均匀带电薄圆盘场强分布的研究

均匀带电薄圆盘场强分布的研究

黎印中

(贵州师范大学物理与电子科学学院 贵阳 550001)

摘要：通过对均匀带电细圆环空间电场的求解。在利用电场的叠加原理，导出均匀带电薄 盘在场点与源点的距离大于圆盘半径时，电场的级数表达式。 关键词：细圆环；电场；薄圆盘；叠加原理；级数表达式

Uniformly charged thin disc field distribution of

Abstract: Based on a uniformly charged ring solution of the electric field of space.The use of electric field superposition principle, derived the presence of a uniformly charged thin disc-point distance from the source point is larger than disc radius, the electric field of the series expression.

Key words: fine ring; electric field; thin disk; superposition principle; series expression

1 引言

在大学物理教材上，均匀带电薄圆盘作为一个典型的带电模型，常常需要求其空间的电场分布。本文借助文献[2]求出的均匀带电细圆环电场的空间分布，通过电场的叠加原理，导出均匀带电薄圆盘在以圆盘的中心为球心，以圆盘的半径为球半径的球外空间的电场分布。

2 均匀带电细圆环的电场分布的级数解

设圆环的半径为0r ，电荷线密度为λ。选择在球坐标系中，如图所示，由对称性可知，带电细圆环的电场分布关于z 轴对称。因此，电场分布与ϕ无关。为

了计算的方便，只求在xoz 平面的任意一点的p 处的电场，就可以代表整个空间的电场分布。

在xoz 平面内任取一场点p （r ，θ，0），在圆环上任取一电荷元dq ，源点),2

,(0ϕπ

r dl

各自位矢为

r

r e r =，

r

r 0

1

e r =。所以

1

r e r e r r r r r

--=='。由球坐标基矢),,(e e e r

ϕθ与直角坐标基矢

),,(e e e z y x 之间的变换关系为[1]

ϕϕϕθϕθsin cos cos cos sin e e r e x e θ-⋅+⋅=

ϕϕϕθϕθθcos sin cos sin sin e e r e y +⋅+⋅=e

θθsin cos e θe r e z -=

所以p 点的e x ，e y ，e z 分别为

θθcos sin e θe r +=

e e y ϕ=

θθcos cos e θe r e z -=

[]

e e e e e e e r θr θy x 0e r ϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕsin cosθcos sinθcos sin cosθsinθcos sin cos r r r r r r r 0000000++=++=+=又

()

()e e e e e e r r θr

θr ϕ

ϕ

ϕθϕθ

ϕϕθϕθϕsin cos cos sin cos sin cos cos sin cos 00

000

10r r r

r

r r r r

r -⋅-⋅-=

++-=-=-=∴'e e r r r r r r 0又在直角坐标系中p(rsin θ,0,rcos θ)，)0,sin ,cos (00ϕϕr r dl 。所以p,dl 之间的距离| r '|=

()()()22020cos sin cos sin θϕϕθr r r r ++-

=(

)

2

102

02cos sin 2ϕθrr r r -+ 令A= 2

02r r +

2

020sin 2r r rr B +=

θ

所以| r '|=()2

12

11ϕBCOS A -,而电荷元dq=λr 0d ϕ，dq 在p 点产生的电场dE

()

2

32

3

003

0030cos 1444ϕπεϕλπεϕλπεB A r d r r r d r r r dq E d -'

⋅⋅=

''⋅⋅=''

⋅=

又E d

在球坐标下的三个分量为

()()

2

3

2

3000cos 14cos sin ϕπεϕϕθλB A d r r r E d r

-⋅-⋅=' （1）

()

2

323

020cos 14cos cos ϕπεϕϕθλθ

B A d r E d -⋅-=' （2）

()

2

32

3

020cos 14sin ϕπεϕ

ϕλϕ

B A d r E d -⋅-='

（3）

对<1>、<2>、<3>积分得

()⎰⋅--='πϕϕϕθπελ20

230

2

30

0cos 1cos sin 4d B r r A r E r （4） ()

⎰

⋅--='π

θ

ϕϕϕ

πεθ

λ20

2

32

3020cos 1cos 4cos d B A

r E （5）

()

⎰

⋅--='π

ϕ

ϕϕϕ

πελ20

2

32

3

02

0cos 1sin 4d B A

r E （6）

因为

⎰

⎩⎨

⎧=⋅π

πϕϕ20

20

cos 为正偶数

为正奇数

n C n d n

n

其中2

4)6)(4)(2(1

3)5)(3)(1(⋅⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⋅---=

n n n n n n n C n

因为1sin 22

2

0<+=

r r rr B θ，所以()2

3cos 1-

-ϕB 可作泰勒展开

()

()()()⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅++=--n

n B D B B B B ϕϕϕϕϕcos cos 2

!3357cos 2!235cos 231cos 133

2223n

n n n n D 2

!1

3)12)(12(⋅⋅⋅⋅⋅-+= 所以

()

()

∑⎰

⎰

∞=++⋅-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅++-

=⋅--='5

,3,112

3

0201332

302020

222

302020

2

32

3

0204cos 224132!335721234cos )cos ()cos (2!235cos 231cos 4cos cos 1cos 4cos k k k k k k k n

n C B D A r C B D B B A r d B D B B A

r d B A r E πεθλππεθλϕϕϕϕϕπεθλϕ

ϕϕ

πεθ

λπ

π

θ