计算方法-误差
1.《计算方法》-误差
《计算方法》教案（第一章误差）选用教材：普通高等教育“十一五”国家级规划教材《计算方法引论》（第三版）徐箤薇孙绳武编著主讲老师：刘鸣放2010年3月于河南大学一．基本内容提要1. 误差的来源2. 浮点数、误差、误差限和有效数字3. 相对误差和相对误差限4. 误差的传播5. 在近似计算中需要注意的一些问题二．教学目的和要求1. 熟练掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系；2. 了解误差的来源以及误差传播的情况，掌握在基本算术运算中误差传播后对运算结果误差限的计算方法和函数求值中的误差估计；3. 理解并掌握几种减少误差避免错误结果应采取的措施，了解选用数值稳定的算法的重要性。
三．教学重点1.绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系，误差传播，减少误差避免错误结果应采取的措施。
四．教学难点1.误差传播；2. 数值稳定算法的选用。
五．课程类型新知识理论课；六．教学方法结合课堂提问，以讲授为主。
七．教学过程如下：Introduction1.《计算方法》课程介绍计算方法是用数值的方法研究研究科学与工程中的计算问题；它的内容主要包括：近似值的计算和误差估计两个方面；主要工具：计算机；地位：这门课已成为工科各专业，特别是计算机科学与技术、土木工程、机械、数学等专业的必修基础课。
2.发展状况几十年来，计算方法效率的提高是与计算机速度的提高几乎同步地、同比例地前进的。
这里简述一下国家重点基础研究计划项目（简称973项目）“大规模科学计算研究”（1999-2004）的主要内容，可以帮助同学们了解我国科学计算界所关心的问题。
此项目由石钟慈院士等人为首组织，集中了我国计算数学、计算物理、计算力学、计算机、以及材料、环境能源等领域60多名专家，跨学科，跨部门通力合作研究以下几个方面的主要内容：（1）复杂流体的高精度计算，含天气预报数值模拟研究；（2）新材料的物理性质机理多尺度计算研究，含超导、超硬度合金等问题的计算研究；（3）地质油藏模拟与波动问题及其反问题计算研究；（4）基础计算方法的理论创新与发展；（5）大规模计算软件系统的基础理论和实施。
误差怎么算的计算公式
误差怎么算的计算公式误差是指测量结果与真实值之间的差异，是评价测量结果准确度和精密度的重要指标。
在科学研究、工程技术和日常生活中，我们经常需要对数据进行测量和分析，而误差的计算是非常重要的一部分。
本文将介绍误差的计算公式及其应用。
一、误差的定义。
误差通常分为绝对误差和相对误差两种。
绝对误差是指测量结果与真实值之间的差值，通常用|Δx|表示，其中Δx表示测量结果与真实值之间的差值。
相对误差是指绝对误差与真实值的比值，通常用|Δx/x|表示，其中x表示真实值。
误差的计算是通过对测量结果与真实值进行比较来确定的，因此在进行误差计算时，需要首先确定真实值。
二、误差的计算公式。
1. 绝对误差的计算公式。
绝对误差的计算公式为：|Δx| = |测量值真实值|。
其中，|Δx|表示绝对误差，测量值表示测量结果，真实值表示真实数值。
2. 相对误差的计算公式。
相对误差的计算公式为：|Δx/x| = |(测量值真实值)/真实值|。
其中，|Δx/x|表示相对误差，测量值表示测量结果，真实值表示真实数值。
以上是误差的计算公式，通过这些公式我们可以计算出测量结果与真实值之间的差异，从而评价测量结果的准确度和精密度。
三、误差的应用。
误差的计算在科学研究、工程技术和日常生活中都有着广泛的应用。
在科学研究中，误差的计算是评价实验结果准确度和可靠性的重要手段。
在工程技术中，误差的计算是评价产品质量和性能的重要指标。
在日常生活中，误差的计算可以帮助我们评价购物时的价格优惠和商品质量。
误差的计算还可以帮助我们进行数据处理和分析。
在数据处理中，我们经常需要对测量数据进行处理和分析，而误差的计算可以帮助我们评价数据的可靠性和准确度。
在数据分析中，误差的计算可以帮助我们评价模型的拟合度和预测精度。
总之，误差的计算是科学研究、工程技术和日常生活中非常重要的一部分，通过误差的计算可以帮助我们评价测量结果的准确度和精密度，进行数据处理和分析，提高工作效率和生活质量。
误差计算(带答案)
误差计算(带答案)
误差计算通常用于衡量一个估计值与真实值之间的差异。
常用的误差计算方法有绝对误差和相对误差。
1. 绝对误差：
绝对误差是指估计值与真实值之间的差的绝对值。
计算公式如下：
绝对误差 = |估计值 - 真实值|
2. 相对误差：
相对误差是指绝对误差与真实值之间的比例关系。
计算公式如下：
相对误差 = 绝对误差 / 真实值
下面通过一个例子来计算误差：
例子：
电子秤称重得到的结果是100克，而实际的物体重量是98克。
计算绝对误差和相对误差。
解答：
估计值 = 100克
真实值 = 98克
绝对误差 = |100 - 98| = 2克
相对误差= 2 / 98 ≈ 0.0204 ≈ 2.04%
所以，该次称重的绝对误差为2克，相对误差约为2.04%。
计算方法(1)-数值计算中的误差
* r
(
x)
1)乘方运算结果的相对误差增大为原值 x的p倍,降低精度.
2)开方运算结果的相对误差缩小为原值
x的1/q倍,精度得到提高.
三.算例的误差分析
x
3
2 2
1 1
24
§6 算法的数值稳定性
一.算法稳定性的概念
凡一种算法的计算结果受舍入误差的影 响小者称它为数值稳定的算法.
例4 解方程 x2 (109 1)x 109 0
方程精确解: x1 10 9 , x2 1
利用求根公式
x1,2
b
b2 4ac 2a
x1 10 9 , x2 0
25
当多个数在计算机中相加时,最好从
绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相
加,可使和的误差减小.
二.算法的改进
2 2
1 1
3
计算结 果
2 7/5
2 17 /12
1 ( 2 1)6
2 6
0.0040960
5
6
0.00523278
5
12
2 99 70 2
1
1 0.16666667
6
3
6
1
5
6
0.00523278
12 6
计算方法
1
第一章 数值计算中的误差
§1 引言 §2 误差的种类及其来源 §3 绝对误差和相对误差 §4 有效数字及其与误差的关系 §5 误差的传播与估计 §6 算法的数值稳定性
系统误差的计算方法
系统误差的计算方法系统误差是指测量结果与真实值之间的差异，它是测量过程中不可避免的。
在各个领域中，对系统误差的计算方法有着重要的意义。
本文将介绍几种常见的系统误差计算方法。
一、零点偏移法零点偏移法是一种常见的系统误差计算方法，适用于一些有零点参考的测量仪器。
它的基本原理是通过改变零点参考值，来观察测量结果的变化，从而得到系统误差的估计值。
具体操作步骤如下：1. 将被测量物体放在测量仪器上，并记录下测量结果。
2. 将零点参考值调整一个小幅度，如增加或减小一个固定值。
3. 再次记录测量结果，并计算两次测量结果的差值。
4. 重复上述步骤，直到得到多组测量结果的差值。
5. 将所有差值的平均值作为系统误差的估计值。
二、标定法标定法是一种常用的系统误差计算方法，适用于一些需要精确度较高的测量。
它的基本原理是通过与已知准确值进行比较，来得到系统误差的估计值。
具体操作步骤如下：1. 准备一个已知准确值的标准样品或仪器。
2. 将被测量物体放在测量仪器上，并记录下测量结果。
3. 将标准样品或仪器放在同一测量仪器上，并记录下测量结果。
4. 计算被测量结果与标准结果之间的差值。
5. 重复上述步骤，直到得到多组差值。
6. 将所有差值的平均值作为系统误差的估计值。
三、回归法回归法是一种常用的系统误差计算方法，适用于一些需要考虑多个因素影响的测量。
它的基本原理是通过建立一个数学模型，来描述测量结果与各个因素之间的关系，并通过回归分析来得到系统误差的估计值。
具体操作步骤如下：1. 收集多组具有不同因素水平的测量数据。
2. 建立一个数学模型，将测量结果作为因变量，各个因素作为自变量。
3. 进行回归分析，得到各个因素对测量结果的影响程度。
4. 根据回归分析结果，计算出系统误差的估计值。
四、平均法平均法是一种简单且常用的系统误差计算方法，适用于一些测量误差较小的情况。
它的基本原理是通过重复测量同一个物体，并取多次测量结果的平均值来减小系统误差的影响。
第1章 计算方法误差
3.1416 1 104
2
3.14159 1 105
2
若近似值x的误差限是其某一位上的半个单位 时，称其“精确”到这一位，且从该位起直到
1.1 误差的来源与分类
定义：近似值与精确值之差称为误差，误差的 来源或分类有4种。
(1) 模型误差
从实际问题提炼出数学问题时往往忽略了许多 次要因素，因而即使数学问题能求出准确解， 也与实际问题的真正解不同。它们之差称为模 型误差。
(2) 观测误差
一般数学问题包含若干变量，它们的值需要通 过观测得到，难免有误差。这种误差称为观测 误差/数据误差/参量误差。
主讲：陈 蓉 E-mail：rchen@
TEXTBOOK
计算方法
贺俐 陈桂兴 主编 武汉大学出版社
Topics
误差 插值与拟合 数值积分 解线性方程组的直接法 解线性方程组的迭代法 非线性方程的数值解法 常微分方程初值问题的数值解法
CONDUCT IN THE CLASSROOM
Get to class on time; Turn off your pager or
cellular phone during the class; Don’t talk during lecturing; Raise your hand if you have any questions.
x*x x
（1-6） （1-7）
为近似值x的相对误差限。 绝对误差和绝对误差限是有量纲的量。
相对误差和相对误差限是无量纲量，常用百分 数表示。
如何进行误差计算
如何进行误差计算误差计算是指在计算过程中，得到的结果与真实值之间的差异。
它是评估计算结果的准确性和精度的重要方法。
在各个领域中，误差计算都具有重要的意义。
本文将介绍误差计算的基本原理及常用的方法。
1.误差的分类误差可以分为绝对误差和相对误差两种类型。
-绝对误差是指计算结果与真实值之间的差异的绝对值。
它用于评估计算结果的精确度。
绝对误差的公式为:Absolute Error = ，计算结果 - 真实值-相对误差是指绝对误差与真实值之比。
它用于评估计算结果的相对精确度。
相对误差的公式为:Relative Error = (，计算结果 - 真实值， / 真实值) * 100%-系统误差是由于测量装置、方法或技术等固有的局限性而引起的误差，类似于偏差。
系统误差具有一定的规律性，并且在一系列测量中保持相对稳定。
它会导致测量结果的偏离真实值。
-随机误差是由于各种随机因素，例如环境条件、操作不精确等引起的误差。
随机误差是不规律的，不可预测的，并且在一系列测量中会有一定的波动。
它会导致测量结果的波动。
3.误差计算方法误差计算方法有许多种，下面介绍几种常用的方法。
-最小二乘法:最小二乘法是一种常见的参数拟合方法，通过最小化数据点与拟合曲线之间的平方距离，找到最佳的拟合曲线。
最小二乘法可以用于估计线性模型的参数，例如线性回归模型。
-均方根误差(RMSE):均方根误差是误差的平均值的平方根，它用于衡量预测模型的准确度。
RMSE越小，表示模型的预测结果越接近真实值。
RMSE的计算公式为:RMSE = sqrt(Σ(错误值^2) / n)-平均绝对误差(MAE):平均绝对误差是误差的绝对值的平均值，它用于衡量预测模型的准确度。
MAE越小，表示模型的预测结果越接近真实值。
MAE的计算公式为:MAE=Σ，错误值，/n-百分比误差:百分比误差是相对误差的一种形式，它表示误差与真实值的比例关系。
百分比误差越小，表示计算结果越接近真实值。
误差的计算方法
误差的计算方法误差是指由于测量或计算过程中的不确定性而引起的结果与真实值之间的差异。
在实际应用中，误差是不可避免的，因此了解误差的计算方法对于正确评估数据的可靠性和精确性至关重要。
误差的计算方法主要包括绝对误差、相对误差、平均误差和标准偏差等。
一、绝对误差绝对误差是指测量值与真实值之间的差异。
其计算公式为：绝对误差 = 测量值 - 真实值绝对误差可以为正数或负数，因此在进行误差计算时，一般需要将其取绝对值。
二、相对误差相对误差是指测量值与真实值之间的差异与真实值之比。
其计算公式为：相对误差 = 绝对误差÷ 真实值× 100%相对误差可以比较不同测量值的精确性，一般情况下，相对误差越小，说明测量结果越精确。
三、平均误差平均误差是指多次测量的结果与真实值之间的平均差异。
其计算公式为：平均误差= Σ(测量值 - 真实值) ÷ 测量次数平均误差可以反映测量结果的整体偏离程度，一般情况下，平均误差越小，说明测量结果越精确。
四、标准偏差标准偏差是指多次测量结果与平均值之间的偏差的平均值。
其计算公式为：标准偏差= √ Σ(测量值 - 平均值)² ÷ (测量次数 - 1)标准偏差可以反映测量结果的分散程度，一般情况下，标准偏差越小，说明测量结果越稳定。
总结误差的计算方法是评估数据精确性和可靠性的重要手段，不同的误差指标可以反映数据的不同性质。
在进行误差计算时，需要根据具体情况选择合适的误差指标，并注意数据的采集、处理和分析过程中可能出现的误差来源，以确保数据的正确性和可靠性。
误差百分比计算公式
误差百分比计算公式误差百分比是一种衡量数据准确性的指标，常用于科学、工程和经济领域。
它可以帮助我们评估测量数据与真实值之间的差异程度，进而判断数据的可靠性和准确性。
误差百分比的计算公式如下：误差百分比 = (测量值 - 真实值) / 真实值 * 100%我们需要了解误差的定义。
在科学研究和实验中，我们通常会测量某个物理量，并与该物理量的真实值进行比较。
测量值与真实值之间的差异即为误差。
误差可以有正负之分，正值表示测量值偏大，负值表示测量值偏小。
误差百分比的计算公式中，分子部分是测量值与真实值之间的差异，分母部分是真实值，最终的结果乘以100%即可得到误差百分比。
通过这个百分比，我们可以直观地了解测量值与真实值之间的相对偏差。
以一个实际例子来说明误差百分比的计算方法。
假设我们要测量一根铁丝的长度，根据实验测量得到的长度为98厘米，而根据标准测量工具测量得到的真实长度为100厘米。
那么，我们可以使用误差百分比来评估这个测量结果的准确性。
将测量值和真实值代入误差百分比的计算公式中。
测量值为98厘米，真实值为100厘米。
将这些数值代入计算公式中，我们可以得到：误差百分比 = (98 - 100) / 100 * 100% = -2%根据计算结果可知，这个测量结果的误差百分比为-2%。
负值表示测量值偏小，即测量的铁丝长度比真实值要短2%。
误差百分比的应用非常广泛。
在科学实验中，我们常常需要评估实验数据的准确性，通过计算误差百分比可以获得有关数据的更多信息。
在工程领域，误差百分比可以帮助我们评估工程测量结果的可靠性，从而指导工程设计和改进。
在经济领域，误差百分比可以用于评估市场预测的准确性，为决策提供参考依据。
需要注意的是，误差百分比只能衡量相对偏差，并不能完全反映测量结果的准确性。
在实际应用中，我们还需要考虑其他因素，如实验方法的精确性、测量仪器的精度等。
此外，误差百分比还可以配合其他统计方法使用，如标准差和置信区间，以获得更全面的数据分析结果。
计算方法- 误差
第⼀章误差§1 误差的来源§2 误差、误差限、有效数字§3 误差的传播§4 在近似计算中需要注意的一些现象计算方法§1 误差的来源从实际工程问题出发，一直到算出问题结果，这其中的每个过程都会产生误差。
工程问题理论数学模型实际数学模型 可解数学模型程序结果⼯程理论 模型误差实际数学模型 可解数学模型结果 舍⼊误差程序 可解数学模型n 1) I n n 1) I n0 0.1823215568 11 0.01377484371 0.0883922160 12 0.01445911502 0.0580389200 13 0.00462750183 0.0431387333 14 0.04829106264 0.0343063334 15 －0.01747886465 0.028******* 16 0.93644323056 0.024******* 17 －4.6233926237 0.021******* 18 23.172518678 0.0188392962 19 －115.80996189 0.0169146301 20 579.09980910 0.0154268495误差的来源n 2) I n n 2) I n0 0.1823215568 11 0.01407133831 0.0883922160 12 0.01297664192 0.0580389199 13 0.01203986763 0.0431387341 14 0.01122923354 0.0343063296 15 0.010*******5 0.028******* 16 0.00989750456 0.024******* 17 0.00933600677 0.021******* 18 0.00887552218 0.0188369242 19 0.00825396839 0.0169264899 20 0.008730158710 0.0154675505误差的来源n 1) I n2) I n n 1) I n2) I n0 0.1823215568 0.1823215568 11 0.0137748437 0.01407133831 0.0883922160 0.0883922160 12 0.0144591150 0.01297664192 0.0580389200 0.0580389199 13 0.0046275018 0.01203986763 0.0431387333 0.0431387341 14 0.0482910626 0.01122923354 0.0343063334 0.0343063296 15 -0.0174788646 0.010*******5 0.028******* 0.028******* 16 0.9364432305 0.00989750456 0.024******* 0.024******* 17 -4.623392623 0.00933600677 0.021******* 0.021******* 18 23.17251867 0.00887552218 0.0188392962 0.0188369242 19 -115.8099618 0.00825396839 0.0169146301 0.0169264899 20 579.099809 0.008730158710 0.0154268495 0.0154675505工程问题理论数学模型实际数学模型可解数学模型程序结果 模型误差舍⼊误差计算方法一、相关知识! 浮点数! 任何⼀个浮点数均可表⽰为:1210.01(1,2,,)0Jt i x a a a L J Ua i t a ββ=±×≤≤≤≤−=≠L L 且§2 误差、误差限、有效数字误差、误差限、有效数字β为浮点数的基。
求中误差的三个公式
求中误差的三个公式
中误差（mean error）是指测量结果与真实值之间的平均偏差。
中误
差可以通过一系列公式进行计算和描述。
下面将介绍三个常用的计算中误
差的公式：
1.简单平均误差公式：
简单平均误差可以用来计算一组测量结果的平均偏差。
它的公式如下：简单平均误差= Σ(xi - x) / n
其中，xi是每个测量值，x是测量结果的平均值，n是测量次数。
这
个公式的计算过程为：将每个测量值与平均值之间的差值相加，并除以测
量次数，从而得到平均偏差。
2.绝对平均误差公式：
绝对平均误差也是一种计算测量结果偏差的方法，它的公式如下：
绝对平均误差= Σ，xi - x， / n
其中，xi是每个测量值，x是测量结果的平均值，n是测量次数。
这
个公式的计算过程为：将每个测量值与平均值之间的差的绝对值相加，并
除以测量次数，从而得到平均偏差。
3.二次标准差公式：
二次标准差是对测量误差的一种衡量方法
二次标准差= √(Σ(xi - x)^2 / n)
其中，xi是每个测量值，x是测量结果的平均值，n是测量次数。
这个公式的计算过程为：将每个测量值与平均值之间的差的平方相加，并除以测量次数，然后取平方根，从而得到二次标准差。
以上是计算中误差的三个常用公式。
在实际测量过程中，选取适当的公式来计算中误差，可以更准确地描述测量结果的偏差情况。
同时，根据具体情况还可以使用其他的统计指标来衡量中误差，如相对误差、标准误差等。
对于测量结果的准确性评估和数据分析，运用适当的公式是非常重要的。
计算方法与误差 (实验报告
方程求根—牛顿迭代法摘要通过对牛顿迭代法的编程练习，掌握方程求根的牛顿迭代法的算法，进一步体会牛顿迭代法的特点。
关键字：牛顿迭代；方程求根；编程；运算次数1、算法流程图：算法：用迭代法的结构，增设4个工作单元F0, F0’, F1, F1’，并把用作终止迭代的误差控制改为两个|x1-x0|<EPS或|f(x1)|<DELTA。
1.1、准备：选定初始值x0,计算F0=f(x0); F0’=f’(x0), 如果F0’=0，则输出“方法失败”并结束。
1.2、迭代：对k=1,2,…,N，做：1) x1=x0-F0/F0’ ，2) 计算F1=f(x1); F1’=f’(x1)3) 若F1’=0，则输出“方法失败”并结束。
1.3、控制：若|x1-x0|<EPS或|F1|<DELTA，则输出近似解x1和迭代次数k并结束；否则，x0=x1; F0=F1; F0’=F1’。
1.4、k>N时输出“经N次迭代无满足要求的近似解”结束。
2、实验步骤1）完成牛顿迭代法的程序设计及录入；2）完成程序的编译和链接，并进行修改；3）用书上的例子对程序进行验证，并进行修改；4）分别输入两组不同的根的误差限，观察运算次数的变化；5）分别取不同的初时值x0，观察运算结果的变化；6）完成实验报告。
3、实验结果3.1、经编译、链接及例子验证结果正确的源程序：#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 100#define eps 5e-6#define delta 1e-6void main(){float x0,x1,d,f1;int k=0;printf("请输入迭代初值x0:");scanf("%f",&x0);printf("x(0)=%f\n",x0);do{x1=x0-(x0*x0*x0+x0*x0-3*x0-3)/(3.0*x0*x0+2*x0-3);if(k++>N||fabs(3.0*x1*x1+2*x1-3)<eps){printf("\n发散");break;}d=fabs(x1)<1?x1-x0:(x1-x0)/x1;x0=x1;printf("x(%d)=%f\t",k,x0);}while(fabs(d)>eps&&fabs(x1*x1*x1+x1*x1-3*x1-3)>delta);printf("方程的根为：%f\n",x1);}3.2、实例验证结果：1）方程：f(x)=x3+x2-3x-3=02）输入初始参数：x0=1, EPS=1e-63）结果输出：请输入迭代初值x0:1.0x(0)=1.000000x(1)=3.000000x(2)=2.200000x(3)=1.830151x(4)=1.737795x(5)=1.732072x(6)=1.732051方程的根为：1.732051Press any key to continue3.3、改变初值x0的值为：x0=1.5, EPS不变，仍为1e-6，其结果为：请输入迭代初值x0:1.0x(0)=1.000000x(1)=3.000000x(2)=2.200000x(3)=1.830151x(4)=1.737795x(5)=1.732072x(6)=1.732051方程的根为：1.732051Press any key to continue3.4、改变初值x0的值为：x0=0.1, EPS不变，仍为1e-6，其结果为：请输入迭代初值x0:0.1x(0)=0.100000x(1)=-1.087365x(2)=-0.989802x(3)=-0.999899x(4)=-1.000000方程的根为：-1.000000Press any key to continue3.5、改变EPS的值为：EPS=5e-4, x0不变，仍为1，其结果为：请输入迭代初值x0:1.0x(0)=1.000000x(1)=3.000000x(2)=2.200000x(3)=1.830151x(4)=1.737795x(5)=1.732072x(6)=1.732051方程的根为：1.732051Press any key to continue3.6. 改变EPS的值为：EPS=1e-3, x0不变，仍为1，其结果为：请输入迭代初值x0:1.0x(0)=1.000000x(1)=3.000000x(2)=2.200000x(3)=1.830151x(4)=1.737795x(5)=1.732072方程的根为：1.732072Press any key to continue4、分析和讨论1.输入不同的初值x0，迭代次数的变化情况答：初值X0越大，迭代的次数越多2.输入不同的误差限EPS，迭代次数的变化情况答：随着误差限EPS的增大，迭代次数会相应的减少。
计算方法1_误差
∆(x 3 ) = 3.1416 − π = 0.000007 ⋅ ⋅ ⋅ < 0.000008
所以误差限 ε1=0.002，ε2=0.0005，ε3=0.000008 ， ，
有效数字
[Def1.3]若用x的近似值x*的误差限是某一位上的半 若用x的近似值x 的误差限是某一位上的半 若用 个单位，该位到x 的第一位非零数字共有 的第一位非零数字共有n 个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，则称 x*有n位有效数字 有 若用x*表示x的近似值，并将x*表示成 表示x 若用x 表示 的近似值，并将x 表示成 x*＝±0.a1a2…an×10m ＝ a 若 |x*－x|≤0.5×10m－n x－ 则近似值x 有 则近似值x*有n位有效数字 (1.1)
b
5
2
5 100
I n −1
1 1 是稳定的。 = ( − I n )是稳定的。 5 n
1.5 在近似计算中需要注意的问题
1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数. 1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数. 尽量简化计算步骤 例如， 例如，计算多项式 p n ( x ) = a 0 + a 1 x + ...... + a n x n 通常运算的乘法次数为 n(n + 1) 1 + 2 + ...... + n = 若采用递推算法, 若采用递推算法, 2
n
* * er(x1 + x 2 )
(1.5) (1.6)
(1 . 7 )
在式 (1.6)中，分别取 f(x1, x2) = x1 + x2 , x1x2 , x1 / x2可得
≤
max e r ( x i* ) ( x 1 , x 2同号 ) 1 ≤ i≤ 2
计算方法误差总结
计算方法误差总结引言在科学计算和工程应用中，计算方法的误差是一个非常重要的问题。
误差的产生可能来自于多个方面，包括算法本身的近似性、输入数据的测量误差以及计算机的舍入误差等。
了解和分析这些误差对于保证计算结果的准确性和可靠性至关重要。
本文将总结不同类型的计算方法误差，并探讨如何在实际应用中有效地解决这些问题。
误差类型计算方法的误差可以分为以下几种类型：1. 绝对误差绝对误差是指计算结果与准确结果之间的差值的绝对值。
它描述了计算结果与真实值之间的偏离程度，通常以单位为参考进行度量。
2. 相对误差相对误差是指绝对误差与准确结果之间的比率。
相对误差可以更好地反映计算结果的准确性，尤其是当准确结果接近零或非常大的情况下。
截断误差是由于计算方法的近似性质引起的。
当使用近似公式或截断级数进行计算时，截断误差会导致结果与准确值之间的差异。
4. 舍入误差舍入误差是由于计算机表示数字的有限性引起的。
计算机使用二进制表示浮点数，并且只能存储一定数量的有效数字。
因此，计算结果可能会被舍入或截断，从而引入舍入误差。
5. 累积误差累积误差是在多次计算中误差逐渐积累的结果。
由于多次计算中的误差传递，计算结果可能会越来越偏离真实值。
误差分析方法为了有效地解决计算方法误差的问题，我们需要采取一些常用的误差分析方法。
以下是一些常见的误差分析方法：误差界定的目标是确定计算结果的上界和下界。
这可以通过使用误差界定定理和泰勒级数展开来实现。
通过界定误差，我们可以对计算结果的准确性进行保证。
2. 误差传播误差传播是指在多个计算步骤中误差如何传播和累积的问题。
通过分析每个计算步骤的误差来源和传播规律，我们可以得出计算结果的总体误差。
3. 精确度改善精确度改善的目标是减小计算结果的误差。
这可以通过改进算法和使用更精确的计算方法来实现。
例如，使用更高阶的数值方法可以减小截断误差，而使用更高精度的计算方法可以减小舍入误差。
4. 误差评估误差评估是指通过与实际测量数据进行对比，评估计算方法的准确性和可靠性。
计算方法 第1章 误差
则x*至少有n位有效数字。
第1章 误差
从上面几个结论可知：有效数字位数可刻画近似
数的精确度；绝对误差与小数点后的有效数字位数有 关；相对误差与有效数字的位数有关。
《 计 算 方 法 》
第1章 误差
§3 算术运算结果的误差
3.1 加减法
第1章 误差
高等学校工科电子类教材
《 计 算 方 法 》
计算方法
董丽丽
大连海事大学信息工程学院
第1章 误差
28学时：讲课22学时、实验2学时、
考试 2 学时、放假2学时
《 计 算 方 法 》
考试：70% 实验：20% 平时课堂作业：10%
第1章 误差
目 录
《 计 算 方 法 》
第一章 误差
（2）
《 计 算 方 法 》
第1章 误差
选择数值方法-1
《 计 算 方 法 》
在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机 直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型 的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化， 转化成一系列相应的算法步骤，编制出正确的计算 程序，再上机计算得出满意的数值结果。
第1章 误差
l0），则:
《 计 算 方 法 》
lt≈Lt=l0(1+αt+βt2) 这里l0≡1，α、β为参数，可估计为 α=0.001253±10-6
β=0.000068±10-6
于是知，lt-Lt为模型误差，10-6是观测α、β而产生的误 差，因此为量测误差。
第1章 误差
截断误差 在求解过程中，往往以近似替代，化繁为简，这样 《 计 产生的误差称为截断误差。 算 方 法 》 舍入误差 在计算机上运算时受机器字长的限制，一般必须 进行舍入，此时产生的误差称为舍入误差。
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举例4：计算 tg(1.57079)，tg(1.57078)
x 1.57079 , x* 1.57078
(x*) | x x* | 0.00001
r (x*) | (x x*) / x* | 6.410-6
| f ' (x*) | 1 3.8 109
c os2 ( x*)
15
( y*) | f ' (x*) | (x*) 3.8 104
| x * f ' (x*) / f (x*) |
1
9.6 104
s in( x*) c os (x*)
r ( y*) 0.6
y = tan(x) 1.580579134162482e+ 005
y* = tan(x*) 6.124900853150305e+ 004
( y*) =| y-y* | 9.680890488474515e+ 004
1 22
x2 2!
1 x2 3 x3 35 x4
22 2! 23 3! 24
4!
6.172839438271605e-16
3 23
x3 3!
35 24
x4 4!
6.1728394382716030948026634659e-16 3
• 举例3-1：计算机的精度限制（舍入误差）
-- 在matlab中运行计算：
f ( x1, x2 ) f ( x1*, x2 ) f ( x1*, x2 ) f ( x1*, x2*)
f
(1, x2 )
x1
( x1
x1*)
f
( x1*,2 )
x2
( x2
x2*)
f
( x1*, x2*) x1
e * ( x1)
f
( x1*, x2
x2*)
e * (x2 )
er
(
y*)
I0 e1(e 1) = 0.63212055882856
精确值: I20 0.04554488407582
算法1的计算结果：
算法2的计算结果：
>> s=0.63212055882856;
>> s=0; %或 s=-1000;
>> for n=1:20
>> for n=40:-1:21
s=1-n*s;
9
§2. 绝对误差、相对误差与有效数字 若 x 是精确值， x* 是其近似值。
(1) 绝对误差：e * (x) (x x*)
若存在已知值 使得 | e * (x) || x x* |
则称 是 x* 的绝对误差界（限) 。
(2)
当 x* 0 时，定义相对误差：er*(x)
若存在已知值
-- 计算
算法 （1） 1 x 1
x
（2） 1 x 1
1 x 1 ， x=1.234567887654321e-15
截断误差
x的舍入误差导致 计算结果的误差
0
6.661338147750939e-16
0
6.172839438271602e-16
（3） 1 x 1 1 x
2
（4）
1x 2
第一章 误 差 §1. 误差的来源
实际 问题
数学 模型
(1) 模型误差， (2) 观测/参量误差， (3) 截断/方法误差， (4) 舍入误差。
数值 方法
计算机 计算
1
• 举例1：模型误差和观测误差
-- 高尔夫球的抛射轨迹（考虑空气阻力, 但不空考虑风的影响）
m m
d2x dt2 d2y dt2
>> sqrt(1+x)-1
绝对误差 相对误差
y* =6.661338147750939e-016 0.49e-16 0.08
>> x/(sqrt(1+x)+1) y1*=6.172839438271602e-016 1.1e-31 0.18e-15
>> 0.5*x
y2*=6.172839438271605e-016 3.0e-31 0.49e-15
>> 0.5*x
f (x) er ( y2 ) 0.5er ( y1) 0.5eps
y2*=0.6172839438271605e-15
er ( y)
y2 y2
1
er
(
y2
)
1 y2
1
er
(1)
（3）y y2 1 (x1 x2 )
0.5 eps 1 eps
y2 1
y2 1
0.8 1015 eps
19
举例5：教材第7页例4
S
4
( D12
D22 )
f (D1, D2 )
(D1*) 0.05cm ,
r
(
D1*
)
0.05 10 0.05
0.00503
(D2*) 0.1cm ,
r
( D2* )
5
0.1 0.1
0.02041
(S*)
|
2
D1*
| (D1*)
|
2
D2*
|
( D2* )
对于D1* 9.95, D2* 5.1，则 S* 60.47
估计式估计的相对误差r (S*) 0.02819 3%
21
§4. 应注意的几个原则
(1) 算法要稳定
举例6：计算
I20 e1
1 x20exdx
0
算法1：In 1 nIn1,(n 1,2, ,20),
算法2：In1 (1 In ) / n,(n N, N 1, ,21)
Why? s=(1-s)/n;
end
end
>> s
>> s
s =5642.041639996838
s = 0.04554488407582 22
算法1的误差估计：
In 1 nIn1,(n 1,2, ,20) ,
( I n* )
|
In
I
* n
||
(1
nI n 1 )
(1
nI
* n1
)
|
n
|
，尾数不为 0 时
（4）NaN：当
，尾数为 0 时
7
实数 的浮点数表示为 一般情况下： 机器精度 的定义为使下列不等式成立的最小正数：
所以：
8
• 数值计算方法的研究主要讨论
实际 问题
数学 模型
数值 方法
计算机 计算
➢ 截断(方法)误差的大小—收敛性。 ➢ 舍入误差的影响—稳定性。
保证数值解的精度！
11
(3) 有效数字： 将 x*写成小数形式
x* 10k 0.a1a2 an , a1 0
若 x*的绝对误差界
0.510kn
则称 x*为 x 的具有 n 位有效数字的近
似值。或有
r
|
x*
|
0.5 10kn 10k 0.a1
~ 110n
12
• 三看举例2： 1 x 1
x=1.234567887654321e-15
(1
In )
/
n
(1
I
* n
)
/
n
|
1 n
|
In
I
* n
|
1 n
~(
I
* n
)
1 n(n
1)
~(
I
* n1
)
(n
1) N!
!
~(
I
* N
)
~(
I
* 20
)
20! 40!
~(
I
* 40
)
(2.9818e-
030)(1e3)
3e
-
027
23
(2) 相近两数避免相减
>> x=3.14159265358979； >> y=3.14159265358980； >> y-x ans =
I n 1
I* n1
|
n
(
I
* n1
)
n(n
1)
(
I
* n2
)
n! (I0*)
(
I
* 20
)
20!
(
I0*
)
(2.4329e+
018)(2.
3315e
-
015)
5600
算法2的误差估计：
In1 (1 In ) / n, (n 40,39, ,21) ,
~(
I
* n1
)
|
I n 1
I* n1
||
若D1* 10.02, D2* 4.95，则
S* 75.89789999 59.61， (S*) 1.5645
4
相对误差r (S*) (S*) / | S* | 0.0262456 2.7%
20
也可以直接用估计式来估计相对误差，根据
r(
y*)
|
( f x1
)*
|
|
x1 * y*
| r ( x1*)
e( y*) y y* f (x) f (x*)
f ' ( )(x x*) f ' (x*) e(x*)
14
得到误差传递公式（估计式）： 绝对误差传递系数
e( y*) f ' (x*) e(x*)
相对误差传递系数
er ( y*)
x* f
f (
' (x*) x*)