第七章梁弯曲时变形

第七章 梁弯曲时的变形
§7−1 概 述
图7−1所示的简支梁，任一横截面的形心即轴线上的点在垂直于x 轴方向的线位移，称为挠度，用y 表示；横截面绕中性轴转动的角度，称为该截面的转角，用θ表示，如图中C 截面转过的角度θ即为C 截面的转角。

)(x f y = （7−1）
称为挠曲线方程。

)(d d tan x f x y
'==
≈θθ （7−2）
称为转角方程。

§7−2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
在小变形情况下，梁的挠曲线为一平坦的曲线，挠曲线近似微分方程为
EI x M x y )(d d 2
2±
= （7−3） 式中的正负号取决于2
2d d x y
与)(x M 的正负号的规定。

在如图11−2所示的坐标系中，y 轴以向下为正，当M (x )>0时，梁的挠曲
的符号关系如图11−2所示。

这样，在图示坐标系中，)(x M 与2
2d d x y 的符号总是相反，所以式（7−3）中应取负号，即：
EI x M x y )
(d d 2
2-
= （7−4） 对该挠曲线近似微分方程进行积分，可求得任一截面的挠度及转角。

当梁为等截面直梁时，弯曲刚度EI 为常数，对式（7−4）积分一次，得
[]⎰+-==
C x x M EI
x y d )(1d d θ （7−5）
再积分一次，可得
()[]⎰⎰++-
=D
Cx x
x M EI
y 2
d 1 （7−6）
以上两式中，C 、D 为积分常数，可通过梁的边界条件及变形连续条件确定。

例如在简支梁（图7−3a ）中，A 、B 支座处的挠度都等于零；在悬臂梁（图7−3b ）中，固定端处挠度和转角都等于零。

积分常数C 、D 确定后，代入式（7−5）、（7−6），便可求得梁的转角方程和挠曲线方程，进而可求得梁上任一横截面的转角和挠度。

EI ，试
解b ），弯矩方程为：
（a ）
（2）建立梁的挠曲线近似微分方程
由式（7−4）得：
EI x l F EI x M x y )
()(d d 2
2-=
-= （b ） （3）对微分方程二次积分
积分一次，得：
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==
C Fx Flx EI x y 2211d d θ （c ）
再积分一次，得：
⎪
⎭⎫ ⎝⎛++-=
D Cx Fx Flx EI
y 32
61211 （d ） （4）利用梁的边界条件确定积分常数
在梁的固定端，横截面的转角和挠度都等于零，即：
0=x 时，0=y ，0=θ
代入式（c ）、（d ），求得C =0，D =0。

（5）给出转角方程和挠曲线方程
⎪⎭⎫ ⎝⎛-==
2211d d Fx Flx EI x y θ （e ） ⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=32
61211Fx Flx EI y （f ）
（6）求最大挠度和最大转角
根据梁的受力情况和边界条件，可知此梁的最大挠度和最大转角都在自由端即x =l 处。

将x =l 代入（e ）、（f ）两式，则可求得最大转角及最大挠度分别为：
EI Fl EI Fl EI Fl 222
22max =
-=θ EI Fl EI Fl EI Fl y 3623
33max =
-=
挠度为正，说明梁变形时B 点向下移动，转角为正，说明横截面B 沿顺时针方向转动。

用积分法计算梁的位移时，应先写出梁的弯矩方程，建立梁的挠曲线近似微分方程，然后通过积分得到转角和挠曲线方程式，积分中出现的积分常数可通过边界条件确定。

当全梁的弯矩不能用统一的方程式表示时，应分段列出其弯矩方程和挠曲线近似微分方程，并分段积分。

积分常数的确定除了利用梁的边界条件外，还需利用梁的变形连续条件。

§7−3 叠加法
当梁上同时作用几种荷载时，所引起的梁的位移可采用叠加法计算，即先分别求出每一项荷载单独作用时所引起的位移，然后计算这些位移的代数和，即为各荷载同时作用时所引起的位移。

例题7−4 图示简支梁AB ，受均布荷载
和集中力偶作用，梁的弯曲刚度为EI ，试用叠加法求梁跨中点C 的挠度值和A 、B 截面的转角。

解：此梁上的荷载可以分为两项简单荷
载，如图（b ）、(c )所示。

均布荷载单独作用时，从表格11−1可以查得： EI ql y Cq
38454
=
，
EI ql θAq 243=，EI ql θBq 243
-
=
集中力偶单独作用时，从表格7−1可以
查得： EI l M y CM
162
e =
，EI l M AM 3e =θ，
EI l
M BM 6e
-=θ
将以上两个结果叠加，得：
EI l M EI ql y y y CM
Cq C 1638452e 4
+
=+=
EI l M EI ql A 324e
3
+=θ
（a ） （b ）
（c ）
EI l M EI ql B 624e
3
--=θ
§7−4 梁的刚度校核
对于梁的刚度，通常是以挠度的容许值与跨长的比值⎦⎤⎢
⎣⎡l
f 作为校核的标准，即梁在荷
载作用下产生的最大挠度m ax y 与跨长l 的比值不能超过⎥⎦⎤⎢
⎣⎡l f ，所以梁的刚度条件可以写成：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡≤l f l y max （7−7）
式中：⎥⎦⎤⎢⎣⎡l f
根据不同的工程用途，在有关规范中，均有具体的规定值。

例题7−7 图示悬臂梁AB ，承受均布荷载q 的作用。

已知：l =3m ，
q =3kN/m ，4001=⎦⎤⎢⎣⎡l f ，梁采用20a 号工字钢，其弹性模量E =200GPa ，试校核梁的刚度。

解：查得工字钢的惯性矩为:
4
4
m 100.237-⨯=I
梁的最大挠度为：
m 104.610237.0102008310383
4
9434max --⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==EI ql y
4001
46813
10
6.43
max <
≈
⨯=-l y
满足刚度要求。

对于工程中的梁，必须要同时满足强度条件和刚度条件。

一般情况下，强度条件往往起控制作用，如果满足强度条件，刚度条件一般也能满足。

因此，在设计梁时，一般先由强度条件选择梁的截面，然后再校核刚度。

§7−5 简单超静定梁的求解
如果梁的支座反力和内力仅靠静力平衡条件不能全部确定，这种梁称为超静定梁。

例如
在简支梁的中间增加一个支座（图7−4b ），此时梁的支座反力有四个，而对该梁只能列出三个独立的静力平衡方程，所以只用静力平衡条件不能求出全部的支座反力，即该梁是超静定7−5b ），该梁也是超静定梁。

图7−4b 和图7−5b 所示的梁均为一次超静定
梁，而图7−6所示的梁为二次超静定梁。

超静定梁的内力求解方法很多，这里介绍最基
图7−7a 所示为一次超静定梁，故需建立一个补充方程。

将支座B 视为多余约束，将该支座解除，并在B 点施加与所解除的约束相对应的支座反力F R B ，假设其方向向上。

这样就得到了一个在均布荷载q 和F R B 共同作用下的静定悬臂梁（图7−7b ）。

该静定梁的变形情况应与原超静定梁的变形相同。

根据原超静定梁的约束条件可知，此梁在B 点的挠度应等于零，即0=B y 。

则图7−7b 所示的静定梁在均布荷载q 和F R B 共同作用下，B 点的挠度也应等于零，按叠加法，B 点的挠度可写成：
=+=BF Bq B y y y （a ）
式中：y B q 为悬臂梁在均布荷载单独作用下引起的B 点的挠度（图11−7c )，由表格11−1可查得：
EI ql y Bq
84
=
（b ）
y BF 为悬臂梁在F R B 作用下B 点的挠度（图7−7d ），同样由表格7−1可查得： EI l F y B BF
33R -
= （c ）
将（b ）、（c ）两式代入（a ）式，得：
0383
R 4=-EI l F EI ql B （d ）
由该式可解得：
ql F B 83R =
所得F R B 为正，说明F R B 的实际方向与假定方向相同。

求得F R B 后，可按静力平衡条件求出该梁固定端的三个支反力，即：
0=Ax F ，
ql F Ay 85=
，281ql M A =
并可绘出其剪力图和弯矩图（图7−8）。