均匀带电薄圆盘场强分布的研究
均匀带电球体内的电场强度分布
均匀带电球体内的电场强度分布大家好，今天我们来聊一聊一个非常有趣的话题：均匀带电球体内的电场强度分布。
让我们先来了解一下什么是均匀带电球体。
均匀带电球体，顾名思义，就是指表面每个点都带有相同电荷密度的球体。
假设这个球体的半径为R,那么它的体积就是V = (4/3)πR^3。
而它的表面积就是A = 4πR^2。
现在我们知道了这个球体的体积和表面积，接下来我们就可以开始计算它的电场强度分布了。
我们要知道什么是电场强度。
电场强度是指单位正电荷所受到的电场力的大小。
在均匀带电球体中，每个点所受到的电场力都是相等的，因为每个点的电荷密度都是相同的。
所以，我们可以假设每个点的电场强度大小为E = F/q,其中F是该点所受到的电场力，q是该点的电荷量。
那么，在均匀带电球体中，每个点的电场强度大小都是相等的吗？答案是否定的。
实际上，在均匀带电球体中，不同位置的电场强度大小是不同的。
这是因为在不同位置上，正负电荷的数量也是不同的。
具体来说，在球体内部靠近中心的位置上，正负电荷数量相等，所以电场强度较小；而在球体外部靠近边缘的位置上，正负电荷数量不相等，所以电场强度较大。
那么问题来了：在均匀带电球体中，不同位置的电场强度大小是如何分布的呢？这就需要用到一些高等数学知识了。
简单来说，在均匀带电球体中，不同位置的电场强度大小可以用一个叫做高斯定理的东西来描述。
高斯定理告诉我们：在一个封闭曲面内任意一点处，总电通量等于该点法向量上的净电荷量的两倍。
也就是说，在一个封闭曲面内任意一点处，总电场强度的大小与该点法向量上的净电荷量成正比。
好了，说了这么多理论知识，相信大家对均匀带电球体内的电场强度分布已经有了一个大致的了解了吧？不过，如果要真正理解这个问题，还需要通过实验来进行验证。
在这里，我推荐大家可以尝试一下利用简单的物理实验装置来模拟均匀带电球体内的电场强度分布情况。
比如说，你可以找一个空心的小球体(比如说网球),并在里面加入一些金属屑或者塑料屑等物质来模拟正负电荷。
均匀带电圆盘电场的数值研究
均匀带电圆盘电场的数值研究沈华嘉【摘要】用通用软件Mathematica对均匀带电圆盘电场的空间分布进行数值研究，对比了勒让德级数解与叠加原理-直接积分两种方法的数字化结果。
结果显示：由勒让德级数解很难绘制出正确的电场强度的空间分布图，而使用积分表达式则可快速获得正确的结果。
%The spatial distribution of the electric field from a uniform charged disc is numerically studied.The numerical results of Legendre series are compared with ones of the direct integral method. Our results show that it is difficult to draw the correct spatial distribution mapof the electric field intensity by using the Legendre series,while using the integral expression the correct results can be quickly obtained.【期刊名称】《广东第二师范学院学报》【年(卷),期】2016(036)005【总页数】4页(P67-70)【关键词】均匀带电圆盘;电场;数字化;勒让德级数;积分表达式【作者】沈华嘉【作者单位】广东第二师范学院物理与信息工程系，广东广州 510303【正文语种】中文【中图分类】O441.3均匀带电圆盘电场的空间分布，是电磁场理论教学的重要例子. 人们用各种不同的方法——方程法、叠加法以及延拓法，把电势表示为以勒让德多项式为基的级数[1-2] (简称为勒让德级数解). 文献[3]把这种级数表示方式推广应用到均匀带电圆环片的情况，并根据关系式=-u给出了电场强度的勒让德级数解. 然而，均匀带电圆盘的电势和电场勒让德级数解的收敛情况如何,借助现代电子计算机能不能得到正确的电场空间分布，则未见有具体讨论. 本文应用著名软件Mathematica对均匀带电圆盘电势和电场强度的勒让德级数解进行详细的数字化研究，并与叠加原理-直接积分的结果作比较.根据文献[2]，均匀带电圆盘的电势可表达为以勒让德多项式为基的级数,,式中q为圆盘的带电量，a为圆盘的半径，θ为球坐标系的极角．计算电势的梯度就可得到电场强度=-U.实际上，本问题的电势可以使用叠加原理-积分法来计算. 薄圆盘可以看成由无穷多个同心圆环组成，如图1所示.由于具有轴对称性，只需考虑xoz平面内观测点P(x,0,z)的电势和电场强度．圆盘上源点P′的坐标为(ρcos φ,ρsin φ,0)，观测点P到源点P′的距离为.把式(2)代入点电荷的电势公式，由叠加原理得均匀带电圆盘的电势积分表达式φ.先给出电势积分表达式的数字化.设圆盘带正电，为了计算的方便，取长度单位为a，电势单位为U0=q/(4π2ε0a), 电场强度单位为E0=q/(4π2ε0a2). 式(3)是一个复杂的积分, 不能用初等函数表示，可进行数值积分. 为了方便，记,则电势和电场强度分别为,和(x,z).根据式(4)～式(6)，由通用软件Mathematica可快速得到电势和电场强度数字化结果，图2～图4分别是电势的空间分布、电场强度大小的空间分布、等势线和电场强度方向的分布，它们形象美观地描述了均匀带电圆盘电场的空间分布.现在开始研究勒让德级数解的数字化.式(1)是两个以勒让德多项式为基的级数，数值计算的首要问题就是如何快速给出任意阶勒让德多项式. 幸运的是，在Mathematica里勒让德多项式的产生并非难事，无论是直接调用系统内设函数Legendre[2n,x], 还是使用著名的罗德里格斯(Rodrigues)公式都可以快速获得2n阶勒让德多项式，例如0、2、4、6阶勒让德多项式分别如下它们看上去整齐简单，然而，随着阶数的增加，它变得越来越复杂. 当阶数高到一定程度(例如100阶)时，它的复杂程度将超出了我们的想象.为了获得xoz平面内直观分布图，必须把极坐标系转换成直角坐标系(z/r).将式(7)和式(8)代入式(1)，利用Mathematica快速产生勒让德多项式、求和运算以及数字绘图功能，可把式(1)所示的电势表达式数字化. 我们无法求出级数U1和U2的所有项，可以先取级数前21项(截断到n=M=20)，即计算到40阶勒让德多项式，此时由级数表达式(1)得到的电势空间分布与使用电势积分表达式(3)所得到的结果(图2)是一致的.从理论上讲，使用式(6)计算电势的梯度就可得到电场强度. 然而, 当截断到40阶勒让德多项式时，在r<a的区域内(特别是当z接近于0,即接近圆盘时)，由式(1)和式(6)所得的计算结果出现许多斑块和尖峰，如图5所示，需要提高截断阶数才有可能获得更准确的结果，当然所耗计算时间也将大幅度增加，计算成本值得重视. 提高计算量至100阶勒让德多项式，结果如图6所示，电场强度大小的分布图有所改善(斑块减少)，但不十分明显；继续提高计算量，当截断到200阶勒让德多项式，数值结果如图7所示，电场强度大小的分布图有了较大改善，但是在圆盘面附近，波动起伏仍十分明显；继续提高截断阶数，结果进一步改善，勒让德级数的结果更进一步接近积分表达式的结果(图3)，当计算到600阶时结果如图8所示，整体已经比较接近图3，但在圆盘面附近仍有比较明显的波动起伏.本文应用通用软件Mathematica，对均匀带电圆盘电势和电场强度的勒让德级数解进行数字化研究，并与叠加原理-积分法(积分表达式)的结果进行了比较. 结果表明：使用积分表达式可以快速把电势和电场强度数字化(计算并绘制出图2～图4三幅精美分布图只需几秒钟时间). 但使用勒让德级数解则很难把电场强度数字化，现总结如下，以便对勒让德级数有更清晰的认识.1)对于电势空间分布，使用勒让德级数解，比较容易获得正确的数字化结果，只需截断到第40阶勒让德多项式就可获得正确结果.2) 对于电场强度的空间分布，使用勒让德级数解，很难获得正确的数字化结果. 就均匀带电圆盘的电场强度而言，在r<a的区域内(特别是当z接近于0,即接近圆盘时)，使用级数U1计算到第600阶勒让德多项式(仅绘制图8，在作者的计算机上耗时就长达80 min)，仍然得不到准确数字化结果, 可见U1不是一个好级数.【相关文献】[1] 吴崇试．均匀带电薄圆盘的电势问题[J]．大学物理, 2000, 19(11)：1-4.[2] 林璇英，张之翔．电动力学题解[M]. 2版．北京：科学出版社，2007:152-157.[3] 贾秀敏．均匀带电圆环片的空间静电场[J]．大学物理, 2010, 29(8)：29-30.。
均匀带电圆环和圆盘圆心处的场强与电势的讨论
122科技资讯 SC I EN C E & TE C HN O LO G Y I NF O R MA T IO N动力与电气工程电磁学的基本内容之一就是对于均匀带电体的场强和电势的计算,电磁学的相关书中均有详细的介绍[1～4]。
然而对于均匀带电体中某些特殊点的场强与电势的问题却没有详细地讨论,而关于这些特殊点的场强与电势的理解又是非常重要的。
本文通过均匀带电体的电势与场强的求解过程来讨论这些特殊点的场强与电势。
1 均匀带电体的场强与电势将均匀带电体分割成无数多个电荷元dq,每一个电荷元dq可以看作一点电荷,点电荷在空间某点P产生的场强dE和电势dU 分别为:0204dq dE r r和04dq dU r 。
其中0r为电荷元dq到P点的矢径 r方向的单位矢量。
根据场强叠加原理和电势叠加原理,整个带电体在P点产生的总场强和总电势分别为:0204VVdqE dE r r和04V dq U dU r 。
若电荷连续分布在一体积内,用ρ表示电荷体密度,则式中dq dV ;若电荷连续分布在一曲面或平面上,用σ表示电荷面密度,则dq ds ;若电荷连续分布在一曲线或直线上,用λ表示电荷线密度,则dq dl 。
相应地计算总场强E和总电势 U 的积分分别为体积分、面积分和线积分。
2 均匀带电圆环和圆盘轴线上的场强真空中一均匀带电圆环,环半径为R,带电量q,圆环轴线上任一点P的场强。
首先取环的轴线为坐标x轴,轴上P点与环心的距离为x 。
在圆环上取线元d l ,它与P 点的距离为r ,如图1所示,则:2qdq dl dl R。
dq 在P点产生的场强dE 的方向如图,大小为204dl dE r 。
dE 与x轴平行的分量://20cos 4dl dE r 。
dE 与x轴垂直的分量:20sin 4dldE r 。
根据对称性可知,带电圆环上在同一直径两端取相等的电荷元在P点产生的场强垂直于x轴方向的分量相互抵消,所以P点的总场强方向沿x轴正向,即:23/22230220000cos 4444R L L L dl dl x x qxE dE dl r r r r R x 当0q 时,E沿x轴离开原点O的方向;当0q 时,E沿x轴指向原点O的方向。
求均匀带电圆盘的中心轴线上的场强
对于偶极子中点o M M M
M
M
M
2
2
qE sin
qE sin
M q E
P q
M PE
§1.5 电场线
1.5.1.电场线（E 线）
为形 象地描写场强的分布，引入 E 线。
1. E线上某点的切向
切线
即为该点
E 的方向 ；
E E线
2. E 线的密度给出 E 的大小。
N
S
N d N
E lim
解：设棒长 2 带电量为q
则电荷密度为 q 2
dE
如图建立坐标，考察中垂面上任一点p，根 据对称性，带电棒电荷在p点的场强在x方 向为零，合成的场强只有在y方向的分布。
y
p
r
dE
x+dx
棒上dx电荷元所产生的场强为
dx o x dx
x
dE
4
dq 0(x2
r2)
4
dx
0(x2
r2)
dE
cos r
2 0
R 0
(x2
rdr r2 )3 2
2 0
1
(
x2
x R2 )1 2
2
q
R 2 0
1
(x2
x R2 )1
2
方向为x轴
讨论：上述结论可推广
（1）均匀带电环形板中心轴线上的场强
R1
E
x 2 0
(
x
2
1 R12 )1
2
(x2
1 R22 )1
2
R2
（2）带圆孔的均匀带电无限大平板中心轴线上的场强
因高斯面内无净电
E
荷
e E ds Es 1 0
均匀带电圆盘轴线上的电场强度
均匀带电圆盘轴线上的电场强度可以通过库仑定律来计算。
假设我们有一个半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ，我们想要在盘的轴线上计算电场强度。
在轴线上选取一个与盘中心重合的点作为参考点。
假设我们要计算离盘中心距离为z处的电场强度。
根据库仑定律，轴线上的电场强度可以由下式给出：
E = (1 / (4πε₀)) * (2πσz / (z²+ R²)^(3/2))
其中，ε₀是真空中的介电常数（ε₀≈8.854 ×10^(-12) C²/(N·m²))。
这个公式表明，轴线上的电场强度随着离盘中心距离z的增加而减小。
当z远大于R时，电场强度的减小趋势变得更加明显。
需要注意的是，当z = 0时，即在圆盘上的中心点上，由于对称性的原因，电场强度为零。
而在z = R时，即在圆盘上的表面上，电场强度为最大值。
绕对称轴转动的均匀带电圆盘的磁场分布重点
绕对称轴转动的均匀带电圆盘的磁场分布机械茅班 杨婧 20091018摘 要：薄圆盘实现生活中高度对称的一类物体，应用广泛。
摩擦等一些方式使其带电，成为绕对称轴转动的均匀带电圆盘，由于转动产生电磁场，当带电量足够大和变速转动时的角加速度又比较大时，则产生的电磁辐射场将会干扰周围无线电接收机的正常工作，分析绕对称轴转动的均匀带电圆盘具有一定的现实意义。
本文从研究圆环电流出发，在圆盘上任取一个带电小圆环，小圆环转动形成电流，电流产生磁场，利用场强叠加原理得整个带电圆盘的电磁场。
关键词：匀速转动，麦克斯韦方程，推迟势，磁场强度一．推迟势的推导绕对称轴转动的均匀带电薄圆盘的电磁辐射场应满足麦克斯韦方程： (1)22220220221E E-()C 1J t tBB JC t ρμεμ∂∂∇=∇+∂∂∂∇-=∇⨯∂用矢势和标势为： （2）B AA E t ϕ=∇⨯∂=-∇-∂矢势和标势满足达朗贝方程和洛伦兹变换条件，于是（1）式得 （3）220222222021-C 110AA Jt C t A C t μϕρϕεϕ∂∇=-∂∂∇-=-∂∂∇+=∂方程（3）的解为： （4） ()()'0'0,,4,1,4r J r t c A r t dv rr r t c r t dv r μπρϕπε⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰⎰二．匀速转动时的磁场如图1所示，设圆盘在xoy 平面内，对称轴为z 轴，转动的角速度w 不变薄圆盘（厚度不计）均匀带电，电量为Q ，圆盘半径为R ，则电荷密度2Q R ρπ=.图1 薄圆盘匀速转动时的空间磁场在圆盘上任取一个细圆环，设圆环的半径为i R ，宽度为i dR ，则由于圆环转动时产生的电流为222i iQwR I dR R ππ=在圆环上任取一线元dl ，则 （5）()()3''''22[sin cos ]i i x y nQwR dR Idl e wt d wt e wt d wt R π=-+把（5）式代入（4）式得 （6） ()()()()''2''''12'0022011,[sin cos ],44i x y J r t QwR e wt d wt e wt d wt d A r t dv r R r πμμπππ-+==⎰⎰由叠加原理，（6）式得 （7）()()()2''''2022'22[sin cos ],2sin cos 4i x y a i i R e wt d wt e wt d wt QwA r t R r R r wt Rπμθπ-+=+-⎰⎰由于1i r i wR we e c c <<<<，得（8）'1i r R r rt t t t c c c -=-=-≈-利用幂级数()()23021!!11131351...1224246(2)!!1n n n x x x xn x ∞=-⋅⋅⋅=++++=-⋅⋅⋅-∑ 1x <（7）式的分母利用幂级数展开，同时设P 点在中远区，r>>Ri 级数只取二级近似值 （9）'22'111sin cos 2sin cos i i i R wt r r R r R r wt θθ⎛⎫≈+ ⎪⎝⎭+-把（8）式和（9）式代入（7）式积分得()()()()()32022,[sin cos ]1sin cos 4R ii r y QwR R A r t e kr wt e kr wt kr wt d kr wt Rrr πμθπ⎡⎤=--+-+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰20sin 0sin 221616yQwR QwR e e r r θθθμμππ== 其中ye e θ=，P 点选在Q=0上，由（2）式得，磁感强度为（10）()()()22002223,,sin 2cos sin 1616r QwR QwR B r t A r t Qe e e r r θθμμθθππ=∇⨯=∇⨯=+根据球坐标与直角坐标的关系：2222r x y z =++sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin r x y z x y x y z e e e e e e e e e e e ϕθθϕθϕθϕϕθϕθϕθ=++=-+=+-可求得均匀带电圆盘在yoz 平面内的磁感强度：()()()20322222203222222222223sin cos 162cossin 16cos sin y yz zQwR B e y zQwR B e y zzx y z x y x y z μθθπμθθπθθ=+=-+=+++=++（x=0)三．结果分析根据推导所得公式，利用物理数字平台模拟绕对称轴匀速转动的均匀带电圆盘的磁场分布情况，更加直观地得出圆盘周围磁场的变化规律。
带电薄圆盘的电场强度
带电薄圆盘的电场强度带电薄圆盘的电场强度这个话题，听起来是不是有点高深？别担心，我们今天就轻松聊聊这个看似复杂却其实挺有趣的内容。
想象一下，你在公园里，阳光明媚，周围的小朋友们在玩耍。
这时，你的目光被一个闪闪发光的圆盘吸引住了，那可不是普通的圆盘，它可是带电的哦！带电的东西可是会产生电场的，这就像你在沙滩上用手搅动水一样，会有波动出现，电场也是类似的概念。
咱们得搞明白，什么是电场？简单来说，电场就是一个区域，在这个区域里，带电的物体会感受到力的作用。
就像你在一个热闹的派对上，周围的人都会影响到你的心情一样。
而带电薄圆盘就像这个派对的主角，周围的一切都受它的影响。
这个圆盘，想象它是一张电力十足的“明星海报”，它的电场就像那张海报周围的吸引力，让人忍不住靠近。
咱们来看看这个电场强度的计算。
嘿，别急，虽然听上去像是在做数学题，但其实不难。
对于一个带电薄圆盘来说，它的电场强度跟圆盘的电荷量、半径以及距离都有关系。
想象你在给小朋友们讲故事，如果故事的精彩程度跟你讲的方式有关，那电场强度也是类似的，越有趣的故事，越能吸引人。
而在电场的世界里，这种吸引力可不是开玩笑的，它会在不同的距离和角度表现出不同的强度。
再说说这个电场强度的公式，虽然数学公式一提到就让人有点头疼，但其实它背后的意义很简单。
我们用到的公式是E = kQ/r²，听上去是不是有点像密码？别担心，咱们分开来看。
E就是电场强度，k是一个常数，Q是圆盘的总电荷，r是你和圆盘的距离。
就像你在看一场表演，离舞台越近，看到的越清楚，电场的强度也是这样，离得越近，感觉越明显。
不同的带电薄圆盘也会有不同的电场强度。
比如说，假如你有一个电荷量超大的圆盘，那它发出的电场就会像一股强烈的风，瞬间把你吹到一个新的高度。
而如果是一个电荷量小的圆盘，可能只是轻轻地吹拂一下，让你感受到一丝凉爽。
这个变化就像朋友间的聚会，有的人特别活跃，有的人则比较内敛。
当然了，带电薄圆盘的电场强度不仅仅是个理论问题，生活中也随处可见。
圆形均匀带电薄板电场的数值积分和可视化
圆形均匀带电薄板电场的数值积分和可视化
圆形均匀带电薄板电场研究主要用来研究一个圆形的均匀带电薄板的电场分布
以及电位的变化情况，其研究结果可以应用于众多场合，如无线电场、贴片定位等。
本文主要介绍圆形均匀带电薄板电场研究的基本理论和方法。
首先，我们研究圆形均匀带电薄板电场的基本理论，圆形均匀带电薄板电场通
常是在薄板的贴片面上产生的自有电场。
这种自有电场的分布是非常简单的，其特性依赖于薄板的形状、表面带电密度以及外加的电场。
除此之外，这种自有电场也会受到外部物体围绕圆形薄板所产生的电场的影响，这种外部物体产生的电场可以通过解析法来计算出来，它也可通过数值积分来研究，在数值积分过程中，会用到可以精确表示薄板贴片面电势的积分公式，并通过循环迭代计算出薄板贴片面的电位。
从理论角度出发，圆形均匀带电薄板的数值积分主要通过以下几种方法实现：
一种是利用积分形式的方法，这个方法显然比较麻烦，用到的计算都比较复杂；另一种是以微元为基础的数值积分，这种方法相对比较容易，因为我们可以用简单的微元几何来模拟薄板的曲面，并根据电场分布准则来计算每个微元上的电位，最后根据简单的求和公式就可以得到圆形薄板贴片面上电位的整体情况。
最后，我们介绍一下圆形均匀带电薄板电场研究结果的可视化，一般来说，我
们用矢量场技术和三维显示图形技术来可视化圆形薄板上的电场分布和电位的变化情况，这样就可以把抽象的研究结果直观的展示出来，从而使结果更加直观、形象、易懂。
总之，圆形均匀带电薄板电场是一种基本而重要的研究内容，它的研究可以帮
助我们了解圆形薄板上电场分布和电位的变化情况，从而有助于我们对贴片定位以及无线电的设计和应用，因此，圆形均匀带电薄板电场的研究不可或缺。
均匀带电细圆环的电势和电场强度的空间分布
均匀带电细圆环的电势和电场强度的空间分布电场理论是物理学中非常重要的一部分，而均匀带电细圆环是电场问题中的经典模型之一。
具体到这个问题本身，我们需要关注的是该圆环在空间中的电势和电场强度的分布规律。
通过对这一问题的深入探讨，我们可以更好地理解电荷和电场之间的相互作用规律，从而探求物质世界中微观粒子行为的奥秘。
我们来分析均匀带电细圆环的电势分布。
在距离圆环轴线的位置点上，圆环的电势可以表示为：\[V =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qR^2}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\]其中，\(V\) 表示电势，\(\epsilon_0\) 是真空介电常数，\(q\) 是圆环上的电荷量，\(R\) 是圆环的半径，\(z\) 是观察点到圆环轴线的距离。
从这个公式可以看出，均匀带电细圆环的电势分布与观察点到圆环轴线的距离 \(z\) 有关。
当 \(z\) 较小时，电势随之而增加；当 \(z\) 较大时，电势则呈现迅速衰减的趋势。
这种分布规律反映了电场在空间中的分布特点。
我们还可以推导出圆环中心的电势为零，这与电势的参考点选取有关。
接下来，我们来看均匀带电细圆环的电场强度分布。
在圆环轴线上某一点的电场强度大小可以表示为：\[E =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2qz}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\]这个公式告诉我们，均匀带电细圆环的电场强度与电荷量 \(q\)、观察点到圆环轴线的距离 \(z\) 以及圆环半径 \(R\) 相关。
当观察点距离轴线较近时，电场强度随之增大；而当距离较远时，电场强度则迅速减小至零。
这种分布规律与电场中极化电荷的排列方式密切相关，能够帮助我们更好地认识电场的物理本质。
均匀带电细圆环的电势和电场强度的空间分布呈现出一种随距离变化的规律。
在靠近圆环轴线的位置，电势和电场强度都具有较大的数值；而随着观察点与圆环的距离增加，电势和电场强度会逐渐减小。
电磁场与电磁波(电磁场理论)第二章
例2.7.6 球形电容器的内导体半径为a ，外导体内半径为b，
设内球带电荷为q ，外球壳带电荷为-q ，求两球壳间的电场和极
q q
,
2
1
即为切向分量。根据边界条件可知
但 。由高斯定理，有
q q
2
1
处:
处:
相互抵消。 在圆环的中心点上，即z = 0 磁感应强 度最大
当场点P 远离圆环，即z >> a 时
3. 利用安培环路定理计算磁感应强度
在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路 定理计算磁感应强度。 例2.3.2 求电流面密度为 感应强度。 解：分析场的分布，取安培环路如图，则 的无限大电流薄板产生的磁
以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H 和 D 代入式
由
例2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为 区域的媒质参数为 强度为 媒质2中的电场强度为 （1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度 （3）验证 和 满足边界条件。 和
, z>0 。若媒质1中的电场
；
解:（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0 处，有
例 2.6.2 在无源
电场强度矢量
的电介质
中，若已知
，式中的E0为振幅、ω为
角频率、k 为相位常数。试确定 k 与ω 之间所满足的关系，并求
出与
相应的其他场矢量。
解： 是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利
用麦克斯韦方程组可以确定 k 与ω 之间所满足的关系，以及与
相应的其他场矢量。
对时间 t 积分，得
的球形电介质内的极化强
，式中的 k 为常数。（1）计算极化电荷体密度 解：（1）电介质球内的极化电荷体密度为
均匀带电薄圆盘场强分布的研究
均匀带电薄圆盘场强分布的研究黎印中(贵州师范大学物理与电子科学学院 贵阳 550001)摘要：通过对均匀带电细圆环空间电场的求解。
在利用电场的叠加原理，导出均匀带电薄 盘在场点与源点的距离大于圆盘半径时，电场的级数表达式。
关键词：细圆环；电场；薄圆盘；叠加原理；级数表达式Uniformly charged thin disc field distribution ofAbstract: Based on a uniformly charged ring solution of the electric field of space.The use of electric field superposition principle, derived the presence of a uniformly charged thin disc-point distance from the source point is larger than disc radius, the electric field of the series expression.Key words: fine ring; electric field; thin disk; superposition principle; series expression1 引言在大学物理教材上，均匀带电薄圆盘作为一个典型的带电模型，常常需要求其空间的电场分布。
本文借助文献[2]求出的均匀带电细圆环电场的空间分布，通过电场的叠加原理，导出均匀带电薄圆盘在以圆盘的中心为球心，以圆盘的半径为球半径的球外空间的电场分布。
2 均匀带电细圆环的电场分布的级数解设圆环的半径为0r ，电荷线密度为λ。
选择在球坐标系中，如图所示，由对称性可知，带电细圆环的电场分布关于z 轴对称。
因此，电场分布与ϕ无关。
为了计算的方便，只求在xoz 平面的任意一点的p 处的电场，就可以代表整个空间的电场分布。
均匀带电薄圆盘在垂直于盘面轴线上任一点电场强度的等效算法
第41卷第12期2020 年物 理教师PH Y SIC S T E A C H E RVol. 41 No. 12(2020)•高考命题研究•均匀带电薄圆盘在垂直于盘面轴线上任一点电场强度的等效算法杨钩捷汪飞(江苏省海门中学，江苏南通226100)摘要：利用微元法证明了电荷面密度均匀的带电薄圆盘在垂直于盘面轴线上任一点处的电场强度与相对应的电荷面密度相同的球冠面上所有面元电荷在球心处产生电场强度大小的代数和是相等的.关键词：电场强度；电荷面密度；薄圆盘；球冠面均匀带电薄圆盘在垂直于盘面轴线上任一点的电场强度可以用微积分进行计算，这里介绍一种等效算法来计算均匀带电薄圆盘在垂直于盘面轴线上任一点的电场强度.例 1.如图1所7K，圆锥体O—S的顶点为〇,底面面积为S，顶角为20。
，垂直于底面对称轴为3/轴，底面的圆心为C、半径为L为底面的直径，〇A、O B为圆锥体的母线.以〇为球心，〇C=a为半径作球面与圆锥体O—S的侧面相交得到相切于圆锥底面的顶角为20。
、半径为a、面积 为5,的球冠面.若在圆锥底面S处放置电荷面密度为的薄圆盘，在球冠面S,处放置电荷面密度同为的薄球冠面.各面上电荷不能自由移动.求证：薄圆盘S上面电荷在O点的电场强度等于球冠面S,上的所有面元电荷crAS,在O点产生场强大小的代数和£：=证明：如图2所示，在圆盘上与轴线夹角为(9处P点处选取微小面元A S，面元电荷为c t A S，〇P=r=—’连接〇点与面元A S周围的点在球冠面上截得面元AS,，面元AS,对应的立体角Ar2 =#，过P点作a垂直于O P的微小面元AS2，有AS2 =AScos0，由于面元AS,和AS2对应的立体角相同，存在几何关系△s2AS,~~2~根据对称性，带电薄圆盘ffS在轴线y轴上 处产生的场强沿轴线方向，薄圆盘S上的面元电荷(7A S在O点的场强沿y轴的分量为•cosd=k a-^=ka AS j~~2~上式中々为球冠面S,上的面元电荷M S,在O点场强的大小=得到薄圆a盘上的面元电荷ffAS在轴线上〇点产生场强沿轴线的分量大小等于球冠面上面元电荷aA S,在球心〇点产生场强的大小，即AEV=AE.由于圆盘面上的各面元A S与球冠面上的各面元AS,具有 一一对应关系，则薄圆盘在轴线y轴上O点的场强£ ==々&I] AS,=々今，得到电荷a^a面密度为a的薄圆盘s在垂直于盘面轴线上〇点 的场强与相对应的电荷面密度同样为<7的球冠面上所有面元电荷ff A S i在球心O点处场强大小A£=6^i(注意：不是^轴线方向的分量）的代数和^；A£是相等的.说明：（1)球冠面的表面积5,=2tw2 (1 —cos(9。
静电场之均匀带电圆环圆盘和圆圈在轴线上的电场
bO
d RR
U 2kπ (
z2 a2
z2
b2
)
2kQ a2 b2
(
z2 a2
在z = 0处 z2 b2 ) 的电势为
如果b = a，可得带电圆环中心的电势U = kQ/a； 如果b = 0，则得带电圆盘中心的电势U = 2kQ/a。
U 2kQ ab
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
1
kQ
成圆环，轴上电势为
z2 a2 z2 b2
z2 a2
轴上 场强
E
2kQz
z2 a2 z2 b2
( z2 a2 z2 b2
a2 b2
)
2kQz
(
1
z2 a2 z2 b2 z2 a2
) z2 b2
(z2
kQz a2
)3/ 2
.
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
圆盘电荷在中心附近产生 的场强最大，该场强表示 “无限大”带电平面的场 强；圆盘两边的场强方向 不同，因而不连续。
当距离增加时，场强 持续减小；当|z| > 3a 时，圆盘电荷的场强 接近于点电荷的场强。
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀带电圆圈，带电量 为Q(Q > 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同 宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？
b2 kQ
a2 b2 [(1 2z2 ) (1 2z2 )] | z |
E
2kQz (a2 b2) |
[(1 z|
b2 z2
)1/
2
(1
a2 z2
绕对称轴转动的均匀带电圆盘的磁场分布
绕对称轴转动的均匀带电圆盘的磁场分布机械茅班 杨婧 20091018摘 要：薄圆盘实现生活中高度对称的一类物体，应用广泛。
摩擦等一些方式使其带电，成为绕对称轴转动的均匀带电圆盘，由于转动产生电磁场，当带电量足够大和变速转动时的角加速度又比较大时，则产生的电磁辐射场将会干扰周围无线电接收机的正常工作，分析绕对称轴转动的均匀带电圆盘具有一定的现实意义。
本文从研究圆环电流出发，在圆盘上任取一个带电小圆环，小圆环转动形成电流，电流产生磁场，利用场强叠加原理得整个带电圆盘的电磁场。
关键词：匀速转动，麦克斯韦方程，推迟势，磁场强度一．推迟势的推导绕对称轴转动的均匀带电薄圆盘的电磁辐射场应满足麦克斯韦方程： (1)220220220221E E-()C 1Jt tB B JC t ρμεμ∂∂∇=∇+∂∂∂∇-=∇⨯∂用矢势和标势为： （2）B AA E t ϕ=∇⨯∂=-∇-∂矢势和标势满足达朗贝方程和洛伦兹变换条件，于是（1）式得 （3）220222222021-C 110A A Jt C t A C t μϕρϕεϕ∂∇=-∂∂∇-=-∂∂∇+=∂方程（3）的解为：（4）()()'0'0,,4,1,4r J r t c A r t dv rr r t c r t dv r μπρϕπε⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰⎰二．匀速转动时的磁场如图1所示，设圆盘在xoy 平面内，对称轴为z 轴，转动的角速度w 不变薄圆盘（厚度不计）均匀带电，电量为Q ，圆盘半径为R ，则电荷密度2Q R ρπ=.图1 薄圆盘匀速转动时的空间磁场在圆盘上任取一个细圆环，设圆环的半径为i R ，宽度为i dR ，则由于圆环转动时产生的电流为222i iQwR I dR R ππ=在圆环上任取一线元dl，则（5）()()3''''22[sin cos ]i ix y nQwR dRIdl e wt d wt e wt d wt R π=-+把（5）式代入（4）式得 （6）()()()()''2''''12'0022011,[sin cos ],44i x y J r t QwR e wt d wt e wt d wt d A r t dv r R r πμμπππ-+==⎰⎰由叠加原理，（6）式得 （7）()()()2''''2022'22[sin cos ],2sin cos 4i x y a i i R e wt d wt e wt d wt Qw A r t R r R r wt Rπμθπ-+=+-⎰⎰由于1i r i wR w e e c c <<<< ，得（8）'1ir R r r t t t t ccc -=-=-≈-利用幂级数()()23021!!11131351...1224246(2)!!1n n n x x x xn x ∞=-⋅⋅⋅=++++=-⋅⋅⋅-∑ 1x <（7）式的分母利用幂级数展开，同时设P 点在中远区，r>>Ri 级数只取二级近似值 （9）'22'111sin cos 2sin cos i i i R wt r r R r R r wt θθ⎛⎫≈+ ⎪⎝⎭+-把（8）式和（9）式代入（7）式积分得()()()()()32022,[sin cos ]1sin cos 4R i i r y QwR R A r t e kr wt e kr wt kr wt d kr wt Rr r πμθπ⎡⎤=--+-+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰20sin 0sin 221616y QwR QwR e e r r θθθμμππ== 其中ye e θ= ，P 点选在Q=0上，由（2）式得，磁感强度为（10）()()()22002223,,sin 2cos sin 1616r QwR QwR B r t A r t Qe e e r r θθμμθθππ=∇⨯=∇⨯=+根据球坐标与直角坐标的关系：2222r x y z =++sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin r x y z x y x y z e e e e e e e e e e e ϕθθϕθϕθϕϕθϕθϕθ=++=-+=+-可求得均匀带电圆盘在yoz 平面内的磁感强度： ()()()20322222203222222222223sin cos 162cos sin 16cos sin y yz z QwR B e y z QwR B e y z zx y z x y x y z μθθπμθθπθθ=+=-+=+++=++（x=0)三．结果分析根据推导所得公式，利用物理数字平台模拟绕对称轴匀速转动的均匀带电圆盘的磁场分布情况，更加直观地得出圆盘周围磁场的变化规律。
均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度
均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度1. 电场的基本概念好啦，朋友们，今天咱们来聊聊电场！听起来可能有点严肃，但别担心，我们会把它讲得轻松点。
电场呢，简单来说，就是一个看不见的“力量场”，就像你在公园里看到的那股风，虽然看不见，但能感受到对你吹来的力。
电场是由带电物体产生的，像是有些小调皮的电子，围绕着它们的小伙伴们聚集。
要是我们有一个均匀带电的薄圆盘，哇，那可真是个有趣的现象！在这圆盘的轴线上，电场强度可大得很，真是让人惊喜。
2. 圆盘的电场强度2.1 圆盘的形状和电荷分布想象一下，一个薄薄的圆盘，像个大饼一样，均匀地分布着电荷。
这个电荷就像撒在饼上的糖霜，均匀又甜蜜。
无论你在圆盘的哪个地方，电荷都能感受到它们的力量。
这个电场的强度，跟圆盘的半径、厚度、带电量都有关系。
带电量越多，电场就越强，简直是“越大越好”嘛！2.2 计算电场强度要想知道这个电场的强度，该怎么做呢？其实，咱们可以用个公式来计算。
简单来说，就是把电荷分布看成一系列小电荷，然后对每个小电荷产生的电场进行积分，最后把它们加起来。
听起来有点复杂，但其实就像拼拼图一样，一块块拼在一起，最后拼出一个完整的电场。
大概公式是这样的：( E = frac{1{4piepsilon_0 cdot frac{Q{z^2 cdotfrac{1{(1 + frac{R^2{z^2)^{3/2 )。
如果你没听懂，没关系，数学不重要，重要的是这个电场真的是可以带给我们许多乐趣的。
3. 实际应用3.1 电场的应用场景那么，这个电场强度有什么用呢？嘿嘿，很多呢！比如在医疗领域，咱们可以用电场来进行一些治疗。
想象一下，电场就像是个医生，能够帮助身体里坏掉的细胞恢复健康，真是神奇得让人想赞叹！还有工业上，电场也能用来控制一些材料的性质，真是个全能的小家伙。
3.2 生活中的电场生活中，电场其实无处不在。
你走在地上，身边的电子在忙着工作；打开电视，里面的电子也在欢快地跳动。
均匀带电半球体轴线上的场强分布求解探讨
第３９卷第１０期大 学 物 理Ｖｏｌ．３９Ｎｏ．１０２０２０年１０月ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳＯｃｔ．２０２０ 收稿日期：２０２０－０２－０８；修回日期：２０２０－０５－１０ 基金项目：２０１６年成都师范学院教改项目《地方师范院校师范生大学物理课程教学改革的研究与实践》（２０１６ＪＧ１４）资助 作者简介：吴显云（１９７５—），男，四川宣汉人，成都师范学院物理与工程技术学院讲师，硕士，主要从事电磁学和大学物理教学．均匀带电半球体轴线上的场强分布求解探讨吴显云，李 斌（成都师范学院物理与工程技术学院，四川成都６１１１３０）摘要：对于均匀带电半球体，因电荷分布不具有高度对称性不能利用高斯定理求其轴线上的电场分布，采用场强叠加原理和电势梯度两类多种方法经严格地推导求出了其轴线上任一点电场强度分布的解析解，结果表明均匀带电半球体内外轴线上各个区域电场强度分布的解析解不同，虽然采用的方法不同，但是得到的结论是一致的．对于均匀对称分布的带电体，选取合适的电荷元，利用场强叠加原理求解场强分布比较简捷，而电荷非均匀对称分布利用叠加原理求解较困难时，可采用电势梯度求解．关键词：场强分布；均匀带电半球体；叠加原理；电势梯度；解析解中图分类号：Ｏ４４１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００ ０７１２（２０２０）１０ ００２２ ０７【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．２０００３３电场强度（场强）是表示电场力学特性的物理量，它具有强弱和方向特征，是矢量．场强的求解是电磁学的重要内容之一，当带电体电荷分布已知时，一般可用场强叠加原理、高斯定理和电势梯度等三类方法求解场强．在电磁学的教学中经常会讨论均匀带电球面、均匀带电球体等电荷分布具有高度对称性的带电体的电场分布，一般利用高斯定理求解．对于这些均匀带电体的一部分，如均匀带电半球面、均匀带电半球体，因电荷分布不具有高度对称性不能利用高斯定理求出其电场分布［１］，可以利用场强叠加原理和电势梯度两类方法求其轴线上任一点的场强分布．本文利用叠加原理和电势梯度两类多种方法求解，探讨均匀带电半球体内外轴线上任一点的场强分布．设均匀带电半球体的半径为Ｒ，电荷体密度为ρ．１ 用场强叠加原理求解均匀带电半球体轴线上的场强１．１ 直接选取基本体积元为电荷元如图１所示建立球坐标系，以半球体球心为坐标原点，半球体轴线为Ｏｚ轴，体积元的体积为ｄτ＝ｒ２ｓｉｎφｄφｄθｄｒ，所带电荷量为ｄｑ＝ρｄτ＝ρｒ２ｓｉｎφｄφｄθｄｒ，它到轴线上任一点Ｐ的距离为ｒ１＝ｒ２＋ｚ２＋２ｒｚｃｏｓ槡φ．图１ 体积元为电荷元示意图体积元在Ｐ点处产生的场强大小为ｄＥＰ＝１４πε０ρｒ２ｓｉｎφｄφｄθｄｒｒ２＋ｚ２＋２ｒｚｃｏｓφ方向如图１所示．设元场强ｄＥＰ与Ｏｚ轴正方向的夹角为α，其余弦为ｃｏｓα＝ｚ＋ｒｃｏｓφｒ２＋ｚ２＋２ｒｚｃｏｓ槡φ，则元场强沿Ｏｚ轴方向的分量大小为ｄＥｚ＝ｄＥＰｃｏｓα，方向沿Ｏｚ轴正方向［２］．因为均匀带电半球体上φ相同的电荷元在场点Ｐ处产生的元场强矢量都是关于Ｏｚ轴对称分布的，所以在该点处垂直于Ｏｚ轴的元场强分矢量ｄＥ⊥相互抵消，则场点Ｐ处的总场强平行于Ｏｚ轴［３］，其大小为第１０期 吴显云，等：均匀带电半球体轴线上的场强分布求解探讨２３ＥＰ＝１４πε０∫Ｒ０ｒ２ｄｒ∫π２０ρ（ｚ＋ｒｃｏｓφ）ｓｉｎφｄφ（ｒ２＋ｚ２＋２ｒｚｃｏｓφ）３２∫２π０ｄθ＝ρ２ε０∫Ｒ０ｒ２ｄｒ∫π２０－（ｚ＋ｒｃｏｓφ）ｄ（ｃｏｓφ）（ｒ２＋ｚ２＋２ｒｚｃｏｓφ）３２（１）令ｃｏｓφ＝ｔ，当ｚ≠０时，被积函数分子、分母同乘以２ｚ，得ＥＰ＝ρ２ε０∫Ｒ０ｒ２ｄｒ∫１０ｒ２＋ｚ２＋２ｒｚｔ＋ｚ２－ｒ２２ｚ（ｒ２＋ｚ２＋２ｒｚｔ）３２ｄｔ＝ρ２ε０∫Ｒ０ｒ２ｄｒ１２ｚ∫１０ｄｔ（ｒ２＋ｚ２＋２ｒｚｔ）１２＋[ｚ２－ｒ２２ｚ∫１０ｄｔ（ｒ２＋ｚ２＋２ｒｚｔ）３２]＝ρ２ε０ｚ２∫Ｒ０ｒ２ｄｒ（ｒ＋ｚｒ２＋ｚ２＋２槡ｒｚ－ｒｒ２＋ｚ槡２）（２）此结果的条件是ｚ≠０，对于球心处（ｚ＝０）的场强计算后面再给出．均匀带电半球体内、外轴线上各个区间内的电场强度具有不同的表达式，其中ｚ＝０和ｚ＝－Ｒ分别为半球体的圆面和球面与Ｏｚ轴的交界点，故作如下分段讨论．当ｚ＞０时ＥＰ＝ρ２ε０ｚ２∫Ｒ０ｒ２１－ｒｒ２＋ｚ槡２()ｄｒ＝ρ６ε０ｚ２［Ｒ３－２ｚ３＋（２ｚ２－Ｒ２）Ｒ２＋ｚ槡２］（３）方向沿Ｏｚ轴正方向．当ｚ＜－Ｒ时ＥＰ＝ρ２ε０ｚ２∫Ｒ０ｒ２－１－ｒｒ２＋ｚ槡２()ｄｒ＝ρ６ε０ｚ２［２ｚ３－Ｒ３＋（２ｚ２－Ｒ２）Ｒ２＋ｚ槡２］（４）方向沿Ｏｚ轴负方向．当－Ｒ≤ｚ＜０时ＥＰ＝ρ２ε０ｚ２∫－ｚ０ｒ２－１－ｒｒ２＋ｚ槡２()ｄｒ＋ρ２ε０ｚ２∫Ｒ－ｚｒ２（１－ｒｒ２＋ｚ槡２）ｄｒ＝ρ６ε０ｚ２［Ｒ３＋４ｚ３＋（２ｚ２－Ｒ２）Ｒ２＋ｚ槡２］（５）方向与Ｐ点在半球体内轴线上所处具体位置有关．当ｚ＝０时，将ｚ＝０代入式（１）可得半球体球心处的场强大小为Ｅｏ＝ρ４πε０∫Ｒ０ｄｒ∫π２０ｓｉｎ ｃｏｓ ｄ ∫２π０ｄθ＝ρＲ４ε０（６）方向沿Ｏｚ轴正方向．上述式（３）—式（６）即为均匀带电半球体轴线上各个区域的场强分布的解析解．图２为均匀带电半球体轴线上的电场强度Ｅ随轴线坐标ｚ变化的曲线．数值模拟计算时，所用参数电荷体密度ρ为０．０１Ｃ／ｍ３，半径Ｒ为０．０１ｍ．由图２可以看出，当ｚ＜－Ｒ时，场强大小随着ｚ的减小而减小，方向沿Ｏｚ轴的负方向，当－Ｒ≤ｚ＜０时，场强大小随着ｚ的增大先由大变小直到０（此处ｚ≈－４．２３×１０－３），然后由小变大，方向先是沿Ｏｚ轴的负方向然后变为沿Ｏｚ轴的正方向，当ｚ＞０时，场强大小随着ｚ的增大而减小，方向沿Ｏｚ轴的正方向．在分界点ｚ＝－Ｒ和ｚ＝０处场强是连续分布的（ｚ＝－１．０×１０－８、ｚ＝１．０×１０－８和ｚ＝０时，Ｅ＝２．８２５×１０６），且在ｚ＝－Ｒ和ｚ＝０处场强取极值，均匀带电体的场强从薄层的一壁到另一壁是连续变化的，只是由于过渡到面模型（把薄层厚度看做零）才出现突变［４］．图２ 半球体轴线上Ｅ随ｚ变化的曲线图３ 相对的半球体轴线上Ｅ随ｚ变化的曲线２４ 大 学 物 理 第３９卷图４ 球体轴线上Ｅ随ｚ变化的曲线图３为相对的半球体轴线上的电场强度Ｅ随轴线坐标ｚ变化的曲线。
均匀带电细圆环电场的分布
均匀带电细圆环电场的分布
首先，要了解均匀带电细圆环电场，我们需要知道它是如何构成的。
圆环电场是一种结构性电场，由一圈电荷组成，电荷量为正或负，半径为R。
其中，电荷分布是均匀分布的，即电荷是等距分布的，因此它形成的电场也是均匀的。
其次，我们可以利用牛顿环形定律来推导均匀带电细圆环电场的电场强度。
牛顿环形定律的公式为：E=KQ/R^
2，其中K为常数，Q为电荷量，R为圆环半径。
因此，
可以推导出均匀带电细圆环电场的电场强度为：E=Kq/R^
2，其中，K为常数，q为每个电荷的电荷量，R为圆环半径。
最后，我们可以利用均匀带电细圆环电场来解决实际问题。
例如，均匀带电细圆环电场可以用来研究电磁波的传播，以及电磁学中的各种其他问题。
此外，它还可以用来模拟电子束在电子镜中的轨迹，以及一些物理实验中的重要现象。
半径为r的均匀带电圆盘,电荷面密度为
半径为r的均匀带电圆盘,电荷面密度为ρ，对一点P产生的电场。
---1. 介绍在物理学中，对于半径为r的均匀带电圆盘，我们常常需要研究其对某一点产生的电场分布情况。
圆盘的电荷面密度ρ则是决定电场强度的重要因素。
接下来，本文将深入探讨这一主题，以帮助读者更深入地了解半径为r的均匀带电圆盘对一点P产生的电场。
2. 电场定义我们需要了解电场的定义。
电场是指某一空间中，电荷所受到的力的作用。
在这个主题中，我们将研究带电圆盘对某一点P产生的电场强度。
3. 电场的计算公式带电圆盘对某一点P产生的电场可以通过公式来计算。
根据电场的定义，我们可以推导出公式。
我们也需要考虑电场叠加原理，来获得更加准确的结果。
4. 对于半径为r的均匀带电圆盘的电场分布在这一部分，我们将深入研究半径为r的均匀带电圆盘对某一点P产生的电场分布情况。
我们将分析不同点P的位置所受到的电场强度，以便更好地理解电场的特性。
5. 电荷面密度ρ的影响接下来，我们将讨论电荷面密度ρ对电场的影响。
通过改变电荷面密度ρ，我们可以观察到电场强度的变化规律。
这对于进一步理解电场的性质非常重要。
6. 个人观点和理解从我的个人观点来看，半径为r的均匀带电圆盘对一点P产生的电场的研究可以帮助我们更好地理解电场的分布规律，同时也能够深入探讨电场强度受到各种因素影响的情况。
通过这篇文章的阅读，我相信读者对这一主题会有更深入的了解和认识。
7. 总结半径为r的均匀带电圆盘对一点P产生的电场是一个复杂而又有趣的物理学问题。
通过本文的阐述，我们希望读者能够更清晰地理解这一主题，并且对电场的研究有更加深入的认识。
---通过以上内容的探讨，我将撰写一篇深度和广度兼具的中文文章，帮助你更好地理解半径为r的均匀带电圆盘对一点P产生的电场。
文章将以知识格式进行撰写，包括详细的内容和个人观点的共享。
文章总字数将超过3000字，确保全面、深刻和灵活地展现这一主题。
我们首先可以从电场的定义出发，详细介绍电场的概念和性质。
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均匀带电薄圆盘场强分布的研究黎印中(贵州师范大学物理与电子科学学院 贵阳 550001)摘要：通过对均匀带电细圆环空间电场的求解。
在利用电场的叠加原理，导出均匀带电薄 盘在场点与源点的距离大于圆盘半径时，电场的级数表达式。
关键词：细圆环；电场；薄圆盘；叠加原理；级数表达式Uniformly charged thin disc field distribution ofAbstract: Based on a uniformly charged ring solution of the electric field of space.The use of electric field superposition principle, derived the presence of a uniformly charged thin disc-point distance from the source point is larger than disc radius, the electric field of the series expression.Key words: fine ring; electric field; thin disk; superposition principle; series expression1 引言在大学物理教材上，均匀带电薄圆盘作为一个典型的带电模型，常常需要求其空间的电场分布。
本文借助文献[2]求出的均匀带电细圆环电场的空间分布，通过电场的叠加原理，导出均匀带电薄圆盘在以圆盘的中心为球心，以圆盘的半径为球半径的球外空间的电场分布。
2 均匀带电细圆环的电场分布的级数解设圆环的半径为0r ，电荷线密度为λ。
选择在球坐标系中，如图所示，由对称性可知，带电细圆环的电场分布关于z 轴对称。
因此，电场分布与ϕ无关。
为了计算的方便，只求在xoz 平面的任意一点的p 处的电场，就可以代表整个空间的电场分布。
在xoz 平面内任取一场点p （r ，θ，0），在圆环上任取一电荷元dq ，源点),2,(0ϕπr dl各自位矢为rr e r =，rr 01e r =。
所以1r e r e r r r r r--=='。
由球坐标基矢),,(e e e rϕθ与直角坐标基矢),,(e e e z y x 之间的变换关系为[1]ϕϕϕθϕθsin cos cos cos sin e e r e x e θ-⋅+⋅=ϕϕϕθϕθθcos sin cos sin sin e e r e y +⋅+⋅=eθθsin cos e θe r e z -=所以p 点的e x ，e y ，e z 分别为θθcos sin e θe r +=e e y ϕ=θθcos cos e θe r e z -=[]e e e e e e e r θr θy x 0e r ϕϕϕϕϕϕϕϕϕsin cosθcos sinθcos sin cosθsinθcos sin cos r r r r r r r 0000000++=++=+=又()()e e e e e e r r θrθr ϕϕϕθϕθϕϕθϕθϕsin cos cos sin cos sin cos cos sin cos 0000010r r rrr r r rr -⋅-⋅-=++-=-=-=∴'e e r r r r r r 0又在直角坐标系中p(rsin θ,0,rcos θ)，)0,sin ,cos (00ϕϕr r dl 。
所以p,dl 之间的距离| r '|=()()()22020cos sin cos sin θϕϕθr r r r ++-=()210202cos sin 2ϕθrr r r -+ 令A= 202r r +2020sin 2r r rr B +=θ所以| r '|=()21211ϕBCOS A -,而电荷元dq=λr 0d ϕ，dq 在p 点产生的电场dE()23230030030cos 1444ϕπεϕλπεϕλπεB A r d r r r d r r r dq E d -'⋅⋅=''⋅⋅=''⋅=又E d在球坐标下的三个分量为()()2323000cos 14cos sin ϕπεϕϕθλB A d r r r E d r-⋅-⋅=' （1）()2323020cos 14cos cos ϕπεϕϕθλθB A d r E d -⋅-=' （2）()2323020cos 14sin ϕπεϕϕλϕB A d r E d -⋅-='（3）对<1>、<2>、<3>积分得()⎰⋅--='πϕϕϕθπελ202302300cos 1cos sin 4d B r r A r E r （4） ()⎰⋅--='πθϕϕϕπεθλ202323020cos 1cos 4cos d B Ar E （5）()⎰⋅--='πϕϕϕϕπελ202323020cos 1sin 4d B Ar E （6）因为⎰⎩⎨⎧=⋅ππϕϕ2020cos 为正偶数为正奇数n C n d nn其中24)6)(4)(2(13)5)(3)(1(⋅⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⋅---=n n n n n n n C n因为1sin 2220<+=r r rr B θ，所以()23cos 1--ϕB 可作泰勒展开()()()()⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅++=--nn B D B B B B ϕϕϕϕϕcos cos 2!3357cos 2!235cos 231cos 1332223nn n n n D 2!13)12)(12(⋅⋅⋅⋅⋅-+= 所以()()∑⎰⎰∞=++⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅++-=⋅--='5,3,1123020133230202022230202023230204cos 224132!335721234cos )cos ()cos (2!235cos 231cos 4cos cos 1cos 4cos k k k k k k k nn C B D A r C B D B B A r d B D B B Ar d B A r E πεθλππεθλϕϕϕϕϕπεθλϕϕϕπεθλππθ()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⋅=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---='∑∑∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞=+∞=∞=+∞=+∞=+--5,3,1106,4,223005,3,1106,4,2230013306,4,2230020132220230022230022200230020222300202023023230020230232300sin )(22sin )(224224132!33572123sin 2)(14cos cos 2!235cos 23cos sin 42212!23514)cos ()cos (2!235)cos (231cos sin 4)cos ()cos (2!235)cos (2314cos 1cos sin cos 14cos 1cos sin cos 14k k kk n n n n k k kk n n n n k kk n n n n n n n n n n nn nn r C B D r C B D r r A r C B D r C B D r r Ar C B D B B r C B D r A r d B D B B r A r C B D B r A r d B D B B r A r d B D B B r A r d B r d B r Ar d B r B r Ar E θελπθπππελπθππελϕϕϕϕϕθπελππελϕϕϕϕθθπελϕϕϕϕπελϕϕϕθϕϕπελϕϕϕθϕπελππππππ2 均匀带电薄圆盘的电场分布又均匀带电薄圆盘是由无数均匀带电细圆环组成，用电场叠加原理，球出组成薄圆盘的所在细圆环在P 点处的场强，就可代表整个圆盘在空间中的电场分布了。
设均匀带电薄圆盘的电荷面密度为σ，圆盘的半径为a,距圆心0r 处，宽度为0dr 的细圆环的电荷线密度为λ=0dr σ，于是P 点的电场为()⎰⋅∑∞=+⋅+-⎰⎰⋅∑∞=+⋅+⋅+⋅=⎰⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅++=adr k k C k B k D r r r r a a dr n n C n B n D r rr rr dr r r r rr a drk C k B k D B B r n C n B n D B r r r r rr E 005,3,11sin 023)202(0200006,4,2)(23)2201(3020023)2201(302000)12413332!33572123(sin 0)21222!235(23)202(020θεσεσεσθεσ又1220<rr时j r r j j j r r r r r r )220(2!)12(53)1(2)220(22!2532)1(220231)1(123)2201(⋅+⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅⨯-+⋅-+=-+∑∞⋅⋅⋅=+⨯+⋅+⨯⋅⋅⋅⨯⨯-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅++⨯+⋅+⨯⋅⋅⋅⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⋅⨯-+⨯⋅⋅-+=⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅+⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅⨯-+⋅-+=⎰⋅+⋅,2,1,0)22()2(222!)12(53)1(2020)22()2(2202!)12(53)1(062)2(6022!2532)1(0424023)1(022020200)220(2!)12(53)1(2)220(22!2532)1(220231)1(120200023)2201(3020j j j r j a j j j j r a j j r j r j j j j a r r a r r a r r adr j r r j j j r r r r r r a dr r r r rr εσεσεσεσ又∑∞⋅⋅⋅=⎰⋅+++--⋅-=⋅∑∞⋅⋅⋅=⎰++⋅++⋅+=⋅+∑∞⋅⋅⋅=⎰+⋅=⋅∑∞⋅⋅⋅=⎰+⋅=⎰⋅∑∞=+⋅6,4,20023)2201(1002sin 120,6,4,2023)2201(320210sin 120)202sin 02(,6,4,2023)2201(30200,6,4,2023)2201(3020006,4,2)(23)2201(3020n a dr n r r n r n r n n C n D n dr n a n r r n r n r n n r n n C n D dr n r r rr n ar r r n C n D rr dr n C n B n D n ar rr rr a dr n n C nB n D r rr rr εθσεθσθεσεσεσ 122<rr 时，有⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+⋅++-++-+=+-+jr r jj j n n n j r rn n r r n n r r )220(2!)222()52)(32()1(2)220(22!2)52)(32(2)1(220232)1(1)23()2201(所以∑∞⋅⋅⋅=++++⋅⋅-+⋅⋅⋅++-=⋅⋅⋅+++++⋅⋅-+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+++⋅+-+++=⋅⋅⋅+++++⋅⋅-+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+++⋅+-+++=⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+⋅++-+⋅+-++=⎰⋅+++,2,1,022221)2(2!)222()52)(32()1(22221)2(2!)222()52)(32()1(4412232)1(2210220221)2(2!)222()52)(32()1(040412232)1(0202100)220(2!)222()52)(32()1(2)220(22!2)52)(32(2)1(220232)1(110023)2201(10j j n aj n j r j j j n n n j j n a j n j r j j j n n n j n a n r n n a n aj n r j n j r j j j n n n j a n r n r n a n r n dr a j r r j j j n n n j r r n n r r n n r adr n r r n r所以222216,4,22,1,0)2(2!)222()52)(32()1(02sin 126,4,20023)2201(1002sin 1206,4,2)(23)2201(3020++++⋅∑⋅⋅⋅=⋅÷⋅=⋅-+⋅⋅⋅++-⋅--⋅-=∑∞⋅⋅⋅=⎰⋅+++--⋅-=⎰⋅∑∞=+⋅j n a j n n j j r j j j n n n j n r n n C n D n n adr n r r n r n r n n C n D n a dr n n C nB n D r rr rr εθσεθσεσ同理325,3,12,1,0203111226,4,22,1,02021,2,1,022220321)(2!)222()52)(32()1(sin 2221)(2!)222()52)(32()1(sin 2)22()(2!)12(53)1(2++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=--++-++⋅⋅⋅=⋅÷⋅=---∞⋅⋅⋅=+++⋅⋅-+⋅⋅⋅++-⋅⋅-++⋅⋅-+⋅⋅⋅++-⋅⋅++⨯⋅+⨯⋅⋅⋅⨯⨯-∑∑∑j k k j j j j k k k k k j n n j jj j n n n n n j j j j j aj k r j j k k k r C D a j n r j j n n n r C D j r a j j r εθσεθσεσ()323215,3,12,1,0)2(2!)222()52)(32()1(031sin 112005,3,11sin 023)202(020++++⋅∑⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-+⋅⋅⋅++-⋅--⋅++-=⎰⋅∑∞=+⋅+j k a j k k j j r j j j k k k j k r k k C k D k a dr k k C kB k D r r r r εθσθεσ所以Er=()∑==⋅++⋅⋅++-+++-⋅+----=∑∞=⎰⋅+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++----=∑∞=⎰⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎰∑∞=⋅+-=5,3,12,1,0)2()32(2!32)222()52)(32()1(0sin cos 13125,3,100232201200sin cos 13125,3,100202sin 02232022002cos 105,3,1012302cos 20k j j r j k j j j k a j k k k j k k C k D k r k k a dr k r r k r k k C k D k r k k a dr kr r rr r r r k C k D a k dr k C k B k D A r E εθθσεθθσθεθσεθσθ()⎰⋅--='πϕϕϕϕπελ202323020cos 1sin 4d B Ar E =0求解是在0r 2/r 2小于1的情况下进行的，所以本文求出电场分布并不适用于任何情况。