最新立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习)
立体几何中的轨迹问题探索(教师讲义)
立体几何中的轨迹问题探索一、单选题1．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11 l MA MC MD =++之间满足函数关系() l f x =，则此函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ，根据题意确定当动点M 运动到点N 时，111 =++<==N A B C l NA NC ND l l l ，同理得到动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果. 【详解】由题意可知：点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ， 则当动点M 运动到点N 时，111 22=++=<+===N A B C l NA NC ND l l l ， 同理，当动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，符合C选项的图像特征.故选：C【点睛】本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.EF=，长为4的线段AB的两端点分别在直线a、b上2．已知异面直线a、b成60°角，其公垂线段为EF，||2运动，则AB中点的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．圆D．以上都不是【答案】A【解析】【分析】AB EF的中点,O P所在的平面，建立合适坐标系，先根据余弦定理求出根据条件画出合适的示意图，确定,OM ON之间的关系，然后利用P的坐标形式表示出,OM ON之间的关系，由此得到对应的轨迹形状.,【详解】如图所示：M N，设EF的中点为O，过O作EF的垂面α，则AB的中点P必在平面α内，设,A B在平面内的射影点为,以MON ∠的角平分线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示：设OM m =，ON n =，由余弦定理可知：2220122cos60MN m n mn ==+-，所以2212m n mn +-=，又因为30MOx NOx ∠=∠=︒，设(),P x y，所以)()22122x m n y m n ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以223m x y n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 将上述结果代入等式2212m n mn +-=中化简可得：2219x y +=，故轨迹是椭圆.故选：A. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，难度较难.处理立体几何中的轨迹问题的方法：首先根据空间中的点线面位置关系确定出线段的长度，然后将问题统一到一个平面中并在该平面中建立合适的平面直角坐标系，借用坐标表示线段间的长度关系，进而化简可得轨迹方程即可判断轨迹形状.3．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aCD．2【答案】D【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可. 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C ． 故选：D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.4．已知直线a 平行于平面α，且它们的距离为2d ，我们把到直线a 与到平面α的距离都相等的点构成的集合定义为集合A ，那么集合A 中同属于某个平面的点构成的图形不可能是（ ） A ．椭圆 B ．两条平行直线 C ．一条直线 D ．抛物线【答案】A 【解析】 【分析】把问题放在正方体ABCD -EFGH 中去，建立空间直角坐标系，找出关于,,x y z 的方程，通过方程判断可能的图形． 【详解】棱长2d ，如图，建立空间直角坐标系，设点M (,,)x y z ，则点M 到平面α的距离为z ，(2,0,2),(0,0,2E d d H d ），(2,0,0),(,,2HE d HM x y z d ∴==-）， |cos ,|2HE HM HE HM HE HMd ⋅∴<>==则sin ,1HE HM<>==点M 到直线a 的距离为：sin ,MH HEHM x ⋅<>==z ∴=整理得：22440y d dz +-=当z d =时，20y =，即0y =，一条直线，C 有可能；当z d >时，24()y d z d =-，即y =B 有可能； 当z 不取常数，为一个变量时，22440y d dz +-=是一个抛物线的方程，D 有可能；故选：A ． 【点睛】本题考查利用空间直角坐标解决空间图形的轨迹问题，是一道难题．5．在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A 内有一动点P 到直线11A B 与直线BC 的距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由BC ⊥平面11ABB A 可知P 到直线BC 的距离即为P 到点B 的距离，从而可得其轨迹为抛物线的一部分且过点A ，依次判断各个选项即可. 【详解】BC ⊥平面11ABB A ，PB ⊂平面11ABB A P B B C∴⊥ P ∴到直线BC 的距离为PB ，即P 点到点B 的距离P ∴点轨迹是以B 为焦点，11A B 所在直线为准线的抛物线的一部分又P 在平面11ABB A 上，1AB AA = P ∴点轨迹过点A,A C 中轨迹不是抛物线，则,A C 错误；D 中轨迹不过A ，则D 错误.本题考查立体几何中点的轨迹的求解，关键是能够通过线面垂直关系确定动点轨迹为抛物线的一部分.6．给定正三棱锥P ABC -，点M 为底面正ABC ∆内(含边界)一点，且M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为( ) A ．椭圆的一部分 B ．一条线段 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分【答案】B 【解析】 【分析】根据M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列可设距离分别为,,d a d d a -+,根据等体积法可求得d 为常数。
立体几何中的轨迹问题探索(教师讲义)
立体几何中的轨迹问题探索一、单选题1．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11 l MA MC MD =++之间满足函数关系() l f x =，则此函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ，根据题意确定当动点M 运动到点N 时，111 =++<==N A B C l NA NC ND l l l ，同理得到动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果. 【详解】由题意可知：点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ， 则当动点M 运动到点N 时，111 22=++=<+===N A B C l NA NC ND l l l ， 同理，当动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，计算得111 22=++=<===A B C l MA MC MD l l l . 符合C 选项的图像特征.故选：C【点睛】本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.2．已知异面直线a 、b 成60°角，其公垂线段为EF ，||2EF =，长为4的线段AB 的两端点分别在直线a 、b 上运动，则AB 中点的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．圆D ．以上都不是【答案】A 【解析】 【分析】根据条件画出合适的示意图，确定,AB EF 的中点,O P 所在的平面，建立合适坐标系，先根据余弦定理求出,OM ON 之间的关系，然后利用P 的坐标形式表示出,OM ON 之间的关系，由此得到对应的轨迹形状.【详解】 如图所示：设EF 的中点为O ，过O 作EF 的垂面α，则AB 的中点P 必在平面α内，设,A B 在平面内的射影点为,M N ，因为2AP BP ==，1AM BN ==，所以MN =以MON ∠的角平分线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示：设OM m =，ON n =，由余弦定理可知：2220122cos60MN m n mn ==+-，所以2212m n mn +-=，又因为30MOx NOx ∠=∠=︒，设(),P x y，所以)()22122x m n y m n ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以2323m x y n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 将上述结果代入等式2212m n mn +-=中化简可得：2219x y +=，故轨迹是椭圆.故选：A. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，难度较难.处理立体几何中的轨迹问题的方法：首先根据空间中的点线面位置关系确定出线段的长度，然后将问题统一到一个平面中并在该平面中建立合适的平面直角坐标系，借用坐标表示线段间的长度关系，进而化简可得轨迹方程即可判断轨迹形状.3．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aCD．2【答案】D 【解析】 【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2． 故选：D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.4．已知直线a 平行于平面α，且它们的距离为2d ，我们把到直线a 与到平面α的距离都相等的点构成的集合定义为集合A ，那么集合A 中同属于某个平面的点构成的图形不可能是（ ） A ．椭圆 B ．两条平行直线C ．一条直线D ．抛物线【答案】A 【解析】 【分析】把问题放在正方体ABCD -EFGH 中去，建立空间直角坐标系，找出关于,,x y z 的方程，通过方程判断可能的图形． 【详解】如图在棱长为2d 正方体ABCD -EFGH 中，将面ABCD 当作平面α，将直线EH 当作直线a ，其距离为正方体的棱长2d ，如图，建立空间直角坐标系，设点M (,,)x y z ，则点M 到平面α的距离为z ，(2,0,2),(0,0,2E d d H d ），(2,0,0),(,,2HE d HM x y z d ∴==-）， |cos ,|2HE HM HE HM HE HMd ⋅∴<>==则sin ,1HE HM<>==点M 到直线a 的距离为：sin ,MH HE HMx ⋅<>==z ∴=，整理得：22440y d dz +-=当z d =时，20y =，即0y =，一条直线，C 有可能；当z d >时，24()y d z d =-，即y =B 有可能； 当z不取常数，为一个变量时，22440y d dz +-=是一个抛物线的方程，D 有可能； 方程22440y d dz +-=任何时候都不可能是椭圆的方程，故A 不可能． 故选：A ． 【点睛】本题考查利用空间直角坐标解决空间图形的轨迹问题，是一道难题．5．在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A 内有一动点P 到直线11A B 与直线BC 的距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由BC ⊥平面11ABB A 可知P 到直线BC 的距离即为P 到点B 的距离，从而可得其轨迹为抛物线的一部分且过点A ，依次判断各个选项即可. 【详解】BC ⊥平面11ABB A ，PB ⊂平面11ABB A PB BC ∴⊥P ∴到直线BC 的距离为PB ，即P 点到点B 的距离P ∴点轨迹是以B 为焦点，11A B 所在直线为准线的抛物线的一部分又P 在平面11ABB A 上，1AB AA = P ∴点轨迹过点A,A C 中轨迹不是抛物线，则,A C 错误；D 中轨迹不过A ，则D 错误.故选：B 【点睛】本题考查立体几何中点的轨迹的求解，关键是能够通过线面垂直关系确定动点轨迹为抛物线的一部分.6．给定正三棱锥P ABC -，点M 为底面正ABC ∆内(含边界)一点，且M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为( ) A ．椭圆的一部分 B ．一条线段 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分【答案】B 【解析】 【分析】根据M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列可设距离分别为,,d a d d a -+,根据等体积法可求得d 为常数。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第七章 §7.10 立体几何中的动态、轨迹问题
所以 V＝2ab≤a2＋b2＝1，当且仅当 a＝b＝ 22时，等号成立.
如图，设AC，BD相交于点O，
因为BO⊥AC，BO⊥AA1，AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面A1ACC1， 所以 BO⊥平面 A1ACC1，因为直线 BP 与平面 A1ACC1
2π 则在此过程中动点M形成的轨迹长度为___8___.
如 图 ， 设 AC 的 中 点 为 M0 ， △ADE 沿 DE 翻 折 90°，此时平面A′DE⊥平面ABCD，取CD中 点P，CE中点Q，PQ中点N， 连接PQ，MP，MQ，MN，M0P，M0Q，M0N. MP＝M0P＝12AD＝12，MQ＝M0Q＝12AE＝12，PQ＝12DE＝ 22，△MPQ 和△M0PQ 是等腰直角三角形，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
知BP⊥平面ACN，CN⊂平面ACN，所以BP⊥CN， 所以动点Q的轨迹为线段CN， 在Rt△ABN，Rt△RAB中，∠BAN＝∠ARB， 所以Rt△ABN∽Rt△RAB，
则BANB＝ARBA，得 BN＝12， 易得 CN＝ BN2＋BC2＝
212＋12＝
5 2.
题型一 平行、垂直中的动态轨迹问题
例1 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，G，H，N分别是CC1，C1D1，DD1，CD， BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，
若MN∥平面A1BD，则点M轨迹的长度是
A. 3a
B. 2a
3a C. 2
√D.
2a 2
连接HN，GN(图略)， ∵在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，N分别是 CC1，C1D1，DD1，CD，BC的中点，则GH∥BA1，HN∥BD， 又GH⊄平面A1BD，BA1⊂平面A1BD， ∴GH∥平面A1BD， 同理可证得NH∥平面A1BD， 又GH∩HN＝H，GH，HN⊂平面GHN，
立体几何中的动点轨迹问题
同理，在平面 AA1D1D 内满足条件的点的轨迹长度为52π．在平面 A1B1C1D1 内满足条件 的点的轨迹为以 A1 为圆心，A1F 为半径的14圆弧，长度为 2π×4×14＝2π．同理，在平 面 ABCD 内满足条件的点的轨迹为以 A 为圆心，AE 为半径的圆弧，长度为 2π×3×14 ＝32π．故轨迹的总长度为52π＋52π＋2π＋32π＝172π．
的长度最小．因为 B1N1＝D1N1＝ 5，B1D1＝2 2，所以△B1N1D1 的边 B1D1 上的高为
52－ 22＝ 3，则 S△B1N1D1＝12×2 2× 3＝ 6，则当 B1N⊥D1N1 时，B1N 最
小，即 B1Nmin＝2S△DB1N1N1 1D1＝2
6＝2 5
530．
总结 提炼
与平行有关的轨迹问题的解题策略 (1)线面平行转化为面面平行得轨迹； (2)平行时可利用法向量垂直关系求轨迹．
模型 3 动点保持等距关系
3 (2023·湖北联考节选)已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 3，P 为正方体表 53
面上的一个动点，A1P＝2 3，则点 P 的轨迹长度为___2__π__．
【解析】 如图，点 P 的轨迹一部分是在平面 ABB1A1，A1B1C1D1， ADD1A1 三个面内以 2 3为半径，圆心角为π6的三段圆弧，另一部分是 在平面 BCC1B1，CDD1C1，ABCD 三个面内以 3为半径，圆心角为π2 的三段圆弧．故点 P 的轨迹的长度为112×2π×2 3×3＋14×2π× 3×3＝523π．
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配套精练
2 ． 如 图 ， 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 的 棱 长 为 2 ， E ， F 分 别 为
2023年高考数学----轨迹问题规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----轨迹问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐标系或平面直角坐标系．【典型例题】例1．（2022·北京·昌平一中高三阶段练习）设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E ，F 分别为AB ，1BD 的中点，点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥，则下列命题：①点M 可以是棱AD 的中点； ②点M 的轨迹是菱形； ③点M 轨迹的长度为2④点M . 其中正确的命题个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】连接,AC BD ，交于O ，则O 为,AC BD 中点，因为F 为1BD 的中点，所以1//FO DD ， 由正方体的性质可知1DD ⊥平面ABCD ， 所以FO ⊥平面ABCD ， 因为DE ⊂平面ABCD ， 所以FO DE ⊥，过点O 作PQ DE ⊥，分别交,BC AD 于,P Q ，过点,P Q 分别作11//,//PH BB QG AA ，分别交1111,B C A D 于点,H G ，连接GH ， 所以，PQGH 四点共面，且//,GQ PH GQ PH =， 所以，四边形PQGH 为平行四边形， 因为1AA ⊥平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD ，PQ ⊂平面ABCD ， 所以PH PQ ⊥所以，四边形PQGH 为矩形，因为PQ FO O =，,PQ FO ⊂平面PQGH ， 所以DE ⊥平面PQGH ，因为点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥ 所以，当FM ⊂面PQGH 时，始终有FM DE ⊥， 所以，点M 的轨迹是矩形PQGH ，如下图，因为2DQO QDE QDE AED π∠+∠=∠+∠=，所以，DQO AED ∠=∠， 所以，AQO BED ∠=∠， 因为4OAQ EBD π∠=∠=，所以AOQ △∽BDE △，所以AQ AO BE BD =，即12AQ=，即14AQ = 所以14CP AQ ==，PQ =， 所以，点M 不可能是棱AD 的中点，点M 的轨迹是矩形PQGH ，轨迹长度为矩形PQGH的周长212⎫⎪⎪⎝⎭，1 故正确的命题为③④.个数为2个. 故选：B例2．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D −的边长为2，点E ，F 分别为棱CD ，1DD 的中点，点P 为四边形11CDD C 内（包括边界）的一动点，且满足1B P ∥平面BEF ，则点P 的轨迹长为（ ）A B ．2CD ．1【答案】A【解析】画出示意图如下：取1CC 中点N ，取11D C 中点M ，连接11,,,B M B N MN ME ,则11,ME B B ME B B =∥,则四边形1MEBB 为平行四边形，所以1B M ∥BE ， 连接1D C ,则11,MN D C EF D C ∥∥,故MN ∥EF ，又1B M MN M BE EF E ⋂=⋂=， ，1,B M MN ⊂平面1B MN ,BE EF ⊂平面BEF, 所以平面BEF ∥平面B 1MN ，平面1B MN ∩平面11CDD C =MN ，所以P 点轨迹即为MN ，长度为11||||2MN D C == 证明：因为平面BEF ∥平面1B MN ，P 点是MN 上的动点，故1B P ⊂平面1B MN ，所以1B P ∥平面BEF ，满足题意. 故选：A ．例3.（2022·全国·模拟预测（理））如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，下列说法错误的是（ ）A ．AG ⊥平面PBDB ．直线FG 和直线AC 所成的角为π3C ．过点E ，F ，G 的平面截四棱锥P ABCD −所得的截面为五边形D ．当点T 在平面ABCD 内运动，且满足AGT △的面积为12时，动点T 的轨迹是圆 【答案】D【解析】可将四棱锥P ABCD −补形成正方体ABCD PB CD ''−，如图①，直线AG 即体对角线AC '，易证AC '⊥平面PDB ，A 选项正确； 如图②，取CD 的中点H ，连接FH ，可知FH AC //，所以GFH ∠ （或其补角）与直线FG 和直线AC 所成的角相同，在FGH 中，FG GH FG ==，所以π3GFH ∠=，B 选项正确；如图③，延长EF 交直线CD 于点H ，交直线BC 于点I ，连接GI 交PB 于点M ，连接GH 交PD 于点N ，则五边形EFNGM 即为平面EFG 截 四棱锥P ABCD −所得的截面，C 选项正确；当12AGT S =△时，因为AG 所以点T 到AG 点T 在以AC 为轴，底面半径r =T 在平面ABCD 上，所以点T 的轨迹是椭圆．D 选项错误． 故选：D例4．（2022·浙江温州·高三开学考试）如图，正方体1AC ，P 为平面11B BD 内一动点，设二面角11A BD P −−的大小为α，直线1A P 与平面11BD A 所成角的大小为β.若cos sin βα=，则点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线【答案】D【解析】连接AC 交BD 于O ，取11B D 中点1O ,连接1OO以O 为原点,分别以OA 、OB 、1OO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图：令正方体边长为2，则11(,)A C A B ，(0,,)P y z =面11BD A 的一个法向量为1(2,AB =−，面11BB D 的一个法向量为(AC =− 则1(co 1s 2,AC AB −==，故二面角111A BD B −−的大小为π3又二面角11A BD P −−的大小(]0,παÎ，则π3α=或2π3α=由cos sin βα=，，可得π6β=又1(,)y z A P =−1111(1sin 2A P AB A P AB β⋅−===⋅整理得240z z +++= 即3)1y z z =−+，是双曲线. 故选：D例5．（2022·全国·高三专题练习）如图，正方体ABCD A B C D −''''中，M 为BC 边的中点，点P 在底面A B C D ''''和侧面CDD C ''上运动并且使MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是（ ）A ．两段圆弧B ．两段椭圆弧C ．两段双曲线弧D ．两段抛物线弧【答案】C【解析】由P 点的轨迹实际是一个正圆锥面和两个平面的交线，其中这个正圆锥面的中心轴即为AC '，顶点为A ，顶角的一半即为MAC '∠， 以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系，则1(0,0,1),(1,1,0),(,1,1)2AC M ，可得1(1,1,1),(,1,0)2ACAM '=−=，1111cos MAC ⨯+⨯'∠===，设AC '与底面A BC D ''''所成的角为θ，则A C cos AC θ''===>'，所以MAC θ'<∠，''''的交线是双曲线弧，所以该正圆锥面和底面A B C D同理可知，P点在平面CDD C''的交线是双曲线弧，故选：C．。
立体几何中的轨迹问题汇总
例析空间中点的轨迹问题的转化求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点，又是近几年高考的一个热点，这是一类立体几何与解析几何的交汇题，既考查空间想象能力，同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想。
一．轨迹为点例1已知平面βα||，直线α⊂l ，点P l ∈，平面βα,之间的距离为8，则在β内到P 点的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是 ( )A ．一个圆 B.两条直线 C.两个点 D.四个点解析:设Q 为β内一动点，点P 在β内射影为O ，过O, l 的平面与β的交线为l '， PQ=10，∴OQ==-228106点Q 在以O 为圆心6为半径圆上，过Q 作QM l '⊥于M ，又 点Q 到直线l 的距离为9∴QM=178922=-则点Q 在以l '平行距离为17的两条平行线上 两条平行线与圆有四个交点∴这样的点Q 有四个，故答案选D 。
点评:本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用平面几何知识解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。
二． 轨迹为线段例2． 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是（ ）。
βαlMOQPA. 线段1B CB.线段1BCC. 1BB 中点与1CC 中点连成的线段D. BC 中点与11B C 中点连成的线段解：连结11,,AB AC B C ，易知111BD A AB ⊥所以11111,,AB BD AC BD B C BD ⊥⊥⊥，所以1BD ⊥面1ABC ，若P ∈1B C ，则AP ⊂平面1ABC ，于是1BD AP ⊥，因此动点P 的轨迹是线段1B C 。
评注：本题是由线面垂直的性质从而求出点P 的轨迹。
例3 已知圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周)，若MP AM ⊥，则点P 的轨迹是________。
新高考数学之立体几何综合讲义第12讲 立体几何空间轨迹问题(解析版)
一．选择题（共 14 小题）
1．已知正方体
ABCD
A1B1C1D1
的棱长为
1，在正方体的侧面
BCC1B1
上的点
P
到点
A
距离为
2
3 3
的点的轨
迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ( )
A．
B．
C．
D．
【解答】解：正方体的侧面
BCC1B1
上的点
P
到点
A
距离为
2
3 3
的点的轨迹形成圆弧，如图：
C．双曲线
D．抛物线
【解答】解：由题意知，直线 C1D1 平面 BB1C1C ，则 C1D1 PC1 ，即 | PC1 | 就是点 P 到直线 C1D1 的距离，
那么点 P 到直线 BC 的距离等于它到点 C1 的距离，所以点 P 的轨迹是抛物线．
1
故选： D ． 3．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 为棱 A1B1 中点，点 Q 在侧面 DCC1D1 内运动，若
故选： B ．
6．如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD 底面 ABCD ， M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP MC ，则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为 ( )
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意可知 PD DC ，则点 D 符合“ M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP MC ”
4
故选： A ． 7．如图，在长方形 ABCD 中， AB 3 ，BC 1 ，E 为线段 DC 上一动点，现将 AED 沿 AE 折起，使点 D
立体几何中的轨迹问题探索(教师讲义)
立体几何中的轨迹问题探索一、单选题1．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11 l MA MC MD =++之间满足函数关系() l f x =，则此函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．2．已知异面直线a 、b 成60°角，其公垂线段为EF ，||2EF =，长为4的线段AB 的两端点分别在直线a 、b 上运动，则AB 中点的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．以上都不是3．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aCD ．24．已知直线a 平行于平面α，且它们的距离为2d ，我们把到直线a 与到平面α的距离都相等的点构成的集合定义为集合A ，那么集合A 中同属于某个平面的点构成的图形不可能是（ ）A ．椭圆B ．两条平行直线C ．一条直线D ．抛物线5．在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A 内有一动点P 到直线11A B 与直线BC 的距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为（ ）A ．B ．C ．D ．6．给定正三棱锥P ABC -，点M 为底面正ABC ∆内(含边界)一点，且M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆的一部分B ．一条线段C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分7．设点M 是长方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，14AA AD ==，5AB =，点P 在面11BCC B 上，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则P 点的轨迹为（ ）A ．椭圆的一部分B ．抛物线的一部分C ．一条线段D ．一段圆弧8．如图为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，动点M 从B 1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B 1的运动过程中，点M 与平面A 1DC 1的距离保持不变，运动的路程x 与l=MA 1+MC 1+MD 之间满足函数关系l=f （x ），则此函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11ADD A 及边界上运动，并且保持1BP AC ⊥，则动点P 的轨迹是（ ）A ．线段1A DB ．线段1ADC ．AD 的中点与11A D 的中点连成的线段 D ．1AA 的中点与1DD 的中点连成的线段10．美学四大构件是:史诗、音乐、造型、建筑等，绘画和数学素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步，某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为()A ．12BCD ．1311．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点,1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于（ ）A ．12B ．4πC ．44π- D ．7212．长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 是对角线AC 1上一点，Q 是底面ABCD 上一点，若AB =√2，BC =AA 1=1，则PB +1PQ 的最小值为（ ）A ．32B ．√3+12C ．√3D ．213．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱11D C 的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且//EF 平面11A BC ，则动点F 的轨迹所形成的区域面积是（ ）A ．98 B C D14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，定点M 在棱AB 上(不在端点,A B 上)，点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为2a ，则点P 的轨迹所在的曲线为 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线15．给定正三棱锥P ﹣ABC ，M 点为底面正三角形ABC 内（含边界）一点，且M 到三个侧面P AB 、PBC 、P AC 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为（ ）A ．双曲线的一部分B ．圆的一部分C ．一条线段D ．抛物线的一部分16．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，且在平面α内运动，则（ ）A ．当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线B ．当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线C ．当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆D ．当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线抛物线17．如图，直二面角AB αβ--，P α∈，C β∈，D β∈，且AD AB ⊥，BC AB ⊥，5AD =，10BC =，6AB =，APD CPB ∠=∠，则点P 在平面α内的轨迹是（ ）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．一条直线D ．两条直线18．已知点P 是单位正方体1111ABCD A B C D -的对角面11BB D D 上的一动点，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体的侧面相交于M 、N 两点，则BMN ∆的面积的最大值为（ ）A B ．12 C D 19．历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为30，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点O 到圆锥顶点M 的距离为1，对于所得截口曲线给出如下命题：①曲线形状为椭圆；②点O 为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；③该曲线上任意两点间的最长距离为32（ ）A ．①②④B ．①②③④C ．①②③D ．①④20．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻转为1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻转过程中，有下列命题：①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④若1A ∉平面BEDC ，则MB 平面1A DE ．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．421．已知正方体1111ABCD -A B C D ，空间一动点P 满足11A P AB ⊥，且11APB ADB ∠=∠，则点P 的轨迹为A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线22．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且1AM 3=，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线11A D 的距离的平方与点P 到点M 的距离的平方的差为1，在以AB 、AD 为坐标轴的平面直角坐标系中，动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．直线23．已知正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 为AD 的中点，P 为正方形1111D C B A 内的一个动点（含边界），且PE ≤111PA PB PC ++的最小值为（ ）A 1-B 3CD 124．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，AB =,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 没有公共点，则三角形1PBB 面积的最小值为（ ）A B ．1 C D ．12二、填空题25．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱11D C 的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且//EF 平面11A BC ，则动点F 的轨迹所形成的区域面积是______.26．如图，在圆柱的轴截面ABCD 中，4AB =，2BC =，1O ，2O 分别为圆柱上下底面的中心，M 为12O O 的中点，动点P 在圆柱下底面内（包括圆周）.若AM MP ⊥，则点P 形成的轨迹的长度为______.27．点M 为棱长是的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 的球面上的动点，点N 为11B C 的中点，若满足DM BN ⊥，则动点M 的轨迹的长度为________28．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，1AD =，1AA 点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足QC =，则线段BQ 的长度的最大值为 _______. 29．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），使四面体1A BMP 体积为23，则1C P 的最小值是___________．30．如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是____．31．如图，在边长为2正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足11B P D E ⊥，则点1B 和满足条件的所有点P 构成的图形的面积是_______.32．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，1AD =，1AA ，点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足QC =，则线段BQ 的长度的最大值是________. 33．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动， 且(0PA r r =<<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 34．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为2，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，若三棱锥P −ABC 的外接球表面积恰为41π4，则此时点P 构成的图形面积为________.35．在棱长为1的透明密闭的正方形容器1111ABCD A B C D -中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕1BD 旋转，并始终保持1BD 所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________．36．在正方体1111ABCD A B C D -中边长AB 为2，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，Q 为正方形ABCD 内一点，M ，N 分别为AB ，BC 上靠近A 和C 的三等分点，若线段1D Q 与OP 相交且互相平分，则点Q 的轨迹与线段MN 形成的封闭图形的面积为____．37．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，E 为棱CC 1的中点，点M 在正方形BCC 1B 1内运动，且直线AM ∥平面A 1DE ，则动点M 的轨迹长度为______．38．正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S -ABCD 的底面边长为4，高为4，点E 、F 、G 分别为SD ，CD ，BC 的中点，动点P 在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG ∥平面AEF ，则动点P 的轨迹的周长为______．一、单选题1．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11 l MA MC MD =++之间满足函数关系() l f x =，则此函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 先由题意，得到点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ，根据题意确定当动点M 运动到点N 时，111 =++<==N A B C l NA NC ND l l l ，同理得到动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果.【详解】由题意可知：点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ，则当动点M 运动到点N 时，111 22=++=<+===N A B C l NA NC ND l l l ， 同理，当动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，计算得111 22=++=<===A B C l MA MC MD l l l . 符合C 选项的图像特征.故选：C【点睛】本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.2．已知异面直线a 、b 成60°角，其公垂线段为EF ，||2EF =，长为4的线段AB 的两端点分别在直线a 、b 上运动，则AB 中点的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．以上都不是【答案】A【解析】【分析】根据条件画出合适的示意图，确定,AB EF 的中点,O P 所在的平面，建立合适坐标系，先根据余弦定理求出,OM ON 之间的关系，然后利用P 的坐标形式表示出,OM ON 之间的关系，由此得到对应的轨迹形状.【详解】如图所示：设EF 的中点为O ，过O 作EF 的垂面α，则AB 的中点P 必在平面α内，设,A B 在平面内的射影点为,M N ， 因为2AP BP ==，1AM BN ==，所以MN =以MON ∠的角平分线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示：设OM m =，ON n =，由余弦定理可知：2220122cos60MN m n mn ==+-，所以2212m n mn +-=，又因为30MOx NOx ∠=∠=︒，设(),P x y，所以)()2122x m n y m n ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以22m x y n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，将上述结果代入等式2212m n mn +-=中化简可得：2219x y +=，故轨迹是椭圆. 故选：A.【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，难度较难.处理立体几何中的轨迹问题的方法：首先根据空间中的点线面位置关系确定出线段的长度，然后将问题统一到一个平面中并在该平面中建立合适的平面直角坐标系，借用坐标表示线段间的长度关系，进而化简可得轨迹方程即可判断轨迹形状.3．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aCD ．2【答案】D【解析】【分析】 设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，则ABEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，112HI CD ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2a ． 故选：D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.4．已知直线a平行于平面α，且它们的距离为2d，我们把到直线a与到平面α的距离都相等的点构成的集合定义为集合A，那么集合A中同属于某个平面的点构成的图形不可能是（）A．椭圆B．两条平行直线C．一条直线D．抛物线【答案】A【解析】【分析】x y z的方程，通过方程判断可能的图形．把问题放在正方体ABCD-EFGH中去，建立空间直角坐标系，找出关于,,【详解】如图在棱长为2d正方体ABCD-EFGH中，将面ABCD当作平面α，将直线EH当作直线a，其距离为正方体的棱长2d，如图，建立空间直角坐标系，x y z，则点M到平面α的距离为z，设点M (,,)(2,0,2),(0,0,2E d d H d），∴==-），(2,0,0),(,,2HE d HM x y z d|cos ,|2HE HMHE HM HE HM d ⋅∴<>==则sin ,1HE HM<>==点M 到直线a 的距离为： sin ,MH HE HMx ⋅<>==z ∴=，整理得：22440y d dz +-=当z d =时，20y =，即0y =，一条直线，C 有可能； 当z d >时，24()y d z d =-，即y =B 有可能；当z 不取常数，为一个变量时，22440y d dz +-=是一个抛物线的方程，D 有可能；方程22440y d dz +-=任何时候都不可能是椭圆的方程，故A 不可能．故选：A ．【点睛】本题考查利用空间直角坐标解决空间图形的轨迹问题，是一道难题．5．在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A 内有一动点P 到直线11A B 与直线BC 的距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】由BC ⊥平面11ABB A 可知P 到直线BC 的距离即为P 到点B 的距离，从而可得其轨迹为抛物线的一部分且过点A ，依次判断各个选项即可.【详解】BC ⊥平面11ABB A ，PB ⊂平面11ABB A PB BC ∴⊥P ∴到直线BC 的距离为PB ，即P 点到点B 的距离P ∴点轨迹是以B 为焦点，11A B 所在直线为准线的抛物线的一部分又P 在平面11ABB A 上，1AB AA = P ∴点轨迹过点A,A C 中轨迹不是抛物线，则,A C 错误；D 中轨迹不过A ，则D 错误.故选：B【点睛】本题考查立体几何中点的轨迹的求解，关键是能够通过线面垂直关系确定动点轨迹为抛物线的一部分.6．给定正三棱锥P ABC -，点M 为底面正ABC ∆内(含边界)一点，且M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆的一部分B ．一条线段C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 【答案】B【解析】【分析】根据M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列可设距离分别为,,d a d d a -+,根据等体积法可求得d 为常数。
2025年高考数学一轮复习-立体几何中的动点及其轨迹问题-专项训练【含答案】
2025年高考数学一轮复习-立体几何中的动点及其轨迹问题-专项训练一、基本技能练1.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹为()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线2.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为底面ABCD 上的动点.PE ⊥A 1C 于E ，且PA ＝PE ，则点P 的轨迹是()A.线段B.圆弧C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分3.如图，圆锥的底面直径AB ＝2，母线VA ＝3，点C 在母线VB 上，且VC ＝1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是()A.13B.7C.433D.3324.如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，另一端点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 中点轨迹的面积为()A.4πB.2πC.πD.π25.已知MN 是长方体外接球的一条直径，点P 在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，2，则PM →·PN →的取值范围为()A.－12，0 B.－34，0C.－12，1 D.－34，16.点P 为棱长是25的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球O 球面上的动点，点M 为B 1C 1的中点，若满足DP ⊥BM ，则动点P 的轨迹的长度为()A.πB.2πC.4πD.25π7.已知正三棱锥P －ABC 的六条棱长均为6，S 是△ABC 及其内部的点构成的集合.设集合T ＝{Q ∈S |PQ ≤5}，则T 表示的区域的面积为()A.3π4 B.πC.2πD.3π8.如图，三角形PAB 所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β垂直，且AD ⊥α，BC ⊥α，AD ＝4，BC ＝8，AB ＝6，∠APD ＝∠CPB ，则点P 在平面α内的轨迹是()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分9.已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，点M ，N 分别为线段AB ′，AC 上的动点，点T 在平面BCC ′B ′内，则MT ＋NT 的最小值是()A.2 B.233C.62 D.110.如图，长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝BC ＝2，AA ′＝3，上底面A ′B ′C ′D ′的中心为O ′，当点E 在线段CC ′上从C 移动到C ′时，点O ′在平面BDE 上的射影G 的轨迹长度为()A.2π3B.3π3C.π3D.3π611.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可).12.如图，P 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1表面上的动点，且AP ＝2，则动点P 的轨迹的长度为________.二、创新拓展练13.在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，P 是底面ABCD 所在平面内一动点，设PD 1，PE 与底面ABCD 所成的角分别为θ1，θ2(θ1，θ2均不为0)，若θ1＝θ2，则三棱锥P －BB 1C 1体积的最小值是()A.92B.52C.32D.5414.(多选)如图，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为A 1D 1的中点，F 为CC 1上的一个动点，设由点A ，E ，F 构成的平面为α，则()A.平面α截正方体的截面可能是三角形B.当点F 与点C 1重合时，平面α截正方体的截面面积为26C.当点D 到平面α的距离的最大值为263D.当F 为CC 1的中点时，平面α截正方体的截面为五边形15.已知面积为23的菱形ABCD 如图①所示，其中AC ＝2，E 是线段AD 的中点.现沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，此时二面角S －AC －B 的大小为120°，连接SB ，得到三棱锥S －ABC 如图②所示，则三棱锥S －ABC 的体积为________；若点F 在三棱锥的表面运动，且始终保持EF ⊥AC ，则点F 的轨迹长度为________.16.如图，三棱锥S－ABC的所有棱长均为1，SH⊥底面ABC，点M，N在直线SH上，且MN＝33，若动点P在底面ABC内，且△PMN的面积为212，则动点P的轨迹长度为________.参考答案与解析一、基本技能练1.答案D解析点P到直线C1D1的距离即为点P到点C1的距离，所以在平面BB1C1C中，点P到定点C1的距离与到定直线BC的距离相等，由抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，故选D.2.答案A解析由题意知，△A1AP≌△A1EP，则点P 为在线段AE 的中垂面上运动，从而与底面ABCD 的交线为线段.3.答案B 解析在圆锥侧面的展开图中，AA ′＝2π，所以∠AVA ′＝AA ′︵VA ＝23，所以∠AVB ＝12∠AVA ′＝π3，由余弦定理得AC 2＝VA 2＋VC 2－2VA ·VC ·cos ∠AVB ＝32＋12－2×3×1×12＝7，所以AC ＝7.所以这只蚂蚁爬行的最短距离是7，故选B.4.答案D 解析易知DD 1⊥平面ABCD ，∠MDN ＝90°，取线段MN 的中点P ，则DP ＝12MN ＝1，所以点P 的轨迹是以D 为球心，1为半径的18球面，故S ＝18×4π×12＝π2.5.答案B 解析根据题意，以D 为坐标原点，DA →为x 轴正方向，DC →为y 轴正方向，DD 1→为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.设长方体外接球球心为O ，则DB 1为外接球的一条直径，设O 为DB 1的中点，不妨设M 与D 重合，N 与B 1重合.则外接球的直径长为12＋12＋（2）2＝2，所以半径r ＝1，所以PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝(PO →＋OM →)·(PO →－OM →)＝|PO →|2－|OM →|2＝|PO →|2－1，由P 在长方体表面上运动，所以|PO →|∈12，1，即|PO →|2∈14，1，所以|PO →|2－1∈－34，0，即PM →·PN →∈－34，0.6.答案C 解析根据题意知，该正方体的内切球半径为r ＝5，如图，取BB 1的中点N ，连接CN ，则CN ⊥BM ，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CN 为DP 在平面B 1C 1CB 中的射影，∴点P 的轨迹为过D ，C ，N 的平面与内切球的交线，∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为25，∴O 到过D ，C ，N 的平面的距离为1，∴截面圆的半径为（5）2－1＝2，∴点P 的轨迹的长度为2π×2＝4π.7.答案B 解析设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为△ABC 的中心，且BO ＝23×6×32＝23，故PO ＝36－12＝2 6.因为PQ ＝5，故OQ ＝1，故Q 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，而△ABC 内切圆的圆心为O ，半径为2×34×363×6＝3>1，故Q 的轨迹圆在△ABC 内部，故其面积为π.8.答案A 解析由条件易得AD ∥BC ，且∠APD ＝∠CPB ，AD ＝4，BC ＝8，可得tan ∠APD ＝AD PA ＝CB PB ＝tan ∠CPB ，即PB P A ＝CB AD＝2，在平面P AB 内以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系(图略)，则A (－3，0)，B (3，0)，设P (x ，y )，则有PB PA ＝（x －3）2＋y 2（x ＋3）2＋y 2＝2，整理可得x 2＋y 2＋10x ＋9＝0(x ≠0).由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为圆的一部分，故答案选A.9.答案B 解析A 点关于BC 的对称点为E ，M 关于BB ′的对称点为M ′，记d 为直线EB ′与AC 之间的距离，则MT ＋NT ＝M ′T ＋NT ≥M ′N ≥d ，由B ′E ∥D ′C ，d 为E 到平面ACD ′的距离，因为V D ′－ACE ＝13×1×S △ACE ＝13×1×1＝13，而V D ′－ACE ＝V E －ACD ′＝13×d ×34×(2)2＝36d ＝13，故d ＝233.10.答案B 解析如图，以CA ，CC ′分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，则有C (0，0)，O (1，0)，O ′(1，3)，设G (x ，y )，由O ′G ⊥OG ，可得y x －1·y －3x －1＝－1，＋(x －1)2＝34，所以点O ′在平面BDE 上的射影G 的轨迹是以F半径为32的OG ︵.因为tan ∠GOF ＝O ′C ′OO ′＝33，所以O ′G ＝O ′O ·sin ∠GOF ＝32，所以△O ′GF 是等边三角形，即∠GFO ＝2π3，所以圆弧OG 的长l ＝2π3×32＝3π3.11.答案DM ⊥PC (或BM ⊥PC )解析连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD .又PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PC ，所以当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，有PC ⊥平面MBD ，PC ⊂平面PCD ，所以平面MBD ⊥平面PCD .12.答案3π2解析由已知AC ＝AB 1＝AD 1＝2，在平面BC 1，平面A 1C 1中，BP ＝A 1P ＝DP ＝1，所以动点P 的轨迹是在平面BC 1，平面A 1C 1，平面DC 1内分别以B ，D ，A 1为圆心，1为半径的三段圆弧，且长度相等，故轨迹长度和为π2×3＝3π2.二、创新拓展练13.答案C 解析以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，因为正方体的棱长为3，则3，0，32D 1(0，0，3)，设P (x ，y ，0)(x ≥0，y ≥0)，则PE →3－x ，－y ，32，PD 1→＝(－x ，－y ，3).因为θ1＝θ2，平面ABCD 的一个法向量z ＝(0，0，1)，所以|PE →·z ||PE →|·|z |＝|PD 1→·z ||PD 1→|·|z |，得32（3－x ）2＋y 2＋94＝3x 2＋y 2＋9，整理得x 2＋y 2－8x ＋12＝0，即(x －4)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)，则动点P 的轨迹为圆的一部分，所以点P 到平面BB 1C 1的最小距离为1，所以三棱锥P －BB 1C 1体积的最小值是13×12×3×3×1＝32.14.答案BCD 解析如图，建立空间直角坐标系，延长AE 与z 轴交于点P ，连接PF 并延长与y 轴交于点M ，则平面α由平面AEF 扩展为平面APM .由此模型可知A 错误.当点F 与点C 1重合时，截面是一个边长为5的菱形，该菱形的两条对角线长度分别AC 1＝22＋22＋22＝23和22＋22＝22，则此时截面的面积为12×23×22＝2 6.当F 为CC 1的中点时，平面α截正方体的截面为五边形，B ，D 正确.D (0，0，0)，A (2，0，0)，P (0，0，4)，设点M 的坐标为(0，t ，0)(t ∈[2，4])，DA →＝(2，0，0)，AM →＝(－2，t ，0)，PA →＝(2，0，－4)，则可知点P 到直线AM 的距离为d ＝|P A →|2－|PA →·AM →|AM →||2＝20t 2＋644＋t 2，S △APM ＝12t 2＋4·d ＝5t 2＋16.S △P AD ＝12×2×4＝4，设点D 到平面α的距离为h ，利用等体积法V D －APM ＝V M －P AD ，即13·S △APM ·h ＝13·S △P AD ·t ，可得h ＝4t 5t 2＋16，则h ＝45＋16t 2，由h ＝45＋16t 2在t ∈[2，4]上单调递增，所以当t ＝4时，h 取到最大值为263.故选BCD.15.答案323＋32解析依题意，12AC ·BD ＝BD ＝23，点S 到平面ABC 的距离为3sin 60°＝32，△ABC 的面积为12×23＝3，则三棱锥S －ABC 的体积为13×3×32＝32.如图，取AC 边上靠近点A 的四等分点G ，取BA 的中点为H ，连接EH ，EG ，GH ，故点F 的轨迹长度即为△EHG 的周长，又EG ＝GH ＝32，EH ＝12SB ＝32，故点F 的轨迹长度为3＋32.16.答案6π12解析设P 到直线MN 的距离为d ，由题易得d ＝66，易知H 为△ABC 的中心，又MN ⊥平面ABC ，当点P 在平面ABC 内时，其轨迹是以H 为圆心，66.∵△ABC 内切圆的半径为36，∴圆H 的一部分位于△ABC 外，结合题意得，点P 的轨迹为圆H 位于底面△ABC 内的三段相等的圆弧(利用正三角形的性质判断出圆H 有一部分在△ABC 外，才能正确得到点P 的轨迹)，如图，过点H 作HO ⊥AC ，垂足为O ，则HO ＝36，记圆H 与线段OC 的交点为K ，连接HK ，可得HK ＝66，∴cos∠OHK＝OHHK＝3666＝22，∴∠OHK＝π4，∴点P的轨迹长度为圆H周长的14(利用圆及正三角形的对称性分析求解)，∴点P的轨迹长度为14×2π×66＝6π12.。
2023高考一轮热题---立体几何中的轨迹问题
19立体几何中的轨迹问题【题型一】由动点保持平行性求轨迹【典例分析】如图，在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、N 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 、BC 的中点，M 在四边形EFGH 边上及其内部运动，若MN ∥面A 1BD ，则点M 轨迹的长度是（ ）AB C D【提分秘籍】基本规律1.线面平行转化为面面平行得轨迹2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹【变式演练】1.在三棱台111A B C ABC −中，点D 在11A B 上，且1//AA BD ，点M 是三角形111A B C 内（含边界）的一个动点，且有平面//BDM 平面11A ACC ，则动点M 的轨迹是（ ）A ．三角形111ABC 边界的一部分 B ．一个点C ．线段的一部分D ．圆的一部分2.已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，E 、F 分别是棱1AA 、11A D 的中点，点P 为底面ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（ ）A 1BC D3.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点E ，F 分别是棱11C D ，11B C 的中点，P 是上底面1111D C B A 内一点（含边界），若//AP 平面BDEF ，则Р点的轨迹长为（ ）A ．1BC ．2D ．【题型二】动点保持垂直性求轨迹【典例分析】在正方体1111ABCD A B C D −中，Q 是正方形11B BCC 内的动点，11A Q BC ⊥，则Q 点的轨迹是（ ）A ．点1B B ．线段1BC C ．线段11B CD ．平面11B BCC【提分秘籍】基本规律1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹2.利用空间坐标运算求轨迹3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹【变式演练】1.在正方体1111ABCD A B C D −中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，且保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹为 A ．线段1CBB ．线段1BC C ．1BB 的中点与1CC 的中点连成的线段D ．BC 的中点与11B C 的中点连成的线段2.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，M ，N 分别为1BD ，11B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥．给出下列说法：①点P 可以是棱1BB 的中点；②线段MP 的最大值为34； ③点P 的轨迹是正方形；④点P 轨迹的长度为2其中所有正确说法的序号是________．3.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）A ．1A F 与1D E 不可能平行B ．1A F 与BE 是异面直线C ．点F 的轨迹是一条线段D ．三棱锥1F ABD −的体积为定值【题型三】由动点保持等距（或者定距）求轨迹【典例分析】已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【提分秘籍】基本规律1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹2.利用空间坐标计算求轨迹【变式演练】1.如图，在四棱锥P ABCD −中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为正方形ABCD 内（包括边界）的一个动点，且满足MP MC =．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）A ．B ．C ．D ．2.如图，在棱长为4的正方体ABCD A B C D ''''−中，E 、F 分别是AD 、A D ''的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面A B C D ''''上运动，则线段MN 的中点P 的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（ ）A ．43π B ．23π C ．6π D ．3π 3.四棱锥P ﹣OABC 中，底面OABC 是正方形，OP ⊥OA ，OA ＝OP ＝a ．D 是棱OP 上的一动点，E 是正方形OABC 内一动点，DE 的中点为Q ，当DE ＝a 时，Q 的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．6【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹【典例分析】正方体1111ABCD A B C D −中，M ，N 分别为AB ，11A B 的中点，P 是边11C D 上的一个点（包括端点），Q 是平面1PMB 上一动点，满足直线MN 与直线AN 夹角与直线MN 与直线NQ 的夹角相等，则点Q 所在轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．抛物线或双曲线【提分秘籍】基本规律1. 直线与面成定角，可能是圆锥侧面。
第52讲、立体几何中的轨迹问题(学生版)2025高考数学一轮复习讲义
第52讲立体几何中的轨迹问题知识梳理立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结：1、定义法2、交轨法3、几何法4、坐标法5、向量法必考题型全归纳题型一：由动点保持平行求轨迹例1．（2024·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试）设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱11A B 的中点，点M 在正方体的表面上运动，则下列命题：①如果1AM BD ⊥，则点M 的轨迹所围成图形的面积为2；②如果1B M ∥平面1AEC ，则点M 的轨迹所围成图形的周长为2；③如果EM ∥平面11D B BD ，则点M 的轨迹所围成图形的周长为2；④如果1EM BD ⊥，则点M 其中正确的命题个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4例2．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱1DD 上且满足1D E ED =，点F 是侧面11ABB A 上的动点，且1//D F 面AEC ，则动点F在侧面11ABB A 上的轨迹长度为．例3．（2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）如图所示，在棱长为2的正方体1111-ABCD A B C D 中，E ，F ，G 分别为所在棱的中点，P 为平面11BCC B 内（包括边界）一动点，且1D P ∥平面EFG ，则P 点的轨迹长度为变式1．（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期末）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，D ，E 分别为1AA ，AC 的中点．若侧面11BB C C 的中心为O ，M 为侧面11AAC C 内的一个动点，//OM 平面BDE ，且M 的轨迹长度为111ABC A B C -的表面积为．变式2．（2024·江苏扬州·高二统考期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是线段1DD 的中点，点M 是正方形11B BCC 所在平面内一动点，若1//D M 平面1A BE ，则M 点轨迹在正方形11B BCC 内的长度为.变式3．（2024·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E ，F 分别在线段1DD 和线段1AA 上，且12D E ED =，12AF FA =，点M 是正方形11B BCC 所在平面内一动点，若1//D M 平面FBE ，则M 点的轨迹在正方形11B BCC 内的长度为.变式4．（2024·全国·高三专题练习）在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且BM //平面1AD C ，则动点M 的轨迹所形成区域的面积是．变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E F ､分别是棱111,AA A D 的中点，点P 为底面四边形ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 在四边形ABCD 内运动所形成轨迹的长度为.变式6．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E F ､分别为1AA ，AB 的中点，点P 是正方体表面上的动点，若1C P 平面1CD EF ，则点P 在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为．变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知棱长为3的正四面体ABCD ，E 为AD 的中点，动点P 满足2PA PD =，平面α经过点D ，且平面//α平面BCE ，则平面α截点P 的轨迹所形成的图形的周长为.题型二：由动点保持垂直求轨迹例4．（2024·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别是1BD ，11B C 的中点，点M 为正方体表面上一动点，若MP 与CQ 垂直，则点M 所构成的轨迹的周长为.例5．（2024·湖南长沙·长郡中学校考二模）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，114，AB AA ==，E 为1DD 中点，P 为正四棱柱表面上一点，且11C P B E ⊥，则点P 的轨迹的长为.例6．（2024·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知N 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球球面上的动点，M 为11B C 的中点，DN MB ⊥，若动点N体的体积是.变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为4，空间内的点H 满足1HA HA ⊥，且1HB HC ⊥，则满足条件的H 所形成曲线的轨迹的长度为.变式9．（2024·四川成都·三模）如图，AB 为圆柱下底面圆O 的直径，C 是下底面圆周上一点，已知π3AOC ∠=，2OA =，圆柱的高为5．若点D 在圆柱表面上运动，且满足0BC CD ⋅= ，则点D 的轨迹所围成图形的面积为．变式10．（2024·全国·高三专题练习）如图，AB 为圆柱下底面圆O 的直径，C 是下底面圆周上一点，已知π,23AOC OA ∠==，圆柱的高为5．若点D 在圆柱表面上运动，且满足BC AD ⊥，则点D 的轨迹所围成图形的面积为．变式11．（2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13BC CC ==，4AC =，AC BC ⊥，动点P 在111A B C △内（包括边界上），且始终满足1BP AB ⊥，则动点P 的轨迹长度是.变式12．（2024·山东枣庄·高一统考期末）M ，N 分别是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的棱111,CC A B 的中点，点P 在正方体的表面上运动，总有MP BN ⊥，则点P 的轨迹所围成图形的面积为.变式13．（2024·四川广元·高二广元中学校考期中）如图，AB 为圆柱下底面圆O 的直径，C 是下底面圆周上一点，已知2AOC π∠=，2OA =，圆柱的高为5．若点D 在圆柱表面上运动，且满足BC AD ⊥，则点D 的轨迹所围成图形的面积为．变式14．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是棱11B C 的中点，点P 是正方体表面上的动点．若1DM C P ⊥，则P 点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（）A B ．C D ．题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹例7．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点Q 为侧面11BB C C 内一动点（含边界），若12D Q =，则点Q 的轨迹长度为．例8．（2024·湖北武汉·高一湖北省水果湖高级中学校联考期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，动点P 在1AB C V 内，满足1D P =，则点P 的轨迹长度为.例9．（2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，点P 在该正方体的表面A B C D ''''上运动，且PA =则点P 的轨迹长度是．变式15．（2024·贵州铜仁·统考模拟预测）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 在该正方体的表面上运动，且PA =P 的轨迹长度是．变式16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）表面积为36π的球M 表面上有A ，B 两点，且AMB 为等边三角形，空间中的动点P 满足2PA PB =，当点P 在AMB 所在的平面内运动时，点P 的轨迹是；当P 在该球的球面上运动时，点P 的轨迹长度为.变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为16，E 是棱BC 的中点，P 是侧棱1AA 上的动点，直线1C P 交平面11EB D 于点P '，则动点P '的轨迹长度的最小值为．变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知棱长为8的正方体111ABCD A B C D -中，平面ABCD内一点E 满足14BE CB = ，点P 为正方体表面一动点，且满足PE =，则动点P 运动的轨迹周长为．变式19．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知棱长为2的正方体A ′B ′C ′D ′－ABCD ，M 是正方形BB ′C ′C 的中心，P 是△A ′C ′D 内（包括边界）的动点，满足PM =PD ，则点P 的轨迹长度为．变式20．（2024·河南许昌·高三统考阶段练习）三棱锥-P ABC 的体积为ABC 是边长为1O ，三棱锥-P ABC 的外接球球心O 到底面ABC 的距离为2，则点P 的轨迹长度为.变式21．（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥-P ABC 中，,4,2,3PA AB PA PC AB ⊥===，二面角P AB C --的大小为30 ，在侧面PAB 内(含边界)有一动点M ，满足到PA 的距离与到平面ABC 的距离相等，则动点M 的轨迹的长度为．题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹例10．（2024·山东·高三专题练习）如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，DE AB ⊥，8DC =，6DE =.沿着DE 将ADE V 折起，使A 到达点A '的位置，且平面A DE '⊥平面ADE .设P 为A DE ' 内的动点，若EPB DPC ∠=∠，则P 的轨迹的长度为.例11．（2024·全国·高三专题练习）在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段BC 的中点，P 是正方形11DCC D （包括边界）上运动，且满足APD MPC ∠=∠，则P 点的轨迹周长为.例12．（2024·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为棱11B C 的中点，N 为底面正方形ABCD 上一动点，且直线MN 与底面ABCD 所成的角为π3，则动点N 的轨迹的长度为．变式22．（2024·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为平面1A BD 内的动点，设直线AE 与平面1A BD 所成的角为α，若sin 10α=，则点E 的轨迹所围成的周长为．变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，若使2AP =的点P 的轨迹长度为a ；使直线AP ∥平面BDC 的点P 的轨迹长度为b ；使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为c ．则a ，b ，c 的大小关系为．（用“＜”符号连接）变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -中，AB =E 为平面1A BD 内的动点，设直线AE 与平面1A BD 所成的角为α，若sin 5α=，则点E 的轨迹所围成的面积为．变式25．（2024·山西大同·高一统考期中）已知,,,A B C P 是半径为2的球面上的四点，且2,AB AC AB AC ==^．二面角P BC A --的大小为π4，则点P 形成的轨迹长度为．变式26．（2024·贵州铜仁·高二统考期末）粽子是端午节期间不可缺少的传统美食，铜仁的粽子不仅馅料丰富多样，形状也是五花八门，有竹筒形、长方体形、圆锥形等，但最常见的还是“四角粽子”，其外形近似于正三棱锥．因为将粽子包成这样形状，既可以节约原料，又不失饱满，而且十分美观．如图，假设一个粽子的外形是正三棱锥-P ABC ，其侧棱和底面边长分别是8cm 和6cm ，O 是顶点P 在底面ABC 上的射影．若D 是底面ABC 内的动点，且直线PD 与底面ABC ，则动点D 的轨迹长为．变式27．（2024·广东佛山·高二校联考期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为正方形1111D C B A 内的动点，满足直线BP 与下底面ABCD 所成角为60︒的点P 的轨迹长度为（）AB C D 变式28．在正方体1111ABCD A B C D -中，动点M 在底面ABCD 内运动且满足11DD A DD M ∠=∠，则动点M 在底面ABCD 内的轨迹为（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线一支的一部分D ．前三个答案都不对题型五：投影求轨迹例13．（2024·安徽滁州·高三校考阶段练习）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，1AB =，2BC =，D 为线段BC （端点除外）上一动点.现将ABD △沿线段AD 折起至AB D 'V ，使二面角B AD C '--的大小为120°，则在点D 的移动过程中，下列说法错误的是（）A ．不存在点D ，使得CB AB'⊥B ．点B '在平面ABC 上的投影轨迹是一段圆弧C ．B A '与平面ABC 所成角的余弦值的取值范围是5⎫⎪⎪⎝⎭D ．线段CB '例14．（2024·江苏徐州·高二徐州市第一中学校考阶段练习）如图，在等腰Rt ABC ∆中，AB AC ⊥，2BC =，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，D 为线段BM 上一个动点（异于两端点），ABD ∆沿AD 翻折至1B D DC ⊥，点A 在平面1B CD 上的投影为点O ，当点D 在线段BM 上运动时，以下说法不正确的是（）．A ．线段NO 为定长B ．1180AMO B DA ∠+∠>︒C ．(1,2)CO ∈D ．点O 的轨迹是圆弧例15．（2024·江西赣州·高二南康中学校考阶段练习）在等腰直角ABC 中，AB AC ⊥，BC 2=，M 为BC 中点，N 为AC 中点，D 为BC 边上一个动点，ABD 沿AD 翻折使BD DC ⊥，点A 在平面BCD 上的投影为点O ，当点D 在BC 上运动时，以下说法错误的是()A ．线段NO 为定长B ．AMO ADB 180 ∠∠+>C ．线段CO 的长CO 2⎡∈⎣D ．点O 的轨迹是圆弧变式29．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为O '，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O ．如图，椭圆中心为O ，球与地面的接触点为E ，3OE =．若光线与地面所成角为θ，椭圆的离心率e =．变式30．（2024·浙江嘉兴·高三嘉兴一中校考期中）如图，在ABC 中，AB =，AC =，3BC =.过AC 的中点M 的动直线l 与线段AB 交于点N .将AMN 沿直线l 向上翻折至A MN '△，使得点A '在平面BCMN 内的投影H 落在线段BC 上.则点A '的轨迹长度为.变式31．（2024·北京·高三专题练习）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，E 为线段BC 上一动点，现将ABE ∆沿AE 折起得到AB E '∆，当二面角B AE D '--的平面角为120︒，点B '在平面ABC 上的投影为K ，当E 从B 运动到C ，则点K 所形成轨迹的长度为.题型六：翻折与动点求轨迹例16．（2024·全国·高三专题练习）在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，1,2AD AB ==，将ADE V 沿DE 折起得到A DE ' ，设A C '的中点为M ，若将A DE ' 绕DE 旋转90 ，则在此过程中动点M 形成的轨迹长度为.例17．（2024·全国·高三专题练习）矩形ABCD 中，2,AB AD ==E 为AB 中点，将△ADE 沿DE 折起至△A'DE ，记二面角A'-DE-C=θ，当θ在[]0π，范围内变化时，点A'的轨迹长度为例18．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，DE AB ⊥，8DC =，6DE =.沿着DE 将ADE V 折起，使A 到达点A '的位置，且平面A DE '⊥平面BCDE .若点P 为A DE ' 内的动点，且满足EPB DPC ∠=∠，则点P 的轨迹的长度为.变式32．（2024·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒.将菱形沿对角线AC 折叠成大小为60°的二面角B AC D '--.设E 为B C '的中点，F 为三棱锥B ACD '-表面上动点，且总满足AC EF ⊥，则点F 轨迹的长度为.变式33．（2024·江苏连云港·高二校考阶段练习）在矩形ABCD 中，AB =1AD =，点E 在CD 上，现将AED △沿AE 折起，使面AED ⊥面ABC ，当E 从D 运动到C ，求点D 在面ABC 上的射影K 的轨迹长度为（）A ．2B ．3C ．π2D ．π3变式34．（2024·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD 的各边长为2,60D ∠= ．如图所示，将ACD 沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，连接SB ，得到三棱锥S ABC -，此时3SB =．E 是线段SA 的中点，点F 在三棱锥S ABC -的外接球上运动，且始终保持EF AC ⊥，则点F 的轨迹的周长为（）A ．3B ．3C ．3D ．3变式35．（2024·全国·高三专题练习）已知△ABC 的边长都为2，在边AB 上任取一点D ，沿CD 将△BCD 折起，使平面BCD ⊥平面AC D ．在平面BCD 内过点B 作BP ⊥平面ACD ，垂足为P ，那么随着点D 的变化，点P 的轨迹长度为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．π变式36．（2024·广东中山·高三华南师范大学中山附属中学校考期中）如图，在长方形ABCD中，AB =1BC =，点E 为线段DC 上一动点，现将ADE ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 内的射影K 在直线AE 上，当点E 从D 运动到C ，则点K 所形成轨迹的长度为A ．2B ．3C ．3πD ．2π变式37．（2024·全国·高三专题练习）如图，在等腰梯形ABCD 中，222CD AB EF a ===，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起使得平面BEFC ⊥平面ADFE .若动点P ∈平面ADFE ，设,PB PC 与平面ADFE 所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0）.若12θθ=，则动点P 的轨迹围成的图形的面积为()A ．214aB ．249aC ．21π4aD ．24π9a。
立体几何中的轨迹问题（详细版）
⽴体⼏何中的轨迹问题（详细版）⽴体⼏何中的轨迹问题⾼考数学有⼀类学科内的综合题，它们的新颖性、综合性，值得我们重视，在知识⽹络交汇点处设计试题是⾼考命题改⾰的⼀个⽅向，以空间问题为为背景的轨迹问题作为解析⼏何与⽴体⼏何的交汇点，由于知识点多，数学思想和⽅法考查充分，求解⽐较困难。
通常要求学⽣有较强的空间想象能⼒，以及能够把空间问题转化到平⾯上，再结合解析⼏何⽅法求解，以下精选⼏个问题来对这⼀问题进⾏探讨，旨在探索题型规律，揭⽰解题⽅法。
⼀、⽤空间运动的观点来得到点的轨迹。
例1：直线PA 是平⾯M 的⼀条斜线，斜⾜为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 垂直，且交平⾯M 于点B ，求动点B 的轨迹。
解：先探讨直线PB 的运动轨迹，由于直线PB 始终与PA 垂直，可知PB 的运动轨迹应是直线PA 的垂直平⾯N 。
再结合点B⼀定在平⾯M 内，所以点B 的轨迹应该是两个平⾯的交线，所以点B 的轨迹是⼀条直线。
针对以上解法，我们对这⼀问题作⼀深层次的探讨：若直线PA 与平⾯M 成α⾓，直线PB 始终与直线PA 成β⾓，再来求点B 的轨迹。
由上述解法可知，我们只要得到直线PB 的空间轨迹，再来考察该轨迹与平⾯M 的交线即可。
由简单的模型模拟即可知，直线PB 的轨迹是⼀个圆锥⾯，再⽤⼀个平⾯截圆锥⾯，这⼀知识在平⾯解析⼏何中圆锥曲线的来历中有提到，即所得曲线可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线。
因此，我们在以下命题：直线PA 是平⾯M 的⼀条斜线，且与平⾯M 成α⾓，斜⾜为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 成β⾓，交平⾯M 于点B ，求动点B 的轨迹。
结论：（1）若α=90°，β≠90°，则动点B 的轨迹是⼀个圆；（2）若α≠90°，β=90°，动点B 的轨迹是⼀条直线；（3）若α≠90°，β≠90°，则①若90°>α>β，则轨迹是椭圆；②若α=β，则轨迹是抛物线；③若α<β，则轨迹是双曲线。
立体几何中的轨迹问答(归纳讲义理解练习)
立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( )解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD ．设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG ．由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC ．又∵EG ∥SB∴EG ⊥AC ∴AC ⊥平面EFG ， ∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE ．另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 成π4角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为锐角，显然也不满足PE ⊥AC ．评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1．(2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C ．(3) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)．(4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ．DDA ．B ．C ．D ．A若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为233 的点的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ．【例3】 (1)(04北京)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )A ． A 直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”， 则动点P 的轨迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线)．(2)(06北京)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支解：设l 与l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ．(3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =13，点P到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹为 抛物线 ．(4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 π6．【例4】 (04重庆)若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D )【例5】 四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面PAB ，BC ⊥面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是()A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分分析：∵AD ⊥面PAB ，BC ⊥平面PAB ∴AD ∥BC 且AD ⊥PA ，CB ⊥PBBABCD1AC C 1AE C C 1A AB1A 1(1)(2)(3)(4)C C 1A lAB Cα A B C D D 1C 1B 1A 1M PABCDD 1 C 1B 1A 1MN 3323PABCD∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB ∴AD PA =CB PB∴PB =2PA在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0)、B (3，0)，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)即(x +5)2+y 2=16(y ≠0) ∴P 的轨迹是(B )立体几何中的轨迹问题（教师版）1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为B 1C 1面AB 1，所以PB 1就是P 到直线B 1C 1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D ．2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（B ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（C）．A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（A）．A．圆或圆的一部分B．抛物线或其一部分C．双曲线或其一部分D．椭圆或其一部分简析由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D 所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分．5．已知正方体的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD 内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（A）．A．抛物线B．双曲线C．直线D．圆简析在正方体中，过P作PF AD，过F作FE A1D1，垂足分别为F、E，连结PE．则PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PM＝PF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线．6．在正方体中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有AP BD1，则动点P的轨迹为__________．简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证BD1面ACB1，所以满足BD1AP的所有点P都在一个平面ACB1上．而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C．本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．7．在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面SCD内及其边界上运动，总有PE AC，则动点P 的轨迹为_______________．答案线段MN（M、N分别为SC、CD的中点）8．若A、B为平面的两个定点，点P在外，PB，动点C（不同于A、B）在内，且PC AC，则动点C在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆）9．若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是：（D）A A AB C B C B C B CA B C D简析动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，则点P在的内角平分线上．现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在的内角平分线与AB之间的区域内．只能选D．10．已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（B）．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A距离为的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．简析以B为圆心，半径为且圆心角为的圆弧，长度为．12．已知长方体中，，在线段BD、上各有一点P、Q，PQ上有一点M，且，则M点轨迹图形的面积是．提示轨迹的图形是一个平行四边形．13．已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN的一个端点在上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积． 简析由于M 、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P 的几何性质，连结DP ，因为MN=2，所以PD=1，因此点P 的轨迹是一个以D 为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的，即．14．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ） A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点简析：如图，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4．在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上．又在β内到直线l 的距离等于29的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32174)29(22<=-，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点．因此所求点的轨迹是四个点，故选C ．16．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分简析：因为⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，所以AD//BC ，且︒=∠=∠90CBP DAP ． 又8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠， 可得CPB tan PB CBPA AD APD tan ∠===∠，即得2ADCB PA PB == 在平面PAB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A （-3，0）、B（3，0）．设点P （x ，y ），则有2y )3x (y )3x (|PA ||PB |2222=+++-=，整理得09x 10y x 22=+++由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B ．17．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点简析：因为PC AC ⊥，且PC 在α内的射影为BC ，所以BC AC ⊥，即︒=∠90ACB ．所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B ．18．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线简析：因为P 到11D C 的距离即为P 到1C 的距离，所以在面1BC 内，P 到定点1C 的距离与P 到定直线BC 的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D ．19．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线简析：如图4，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系．设P （x ，y ），作AD PE ⊥于E 、11D A PF ⊥于F ，连结EF ，易知1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作CD PN ⊥于N ，则|1y ||PN |-=．依题意|PN ||PF |=，即|1y |1x 2-=+，化简得0y 2y x 22=+- 故动点P 的轨迹为双曲线，选B ．20．如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线分析：由于线段AB 是定长线段，而△ABP 的面积为定值，所以动点P 到线段AB 的距离也是定值．由此可知空间点P 在以AB 为轴的圆柱侧面上．又P 在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB 是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P 的轨迹就是圆柱侧面与平面a 的交线 ．21．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）分析：将线段MN 投影到平面ABCD 内，易得y 为x 一次函数．22．已知异面直线a ，b 成︒60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．ABC D MNP A 1B 1C 1D 1 yxOyxOyxOyx O图5简析：如图5，易知线段AB 的中点P 在公垂线段MN 的中垂面α上，直线'a 、'b 为平面α内过MN 的中点O 分别平行于a 、b 的直线，'a 'AA ⊥于'A ，'b 'BB ⊥于'B ，则P 'B 'A AB =⋂，且P 也为'B 'A 的中点．由已知MN=2，AB=4，易知,2AP ,1'AA ==得32'B 'A =．则问题转化为求长等于32的线段'B 'A 的两个端点'A 、'B 分别在'a 、'b 上移动时其中点P 的轨迹．现以'OB 'A ∠的角平分线为x 轴，O 为原点建立如图6所示的平面直角坐标系．图6设)y ,x (P ，n |'OB |,m |'OA |==， 则)n 21,n 23('B ),m 21,m 23('A - )n m (41y ),n m (43x -=+=222)32()n m (41)n m (43=++- 消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为1y 9x 22=+．点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．立体几何中的轨迹问题1．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分2．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（）A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（）A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（）A．圆或圆的一部分B．抛物线或其一部分C．双曲线或其一部分D．椭圆或其一部分5．已知正方体的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD 内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（）A．抛物线B．双曲线C．直线D．圆6．若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是（）A A AB C B C B C B CA B C DA B C D7．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ） A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点9．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分10．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点11．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线12．如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线13．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）14．在正方体中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有APBD 1，则动点P 的轨迹为________．15．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有PE AC ，则动点P 的轨迹为_______________． 16．若A 、B 为平面的两个定点，点P 在外，PB，动点C （不同于A 、B ）在内，且PC AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________． 17．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A 距离为的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________． 18．已知长方体中，，在线段BD 、上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且，则M 点轨迹图形的面积是 ．19．已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN 的一个端点在上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是 ．20．已知异面直线a ，b 成︒60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段ABABC D MNP A 1B 1C 1D 1 yxOyxOyxOyx O中点的轨迹方程．。
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立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( )解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD ．设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG ．由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC ．又∵EG ∥SB∴EG ⊥AC∴AC ⊥平面EFG ，∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE ．另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 成π4角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为锐角，显然也不满足PE ⊥AC ．评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1．(2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C ．(3) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)．(4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为233的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ．若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为233的点的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ．1AC C 1AEC C 1A AB1A 1(1)(2)(3)(4)DDA ．B ．C ．D ． A【例3】 (1)(04北京)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )A ． A 直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”， 则动点P 的轨迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线)． (2)(06北京)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支解：设l 与l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ． (3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =13，点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹为 抛物线 ．(4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 π6． 【例4】 (04重庆)若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D )【例5】 四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是( )A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分 分析：∵AD ⊥面P AB ，BC ⊥平面P AB ∴AD ∥BC 且AD ⊥P A ，CB ⊥PB ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB∴AD P A =CB PB ∴PB =2P A在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0)、B (3，0)，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)即(x +5)2+y 2=16(y ≠0) ∴P 的轨迹是(B )BABCDAB1A lAB Cα A B CD D 1 C 1B 1A 1 M PABCDD 1 C 1 B 1 A 1 M N3 323P A BC D立体几何中的轨迹问题（教师版）1．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（D）．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（B）．A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（C）．A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（A）．A．圆或圆的一部分B．抛物线或其一部分C．双曲线或其一部分D．椭圆或其一部分简析由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D 所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分．5a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（A）．A．抛物线B．双曲线C．直线D．圆连结PE．则PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PM＝PF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线．6P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有1，则动点P的轨迹为的轨迹为_______________．答案线段MN（M、N分别为SC、CD8．若A、B P C（不同于A、B，则动点C在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆）A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与组成的图形可能是：（D）A A AP PP PB C B C B C B C A B C D简析 动点P 在侧面ABC 内，若点P 到AB 的距离等于到棱BC 的距离，则点P 在∠ABC 的内角平分线上．现在P 到平面BCD 的距离等于到棱AB 的距离，而P 到棱BC 的距离大于P 到底面BCD 的距离，于是，P 到棱AB 的距离小于P 到棱BC 的距离，故动点P 只能在∠ABC 的内角平分线与AB 之间的区域内．只能选D ． 10．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（B ）． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利 用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________． 简析以B 为圆心，半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36π． 12．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是 ． 提示轨迹的图形是一个平行四边形．13．已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．简析 由于M 、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P 的几何性质，连结DP ，因为MN=2，所以PD=1，因此点P 的轨迹是一个以D 为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，即1843163⨯⨯=ππ．14．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ） 简析：如图，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4．在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上．又在β内到直线l 的距离等于29的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32174)29(22<=-，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点．因此所求点的轨迹是四个点，故选C ．16．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分简析：因为⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，所以AD//BC ，且︒=∠=∠90CBP DAP ． 又8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠，可得CPB tan PB CB PA AD APD tan ∠===∠，即得2ADCBPA PB == 在平面PAB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A （-3，0）、B（3，0）．设点P （x ，y ），则有2y )3x (y )3x (|PA ||PB |2222=+++-=，整理得09x 10y x 22=+++由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B ．17．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点简析：因为PC AC ⊥，且PC 在α内的射影为BC ，所以BC AC ⊥，即︒=∠90ACB ．所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B ．18．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线简析：因为P 到11D C 的距离即为P 到1C 的距离，所以在面1BC 内，P 到定点1C 的距离与P 到定直线BC 的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D ．19．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线简析：如图4，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系．设P （x ，y ），作AD PE ⊥于E 、11D A PF ⊥于F ，连结EF ，易知1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作CD PN ⊥于N ，则|1y ||PN |-=．依题意|PN ||PF |=，即|1y|1x2-=+，化简得0y2yx22=+-故动点P的轨迹为双曲线，选B．20．如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线分析：由于线段AB是定长线段，而△ABP的面积为定值，所以动点P到线段AB的距离也是定值．由此可知空间点P在以AB为轴的圆柱侧面上．又P在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P的轨迹就是圆柱侧面与平面a的交线．21．如图，动点P在正方体1111ABCD A B C D-的对角线1BD上．过点P作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于M N，．设BP x=，MN y=，则函数()y f x=的图象大致是（）分析：将线段MN投影到平面ABCD内，易得y为x一次函数．22．已知异面直线a，b成︒60角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a，b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程．图5简析：如图5，易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面α上，直线'a、'b为平面α内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，'a'AA⊥于'A，'b'BB⊥于'B，则P'B'AAB=⋂，且P也为'B'A的中点．由已知MN=2，AB=4，易知,2AP,1'AA==得32'B'A=．则问题转化为求长等于32的线段'B'A的两个端点'A、'B分别在'a、'b上移动时其中点P的轨迹．现以'OB'A∠的角平分线为x轴，O为原点建立如图6所示的平面直角坐标系．A BCDMNPA1 B1C1D1yxOyxOyxOyxO图6设)y ,x (P ，n |'OB |,m |'OA |==， 则)n 21,n 23('B ),m 21,m 23('A - )n m (41y ),n m (43x -=+=222)32()n m (41)n m (43=++- 消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为1y 9x 22=+．点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．立体几何中的轨迹问题1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是 （ ） A ．圆或圆的一部分 B ．抛物线或其一部分 C ．双曲线或其一部分 D ．椭圆或其一部分5a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD内的动点，且点P P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（ ） A ．抛物线 B ．双曲线 C ．直线 D ．圆A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与组成的图形可能是（ ）A A AB C B C B C B CA B C DA B C D 7．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ）A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点9．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．不完整的圆 C ．抛物线 D ．抛物线的一部分10．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点11．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线12．如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线 13．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）14．在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为________．15．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面∆SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________．16．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ）在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________．17．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．18．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是 ．A BC D MNP A 1B 1C 1D 1 yxOyOxOyx O19．已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是 ．20．已知异面直线a ，b 成︒60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．。