9二项分布及其应用-拔高难度-讲义

二项分布及其应用

引入

姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0．8，假设他每次命中率相同,请问他4投3中的概率是多少?

问题1：在4次投篮中姚明恰好命中1次的概率是多少? 问题2：在4次投篮中姚明恰好命中2次的概率是多少? 问题３：在4次投篮中姚明恰好命中3次的概率是多少? 问题4：在4次投篮中姚明恰好命中4次的概率是多少？ 问题5：在n 次投篮中姚明恰好命中k 次的概率是多少?

解读

1、条件概率

（1）条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示． （2）条件概率公式：()()()

P A B P B A P A =

I 其中()0P A A B >I ，称为事件A 与B 的积或交（或

积）．

把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =I （或D AB =）． （3）条件概率的求法：

①利用定义，分别求出()P A 和()P B A ，得()()()

P A B P B A P A =

I ．

②借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数，即()n A 再求事件()n A B I ，得()()()

n A B P B A n A =

I ．

2、相互独立事件同时发生的概率

（1）事件的独立性 ：如果事件A (或B )是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．

如果事件A 与B 相互独立，那么事件A B g 发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即()()()P A B P A P B =g g ．

如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的 积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯I I L I L ，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．

（2）“相互独立”与“事件互斥”

两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)．两事件相互独立不一定互斥．

3、二项分布

（1）独立重复试验

如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复

试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k

k n k n n

P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ．

（2）二项分布

若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验

中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k

n P X k p q

-==，其中0,1,2,,k n =L ．于是得到X

由于表中的第二行恰好是二项展开式

001110()C C C C n n n k k n k n

n n n n n q p p q p q

p q p q --+=++++L L 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．

典例精讲

一．选择题（共10小题）

1．（2018春•抚顺期末）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D （X ）=2.1，P （X=4）＜P （X=6），则P=（ ） A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3

2．（2015春•庐江县期末）已知随机变量ξ～N （2，4），则D （12

ξ+1）=（ ）

A ．1

B ．2

C ．0.5

D ．4

3．（2016秋•武汉期末）已知随机变量X ～B （n ，13），若D （x ）=4

3

，则P （X=2）

=（ ） A ．1315

B ．

2

81

C ．

13

243

D ．

80

243

4．（2017春•城北区校级期末）已知随机变量ξ，η满足ξ+η=8，且ξ服从二项分布ξ～B （10，0.6），则E （η）和D （η）的值分别是（ ） A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6

5．（2016春•福建月考）已知随机变量X 服从二项分布B （4，1

2

），则D （3X +1）

=（ ） A ．3 B ．4

C ．9

D ．10

6．（2016春•曲靖校级期末）随机变量ξ服从二项分布ξ～B （n ，p ），且Eξ=30，

Dξ=20，则p 等于（ ）

A ．23

B ．13

C ．12

D ．34

7．（2016春•邯郸期中）设随机变量X ～B （2，p ），Y ～B （4，p ），若P （X ≥1）

=5

9，则P （Y ≥1）为（ ） A ．12 B ．1681

C ．

6581

D ．1

8．（2015春•重庆期末）若随机变量X ～B （n ，p ），其均值是80，标准差是4，则n 和p 的值分别是（ ） A ．100，0.2 B ．200，0.4 C ．100，0.8 D ．200，0.6

9．（2014春•东莞期末）若随机变量X 服从两点分布，其中P （X=0）=13

，则E

（3X +2）和D （3X +2）的值分别是（ ） A ．4和4 B ．4和2 C ．2和4 D ．2和2

10．（2014•赣州一模）设随机变量X 服从二项分布X ～B （5，1

2

），则函数f （x ）

=x 2+4x +X 存在零点的概率是（ ）

A ．56

B ．45

C ．

3132

D ．12

二．填空题（共5小题）

11．（2017春•福州期末）若ξ～B （n ，p ）且E （ξ）=43，D （ξ）=8

9

，则P （ξ=1）