工程应用软计算课件第1章模糊数学

命的迫切需要，也为信息科学提供了一种新的有力的
数学工具。 美国控制论专家L.A.Zadeh教授于1965年发表《模
糊集合》论文并建立模糊集合。
应用领域：人工智能、信息处理、图像处理、自动
控制、预测与决策、经济学、管理科学、运筹学等。
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3Байду номын сангаас
工程应用软计算——模糊数学
1概.1.念1 是概客念观与事集物在人脑中抽象概括的反映。
A { ( 0 , 1 ) , 0 , 2 , 0 . 2 , 3 , 0 . 6 , 4 , 1 , 5 , 1 , 6 }
A ( 0 ,0 ,0 .2 ,0 .6 ,1 ,1 )
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当论域 X是不可数集合时， A x 是 A 的隶属度函数，
第1章
立体化教学资源系列——工程应用软计算
模糊数 学
理学院精应选用pp数t 学系 1
1.13245 模糊集关 模 综 聚合系 式 类与识评分运别价析算
工程应用软计算——模糊数学
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1.1 模糊集合与运算
工程应用软计算——模糊数学
模糊数学是研究和处理自然界与信息技术中广泛存
在的模糊现象的数学理论，它的产生既反映了信息革
则Zadeh表示法为
A
(x)/ x A
xX
例1.1 取论域 X 为正实数集合，
A 为“比0大得多的实数”的模糊集，
A 的隶属函数为：
1.0
Ax0(1100x2)1,
x0 x0
0.5
隶属函数图形如图。
0
10
m ax， m in，
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对于任意A,B ∊ (X) ,集合的并、交、余运算性质：
（p1）幂等律 四（、p性2）质交换律
AA A , AA A
A B BA , A B BA
（p3）结合律
A(BC ) (AB ) C A(BC ) (AB ) C
（p4）吸收律 （p5）分配律
二三、特 关征 系 Ax10， ，xxAA
为函与集数运合算A的特征函数。
对于任意的 x ∊X,特征函数 A x 表明了元素x属于
集合A的“程度”。
经典集合论中：x 属于或不属于A是绝对明确的， 因此用 0 和 1 二值表示。
集合A可以由特征函数 A x 唯一确定，反之亦然。
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分一数、在基0本,1, …,100范围内，用集合表示X={0,1, …,100} 概幂念集：设X是一论域，X中部分元素组成的集合称为 X的子集合（简称子集） 。
。
X的全体子集构成一个集合族，称为X的幂集，记为 (X) 。
集合可以表示概念。
例如：论域 X={0,1, …,100}为考试成绩分数集合。
3）向量表示法 A ( ( u A ( x 1 ) ,u A ( x 2 ) ,,u A ( x n ) ) 例如: 论域 X 为掷一颗骰子观察的点数，有
X={1,2,3,4,5,6} ，集合 A 表示“较大的点数”，则可记
A 0 / 1 0 / 2 0 . 2 / 3 0 . 6 / 4 1 / 5 1 / 6
模糊集合的表示方法: 1）Zadeh表示法 A u A ( x 1 )/x 1 u A (x 2 )/x 2 u A (x n )/x n
2）有序对表示法 A { ( u A ( x 1 ) , x 1 ) , ( u A ( x 2 ) , x 2 ) ,, ( u A ( x n ) , x n ) }
A BC AC BC A BC AC BC
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1.概1.念2 模所反糊映概的念对象是一个具有某种属性的事物类。 与例模如糊，集“合年轻人”, “绵绵细雨”和“倾盆大雨” 。
模糊概念:外延不明确的概念。
经典集合可以表示明确概念而不能表现模糊概念。 例如，“秃子悖论” 。
在表示概念上，空集表示虚概念。
设A,B是X的任意两个子集，记A,B ∊ (X)。
A B,A B,AC 分别表示A和B的并集、交集和A的余 （补）集，有 A∪B={x | x A或x B}; A ∩ B ={x | x A且x B}
AC {x|xA}
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特征函数：设A ∊ (X)，称X到{0,1}的映射
A ( A B ) A , A ( A B ) A
A (B C)(A B) (A C)
A (B C)(A B) (A C)
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（p6）0-1律 （p7）复原律 （p8）互补律 （p9）对偶律
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A A, A XA A , A XX ( AC )C A
AACE,AAC
设A,B ∊ (X)，特征函数分别为 A x 和 B x 则有 A B A x B x , x X
A B A x B x , x X
ABxm ax{Ax,Bx} AxBx,xX
ABxm in{Ax,Bx} AxBx,xX
A Cx 1 A x , x X
[注] ∨： “取大”；∧：“取小”即。对 ，0， 1,有
定义 1.1论域X的一个模糊子集 A 是指 X到[0,1]的
一个映射： A： X 0， 1
映射 A 称为 A 的隶属函数， A x 表示元素x 属于集合
A 的程度，或称为 x 对A 的隶属度。
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经典集合是模糊集合的特例。
模糊幂集:论域 X的所有模糊子集全体,记为 (X) 。
概念具有内涵和外延，概念的内涵是指概念对事物 的特有属性的反映。
概念的外延是指具有概念所反映的那些对象全体， 它是特有对象的集合。
如果用概念外延的全体的集合来表示这个概念，那 么，计算机就可以很容易的理解和表示概念。
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论域：被讨论的对象全体。
例如：讨论学生的某门课程成绩。
则成绩“优秀”概念可由集合A={90,91, …,100}表示;
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“良好”：B={80,81, …,89}“; 中等”：C={70,71, …,79}; “及格”：D={60,61, …,69“};不及格” ：E={0,1, …,59}.
论域X有两个特殊的子集合，即自身X和空集。