝－2±42＝－1±1.∴x 1＝0，x 2＝－2.13.一元二次方程x 2＋2x －54＝0的某个根，也是一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋94＝0的根，求k的值.解：解x 2＋2x －54＝0，得x 1＝12，x 2＝－52.把x ＝12代入x 2－(k ＋2)x ＋94＝0，得(12)2－12(k ＋2)＋94＝0，解得k ＝3；把x ＝－52代入x 2－(k ＋2)x ＋94＝0，得(－52)2＋52(k ＋2)＋94＝0，解得k ＝－275. ∴k 的值为3或－275.综合题(1)将你发现的结论一般化，并写出来； (2)在实数范围内分解因式： ①x 2－5x ＋1； ②3x 2－7x ＋4.解：(1)发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根为x 1、x 2，则ax 2＋bx ＋c ＝a(x －x 1)(x －x 2).(2)①解方程x 2－5x ＋1＝0，得 x 1＝5＋212，x 2＝5－212.∴x 2－5x ＋1＝(x －5＋212)(x －5－212).②解方程3x 2－7x ＋4＝0，得 x 1＝43，x 2＝1.∴3x 2－7x ＋4＝3(x －43)(x －1)＝(3x －4)(x －1).。
新北师大版数学九年级上册课件：用公式法求解一元二次方程(第2课时)
3.如图175，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m 长的篱笆围一个矩 形场地．
图175
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750 m2? (2)能否使所围矩形场地的面积为810 m2，为什么？
【解析】 围成的矩形场地只有三面篱笆，设长为x， 1 则宽为 (80－x)，然后根据面积公式列方程即可． 2
① 图172
②
同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意 见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．
解：不符合． 设小路宽度均为x m，根据题意，得 1 (16－2x)(12－2x)＝ ×16×12， 2 解这个方程，得x1＝2，x2＝12. 但x2＝12不符合题意，应舍去，∴x＝2. ∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2 m.
(2)如答图，作AI⊥CD，HJ⊥EF，垂足分别为I，J.
例题答图
∵AB∥CD，∠1＝60° ， ∴∠ADI＝60° ， ∵BC∥AD， ∴四边形ADCB为平行四边形． ∴BC＝AD. 由(1)得x＝2， ∴BC＝HE＝2＝AD， 在Rt△ADI中，AI＝ 3.
∵∠HEJ＝60° ，∴HJ＝ 3. ∴小颖的设计方案中四块绿地的总面积＝52×48－52×2－48×2＋( 3 )2＝2 299 m2.
1．在一块正方形钢板上截去3 cm宽的矩形钢条，剩下的面积是54 cm2，则原 来这块钢板的面积是 81 cm2.
随堂练 习
【解析】 设正方形钢板边长为x cm，依题意得 x(x－3)＝54，解这个方 程，并舍去负值得x＝9，故原来这块钢板面积为92＝81 cm2.
2．在宽为15 m，长为25 m的矩形地面上铺540 m2的草坪，并留出如图1所示 的宽度相同的通道，设通道宽为x m，列方程得 (25－x)(15－x)＝540 .
21.2.2公式法解一元二次方程(两课时)
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数 值代入公式计算; 5.定根:写出原方 程的根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 = b 4ac 的值，
2
特别注意:当
=
b 4ac 0
2
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根 b x1 x2 2a
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
b 而x取任何实数都不可能使 ( x ) 2a
因此方程无实数根
4ac b (3) b 4ac 0, 这时 0 4a
9 ∴m＞ 8 9 2 （2）若方程有两个相等的实数根，则b -4ac=0即8m+9=0 ∴m= 8
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0 （3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴当m＞
9 方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根 8
2
0
，
一般地，式子b 4 ac 叫做方程
2
根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即
ax bx c 0
2
△＝ b 4ac
2
心动
2
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
当 b 4ac 0时, 它的根是 :
北师大版九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》第2课时示范公开课教学设计
第二章一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第2课时一、教学目标1.通过对学校荒地改造方案的设计，体会用一元二次方程解决实际问题的重要性.2.学会建立一元二次方程模型解决有关面积的问题.3.在解决问题的过程中进一步熟练用公式法解一元二次方程.4.能从题意中分析具体问题情境，发展学生逻辑推理核心素养能力.二、教学重难点重点：分析各图形面积之间的关系，找出等量关系，建立方程模型.难点：能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，对方程的解进行恰当的取舍.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计想一想，你会怎么设计这片荒地？看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？小明的设计方案：如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.解：设小路的宽为x m, 根据题意得：即x2- 14x + 24 = 0.解方程得x1 = 2 , x2 = 12.将x =12 不符合题意舍去.所以小路的宽为2m.结论：小明的这样设计是可行的，但是结果不能取小路的宽为12m.小亮的设计方案：如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？解：设扇形半径为 x m, 根据题意得：216122x ⨯π=， 即 πx 2= 96.解方程得 x 1 =96 5.5≈π，x 2 =96-π(舍去). 所以扇形半径约为5.5m. 结论：小亮的设计方案是可行的. 小颖的设计方案：如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.问题：你能帮小颖计算一下图中x 吗？ 解：设小路的宽为 x m, 根据题意得：()()161216122x x ⨯--= 即 x 2 - 28x + 96 = 0. 解方程得x 1 = 4 , x 2 = 24, x =24 不符合题意舍去. 所以小路的宽为4m.结论：小颖的设计方案是可行的. 【延伸】思考：你还有其他的设计方案吗？ 预设：其他的设计方案：其他的设计方案不止这4种，可以充分调动学生的参与性，只要合理即可.并让学生试着自己验证这些方案的合理性？【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例如图,在一块长为92m ,宽为60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为885m2的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？分析：动画演示：设水渠宽为x m，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为(92 – 2x )m, 宽(60 -x)m.解：设水渠的宽应挖x m .(92-2x)(60 -x)= 6×885教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.在一幅长90 cm、宽40 cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？2.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25 m)，另三边用木栏围成，木栏长40 m.(1)鸡场的面积能达到180 m2吗？能达到200 m2吗？(2)鸡场的面积能达到250 m2吗？3.如图，圆柱的高为 15 cm ，全面积(也称表面积) 为 200 π cm 2，那么圆柱底面半径为多少？答案：1.解:设金色纸边的宽度是 x cm ．()()409090240272%x x ⨯=++ 解得x 1＝-70(舍去)，x 2＝5 所以，金色纸边的宽度是 5cm ． 2.解: (1)设鸡场的宽为x m ．由题意，得40 - 2x > 0，40 - 2x ≤ 25， 解得：7.5 ≤ x ＜ 20．当鸡场的面积为180 m 2时，列方程得：x (40-2x )＝180， 解得()121010,1010x x =+=-舍去， 即鸡场宽为 (1010+) m 时，鸡场面积达到 180 m 2．当鸡场的面积为200 m 2时，列方程得： x (40-2x )＝200，解得 x 1＝x 2＝10．即鸡场宽为 10 m 时，鸡场面积达到 200 m 2． (2)当鸡场的面积为250 m 2时，列方程得：x (40-2x )＝250，方程无解． 即鸡场面积达不到 250 m 2． 3.解: 设圆柱底面半径为 r cm ．2πr 2＋15×2πr ＝ 200π 解得 r 1＝-20(舍去)，r 2＝5． 所以，圆柱底面半径为 5 cm ．思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第45页题2.6 第4题。
2.3.2 用公式法求解一元二次方程(第二课时)
新知探究
小明的设计方案如图1所示，其中花园四周小路的宽度都 相等. 通过解方程，他得到小路的宽为 2 m 或 12 m.
小亮的设计方案如图2所示，其中花园每个角上的扇形都 相同.
图1
图2
路的宽不可能为 12 m，因而它不是实
际问题的解，应舍去. 而小路宽 2 m 符合这个实际问题，所以 小路的宽是 2 m . （2）你能帮小亮求出图2中的 x 吗？
第二章 一元二次方程
3. 用公式法求解一元二次方程（第2课时）
学习目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
情境引入
在一块长为 16 m，宽为 12 m 的矩形荒地上，要建造一 个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半. 你能给出设计 方案吗？
的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道
路的宽为多少？
x
解：设道路的宽为 x 米
20
(32-x)(20-x)=540
x
整理，得x2-52x+100=0
解得 x1=2,x2=50
32
当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.
∴取x=2
答：道路的宽为2米.
如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的
4 个扇形的面积之和恰好为一个圆的面积，且半径为 x m，
根据题意，得πx2 1 1216 . 解得 x 2
96 π
5.5
.
所以图
中的 x约为 5.5.
（3）你还有其他设计方案吗？与同伴交流.（答案不唯一）
随堂练习
对于本课花园设计问题，小颖的设计方案如图3 所示，你能帮她求出图中的 x 吗？
24.2解一元二次方程 第2课时 公式法
所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）； 所以△ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.
2a
（2）先将原方程化为一般形式，确定a，b，c的值.
（3）代入公式计算前，一般先计算b2-4ac的值，若b24ac≥0，把b2-4ac的值直接代入求根公式求方程的根；若 b2-4ac<0，直接说明此方程无实数解.
(4)当的值等于0时，必须把原方程的根写成的
x1 x2
b 2a
形式，说明原方程有相等的根而不是一个根.
第二十四章 解一元二次方程
24.2 解一元二次方程
第2课时 公式法
2019/9/21
最新精品教学课件设计
1
学习目标
1.学会推导一元二次方程根的判别式和求根公式. 2.能够用公式法解一元二次方程.(重点、难点)
2019/9/21
最新精品教学课件设计
2
导入新课
回顾与思考 问题1 用配方法解下面这个一元二次方程：
b2 4ac 72 4 2(4) 81 0
x 7 81 -7 9
22
4
x1
1 2
,
x2
-4.
2019/9/21
最新精品教学课件设计
8
问题2 用公式法解下列一元二次方程：
公式法
学以致用
例1 用公式法解下列方程： （ 1） x 2 - 4x - 7 = 0 ； （2） 2 x 2 2 2x 1 0； （ 3） 5x 2 - 3x = x + 1； （4）x 2 + 17 = 8x．
学习要求： 1、独立思考完成8分钟， 2、小组讨论交流2分钟， 3、小组展示汇报2分钟
出示目标
学习目标： 1．会用公式法解一元二次方程，理解用根的判别式 判别根的情况； 2．经历探究一元二次方程求根公式的过程，初步了 解从具体到抽象、从特殊到一般的认识规律． 学习难点： 推导求根公式的过程，理解根的判别式的作用．
合作探究
用配方法解一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 （a≠0）
学习要求： 1、独立思考完成3分钟， 2、小组讨论交流2分钟， 3、小组展示汇报2分钟
归纳反思
一般地，一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0（a≠0）的根 由方程的系数 a，b，c 确定．将 a，b，c 代入式子就得 2 b b 4ac 到方程的根： x 2a 利用它解一元二次方程的方法叫做公式法． 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0的 判别式，通常用△表示它，即△= b2-4ac。 当 b 2 - 4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 2 b - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 当 b 2 - 4ac＜0 时，方程没有实数根.
九年级
上册
21.2 解一元二次方程（第2课时）
九年级数学组
情景引入
1、什么叫配方法？配方法的基本步骤是什么？ （1）移项； （2）将方程二次项系数化成 1； （3）配方； （4）化为（x + n）2= p（n，p 是常数，p≥0）的形式； （5）用直接开平方法求得方程的解．
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x b b 4ac
2
一元二次方程的 求根公式
2a
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 1、把方程化成一般形式，并写出 a、 、 的值。
2、求出 b 4 ac 的值，
2
解得k 2 4 2 (1) k 2 8＞0, k 1 即原方程为：x x 1 0 的实数根 2 所以方程有两个不相等
2
解得：x1 1, x2
1 2 1
所以方程的另一个根式 ，k的值是1 2
思考题： 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程的两根互 为相反数？
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两 根互为相反数？
一元二次方程 解：
x1 b
2
ax bx c 0 a 0 的解为：
2
b 4ac 2a
, x2
b
b 4ac
2
2a
x1 x2 0
b b 4ac
2
特别注意:当 b 2 4 a c 0 时无解
3、代入求根公式 :
x
b
b 4ac
2
2a
4、写出方程的解： x 1、x 2
解方程： x 12 x
2
解方程： x 2 1 3 x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x 7x 8 0
2
- 4） - （m （ 4
2
1 2
）
18 - 4m 0 m 9 2
2、（2009期中）已知关于x的方程
2x
2
kx 1 0;
（1）求证：方程有两个不相等的实数根。
（2）若方程有一个根是-1，求方程另一个根及k的值
2 （2）把x 11代入方程可得： ac ） - k - 1 0， 解：（ ）证明： △ b 2 （ - 1 4
随堂 练习 利用判别式判断下列方程的跟的情况（P42）
(1) 2x
2
2
- 3x
3 2
0;
(3) x 4 x 8 2 x 11 ;
补充例题
1、 若关于x的一元二次方程 x
2
- 4x m
1
0;
2 有两个相等的实数根，试求m的值（2009期中）
解：由方程 有两个相等的实数根得： △ b - 4ac
2
b b 4ac
2
0
2a
b 2a b 2a
2a
0
b 0
作业
课本42页：第4题（2）、（4） 第5题（2）、（4）、（6） 选做题：m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有 两个相等的实数解
2
∴
a 3、 b = - 7 、 c= 8
△= b2-4ac
( 7 ) 4 3 8 47 ＜0
2
方程没有实数解。
ax bx c 0 （ a 0）
2
根的判别式△ b 2 4 ac
（1）当△ ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根． （2）当△ =0 时， 一元二次方程有两个相等的实数根． （3）当 △ ＜0 时， 一元二次方程没有实数根．