江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期第一次调研考试数学试题

江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期第一次调

研考试数学试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、填空题

1. 设全集，集合，则________．

2. 设，则_________.

3. 双曲线的左焦点到渐近线的距离为________．

4. 从中选个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为

________．

5. 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动

员在这五场比赛中得分的方差为_______________

6. 阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是

______.

7. 已知是公差不为零的等差数列，为其前项和．若成等比数列，且，则数列的前项和为______．

8. 已知锐角满足，则＝_______.

9. 已知函数f（x），则函数y＝f（f（x））﹣1的所有零点构成的集合为_____.

10. 若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是______.

11. 在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在

底面边长为2m、高为4m的正四棱柱形的石料中，雕出一个四棱锥和球M的组合体，其中O为正四棱柱的中心，当球的半径r取最

大值时，该雕刻师需去除的石料约重___________kg.（最后结果保留整数，其

中，石料的密度，质量）

12. 如图，在圆的内接四边形ABCD中，对角线BD为圆的直径，，

，，点E在BC上，且，则的值为________．

13. 已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在、两点处的切线互相平行，则的取值范围为______.

14. 在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则

的最大值为______

二、解答题

15. 如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别为线段

，，的中点.

（1）证明：平面；

（2）证明：平面.

16. 在中，，，分别是角，，的对边，已知，

，且.

（1）求的值；

（2）若，的面积为，求的周长.

17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千

克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）

元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）

（1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？

18. 已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的上顶点，直线交椭圆于两点，是椭圆上异于的任意一点，直线分别交直线于两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求证：（为坐标原点）为定值．

19. 设数列的前项和为，且.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）设数列的前项和为，求证：为定值；

（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.

20. 设，.已知函数，. （Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.

21. 已知矩阵．

（1）求的逆矩阵；

（2）求圆经过变换后所得的曲线的方程．

22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，⊙O的极坐标方程为．

（1）写出⊙O的直角坐标方程；

（2）P为直线上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

23. 已知，（其中

）.

（1）求及；

（2）试比较与的大小，并说明理由.

24. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，过点

的直线交抛物线于两点，线段的中点为，且满足

．

（1）若直线的斜率为1，求点的坐标；

（2）若，求四边形面积的最大值．