二元函数的泰勒展开

•
一般地,
(h ∂ ∂x
+
k
∂ )m ∂y
f
(x0 ,
y0 )
表示
∑m
C
p m
p=0
h
pk m− p
∂x
∂m f p∂ ym− p
(x0 ,
y0 )
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定理1. 设 z = f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 的某一邻域内有直
到 n + 1 阶连续偏导数 , (x0 + h , y0 + k) 为此邻域内任 一点, 则有
A > 0 时取极小值. 2) 当 AC − B2 < 0 时, 没有极值. 3) 当 AC − B2 = 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
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证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
f x (x0 , y0 ) = 0 , f y (x0 , y0 ) = 0
则有 Δz = f (x0 + h , y0 + k) − f (x0 , y0 )
(n +1) !
(0 < θ < 1)
推广
多元函数泰勒公式
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记号 (设下面涉及的偏导数连续):
•
(h ∂ ∂x
+k
∂) ∂y
f
(x0 ,
y0 )
表示
h
f x (x0 ,
y0 ) +
k
f y (x0 ,
y0 )
•
(h
∂ ∂x
+
k
∂ )2 ∂y
f
(x0 ,
y0
) 表示
h2 f xx (x0 , y0 ) + 2hk f x y (x0 , y0 ) + k 2 f y y (x0 , y0 )
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二、极值充分条件的证明
定理2 (充分条件) 若函数 z = f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x (x0 , y0 ) = 0 , f y (x0 , y0 ) = 0 令 A = f xx (x0 , y0 ) , B = f x y (x0 , y0 ) , C = f y y (x0 , y0 ) 则: 1) 当AC − B2 > 0 时, 具有极值 A < 0 时取极大值;
=
1 A
[(
Ah
+
Bk)2)
+ ( AC
−
B2)k2]
可见 , 当A > 0 时,Q(h, k) > 0, 从而△z＞0 , 因此 f (x, y)
在点 (x0 , y0 ) 有极小值 ;
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当A < 0 时,Q(h, k) < 0, 从而 △z＜0, 因此 f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 有极大值 ;
第八章
*第九节 二元函数的泰勒公式
一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明
一、二元函数的泰勒公式
一元函数 f (x) 的泰勒公式:
f
( x0
+ h)
=
f
(x0 ) +
f
′(x0 )h +
f
′′(x0 ) h2 2!
+
+
f (n) (x0 ) hn + n!
f
(n+1) (x0 + θ x) hn+1
+
2β
hk
+
γ
k
2
]
=
1 2
Q(h,
k
)
+
o(
ρ
2
)
(ρ = h2 + k2)
因此当 h , k 很小时, Δz的正负号可由Q(h , k) 确定.
(1) 当 AC－B2 ＞0 时, 必有 A≠0 , 且 A 与C 同号,
∵Q(h, k)
=
1 A
[(
Ah
2
+
2ABhk
+
B2k 2 )
+
( AC
−
B2)k2]
+
k
∂ ∂y
)2
f
(0,
0)
= h2 f xx (0, 0) + 2hk f x y (0, 0) + k 2 f y y (0, 0) = −(h + k)2
∑ (h
∂ ∂x
+
k
∂ ∂y
)3
f
(0,
0)
=
3
C3p
p=0
h pk 3− p
∂3 f ∂ x p∂ y3− p
(0,0)
= 2(h + k)3
=
1 2
[
fxx
( x0
+θ
h,
y0
+θ
k) h2
+ 2 f x y (x0 +θ h , y0 +θ k) hk
+ f y y (x0 +θ h , y0 +θ k) k 2 ]
由于 f (x , y) 的二阶偏导数在点(x0 , y0 ) 连续, 所以
f xx (x0 +θ h , y0 +θ k) = A + α
=
(1 +
2! x+
y)3
( p = 0,1, 2,3)
∂4 f ∂x p∂ y4− p
=
− 3! (1+ x + y)4
( p = 0,1, 2,3, 4)
因此,
(h
∂ ∂x
+
k
∂ ∂y
)
f
(0,
0)
=
h
f x (0,
0) +
k
f y (0,
0) =
h
+
k
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(h
∂ ∂x
y
－+
+ (x0 , y0 )
(3) 当AC－B2 ＝0 时,
o
x
若
A≠0,
则
Q(h, k)
=
1 A
(
Ah
+
Bk)2
Q(h, k)可能
若 A＝0 , 则 B＝0 , Q(h, k) = Ck 2 为零或非零
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此时
Δz
=
1 2
Q(h,
k)
+
o(ρ
2
)
因为 Q(h, k) = 0 时, Δz的正负号由 o(ρ 2 ) 确定, 因此
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(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式: f (x0 + h , y0 + k) − f (x0 , y0 )
= h f x (x0 +θ h, y0 +θ k) + k f y (x0 +θ h, y0 +θ k) (0 < θ < 1)
(3) 若函数 z = f (x, y)在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f (x, y) ≡ 常数.
不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 .
作业
P67 1 , 3 , 4 , 5
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f (x0 + h ,
y0 + k) =
f (x0 ,
y0
)
+
(h
∂ ∂x
+
k
∂ ∂y
)
f
( x0
,
y0 )
+
1 2!
(h
∂ ∂x
+
k
∂ ∂y
)
2
f
(x0 ,
y0 ) +
+
1 n!
(h
∂ ∂x
+
k
∂ ∂y
)
n
f
(x0 ,
y0 )
+
Rn
①
其中
Rn
=
1 (n+1)!
(h
∂ ∂x
+
k
∂ ∂y
)n+1
f
( x0
⇒ ϕ′′(0)
=
(h
∂ ∂x
+
k
∂ ∂y
)2
f
(x0 ,
y0 )
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一般地,
∑ ϕ (m) (t) =
m
C
p m
p=0
h
pk
m− p
∂x
∂m f p∂ ym− p
(x0 + ht,
y0 + kt)
⇒ ϕ (m) (0)
=
(h
∂ ∂x
+
k
∂ ∂y
)
m
f
(x0 ,
y0 )
当(x, y)沿直线 y − y0 = 0 接近(x0 , y0 )时, 有 k = 0,
故 Q(h, k) 与 A 同号.
y
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, 因此 f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 无极值 ;
(x0 , y0 )
o
x
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若 A＝C ＝0 , 则必有 B≠0 , 不妨设 B＞0 , 此时
又 f (0, 0) = 0,将 h = x , k = y 代入三阶泰勒公式得
ln(1 +
x
+
y)
=
x
+
y
−
1 (x 2
+
y)2
+
1(x 3
+
y)3
+
R3
其中 R3
=
(h
∂ ∂x
+
k
∂ ∂y
)
4
f
(θ
h, θ
(0 < θ < 1)
k)
h k
= =
x=
y
−
1 4
⋅
(x
(1 + θ
+ y)4
x +θ y)4
(2) 当 AC－B2 ＜0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0,
则 Q(h, k) = 1A[( Ah + Bk)2 ) + ( AC − B2 )k 2 ] 当(x, y) 沿直线 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 接近(x0 , y0 )
时, 有 Ah + Bk = 0, 故 Q(h, k) 与 A 异号;
邻域其绝对值必有上界 M , 令 ρ = h2 wk.baidu.com k 2 , 则有
Rn
≤ M (h + (n +1)!
k )n+1
⎜⎝⎛
h k
= =
ρ ρ
cosα sin α
⎟⎠⎞
= M ρ n+1( cosα + sinα )n+1
(n +1)!
利用max(x + 1− x2 ) = 2
[0,1]
Rn = (n≤+11()n!(M+h1∂∂)x!+( k2∂)∂yn)+n1+ρ1nf+(1x=0 o+(θρhn,)y0 +θ k)
由ϕ (t) 的麦克劳林公式, 得
ϕ (1) = ϕ (0) + ϕ′(0) + 21!ϕ′′(0) +
+
1 (n+1)
!ϕ
(n+1)
(θ
)
+ n1!ϕ (n) (0) (0 < θ < 1)
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
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说明: (1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭
+θ h,
y0
+θ k)
②
(0 < θ < 1)
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格
朗日型余项 .
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证: 令 ϕ (t) = f (x0 + th, y0 + tk) (0 ≤ t ≤ 1),
则
ϕ (0) = f (x0 , y0 ) , ϕ (1) = f (x0 + h , y0 + k)
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例1. 求函数 f (x, y) = ln(1+ x + y) 在点(0,0) 的三阶泰
勒公式.
解:
f x (x,
y)
=
f y (x,
y)
= 1+
1 x+
y
f xx (x,
y)
=
f x y (x,
y)
=
f y y (x,
y)
=
(1 +
−1 x+
y)2
∂3 f ∂ x p∂ y3− p
Q(h, k) = Ah2 + 2Bhk + Ck 2 = 2Bhk
对点 (x0 + h, y0 + k)
当h , k 同号时, Q(h, k) > 0, 从而Δz > 0,
当h , k 异号时, Q(h, k) < 0, 从而Δz < 0,
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
因此 f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 无极值 ;
利用多元复合函数求导法则可得:
ϕ′(t) = h f x (x0 + ht , y0 + kt) + k f y (x0 + ht , y0 + kt)
⇒
ϕ ′(0)
=
(h
∂ ∂x
+
k
∂ ∂y
)
f
(x0 ,
y0 )
ϕ′′(t) = h2 f xx (x0 + ht, y0 + kt)
+ 2hk f x y (x0 + ht, y0 + kt) + k 2 f y y (x0 + ht, y0 + kt)
f x y (x0 +θ h , y0 +θ k) = B + β
f y y (x0 +θ h , y0 +θ k) = C + γ
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其中α , β , γ 是当h →0 , k →0 时的无穷小量 , 于是
Δz
=
1 2
[
Ah 2
+
2Bhk
+
C
k
2
]
+
1 2
[α
h2