两步法稀疏分量分析的欠定盲源分离

１ 引言
对信号用矩阵因式分解的稀疏编码和稀疏表示 及其在盲源分离（Ｂｌｉｎｄ Ｓｏｕｒｃｅ Ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ，ＢＳＳ）中的应 用在近几年已得到较大发展１１－９１，但欠定情况，即传感器 的数目比源信号较小的情况，或信号源较少而源信号 的个数未知的情况下，却很少讨论到。在实际工作中， 由于对源信号全无了解，当然也不知源信号到底有多 少。因此，传感器的分布数量也不好确定，往往出现传 感器数量小于源信号数量的情况，如图１所示的语音 信号提取问题，这是经典算法所解决不了的。
２信号的稀疏表示
信号分解是信号处理的基本方法之一，信号的稀 疏表示（分解）始于２０世纪９０年代，Ｍａｌｌａｔ和Ｚｈａｎｇ提 出匹配追踪（Ｍａｔｃｈｉｎｇ Ｐｕｒｓｕｉｔ，ＭＰ）算法１１０ｌ，首次应用超
数字信号处理Ａ
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完备冗余原子库对信号进行稀疏分解。尽可能用数量 最少的基本函数的线性组合表示待分解信号就是稀 疏表示（分解）的任务。每次都选择与残余信号（第一 次为原信号）最为匹配的原子，这使每次迭代后残差 信号的能量最小，最终分解表示的项数最少，从而达 到“稀疏”表示的目的。设基本函数库中的／７，个原子为 ａｉ，它们都是ｍｘｌ矢量，组成ｍＸｎ矩阵Ａ＝【口ｌ，ａ：，…， 口。】。对ｘ进行稀疏分解旨在将其表示成ａｉ的线性组 合，记各项的权重为ｗ。，彬：，…，ｗ。，它们组合成ｎｘｌ矢
稀疏的。
３．２混合矩阵的恢复
如源信号在时域是足够稀疏的，则笔者的稀疏表 示方法能直接用于盲分离。基于式（２）估计混合矩阵的
步骤为
’
砖［奇奇，…奇ｂ，…删
式中，工灯＝ｌ，２，…，Ｊ７＼ｒ）为数据矩阵ｘ的列矢量。 步骤１：归一化数据矢量。
步骤２：确定迭代点。对于ｉ＝１，，２，…，ｒｔ，找出Ｘ最 大和最小的行并记为Ｍ和ｍｉ。设一个足够大的正整数
·ｆ基金项目】河南省科技攻关计划项目（１０２１０２２１０４１１）
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当源信号之间相互统计独立，这时ＢＳＳ就是独立 分量分析（Ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ Ａｎａｌｙｓｉｓ，ＩＣＡ）。在许 多文献中瞬时线性ＢＳＳ和ＩＣＡ的概念等价，因其通常 具有同样的数学模型、相同的算法并且通常都假设源 信号相互统计独立。根据观测信号向量ｘ的维数ｍ和 源信号向量ｌｓ的维数ｎ的不同情形，ＢＳＳ和ＩＣＡ分为 如下三类问题。当ｍ＝ｎ时，称为标准ＩＣＡ（ｓｉｍｐｌｙ ＩＣＡ） 问题或正定；当ｍ＞ｎ时，称为不完备ＩＣＡ（ｕｎｄｅｒｃｏｍｐｌｅｔｅ ＩＣＡ）问题或过定；当ｍ＜ｎ时，被称为过完备ＩＣＡ （ｏｖｅｒｃｏｍｐｌｅｔｅ ＩＣＡ）问题或欠定（ｕｎｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ）。笔 者将分析基于稀疏表示的欠定盲源分离算法来解决这 个问题。
信号与真实源信号相等的可能性更大；对于式（１）中的
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△数字信号处理
叫６⑨６吐囿０§６⑨响圈０ ｐｏ，＠＠⑨ｓ岛６响⑨
源矩阵Ｓ，如源信号是稀疏的，Ｓ的列矢量通常情况下
非零输入量比零输入量少得多，所以，当混合矩阵正确
估计出来后，利用线性规划的方法源信号可较好地估
计出来。
下面简单介绍线性规划算法。对于根据估计出的
Ａ数字信号处理 Ｕ６⑨６屯痂０ Ｓ６⑨响圃０ ｐ旷＠＠⑨岛￥６响固
文章编号：１００２－８６８４（２０１０）０９－００６４－０４
基于两步法稀疏分量分析的欠定盲源分离毒 ·论文·
李白燕。郭水旺，李应生 （黄淮学院，河南驻马店４６３０００）
【摘要】分析了解决欠定盲源分离问题的稀疏分量分析方法。首先讨论了数据矩阵稀疏表示（分解）的方法，其次
步骤４：通过求反小波包变换重建源信号。 步骤５：如混合模型中存在噪音，用小波变换的方 法对估计出的源信号去除噪音。
４ 仿真结果
采用基于稀疏分量分析的Ｏｖｅｒｃｏｍｐｌｅｔｅ ＩＣＡ算法 进行声音混合一分离试验，采用Ｍａｔｈｌａｂ７．０进行编 码，并在ＰＣ上运行。即利用Ｋ＿ｍｅａｎｓ聚类迭代聚类算 法得到混合矩阵，利用线性规划的方法恢复源信号。 源信号为３段真实的语音信号，试验中取ｎ＝３和ｍ＝２ 的情形。仿真结果如图２所示。从仿真结果可看出，基 于两步法稀疏分量分析的欠定盲源分离算法在语音 信号的分离中能起到很好的作用。
Ｋ，把ｍ。，Ｍ。］×【ｍ：，ＭＪ×…ｘ［ｍ，Ｗ分成Ｋ的子集。Ｋ子
集的中心用来作为初始值。 步骤３：归一化后开始Ｋ＿ｍｅａｎｓ聚类迭代和梯度
迭代以估计次佳基础矩阵。注意如２个基础矢量有相 反的相位，则选择１个。迭代终止时，所得矩阵记为Ａ， 即混合矩阵Ａ的估计。 ３．３源信号恢复
虽然估计出的Ａ的列通常比Ａ的多，但当Ａ包括Ａ 所有的列时，这个源信号仍可得到１１２１。混合矩阵估计出 后，接下来可采用线性规划算法估计出源矩阵。但即使 已正确估计出这个混合矩阵，估计出的源信号是否等 于真实的源信号还不能确定，必须假设：混合矩阵Ａ的 ｎ列矢量的每一组都是线性无关的。考虑
３ 欠定盲源分离的稀疏分量分析
１９９１年Ｄｏｇａｎ和Ｍｅｎｄｅｌ提出的由单个传感器检 测和分类多个信号源问题开辟了欠定盲信号分离领 域１３ｔ。其后很多学者都提出了解决Ｏｖｅｒｃｏｍｐｌｅｔｅ ＩＣＡ问 题的方法卜切，大部分方法均为两步的Ｏｖｅｒｃｏｍｐｌｅｔｅ算 法：（１）矩阵恢复（Ｍａｔｒｉｘ Ｒｅｃｏｖｅｒ），在计算的过程中先 估计混合矩阵Ａ；（２）源信号恢复（Ｓｏｕｒｃｅ Ｒｅｃｏｖｅｒ），通 过Ａ来还原出源信号向量Ｓ。
ｍｉｎ∑ｌＳｉ｜’ｓｕｂｊｅｅｔ ｔｏＡｓ＝ｘｏ
（３）
式中，混合矢量ｘｏ＝Ａｓｏ，Ａ为已知的混合矩阵；％为源矢 量。不失一般性，假设％有Ｐ个非零输入，并且将式（３） 估计出的源矢量用ｉ表示。因此在上述假设下，有以下
结论ｎ３】：如ｉ有最小数量的非零输入，且ｐ＜旦＝告，则可 能ｉ哉。ｅＰｉＣ于一个给定的尼，如Ｐ较小，则估计出的源
ｍｉｎ∑蚓，ｓｕｂｊｅｃｔ ｔｏＡｓｊ＝ｘｓ，Ｊ＝１“２一，Ｎ （６）
设定Ｓ＝Ｕ－Ｖ，这里Ｕ＝【耻Ｆ】。州＞ｔ０，ｙ三ｐ４】。州Ｉ＞０，式 （６）可转换为带有正的约束条件标准的线性规划问题， 即
步骤３：基于估计出的混合矩阵Ａ和步骤ｌ中所得 到的所有节点系数，解出式（８）的线性规划，估计出所 有源信号小波包树的所有节点系数。
的方法进行盲分离算法旧。
非稀疏源信号的盲分离算法为：
步骤１：对混合信号矩阵Ｘｉ实行小波包变换，这里
ａｐｐｒｏａｃｋ Ｔｈｅ ｂｌｉｎｄ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｉｎｃｌｕｄｅｓ ｔｗｏ ｓｔｅｐｓ：ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ａ ｍｉｘｉｎｇ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｓｏｕｒｃｅ＆Ｉｆ ｔｈｅ ａｒｅ ｓｏｕｒｃｅｓ ｓｕｇｌｃｉｅｎｆｌｙ ｓｐａｒｓｅ， ｂｌｉｎｄ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｄｏｍａｉｎ．Ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ。 ｂｌｉｎｄ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ｂｅ ｃａｎ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ ｉｎ ｔｉｍｅ－ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ ａｆｔｅｒ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｗａｖｅｌｅｔ ｐａｃｋｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｐｒｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｔｏ
量Ｓ＝眇。，埘：，…，埘ＪＩ】１，从而有Ｘ＝ＡＳ。 过完备时，ｎ＞ｍ，这意味着从ｎ个原子中任取ｍ
个都可构成一个分解表示式，而稀疏表示要求Ｓ中的 非零元素最少。
其后，稀疏分解引起了许多领域研究者的广泛 关注【ｌ－１１】。Ｃｈｅｎ等在１９９８年提出了基追踪方法来实 现信号的稀疏分解。Ｏｌｓｈａｕｓｅｎ等在２００１年提出了利 用小波塔式结构对图像稀疏编码的方法，该算法较 简单，但较耗时，算法的收敛性不是很好。Ｄｅｌｇａｄｏ等 在２００３年提出了几种基于欠定系统局灶解法（Ｆｏｃａｌ Ｕｎｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ Ｓｙｓｔｅｍ Ｓｏｌｖｅｒ，ＦＯＣＵＳＳ）的改进算法， 在信源和信道未知的情况下解决了欠定系统线性求 逆问题，但得到的往往是局部最优解；Ｄｏｎｏｈｏ和Ｅｌａｄ 利用．厂范数最小实现了在一般（非正交）基函数族 （ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ）中的信号的最优稀疏分解。２００４年，“等 在假设源信号符合拉普拉斯分布的前提条件下，对利 用线性规划法实现稀疏分解进行总结和分析。２００６ 年，ＴＩｌｅｉｓ等在多通道表皮肌电信号分析中引入了稀疏 分解，取得了较满意的结果。稀疏分解一个非常重要 的应用就是解决欠定情况下盲源分离的难题。这就是 笔者所说的稀疏分量分析（Ｓｐａｒｓｅ Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ Ａｎａｌｙｓｉｓ， ＳＣＡ）。
∑乞（（‰‰＃－ｉ）＃Ｖ，）ｓｕｂｓｕ；ｂｊｅｃｔ ｔｏ 【Ａ， －Ａ］［ｕｆ，，订州毫，
【Ａ，－Ａ］［ｕｆｍｉｎ
Ⅱｉ≥０，ｌ，，≥Ｏ，ｊ＝ｌ，２，…，Ｎ
（７）
通过解出式（７）的解可得到源矩阵，但采用线性规
划进行优化处理，在每次迭代中都需要进行线性规划 计算，算法运行的效率会非常低，现在普遍采用最短路
径法。但由于篇幅的关系，这里不进行介绍。同时，如果 这个源信号是较稀疏的，估计混合矩阵较容易（数据列
矢量的聚类中心更显然）。所以，源信号的稀疏性扮演 着一个重要的角色。 ３．４小波包转换预处理和普遍源信号的盲分离
通常，如源信号矩阵不是足够稀疏的，源信号不能

直接用稀疏因式分解得到。本节中，对于非稀疏源信 号，首先需要对混合矩阵实行小波包转换，再采用上述
重点讨论了基于稀疏因式分解方法的盲源分离。该盲源分离技术分两步，一步是估计混合矩阵．第二步是估计源矩
阵。如源信号是高度稀疏的，盲分离可直接在时域内实现。否则，对观测的混合矩阵运用小波包变换预处理后才能 进行。仿真结果证明了理论分析的正确性。
【关键词】欠定盲源分离；稀疏分量分析；聚类算法；过完备独立分量分析
现介绍～种两步法稀疏分量分析的欠定盲源分 离的算法。
万方数据
３．１欠定盲信号分离数学模型
采用忽略噪声的数据模型
罄诅Ｓ
（１）
式中，Ａ为一个ｍ×ｒｔ矩阵，且ｎ＞ｍ，为混合矩阵；Ｓ为源