第二章多元正态分布

cov(y, z) E(y Ey)(z Ez)
E(Ax EAx)(Bx EBx)
AE(x Ex)(x Ex)B AVar(x)B AIB AB
九、设x ~ Nn (0,) ，y Ax ，z Bx ，其中 A 是 p n 阶矩阵， B 是q n 阶矩阵，rank(A) p ，rank(B) q， 则 Z 与 Y 相互独立，当且仅当 AB 0。
1.608 4.665
0.181 0.776 16.588
0.906 0.839 1.734 2.502
0.414
0.675
2.634
1.178
3.112
1
(x1, , x5 / x6 )
0.303 1
0.018 0.088
1
0.233 0.246 0.269
1
0.096 0.177 0.367 0.442
若 rank(A) p( p q)，则Σ－1存在，x Au 是非退化 p 元正态分布；
若 rank(A) p( p q)，则1不存在，x Au 是退化 p元正态分布，不存在密度函数。
1 0
例：设随机向量 u ~ N2 (0, I ) ，x Au ，A 0 1 ，则 x 的分布是
n
kixi
~
N
p
(
n
i
,
n
ki2i
).
i1
i1 i1
六、 x ~ N p (,) ，则 (x )1(x ) ~ 2 ( p) 分布。
x*
1
Σ 2 (x
μ)
Var
(x*
)
Var[Σ
1 2
(x
μ)]
1
1
Σ 2Var(x μ)Σ 2
1
1
Σ 2ΣΣ 2 Ι
x* 是p维标准正态分布，故x*'x*服从（2 p)分布。
27.363
1
0.366 1
0.242 0.233
1
0.360 0.324 0.476
1
0.245 0.265 0.540 0.534
1
0.376
0.252
0.676
0.441
0.440
1
7.033 2.168 3.540 1.681 1.276
4.981 2.874 1.276 1.161
Σ12 0
充分性 Σ12 0
Σ1
Σ1 11 0
0
Σ1 22
Σ Σ11 Σ22
Σ1
Σ1 11
Σ
1 22
f
(x1, x2,
, xp)
(2
) p
2
1 2
exp[ 1 (x 2
μ)Σ1(x
μ)]
(2
)k
/
2
11
1 2
exp[
1 2
(x1
μ)Σ
1
11
(x1
μ)]
.(2
)(
pk )/ 2
22
1 2
三、 X服从 p 维正态分布，则 y Cx b ，其中C为 r p 常数矩阵， b为 r 维的常数向量，则
y ~ Nr (C b,CC)
四、设 x ~ N p (,) ，则 x 的任何子向量也服从多元正态 分布，其均值为 的相应子向量，协方差为 的相应子矩 阵。
五、设 x1, x2, , xn , xi ~ N p (i ,i ) i， 1,2, , n 相互独立， 且，则对任意 n 个常数 k1, ,kn ，有
1
6.040 (x1, , x5 / x6 )
1.608 4.665
0.181 0.776 16.588
0.906 0.839 1.734 2.502
0.414
0.675
2.634
1.178
3.112
(x1, , x4 / x6 , x5 ) 11 1221221
6.040
E ( x2
(x1 1)2 2 )(x1
2 )
(x1 1)(x2 2 ) (x2 2 )2
(xp
)( x1
1 )
(xp p )(x2 2 )
AA
( x1 ( x2
1 )( x p 2 )(xp
pp))
(xp p)2
Var(x) AVar(u)A AA
J(u x) A 1 AA 1 2
0var x1
x2
Σ Σ1 21 11
I
I
0var x1
x2
Σ Σ1 21 11
IHale Waihona Puke Baidu
I
0 Σ11
Σ21
Σ12 Σ22
Σ Σ1 21 11
I
Σ11
Σ12
Σ Σ 1 11 12 I
Σ12 Σ12 0
所以x1与x2 Σ21Σ111x1相互独立。
十一、将 x, , 作如下的分块：
(2
)p
2
exp(
1 2
p
i1
xi2
)
xi i 1,2, , p 其中的 u (u1,u2, ,up ) 均值为 E(u) (Eu1, Eu2, , Eup ) 0
协方差为
u12
Var
(u)
E(uu)
E
u2u1
u pu1
1
1
I 1
u1u2 u22
upu2
u1u p
第二章 多元正态分布
§1 多元正态分布的定义
一、标准多元正态分布
设 随 机 向 量 u (u1,u2 , ,up ) , u1,u2 , ,up 独 立 同 分 布 于N (0,1) ，则的 u (u1,u2, ,up ) 密度函数为
n
f
(x1, x2 ,
,
xp )
i1
1
2
exp(
1 2
xi2 )
11.2
11 1221221
30.530 4.638 5.864
3.107 1.851
3.860
5.213
1
2.939
19.5325.132
27.363
4.069
4.525
2.939
19.532
4.069
4.525
6.040 (x1, , x5 / x6 )
协方差为
(x1 1)2
(x1 1)(x2 2 )
E (x2 2 )(x1 2 )
(x2 2 )2
(xp
)(x1
1 )
(xp p )(x2 2 )
(x1 1)(xp p ) (x2 2 )(xp p )
(xp p )2
称 x (x1, x2, , xp ) 服从均值为E(X)，协方差为的正态分布。
三、一般的正态分布和标准正态分布的关系
设 x Au，其中 A 是一个 p 阶非退化矩阵，u (u1,u2, ,up )
服从 p 维标准正态分布，则 x Au 服从 p维正态分布，且均
值向量为
E(x) (Ex1, Ex2, , Exp ) (1, 2, , p )
协方差为
Var(x) E(x )(x )
2.056
(x1, x2 , x3, x4 / x5, x6 )
1 0.292 0.057 0.214
1
0.025 0.191
1 0.136
1
1.608 4.665
0.181 0.776 16.588
0.906
0.839
1.734
2.502
0.414
1
0.675
0.414
3.112 2.634
1.178
0.675
2.634
1.178
5.985
1.518 4.519
0.531 0.198 14.359
0.749
0.583 0.737
exp[
1 2
(x2
μ2
)Σ
1
22
(x
2
μ2
)]
f (x) f1(x1) f2 (x2 )
故x1和x
相互独立。
2
八、设 x ~ Nn (0,I) ，y Ax ，z Bx ，其中 A 是 p n 阶矩阵， B 是q n 阶矩阵，rank( A) p ，rank(B) q ， 则 Z 与 Y 相互独立，当且仅当 AB 0 。
Σ
Σ11 Σ21
Σ12 k Σ22 k p
μ
μ1 μ2
p
k
k
x
x1 x2
p
k
k
则给定 x2时x1 的条件分布为 Nk (12,112 ) ，其中
μ12
μ1
Σ Σ1 12 22
(x2
μ2 ).
为x2 给定的条件下 x1数学期望。
Σ11.2 Σ11 Σ12Σ221Σ21是x2的条件下x1的条件协条件协方差。
f
( x1 ,
x2 ,
,
xp )
(2
) p
2
exp[
1(x 2
)1 ( x
)] |
J
|
(2 )p 2 1 2 exp[ 1 (x )1(x )]
2
注： 设随机向量 u ~ Nq (0, I ) ， 是常数向量，A 是一
个 p *q的常数矩阵，则 x Au 服从正态分布，记 为 x ~ Np (,) ，其中 AA( p * p)
七、将 x, ,作如下的分块：
11 21
12 k 22 k p
1 2
p
k
k
x
x1 x2
p
k
k
子 x1, x2 向量相互独立，当且仅当 12 0。 证：必要性
又
x1和 x 2相互独立 Σ12 E[(x1 μ1 )( x2 μ2 )]
Σ12 E(x1 μ1 )E( x2 μ2 )]
同上可证。
十、将 x, , 作如下的分块：
11 21
12 k 22 k p
1 2
p
k
k
x
x1 x2
p
k
k
则 X1与X 2
1
21 11
X
相互独立，X
1
与2
X1
12
1 22
X
2
相互独立
。
证： 令
cov(x1,z) I
x1 I
0
x1 x2
z
Σ Σ1 21 11
I x1 x2
十二、偏相关系数
矩阵Σ11.2称为条件协方差矩阵，它的元素用 ij.k1, , p
表示。是当 x2 给定的条件下，xi
与
x
（
j
i,
j k ）的偏相关
系数，定义为
ij.k 1, , p
ij.k 1, , p ii.k 1, , p jj.k 1, , p
它度量了在值 xk1, , xp给定的条件下，xi 与 xj （ i, j k ）相关性的强弱。
u2u
p
u
2 p
二、一般的正态分布
设随机向量 x (x1, x2, , xp ) ,若其的密度函数为
f
( x1 ,
x2 ,
,
xp )
(2
) p
2
1
2
exp[ 1 (x 2
)1 ( x
)]
xi
其中 x (x1, x2, , xp ) 的均值为E(x) (1, 2, , p )
退化的三元正态分布。
1 1
1 0
1 0 1
AA 0 1
1 1
1 0
0 1
1 1
0 1
1 1
1 2
1 0
0 1
1 1
1 1
10
21
1 211 0
1
1 1 2
§2 多元正态分布的性质
一、多元正态分布的特征函数
(t) exp(it 1 tt)
2
二、x是一个服从p维正态分布，当且仅当它的任何 线性函数 ax 服从一元正态分布 N p (,) 。
例 设X~N6( ,)，其协方差矩阵为，计算偏相关 系数。
7.033
2.168 4.981
3.540 2.874 30.530
1.681 1.276 4.638 3.107
1.276 1.161 5.864 1.851 3.860
5.213
2.939
19.532
4.069
4.525