高中数学北师大版选修4-4-1 (1)
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(1)弦 AB 的长|AB|＝|t1－t2|. (2)线段 AB 的中点 M 对应的参数 t＝t1＋2 t2(解题时可以作为基本结论使用).
wenku.baidu.com
[再练一题] 3.以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相 等的单位长度.已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 α＝π6. (1)写出直线 l 的参数方程； (2)设 l 与圆 ρ＝2 相交于两点 A，B，求点 P 到 A，B 两点的距离之积.
【提示】 直线参数方程的形式不同，参数 t 的几何意义也不同，过定点 P(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是yx＝＝yx00＋＋batt， (a，b 为常数，t 为参数).
当 a2＋b2＝1 时，参数方程为标准形式，|t|的几何意义是有向线段P→M的长度；
当 a2＋b2≠1 时，参数方程的标准形式为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
x＝x11＋＋λλx2， (t 为参数)求；若已知两个定点，利用y＝y11＋＋λλy2
(λ 为参
数，λ≠－1)求.
[再练一题]
2.设直线 l 过点 P(－3,3)，且倾斜角为56π.
(1)写出直线 l 的参数方程；
(2)设此直线与曲线
C：xy＝ ＝24csions
如图 2-2-2 所示，已知直线 l 过点 P(2,0)，斜率为43，直线 l 和抛物 线 y2＝2x 相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M，求：
(1)P，M 间的距离|PM|； (2)点 M 的坐标； (3)线段 AB 的长|AB|.
图 2-2-2
【精彩点拨】 先求得直线 l 的参数方程的标准形式，然后代入抛物线方程， 得到关于参数 t 的一元二次方程，再利用参数 t 的几何意义，逐个求解.
[探究共研型]
直线参数方程的应用
探究 1
直线参数方程xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(α 为参数)中参数的几何意义怎样
理解？ 【提示】 直线参数方程中参数 t 表示直线上以定点 P 为起点，任一点 M(x，
y)为终点的有向线段P→M的数量，当点 M 在点 P 上方时，t＞0；当点 M 在 P 的下
[再练一题] 1.过抛物线 y2＝4px(p＞0)的顶点作互相垂直的两弦 OA，OB，求 AB 中点 P 的轨迹方程.
【解】 设 OA 的斜率为 k(k≠0)， 则yy2＝＝k4xp，x， 解得 A 点坐标为4kp2 ，4kp. 由y＝－1kx， 解得 B 点坐标为(4pk2，－4pk).
y2＝4px， 设 AB 的中点为 P(x，y)，
8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为 t1，t2，由根与系数的关系得 t1＋t2＝185，t1t2＝ －245. 由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得|PM|＝t1＋2 t2＝1156.
(2)因为中点 M 所对应的参数为 tM＝1156， 将此值代入直线 l 的参数方程的标准形式(*)， 得yx＝＝452×＋3511× 56＝115634＝ ，4116， 即 M4116，34. (3)|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝58 73.
显然不同，它所反映的是动点 M 分有向线段Q→P的数量比QMMP.
当 λ＞0 时， M为内分点 ； 当 λ＜0 时，且 λ≠－1 时， M为外分点 ； 当 λ＝0 时， 点M与Q重合 .
填空：
(1)过点(0,0)且倾斜角为 60°的直线的参数方程是________.
(2)参数方程xy＝＝12＋＋ttcsions
x＝x0＋ y＝y0＋
a a2＋b2
b a2＋b2
a2＋b2t， a2＋b2t，
其中 a2＋b2t 具有标准参数方程中参数的
几何意义.
探究 3 当直线与圆锥曲线相交时，能否使用直线参数方程求弦长？
【提示】 在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、 弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数 t 的几何意义求解，比利用直 线 l 的普通方程来解决更为方便.
20°， 20°
(t 为参数)表示的直线的倾斜角是________.
【解析】
x＝tcos 60°， (1)y＝tsin 60°，
即xy＝ ＝122t3，t
(t 为参数).
(2)方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为 20°.
【答案】
x＝12t，
(1) y＝
3 2t
(t 为参数) (2)20°
方时，t＜0；当点 M 与 P 重合时，t＝0.我们也可以把参数 t 理解为以 P 为原点，
直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标，其单位长度与原直角坐标
系中的单位长度相同.
探究 2 直线参数方程的形式不同，参数的意义一样吗？直线过点(x0，y0)， 斜率为ba时的直线参数方程怎样？
(t 为参数)，
x＝3－12t，
即
y＝4＋
3 2t
(t 为参数).
x＝3－12t，
(2)把 y＝4＋
23t，
代入 x－y＋1＝0，
得 3－12t－4－ 23t＋1＝0，得 t＝0.
x＝3－12t，
把
t＝0
代入 y＝4＋
23t，
得两直线的交点为(3,4).
求直线的参数方程时，若已知所过的定点与其倾斜角时，利用
[小组合作型] 求动点轨迹的参数方程
如图 2-2-1 所示，OA 是定圆的直径，长 2a，直线 OB 与圆交于 M1， 和过 A 点的切线交于点 B，MM1⊥OA，MB∥OA，MM1 与 MB 交于点 M，与 OA 交于点 C，以 O 为原点，OA 为 x 轴的正半轴，求动点 M 轨迹的参数方程.
AB＝2atan θ， ∴xy＝ ＝22aactaons2θθ， (θ 为参数)， 这就是所求的点 M 的参数方程.
求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找 变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程.当变量之间的关系不容易用等式 表示时，可以引入参数(如角度、斜率、距离、比值等)，使变量 x，y 之间通过 参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程.
【解】 (1)直线 l 的参数方程为
x＝1＋tcosπ6， y＝1＋tsinπ6，
x＝1＋ 即
23t，
y＝1＋12t
(t 是参数).
(2)圆 ρ＝2 的普通方程为 x2＋y2＝4.
x＝1＋ 把直线
23t，
y＝1＋12t
代入 x2＋y2＝4，
得1＋ 23t2＋1＋12t2＝4. 整理得 t2＋( 3＋1)t－2＝0， 点 P 到 A，B 的距离之积为|t1|·|t2|＝|t1t2|＝2.
阶
阶
段
段
一
三
§1 参数方程的概念
§2 直线和圆锥曲线的参数方程
学
阶 段 二
2.1 直线的参数方程
业 分 层 测
评
1.了解参数方程，了解参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线的参数方程.(重点) 3.能够利用直线的参数方程解决有关问题.(难点)
[基础·初探] 教材整理 1 参数方程的概念 一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变
图 2-2-1 【精彩点拨】 引入弦 OM1 与 x 轴的夹角 θ 为参数，由解三角形知识将动 点 M(x，y)的坐标 x，y 分别用角 θ 表示，从而得到轨迹的参数方程.
【自主解答】 设点 M 的坐标为 M(x，y)，弦 OM1 与 x 轴的夹角是 θ，取 θ 为参数，连结 AM1，则有 AM1⊥OM1，OC＝2acos θ·cos θ＝2acos2 θ，
(t 为参数).①
其中 M(x，y)为直线上的任意一点，参数 t 的几何意义是从点P到M的位移 ，
可以用有向线段P→M的数量来表示.
2.经过两个定点 Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中 x1≠x2)的直线的参数方程为
x＝x11＋＋λλx2， y＝y11＋＋λλy2
(λ 为参数，λ≠－1).
其中 M(x，y)为直线上的任意一点，参数 λ 的几何意义与参数方程①中的 t
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
【自主解答】 (1)∵直线 l 过点 P(2,0)，斜率为43，设直线 l 的倾斜角为 α， 则
tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45， ∴直线 l 的参数方程的标准形式为
x＝2＋35t， y＝45t
(t 为参数).(*)
∵直线 l 和抛物线相交，∴将直线 l 的参数方程代入抛物线方程 y2＝2x 中， 整理得
【 精 彩 点 拨 】 根 据 直 线 过 点 (3,4) ， 且 直 线 的 倾 斜 角 θ ＝ 120°. 代 入
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α，
得该直线的参数方程.然后与 x－y＋1＝0 联立可求得交点.
【自主解答】 (1)直线 l 的参数方程为
x＝3＋tcos 120°， y＝4＋tsin 120°
则x＝4kp2 ＋24pk2＝2pk12＋k2， y＝2p1k－k
(k 为参数)，
消去 k 得中点 P 的轨迹方程为 y2＝2p(x－4p)(p＞0).
求直线的参数方程
已知直线 l 过(3,4)，且它的倾斜角 θ＝120°. (1)写出直线 l 的参数方程； (2)求直线 l 与直线 x－y＋1＝0 的交点.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数可以是一个有物理意义或几何意义的量，但不能是没有实际意义的
变数.( )
(2)参数与变量 x，y 间存在函数关系.( )
(3)点 M(2,1)在曲线xy＝ ＝2t2t＋，1 (t 为参数)上.(
)
【解析】 (1)× 参数既可以是一个有物理或几何意义的量，也可以是没 有实际意义的变数.
在求直线 l 与曲线 C：f(x，y)＝0 的交点间的距离时，把直线 l 的参数方程
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
代入 f(x，y)＝0，可以得到一个关于 t 的方程 f(x0＋tcos α，y0
＋tsin α)＝0.假设该方程的解为 t1，t2，对应的直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B， 那么由参数 t 的几何意义可得|AB|＝|t1－t2|.
(2)√ 在参数方程中，参数与 x，y 存在函数关系. (3)× x＝2 时，2＝2×t 得 t＝1，而 y＝1 时 t＝0≠1，故点(2,1)不在曲线上.
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理 2 直线的参数方程
1.经过点 P(x0，y0)，倾斜角是 α 的直线的参数方程为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
θ， θ
(θ 为参数)交于 A，B 两点，求|PA|·|PB|.
【解】 (1)直线 l 的参数方程为
x＝－3＋tcos56π＝－3－ 23t， y＝3＋tsin56π＝3＋2t
(t 为参数).
(2)把曲线 C 的参数方程中参数 θ 消去，得 4x2＋y2－16＝0. 把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程中，得 4－3－ 23t2＋3＋12t2－16＝0， 即 13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0. 由 t 的几何意义，知|PA|·|PB|＝|t1·t2|， 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11136.
数 t 的函数xy＝＝fgtt， ①，并且对于 t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的 点 P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系 x， y 之间关系的变数 t 叫作参变数，简称参数.
相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程 f(x，y)＝0 叫作 曲线的普通方程.
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[再练一题] 3.以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相 等的单位长度.已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 α＝π6. (1)写出直线 l 的参数方程； (2)设 l 与圆 ρ＝2 相交于两点 A，B，求点 P 到 A，B 两点的距离之积.
【提示】 直线参数方程的形式不同，参数 t 的几何意义也不同，过定点 P(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是yx＝＝yx00＋＋batt， (a，b 为常数，t 为参数).
当 a2＋b2＝1 时，参数方程为标准形式，|t|的几何意义是有向线段P→M的长度；
当 a2＋b2≠1 时，参数方程的标准形式为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
x＝x11＋＋λλx2， (t 为参数)求；若已知两个定点，利用y＝y11＋＋λλy2
(λ 为参
数，λ≠－1)求.
[再练一题]
2.设直线 l 过点 P(－3,3)，且倾斜角为56π.
(1)写出直线 l 的参数方程；
(2)设此直线与曲线
C：xy＝ ＝24csions
如图 2-2-2 所示，已知直线 l 过点 P(2,0)，斜率为43，直线 l 和抛物 线 y2＝2x 相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M，求：
(1)P，M 间的距离|PM|； (2)点 M 的坐标； (3)线段 AB 的长|AB|.
图 2-2-2
【精彩点拨】 先求得直线 l 的参数方程的标准形式，然后代入抛物线方程， 得到关于参数 t 的一元二次方程，再利用参数 t 的几何意义，逐个求解.
[探究共研型]
直线参数方程的应用
探究 1
直线参数方程xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(α 为参数)中参数的几何意义怎样
理解？ 【提示】 直线参数方程中参数 t 表示直线上以定点 P 为起点，任一点 M(x，
y)为终点的有向线段P→M的数量，当点 M 在点 P 上方时，t＞0；当点 M 在 P 的下
[再练一题] 1.过抛物线 y2＝4px(p＞0)的顶点作互相垂直的两弦 OA，OB，求 AB 中点 P 的轨迹方程.
【解】 设 OA 的斜率为 k(k≠0)， 则yy2＝＝k4xp，x， 解得 A 点坐标为4kp2 ，4kp. 由y＝－1kx， 解得 B 点坐标为(4pk2，－4pk).
y2＝4px， 设 AB 的中点为 P(x，y)，
8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为 t1，t2，由根与系数的关系得 t1＋t2＝185，t1t2＝ －245. 由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得|PM|＝t1＋2 t2＝1156.
(2)因为中点 M 所对应的参数为 tM＝1156， 将此值代入直线 l 的参数方程的标准形式(*)， 得yx＝＝452×＋3511× 56＝115634＝ ，4116， 即 M4116，34. (3)|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝58 73.
显然不同，它所反映的是动点 M 分有向线段Q→P的数量比QMMP.
当 λ＞0 时， M为内分点 ； 当 λ＜0 时，且 λ≠－1 时， M为外分点 ； 当 λ＝0 时， 点M与Q重合 .
填空：
(1)过点(0,0)且倾斜角为 60°的直线的参数方程是________.
(2)参数方程xy＝＝12＋＋ttcsions
x＝x0＋ y＝y0＋
a a2＋b2
b a2＋b2
a2＋b2t， a2＋b2t，
其中 a2＋b2t 具有标准参数方程中参数的
几何意义.
探究 3 当直线与圆锥曲线相交时，能否使用直线参数方程求弦长？
【提示】 在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、 弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数 t 的几何意义求解，比利用直 线 l 的普通方程来解决更为方便.
20°， 20°
(t 为参数)表示的直线的倾斜角是________.
【解析】
x＝tcos 60°， (1)y＝tsin 60°，
即xy＝ ＝122t3，t
(t 为参数).
(2)方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为 20°.
【答案】
x＝12t，
(1) y＝
3 2t
(t 为参数) (2)20°
方时，t＜0；当点 M 与 P 重合时，t＝0.我们也可以把参数 t 理解为以 P 为原点，
直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标，其单位长度与原直角坐标
系中的单位长度相同.
探究 2 直线参数方程的形式不同，参数的意义一样吗？直线过点(x0，y0)， 斜率为ba时的直线参数方程怎样？
(t 为参数)，
x＝3－12t，
即
y＝4＋
3 2t
(t 为参数).
x＝3－12t，
(2)把 y＝4＋
23t，
代入 x－y＋1＝0，
得 3－12t－4－ 23t＋1＝0，得 t＝0.
x＝3－12t，
把
t＝0
代入 y＝4＋
23t，
得两直线的交点为(3,4).
求直线的参数方程时，若已知所过的定点与其倾斜角时，利用
[小组合作型] 求动点轨迹的参数方程
如图 2-2-1 所示，OA 是定圆的直径，长 2a，直线 OB 与圆交于 M1， 和过 A 点的切线交于点 B，MM1⊥OA，MB∥OA，MM1 与 MB 交于点 M，与 OA 交于点 C，以 O 为原点，OA 为 x 轴的正半轴，求动点 M 轨迹的参数方程.
AB＝2atan θ， ∴xy＝ ＝22aactaons2θθ， (θ 为参数)， 这就是所求的点 M 的参数方程.
求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找 变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程.当变量之间的关系不容易用等式 表示时，可以引入参数(如角度、斜率、距离、比值等)，使变量 x，y 之间通过 参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程.
【解】 (1)直线 l 的参数方程为
x＝1＋tcosπ6， y＝1＋tsinπ6，
x＝1＋ 即
23t，
y＝1＋12t
(t 是参数).
(2)圆 ρ＝2 的普通方程为 x2＋y2＝4.
x＝1＋ 把直线
23t，
y＝1＋12t
代入 x2＋y2＝4，
得1＋ 23t2＋1＋12t2＝4. 整理得 t2＋( 3＋1)t－2＝0， 点 P 到 A，B 的距离之积为|t1|·|t2|＝|t1t2|＝2.
阶
阶
段
段
一
三
§1 参数方程的概念
§2 直线和圆锥曲线的参数方程
学
阶 段 二
2.1 直线的参数方程
业 分 层 测
评
1.了解参数方程，了解参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线的参数方程.(重点) 3.能够利用直线的参数方程解决有关问题.(难点)
[基础·初探] 教材整理 1 参数方程的概念 一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变
图 2-2-1 【精彩点拨】 引入弦 OM1 与 x 轴的夹角 θ 为参数，由解三角形知识将动 点 M(x，y)的坐标 x，y 分别用角 θ 表示，从而得到轨迹的参数方程.
【自主解答】 设点 M 的坐标为 M(x，y)，弦 OM1 与 x 轴的夹角是 θ，取 θ 为参数，连结 AM1，则有 AM1⊥OM1，OC＝2acos θ·cos θ＝2acos2 θ，
(t 为参数).①
其中 M(x，y)为直线上的任意一点，参数 t 的几何意义是从点P到M的位移 ，
可以用有向线段P→M的数量来表示.
2.经过两个定点 Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中 x1≠x2)的直线的参数方程为
x＝x11＋＋λλx2， y＝y11＋＋λλy2
(λ 为参数，λ≠－1).
其中 M(x，y)为直线上的任意一点，参数 λ 的几何意义与参数方程①中的 t
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
【自主解答】 (1)∵直线 l 过点 P(2,0)，斜率为43，设直线 l 的倾斜角为 α， 则
tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45， ∴直线 l 的参数方程的标准形式为
x＝2＋35t， y＝45t
(t 为参数).(*)
∵直线 l 和抛物线相交，∴将直线 l 的参数方程代入抛物线方程 y2＝2x 中， 整理得
【 精 彩 点 拨 】 根 据 直 线 过 点 (3,4) ， 且 直 线 的 倾 斜 角 θ ＝ 120°. 代 入
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α，
得该直线的参数方程.然后与 x－y＋1＝0 联立可求得交点.
【自主解答】 (1)直线 l 的参数方程为
x＝3＋tcos 120°， y＝4＋tsin 120°
则x＝4kp2 ＋24pk2＝2pk12＋k2， y＝2p1k－k
(k 为参数)，
消去 k 得中点 P 的轨迹方程为 y2＝2p(x－4p)(p＞0).
求直线的参数方程
已知直线 l 过(3,4)，且它的倾斜角 θ＝120°. (1)写出直线 l 的参数方程； (2)求直线 l 与直线 x－y＋1＝0 的交点.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数可以是一个有物理意义或几何意义的量，但不能是没有实际意义的
变数.( )
(2)参数与变量 x，y 间存在函数关系.( )
(3)点 M(2,1)在曲线xy＝ ＝2t2t＋，1 (t 为参数)上.(
)
【解析】 (1)× 参数既可以是一个有物理或几何意义的量，也可以是没 有实际意义的变数.
在求直线 l 与曲线 C：f(x，y)＝0 的交点间的距离时，把直线 l 的参数方程
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
代入 f(x，y)＝0，可以得到一个关于 t 的方程 f(x0＋tcos α，y0
＋tsin α)＝0.假设该方程的解为 t1，t2，对应的直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B， 那么由参数 t 的几何意义可得|AB|＝|t1－t2|.
(2)√ 在参数方程中，参数与 x，y 存在函数关系. (3)× x＝2 时，2＝2×t 得 t＝1，而 y＝1 时 t＝0≠1，故点(2,1)不在曲线上.
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理 2 直线的参数方程
1.经过点 P(x0，y0)，倾斜角是 α 的直线的参数方程为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
θ， θ
(θ 为参数)交于 A，B 两点，求|PA|·|PB|.
【解】 (1)直线 l 的参数方程为
x＝－3＋tcos56π＝－3－ 23t， y＝3＋tsin56π＝3＋2t
(t 为参数).
(2)把曲线 C 的参数方程中参数 θ 消去，得 4x2＋y2－16＝0. 把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程中，得 4－3－ 23t2＋3＋12t2－16＝0， 即 13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0. 由 t 的几何意义，知|PA|·|PB|＝|t1·t2|， 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11136.
数 t 的函数xy＝＝fgtt， ①，并且对于 t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的 点 P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系 x， y 之间关系的变数 t 叫作参变数，简称参数.
相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程 f(x，y)＝0 叫作 曲线的普通方程.