整式的乘除培优
（完整版）整式的乘除培优（可编辑修改word版）
（完整版）整式的乘除培优（可编辑修改word版）整式的乘除培优⼀、选择题：1﹒已知x a＝2，x b＝3，则x3a+2b 等于（）A﹒17 B﹒72 C﹒24 D﹒362﹒下列计算正确的是（）A﹒5x6·(－x3)2＝－5x12 B﹒(x2+3y)(3y－x2)＝9y2－x4C﹒8x5÷2x5＝4x5 D﹒(x－2y)2＝x2－4y23、已知M＝20162，N＝2015×2017，则M 与N 的⼤⼩是（）A﹒M＞N B﹒M＜N C﹒M＝N D﹒不能确定4、已知x2－4x－1＝0，则代数式 2x(x－3)－(x－1)2+3 的值为（）A﹒3 B﹒2 C﹒1 D﹒－15、若a x ÷a y ＝a2，(b x)y＝b3，则(x+y)2的平⽅根是（）A﹒4 B﹒±4C﹒±6D﹒166、计算-(a -b)4 (b -a)3 的结果为（）A、-(a -b)7B、-(a +b)7C、(a-b)7D、(b-a)77、已知a=8131，b=2741，c=961，则a，b，c 的⼤⼩关系是（）B、A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a8、图①是⼀个边长为（m+n）的正⽅形，⼩颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式⼦是（）A．（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn B．（m+n）2﹣（m2+n2）=2mnC．（m﹣n）2+2mn=m2+n2 D．（m+n）（m﹣n）=m2﹣n29、若a﹣2=b+c，则a（a﹣b﹣c）+b（b+c﹣a）﹣c（a﹣b﹣c）的值为（）=90 pA．4 B．2 C．1 D．810、当x=1 时，ax+b+1 的值为﹣2，则（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值为（）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．1611、已知a2+a﹣3=0，那么a2（a+4）的值是（）A．9 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣1512、在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69 的值时，⼩林发现：从第⼆个加数起每⼀个加数都是前⼀个加数的6 倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①，然后在①式的两边都乘以6，得：6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②，②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的⼩林想：如果把“6”换成字母“a”（a≠0 且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014 的值？你的答案是（）A． B． C． D．a2014﹣1⼆、填空：1、若ax3m y12÷3x3y2n＝4x6y8，则(2m+n－a)n＝﹒2、若(2x+3y)(mx－ny)＝4x2－9y2，则mn＝.3. 已知a+b＝8，a2b2＝4，则1(a2+b2)－ab＝. 2999 p999 , q =119，那么9q (填＞，＜或=)5.已知10a= 20, 10b=1，则3a÷ 3b= 56.设A =(x -3)(x - 7)，B =(x - 2)(x -8)，则A B（填＞，＜，或=）7.若关于x 的多项式x2-8x +m =(x - 4)2 ，则m 的值为若关于x 的多项式x2+nx +m2=(x - 4)2 ，则m n=4. 若225 4 3 2 1 3 1 若关于 x 的多项式 x 2 + nx + 9 是完全平⽅式，则 n=8.计算： 20162 - 2015? 2016 =9. 计算： ?1- 1 ??1- 1 ? ?1- 1 ??1- 1 ? =? 32 ? 992 1002 ? 10.计算： (2 +1)(22 +1)(24 +1)(22n+1)=11、已知：(x +1)5 = a x 5 + a x 4 + a x 3 + a x 2+ a x + a ，则 a + a + a =12、已知： x 2 - (m - 2)x + 36 是完全平⽅式，则 m=13、已知：x 2 + y 2- 6 y = 2x - 10 ，则 x - y =14、已知：13x 2 - 6xy + y 2 - 4x +1 = 0 ，则(x + y )2017 x 2016= 15、若 P = a 2 + 2b 2 + 2a + 4b + 2017 ，则 P 的最⼩值是=16、已知 a =1 2018 x2 + 2018，b = 1 2018 x 2 + 2017，c = 1 2018x 2+ 2016 ，则 a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ac 的值为17、已知(2016 - a )(2018 - a ) = 2017 ，则(2016 - a )2 + (2018 - a )2 =x - 1 18、已知 x x 2 5，则 x 4+ 1 =19、已知： x 2 - 3x - 1 = 0 ，则 x 2 + 1x2三、解答题：=， x 4 +1=x41、（x 2－2x －1）（x 2＋2x －1）；②（2m+n ﹣p ）（2m ﹣n+p ）2、形如 a b c的式⼦叫做⼆阶⾏列式，它的运算法则⽤公式表⽰为da c = ad - bc ，⽐如 2b d 1 5= 2 ? 3 -1? 5 = 1，请按照上述法则计算 30 5 =-2ab -3ab2a2b(-ab)2的结果。
人教版八年级上册整式的乘除培优讲义
整式的乘除培优讲义考点·方法·破译1．整式的乘法包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等. 2．整式的除法包括单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式等. 3．乘法公式：⑴()()22b a b a b a -=-+.⑵()2222b ab a b a +±=±⑶()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++⑷()()3322b a b ab a b a ±=+±⑸()3223333b ab b a a b a ±+±=±经典·考题·赏析【例１】 计算：⑴()()c b a c b a 3232-+-- ⑵()()()31222-+-+x x x⑶()()()2222211412x x x ++-【解法指导】⑴两个项数相同的多项式相乘，若两个多项式中只存在相同的项与相反的项，则将相同的项结合，相反数的项结合，然后利用平方差公式计算；⑵多项式的积作为减数时一定要将积添上括号，作为一个整体；⑶观察式子的特点，将能够利用公式的项先整合.解：⑴()()c b a c b a 3232-+--＝()[]()[]()22222496432323b c ac a b c a b c a b c a -+-=--=+--- ⑵()()()31222-+-+x x x ＝()3224422---++x x x x＝10864244222++-=++-++x x x x x x⑶()()()2222211412x x x ++-＝()()()[]22141212++-x x x ＝()()[]2221414+-x x ＝()1322561164824+-=-x x x 【变式题组】01．计算：⑴()()()22933y x y x y x ++- ⑵()()c b c b --+22⑶()()c b a c b a -++-3232 ⑷()()()()221222513-+-+-+m m m m02．规定一种运算“＊”：对于任意实数对（x ,y ）恒有（x ,y ）＊(x ,y )＝(x ＋y ＋1),x 2－y －1).若实数a ,b 满足（a ,b ）＊(a ,b )＝(b ,a ),则a ＝__________,b ＝_________ 【例２】在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的正方形（ a ＞b ）（如图甲），把余下部分拼成一个矩形（（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A .()2222b ab a b a ++=+ B .()2222b ab a b a +-=-C .()()b a b a b a -+=-22D .()()2222b ab a b a b a -+=-+【解法指导】图甲中阴影部分面积为22b a -，图乙中阴影部分面积为()()b a b a -+.故选C .【变式题组】01．如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）.把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证求法公式 .02．完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数式也可以用这种形式表示，例如()()22322b ab a b a b a ++=++就可以用图1的形式表示. ⑴请写出图2所表示的代数恒等式 ；⑵请画出一个几何图形，使它的面积能表示成：()()22343b ab a b a b a ++=++a甲乙第1题图 baa aab a a a a ab b bbbb第2题图弦图1图2。
浙教版2022-2023学年七下数学第三章 整式的乘除 培优测试卷1(解析版)
浙教版2022-2023学年七下数学第三章 整式的乘除 培优测试卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．下列各式的计算结果为a 7的是（ ）A ．（﹣a ）2•（﹣a ）5B ．（﹣a ）2•（﹣a 5）C ．（﹣a 2）•（﹣a ）5D ．（﹣a ）•（﹣a ）6【答案】C【解析】A. （﹣a ）2•（﹣a ）5 =﹣a 7，不符合题意；B. （﹣a ）2•（﹣a 5）=﹣a 7，不符合题意；C. （﹣a 2）•（﹣a ）5 =a 7，符合题意；D. （﹣a ）•（﹣a ）6 =﹣a 7，不符合题意；故答案为：C2．计算(13)0×(15)−2的结果是（ ） A ．110 B ．−110 C ．25 D ．−125【答案】C【解析】(13)0×(15)−2=1×1(15)2=1×25=25． 故答案为：C ．3．某种微生物长度约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示为（ ）A ．0.35×10−6B ．35×10−7C ．3.5×10−6D ．3.5×10−8【答案】C【解析】0.0000035=3.5×10−6，故答案为：C4．下面计算正确的算式有（ ）①3x 3·（-2x 2）=-6x 5；②3a 2·4a 2=12a 2；③3b 3·8b 3=24b 9； ④-3x ·2xy=6x 2y A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个【答案】C【解析】①3x 3·（-2x 2）=-6x 5，正确；②3a 2·4a 2=12a 4，错误； ③3b 3·8b 3=24b 6，错误； ④-3x ·2xy=-6x 2y ，错误；综上，正确的有1个.故答案为：C.5．下列式子，计算结果为x 2+4x −21的是（ ）A ．(x +7)(x −3)B ．(x −7)(x +3)C ．(x +7)(x +3)D ．(x −7)(x −3)【答案】A【解析】A 、(x +7)(x −3)=x 2+4x −21，符合题意；B 、(x −7)(x +3)=x 2−4x −21，不符合题意；C 、(x +7)(x +3)=x 2+10x +21，不符合题意；D 、(x −7)(x −3)=x 2−10x +21，不符合题意.故答案为：A.6．下列计算中错误的是（ ）A ．4a 5b 3c 2÷(−2a 2bc)2=abB ．(−24a 2b 3)÷(−3a 2b)⋅2a =16ab 2C ．4x 2y ⋅(−12y)÷4x 2y 2=−12D ．(a 10÷a 4)÷(a 8÷a 5)÷12a 6=2a 3 【答案】D【解析】A 、 4a 5b 3c 2÷(−2a 2bc)2=ab ，正确，故不符合题意；B 、 (−24a 2b 3)÷(−3a 2b)⋅2a =16ab 2 ，正确，故不符合题意；C 、4x 2y ⋅(−12y)÷4x 2y 2=−12 ，正确，故不符合题意；D 、(a 10÷a 4)÷(a 8÷a 5)÷12a 6=2a −3 ，不正确，故符合题意. 故答案为：D.7．已知(3x +a)2=9x 2+bx +4，则b 的值为（ ）A ．4B ．±6C ．12D ．±12【答案】D【解析】∵(3x +a)2=9x 2+bx +4，∴9x 2+6ax +a 2=9x 2+bx +4，∴{a 2=4b =6a ，解得{a =2b =12或{a =−2b =−12 ∴b ＝±12， 故答案为：D ．8．若x +y =−2，x 2+y 2=10，则xy =（ ）A ．-3B ．3C ．-4D ．4【答案】A【解析】∵x +y =−2，x 2+y 2=10，∴(x +y)2=x 2+y 2+2xy即4=10+2xyxy=-3故答案为：A9．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系验证了一个等式，这个等式是（ ）A ．(y +x)2=y 2+2xy +x 2B ．(y −x)2=y 2−2xy +x 2C ．(y −x)(y +x)=y 2−x 2D ．(y +x)2−(y −x)2=4xy【答案】D【解析】大正方形的面积=（y+x ）2，小正方形的面积=（y-x ）2，四个长方形的面积=4xy ，则由图形知，大正方形的面积-小正方形的面积=四个矩形的面积，即（y+x ）2-（y-x ）2=4xy ．故答案为：D ．10．已知2n ＋212＋1（n ＜0）是一个有理数的平方，则n 的值为（ ）A ．﹣16B ．﹣14C ．﹣12D ．﹣10【答案】B【解析】2n 是乘积二倍项时，2n ＋212＋1＝212＋2•26＋1＝（26＋1）2，此时n ＝6＋1＝7，212是乘积二倍项时，2n ＋212＋1＝2n ＋2•211＋1＝（211＋1）2，此时n ＝2×11＝22，1是乘积二倍项时，2n ＋212＋1＝（26）2＋2•26•2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，此时n ＝﹣14，综上所述，n 可以取到的数是7、22、﹣14.故答案为：B.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．若(x 2)3÷x m =x 4，则m = ．【答案】2【解析】(x2)3÷x m=x4x6÷x m=x4，x6−m=x4，∴6−m=4，∴m=2．故答案为：2．12．若3m=2，3n=5，则3m+2n=．【答案】50【解析】当3m=2，3n=5时，3m+2n=3m×32n=3m×(3n)2=2×52=2×25=50．故答案为：50．13．若x+y=4，xy=1，则x2+y2−2=．【答案】12【解析】由完全平方公式：(x+y)2=x2+y2+2xy，代入数据：得到：42=x2+y2+2×1，∴x2+y2=14，∴x2+y2−2=12，故答案为：12．14．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（a≠b），如果要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则不同的选取方案有种．【答案】9【解析】①∵（a+b）（a+5b）＝a2+6ab+5b2，∴1张A类卡片，6张C类卡片，5张B类卡片，共12张，②∵（a+b）（5a+b）＝5a2+6ab+b2，∴5张A类卡片，6张C类卡片，1张B类卡片，共12张，③∵（a+b）（2a+4b）＝2a2+6ab+4b2，∴2张A类卡片，6张C类卡片，4张B类卡片，共12张，④∵（a+b）（4a+2b）＝4a2+6ab+2b2，∴4张A类卡片，6张C类卡片，2张B类卡片，共12张，⑤∵（a+b）（3a+3b）＝3a2+6ab+3b2，∴3张A类卡片，6张C类卡片，3张B类卡片，共12张，⑥∵（a+2b）（a+3b）＝a2+5ab+6b2，∴1张A类卡片，5张C类卡片，6张B类卡片，共12张，⑦∵（a+2b）（3a+b）＝3a2+7ab+2b2，∴3张A类卡片，7张C类卡片，2张B类卡片，共12张，⑧∵（a+2b）（2a+2b）＝2a2+6ab+4b2，∴2张A类卡片，6张C类卡片，4张B类卡片，共12张，⑨∵（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2，∴2张A类卡片，7张C类卡片，3张B类卡片，共12张，⑩∵（2a+b）（3a+b）＝6a2+5ab+b2，∴6张A类卡片，5张C类卡片，1张B类卡片，共12张，⑪∵（2a+b）（2a+2b）＝4a2+6ab+2b2，∴4张A类卡片，6张C类卡片，2张B类卡片，共12张，∵③和⑧是重复的，④和⑪是重复的，∴一共有9种方案.故答案为：9.15．已知 (x −2)x 2−4 = 1，则 x =（ ）【答案】-2或3【解析】∵(x −2)x 2−4 =1∴x 2 -4=0，且x-2 ≠ 0；或x-2=1∴x=-2或3.16．如图，把三个大小相同的正方形甲，乙，丙放在边长为9的大正方形中，甲与丙的重叠部分面积记为Ｓ1，乙与丙的重叠部分面积记为Ｓ2，且均为正方形，正方形甲、乙一组邻边的延长线构成的正方形面积记为Ｓ3，若Ｓ1－Ｓ2＝2Ｓ3，且Ｓ3＝1，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】18536 【解析】设正方形甲、乙、丙的边长为a ，∵正方形甲、乙一组邻边的延长线构成的正方形面积记为S 3，且S 3=1，大正方形边长为9， ∴2a+1=9，∴a=4，设正方形S 1，S 2的边长分别为x ，y ，∴x+y+1=4，即x+y=3①，又∵S 1-S 2=2S 3，∴x 2-y 2=2，即（x+y ）（x-y ）=2，∴（x-y ）=23②， 由①得：x 2+2xy+y 2=9， 由②得：x 2-2xy+y 2=49， ∴4xy=779， ∴xy=7736， ∴S 阴影=（x+1）（y+1）-S 3=xy+x+y+1-1，∴S 阴影=7736+3=18536. 故答案为：18536.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．计算化简： （1）(12)−1+(π−3)0−|−5|+(−1)2019 ； （2）x ⋅x 5+(−2x 3)2−3x 8÷x 2 .【答案】（1）解： (12)−1+(π−3)0−|−5|+(−1)2019 =2+1-5-1=-3.（2）解： x ⋅x 5+(−2x 3)2−3x 8÷x 2= x 6+4x 6−3x 6= 2x 6 .18．在（2x 2﹣3x ）（x 2+ax+b ）的结果中，x 3的系数为﹣5，x 2的系数为﹣6，求a 、b 的值．【答案】解：（2x 2﹣3x ）（x 2+ax+b ）=2x 4+2ax 3+2bx 2﹣3x 3﹣3ax 2﹣3bx=2x 4+（2a ﹣3）x 3+（2b ﹣3a ）x 2﹣3bx ，根据题意得：2a ﹣3=﹣5，2b ﹣3a=﹣6，解得：a=﹣1，b=﹣4.5．故a 、的值为﹣1，b 的值为﹣4.5． 19．已知(2m )n =4，(a m )2÷a n =a 3．（1）求mn 和2m −n 的值；（2）已知4m 2−n 2=15，求m +n 的值．【答案】（1）解：∵（2m ）n ＝4，（a m ）2÷a n ＝a 3， ∴2mn ＝22，a 2m ﹣n ＝a 3∴m n ＝2，2m ﹣n ＝3．（2）解：∵4m 2﹣n 2＝15，∴(2m +n)(2m −n)=15，∵2m −n ＝3，∴2m ＋n ＝5，联立得{2m +n =52m −n =3， 解得{m =2n =1，∴m ＋n ＝3． 20．（1）已知x ＋y ＝3，xy ＝2．求x 2+y 2、(x −y)2的值；（2）已知x ＋2y ＝3，xy ＝1．求x 2−xy +4y 2的值．【答案】（1）解：∵x ＋y ＝3，xy ＝2，∴x 2+y 2=(x +y)2−2xy =32−2×2=5(x −y)2=x 2−2xy +y 2=(x +y)2−4xy =32−4×2=1（2）解：∵ x+2y=3，xy=1，∴x 2−xy +4y 2=(x +2y)2−5xy =32−5×1=421．已知x +x −1=3，求下列各式的值：（1）x 12+x −12；（2）x 32+x −32． 【答案】（1）解：∵x +x −1=3，∴(x 12+x −12)2=x +x −1+2=3+2=5，又∵x 12+x −12>0，∴x 12+x −12=√5（2）解：x 32+x −32=(x 12+x −12)(x +x −1−1)=√5×(3−1)=2√522．已知A ＝（x 4－3x 3）÷x 2，B ＝（2x ＋5）（2x －5）＋1.（1）求A 和B ；（2）若变量y 满足y －2A ＝B ，求y 与x 的关系式；（3）在（2）的条件下，当y ＝36时，求x 2＋（x －1）2的值.【答案】（1）解：A ＝x 2－3x ，B ＝4x 2－25+1＝4x 2－24；（2）解：∵y 满足y －2A ＝B ，∴y ＝B ＋2A＝4x 2－24＋2（x 2－3x ）＝4x 2－24＋2x 2－6x＝6x 2－6x －24；（3）解：当y ＝36时， 6x 2－6x －24＝36，∴6x 2－6x ＝60，∴x 2－x ＝10，∴ x 2＋（x －1）2＝x 2＋x 2－2x ＋1＝2x 2－2x ＋1＝2（x 2－x ）＋1＝2×10＋1＝21.23．如图，将边长为(a +b)的正方形剪出两个边长分别为a ，b 的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1： ，方法2： ；（2）从（1）中你能得到怎样的等式？ ；（3）运用你发现的结论，解决下列问题：①已知x ＋y ＝6，12xy =2，求x 2+y 2的值； ②已知(2022−x)2+(x −2021)2=9，求(2022−x)(x −2021)的值．【答案】（1）a 2+b 2；(a +b)2−2ab（2）a 2+b 2=(a +b)2−2ab （3）解：①∵12xy =2，∴xy =4，又∵x +y =6，∴x 2+y 2=(x +y)2−2xy =62−2×4=36−8=28；②设a =2022−x ，b =x −2021，则a 2+b 2=9，a +b =1，∴(2022−x)(x −2021)=ab =(a+b)2−(a 2+b 2)2=1−92=−4，答：(2022−x)(x −2021)的值为−4． 【解析】（1）解：方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即a 2+b 2，方法2，从边长为(a +b)的大正方形面积减去两个长为a ，宽为b 的长方形面积，即(a +b)2−2ab ，故答案为：a 2+b 2，(a +b)2−2ab ；（2）在（1）两种方法表示面积相等可得，a 2+b 2=(a +b)2−2ab ，故答案为：a 2+b 2=(a +b)2−2ab ；24．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）a 2+b 2﹣2a+1=0，则a= ．b= ．（2）已知x 2+2y 2﹣2xy+6y+9=0，求xy 的值．（3）△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，满足2a 2+b 2﹣4a ﹣6b+11=0，求△ABC 的周长．【答案】（1）1；0（2）解：∵x 2+2y 2﹣2xy+6y+9=0∴x 2+y 2﹣2xy+y 2+6y+9=0即：（x ﹣y ）2+（y+3）2=0则：x ﹣y=0，y+3=0解得：x=y=﹣3∴xy=(−3)−3=−127．（3）解：∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9=0∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2=0则a﹣1=0，b﹣3=0解得：a=1，b=3．由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3∴△ABC的周长为1+3+3=7．【解析】（1）∵a2+b2−2a+1=0∴a2−2a+1+b2=0∴(a−1)2+b2=0∴a−1=0，b=0解得：a=1，b=0．故答案为：1，0；。
初一整式的乘除培优同步讲义
学科教师辅导讲义 学员编号：年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：数学 学科教师： 授课主题第01讲---整式的乘除 授课类型T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标① 掌握幂的有关运算性质（同底数幂的乘除、积的乘方与幂的乘方） ② 掌握整式的乘除运算法则，会利用其性质进行化简求值。
授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为m n m n a a a +•=（m,n 都是正整数，底数a 不仅可以表示具体的数，也可以表示单项式与多项式）2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①(,,m n p m n p a a a a m n p ++••=都是正整数） ②(,m n m n a a a m n +=•都是正整数）（二）幂的乘方与积的乘方体系搭建2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式如下： ()(,,,m a b c ma mb mc m a b c ++=++都是单项式）3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式如下：()()(,,,m n a b ma mb na nb m n a b ++=+++都是单项式）（五）同底数幂的除法1、同底数幂的除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减，用公式表示为m n m n a a a -÷= （0,,a m n ≠都是正整数）2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①(,,m n p m n p a a a a m n p ++÷÷=都是正整数）②(,m n m n a a a m n -=÷都是正整数），0的非零次幂都为03、零指数幂与负整数幂①010)a a =≠（ ②1(0p p a a p a -=≠，是正整数），此式也可逆用，即11()(0,p p a a p p a a-==≠为正整数） 4、用科学计数法表示小于1的正数一般地，一个小于1的正数可以表示为10n a ⨯的形式，其中1≤a ＜10，n 是负整数，且n 的绝对值等于原数的左边第一个非零数字前零的个数（包括小数点前面的零）。
北师大版七年级下册第1章《整式的乘除》培优拔尖习题训练（带答案）
北师⼤版七年级下册第1章《整式的乘除》培优拔尖习题训练（带答案）北师⼤版第1章《整式的乘除》培优拔尖习题训练⼀．选择题（共10⼩题）1．下⾯计算正确的是（）A．a2?a3＝a5B．3a2﹣a2＝2C．4a6÷2a3＝2a2D．（a2）3＝a52．化简（x+4）（x﹣1）+（x﹣4）（x+1）的结果是（）A．2x2﹣8B．2x2﹣x﹣4C．2x2+8D．2x2+6x3．若要使4x2+mx+成为⼀个两数差的完全平⽅式，则m的值应为（）A．B．C．D．4．下列计算错误的是（）A．（﹣2a3）3＝﹣8a9B．（ab2）3?（a2b）2＝a7b8C．（xy2）2?（9x2y）＝x6y6D．（5×105）×（4×104）＝2×10105．已知长⽅形ABCD可以按图⽰⽅式分成九部分，在a，b变化的过程中，下⾯说法正确的有（）①图中存在三部分的周长之和恰好等于长⽅形ABCD的周长②长⽅形ABCD的长宽之⽐可能为2③当长⽅形ABCD为正⽅形时，九部分都为正⽅形④当长⽅形ABCD的周长为60时，它的⾯积可能为100．A．①②B．①③C．②③④D．①③④6．若（x2+x+b）?（2x+c）＝2x3+7x2﹣x+a，则a，b，c的值分别为（）A．a＝﹣15，b＝﹣3，c＝5B．a＝﹣15，b＝3，c ＝﹣5C．a＝15，b＝3，c＝5D．a＝15，b＝﹣3，c＝﹣57．如图1，在边长为a的正⽅形中剪去⼀个边长为b的⼩正⽅形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成⼀个梯形（如图2），利⽤这两幅图形⾯积，可以验证的乘法公式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b28．若（a﹣c+b）2＝21，（a+c+b）2＝2019，则a2+b2+c2+2ab的值是（）A．1020B．1998C．2019D．20409．我们知道，同底数幂的乘法法则为a m?a n＝a m+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的⼀种新运算：h（m+n）＝h（m）?h（n）；⽐如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）?h（2020）的结果是（）A．2k+2020B．2k+1010C．k n+1010D．1022k10．观察下列各式：（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1．（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1，（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1，（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1，根据上述规律计算2+22+23+…+262+263的值为（）A．264﹣1B．264﹣2C．264+1D．264+2⼆．填空题（共8⼩题）11．2015年诺贝尔⽣理学或医学奖得主中国科学家屠呦呦，发现了⼀种长度约为0.000000456毫⽶的病毒，把0.000000456⽤科学记数法表⽰为．12．已知x2﹣2（m+3）x+9是⼀个完全平⽅式，则m＝．13．计算：（16x3﹣8x2+4x）÷（﹣2x）＝．14．若计算（x﹣2）（3x+m）的结果中不含关于字母x的⼀次项，则m的值为．15．若（x﹣2）x＝1，则x＝．16．如图所⽰，如图，边长分别为a和b的两个正⽅形拼接在⼀起，则图中阴影部分的⾯积为．17．在我们所学的课本中，多项式与多项式相称可以⽤⼏何图形的⾯积来表⽰，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以⽤下⾯图中的图①来表⽰．请你根据此⽅法写出图②中图形的⾯积所表⽰的代数恒等式：18．观察下列各等式：x﹣2＝x﹣2（x﹣2）（x+2）＝x2﹣22（x﹣2）（x2+2x+4）＝x3﹣23（x﹣2）（x3+2x2+4x+8）＝x4﹣24……请你猜想：若A?（x+y）＝x5+y5，则代数式A＝．19．先化简，再求值：（m﹣2）2﹣（n+2）（n﹣2）﹣m（m﹣1），其中2m2+12m+18+|2n﹣3|＝0．20．计算：（1）（﹣4x2）﹣（1+2x）（8x﹣2）（2）（﹣2x﹣y）（y﹣2x）﹣（2x+y）2（3）先化简再求值：（12x3y2+x2y﹣x2y3）÷（﹣2x2y）﹣[2（x﹣y）]2，其中x＝﹣，y＝321．阅读材料：（1）1的任何次幂都为1：（2）﹣1的奇数次幂为﹣1：（3）﹣1的偶数次幂为1：（4）任何不等于零的数的零次幂为1．请问当x为何值时，代数式（2x+3）x+2020的值为1．22．（1）先化简，再求值已知：[（x﹣2y）2﹣4y2+2xy]÷2x，其中x＝1，y＝2．（2）先化简，再求值：（﹣3ab）2（a2+ab+b2）﹣3ab（3a3b+3a2b2﹣ab3），其中a＝﹣，b＝23．（1）计算：（a﹣2）（a2+2a+4）＝．（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上⾯的整式乘法计算结果很简洁，你⼜发现⼀个新的乘法公式（请⽤含a，b的字母表⽰）．（3）下列各式能⽤你发现的乘法公式计算的是．A．（a﹣3）（a2﹣3a+9）B．（2m﹣n）（2m2+2mn+n2）C．（4﹣x）（16+4x+x2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）24．如图1，在⼀个边长为a的正⽅形⽊板上锯掉⼀个边长为b的正⽅形，并把余下的部分沿虚线剪开拼成图2的形状．（1）请⽤两种⽅法表⽰阴影部分的⾯积：图1得：；图2得；（2）由图1与图2⾯积关系，可以得到⼀个等式：；（3）利⽤（2）中的等式，已知a2﹣b2＝16，且a+b＝8，则a﹣b＝．参考答案1．【解答】解：A、结果是a5，故本选项符合题意；B、结果是2a2，故本选项不符合题意；C、结果是2a3，故本选项不符合题意；D、结果是a6，故本选项不符合题意；故选：A．2．【解答】解：（x+4）（x﹣1）+（x﹣4）（x+1）＝x2+3x﹣4+x2﹣3x﹣4＝2x2﹣8，故选：A．3．【解答】解：∵（2x﹣）2＝4x2﹣x+，或[2x﹣（﹣）]2＝4x2+x+，∴m＝﹣或．故选：A．4．【解答】解：A、（﹣2a3）3＝﹣8a9，正确；B、（ab2）3?（a2b）2＝a7b8，正确；C、（xy2）2?（9x2y）＝x4y5，错误；D、（5×105）×（4×104）＝2×1010，正确；故选：C．5．【解答】解：①四边形AEFG、FHKM、SKWC的周长之和等于长⽅形ABCD的周长；②长⽅形的长为a+2b，宽为2a+b，若该长⽅形的长宽之⽐为2，则a+2b＝2（2a+b）解得a＝0．这与题意不符，故②的说法不正确；③当长⽅形ABCD为正⽅形时，2a+b＝a+2b所以a＝b，所以九部分都为正⽅形，故③的说法正确；④当长⽅形ABCD的周长为60时，即2（2a+b+a+2b）＝60整理，得a+b＝10所以四边形GHWD的⾯积为100．故当长⽅形ABCD的周长为60时，它的⾯积不可能为100，故④的说法不正确．综上正确的是①③．故选：B．6．【解答】解：∵（x2+x+b）?（2x+c）＝2x3+7x2﹣x+a，2x3+2x2+2bx+cx2+cx+bc＝2x3+7x2﹣x+a，2x3+（2+c）x2+（2b+c）x+bc∴2+c＝7，2b+c＝﹣1，bc＝a．解得c＝5，b＝﹣3，a＝﹣15．故选：A．7．【解答】解：图1阴影部分的⾯积等于a2﹣b2，图2梯形的⾯积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）根据两者阴影部分⾯积相等，可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2⽐较各选项，只有D符合题意故选：D．8．【解答】解：（a﹣c+b）2＝a2+b2+c2﹣2ac﹣2bc+2ab＝21①，（a+c+b）2＝a2+b2+c2+2ac+2bc+2ab＝2019②，①+②，得2（a2+b2+c2）+4ab＝2040，a2+b2+c2+2ab＝1020．故选：A．9．【解答】解：∵h（2）＝k（k≠0），h（m+n）＝h（m）?h（n），∴h（2n）?h（2020）＝h（）?h（）＝?＝k n?k1010＝k n+1010，故选：C．10．【解答】解：有上述规律可知：（x64﹣1）÷（x﹣1）＝x63+x62+…+x2+x+1当x＝2时，即（264﹣1）÷（2﹣1）＝1+2+22+…+262+263∴2+22+23+…+262+263＝264﹣2．故选：B．⼆．填空题（共8⼩题）11．【解答】解：把0.000000456⽤科学记数法表⽰为4.56×10﹣7，故答案为：4.56×10﹣7．12．【解答】解：∵x2﹣2（m+3）x+9是⼀个完全平⽅式，∴m+3＝±3，解得：m＝﹣6或m＝0，故答案为：﹣6或013．【解答】解：（16x3﹣8x2+4x）÷（﹣2x）＝﹣8x2+4x﹣2．故答案为：﹣8x2+4x﹣2．14．【解答】解：原式＝3x2+（m﹣6）x﹣2m，由结果不含x的⼀次项，得到m﹣6＝0，解得：m＝6，故答案为：615．【解答】解：∵（x﹣2）x＝1，∴x＝0时，（0﹣2）0＝1，当x＝3时，（3﹣2）3＝1，则x＝0或3．故答案为：0或3．16．【解答】解：∵去掉△DEF，则剩余部分为⼀个直⾓梯形∴图中阴影部分的⾯积为：（a+a+b）b﹣（b﹣a）a﹣（a+b）a＝ab+b2﹣ab+a2﹣a2﹣ab＝b2故答案为：．17．【解答】解：根据图形列得：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．18．【解答】解：（x4﹣x3y+x2y2﹣xy3+y4）（x+y）＝x5+y5，故答案为：x4﹣x3y+x2y2﹣xy3+y4．三．解答题（共6⼩题）19．【解答】解：（m﹣2）2﹣（n+2）（n﹣2）﹣m（m﹣1）＝m2﹣4m+4﹣n2+4﹣m2+m＝﹣n2﹣3m+8，∵2m2+12m+18+|2n﹣3|＝0，∴2（m+3）2+|2n﹣3|＝0，∴m+3＝0，2n﹣3＝0，∴m＝﹣3，n＝1.5，当m＝﹣3，n＝1.5时，原式＝﹣1.52﹣3×（﹣3）+8＝﹣3．20．【解答】解：（1）（﹣4x2）﹣（1+2x）（8x﹣2）＝﹣4x2﹣8x+2﹣16x2+4x＝﹣20x2﹣4x+2；（2）（﹣2x﹣y）（y﹣2x）﹣（2x+y）2＝4x2﹣y2﹣4x2﹣4xy﹣y2＝﹣2y2﹣4xy；（3）（12x3y2+x2y﹣x2y3）÷（﹣2x2y）﹣[2（x﹣y）]2＝﹣6xy+y2﹣4x2+8xy﹣4y2＝2xy﹣4x2﹣y2﹣，当，y＝3时，原式＝2×（﹣）×3﹣4×（﹣）2﹣×32﹣＝﹣36．21．【解答】解：①由2x+3＝1，得x＝﹣1，当x＝﹣1时，代数式（2x+3）x+2020＝12019＝1；②由2x+3＝﹣1，得x＝﹣2，当x＝﹣2时，代数式（2x+3）x+2020＝（﹣1）2018＝1；③由x+2020＝0，得x＝﹣2020，当x＝﹣2020时，2x+3＝﹣4037≠0所以（2x+3）x+2020＝（﹣4037）0＝1．当x＝﹣2020时，代数式（2x+3）x+2020的值为1．答：当x为﹣1、﹣2、﹣2020时，代数式（2x+3）x+2020的值为1．22．【解答】解：（1）[（x﹣2y）2﹣4y2+2xy]÷2x＝[x2﹣4xy+4y2﹣4y2+2xy]÷2x＝[x2﹣2xy]÷2x＝，当x＝1，y＝2时，原式＝；（2）（﹣3ab）2（a2+ab+b2）﹣3ab（3a3b+3a2b2﹣ab3）＝9a2b2（a2+ab+b2）﹣（9a4b2+9a3b3﹣3a2b4）＝9a4b2+9a3b3+9a2b4﹣9a4b2﹣9a3b3+3a2b4＝12a2b4，当a＝，b＝时，原式＝．23．【解答】解：（1）原式＝a3﹣8；原式＝8x3﹣y3；（2）（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（3）能⽤发现的乘法公式计算的是（4﹣x）（16+4x+x2）．故答案为：（1）a3﹣8；8x3﹣y3；（2）（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（3）C．24．【解答】解：（1）图1中阴影部分的⾯积为：a2﹣b2，图2中阴影部分的⾯积为：（2b+2a）（a﹣b），即（a+b）（a﹣b）；故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由图1与图2⾯积关系，可以得到⼀个等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）∵a2﹣b2＝16，且a+b＝8，∴（a+b）（a﹣b）＝16，即8（a﹣b）＝16，∴a﹣b＝2．故答案为：2．。
整式的乘除运算培优练习
整式的乘除运算培优练习一．选择题（共12小题）1．下列运算正确的是（）A．3x2+2x2＝6x4B．（﹣2x2）3＝﹣6x6C．x3•x2＝x6D．﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y2．计算2（a3）2•3a2的结果（）A．5a7B．5a8C．6a7D．6a83、用科学记数法表示（4×102）×（15×105）的计算结果是（）A．60×107B．6.0×106C．6.0×108D．6.0×10104．化简（2x+1）（x﹣2）﹣x（2x﹣3）的结果是（）A．﹣2B．﹣6x﹣2C．4x2﹣2D．4x2﹣6x﹣2 5．若（x﹣3）（2x+m）＝2x2+nx﹣15，则（）A．m＝﹣5，n＝1B．m＝5，n＝﹣1C．m＝﹣5，n＝﹣1D．m＝5，n＝1 6．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn，你认为其中正确的有（）A．①②B．③④C．①②③D．①②③④7．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（）A．2，8，5B．3，8，6C．3，7，5D．2，6，78．使（x2+p）（x2﹣qx+4）乘积中不含x2与x3项，则p+q的值为（）A．﹣4B．﹣8C．﹣2D．89．已知x2﹣2＝y，则x（x﹣2023y）﹣y（1﹣2023x）的值为（）A．2B．0C．﹣2D．110．下列计算不正确的是（）A．（ab﹣1）×（﹣4ab2）＝﹣4a2b3+4ab2B．（3x2+xy﹣y2）•3x2＝9x4+3x3y﹣3x2y2 C．（﹣3a）•（a2﹣2a+1）＝﹣3a3+6a2D．（﹣2x）•（3x2﹣4x﹣2）＝﹣6x3+8x2+4x11．若不等式组的解集为﹣3＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（）A．﹣6B．7C．﹣8D．912．观察下列关于x的单项式：x，﹣3x2，5x3，﹣7x4，9x5，﹣11x6，…，按此规律，第n 个单项式为（）A．（2n﹣1）x n B．﹣（2n﹣1）x nC．（﹣1）n（2n﹣1）x n D．（﹣1）n+1（2n﹣1）x n二．填空题（共6小题）13．今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：﹣3xy•（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+_____．空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写．14、一个三角形铁板的底边长是（2a+6b）米，这条边上的高是（a﹣3b）米，则这个三角形铁板的面积为平方米．15．（x﹣y）（x2+xy+y2）＝．16．若（x+2m）（x2﹣x+n）的积中不含x项与x2项．则代数式m2023n2022的值为．17．若a2+a﹣5＝0，代数式（a2﹣5）（a+1）的值为．18．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为S1、S2．（1）请比较S1与S2的大小：S1S2；（2）若满足条件3＜n＜|S1﹣S2|的整数n有且只有5个，则m的值为．三．解答题（共16小题）19．计算：（1）（a2+3）（a﹣2）﹣a（a2﹣2a﹣2）；（2）（﹣ab3c）•a2bc•（﹣8abc）2；（3）（a+b）（a﹣b）+（a+b）2﹣2（a﹣b）2；（4）（a5b3+a7b4﹣a5b5） a5b3．20．小明在计算代数式的值时，发现当x＝2022和x＝2023时，他们的值是相等的．小明的发现正确吗？说明你的理由．21．小明在计算一个多项式乘以﹣2x2+x﹣1时，因看错运算符号，变成了加上﹣2x2+x﹣1，得到的结果为﹣2x2﹣2x+1，请你帮助小明得到正确的计算结果．22．观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝．②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝．③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果．23．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．24．若关于x的多项式ax2+bx+c与dx2+ex+f的积为M（x），其中a，b，c，d，e，f是常数，显然M（x）也是一个多项式．（1）M（x）中，最高次项为，常数项为；（2）M（x）中的三次项由ax2•ex，bx•dx2的和构成，二次项时由ax2•f，bx•ex，c•dx2的和构成．若关于x的多项式x2+ax+b与2x2﹣3x﹣1的积中，三次项为﹣x3，二次项为﹣6x2，试确定a，b的值．25．给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为；（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式的乘积；（3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，直接写出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值为．。
浙教版七年级数学下册第三单元《整式的乘除》培优题
浙教版七年级数学下册第三单元《整式的乘除》培优题一．选择题（共7小题）1．=（）A．1 B．C．2D．2．已知x m=a，x n=b（x≠0），则x3m﹣2n的值等于（）A．3a﹣2b B．a3﹣b2C．a3b2 D．3．根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是（）A．（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2B．（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2C．（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2D．（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b24．使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的乘积不含x3和x2，则p、q的值为（）A．p=0，q=0 B．p=﹣3，q=﹣1 C．p=3，q=1 D．p=﹣3，q=15．已知2a﹣b=2，那么代数式4a2﹣b2﹣4b的值是（）A．6 B．4 C．2 D．06．设0＜n＜m，m2+n2=4mn，则的值等于（）A．3 B．C．D．27．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（）A．52013﹣1 B．52013+1 C．D．8．若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是．9．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是．（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片张，3号卡片张．10．4个数a，b，c，d排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：=ad﹣bc．若=12，则x=．11．若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为．12．若m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2015=1525，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510，则在m1，m2，…m2015中，取值为2的个数为．13．已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3=p，a3﹣a﹣3=q成立．（1）若p+q=4，求p﹣q的值；（2）当q2=22n+﹣2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a3+）的大小，并说明理由．14．归纳与猜想：（1）计算：①（x﹣1）（x+1）=；②（x﹣1）（x2+x+1）=；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=；（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=；②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=；（3）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）=（n为整数）；（4）若（x﹣1）•m=x15﹣1，则m=；（5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．15．杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n=0，1，2，3，4，5…）的计算结果中的各项系数．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．（a+b）0=1（a+b）1=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…上面的构成规律聪明的你一定看懂了！（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是；（2）利用上述规律直接写出27=；杨辉三角还有另一个特征：（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与的积．（4）由此你可以写出115=．（5）由第行可写出118=．浙教版七年级数学下册第三单元《整式乘除》参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2012秋•南陵县期末）=（）A．1 B．C．2D．【分析】根据x a•y a=（xy）a，进行运算即可．【解答】解：原式=（×）2004×=．故选B．【点评】此题考查了同底数幂的乘法运算，属于基础题，注意式子：x a•y a=（xy）a的运用．2．（2001•乌鲁木齐）已知x m=a，x n=b（x≠0），则x3m﹣2n的值等于（）A．3a﹣2b B．a3﹣b2C．a3b2 D．【分析】利用同底数幂的除法和幂的乘方的性质的逆运算计算即可．【解答】解：∵x m=a，x n=b（x≠0），∴x3m﹣2n=x3m÷x2n=．故选D．【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的性质，逆用性质是解题的关键．3．（2016春•苏州期中）根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是（）A．（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2B．（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2C．（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2D．（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2【分析】大长方形的长为3a+2b，宽为a+b，表示出面积；也可以由三个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形，以及5个长为b，宽为a的长方形面积之和表示，即可得到正确的选项．【解答】解：根据图形得：（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2．故选：D．【点评】此题考查了多项式乘多项式，弄清题意是解本题的关键．4．（2016秋•简阳市期中）使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的乘积不含x3和x2，则p、q的值为（）A．p=0，q=0 B．p=﹣3，q=﹣1 C．p=3，q=1 D．p=﹣3，q=1【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据不含x2项和x3项就是这两项的系数等于0列式，求出p和q的值，从而得出．【解答】解：（x2+px+8）（x2﹣3x+q），=x4+（p﹣3）x3+（8﹣3p+q）x2+（pq﹣24）x+8q，∵（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的展开式中不含x2项和x3项，∴解得：．故选：C．【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，根据不含哪一项就是让这一项的系数等于0列式是解题的关键．5．（2015春•房山区期末）已知2a﹣b=2，那么代数式4a2﹣b2﹣4b的值是（）A．6 B．4 C．2 D．0【分析】根据完全平方公式，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．【解答】解：4a2﹣b2﹣4b=4a2﹣（b2+4b+4）+4=（2a）2﹣（b+2）2+4=[2a+（b+2）][2a﹣（b+2）]+4=（2a+b+2）（2a﹣b﹣2）+4当2a﹣b=2时，原式=0+4=4，故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．6．（2012•宁波模拟）设0＜n＜m，m2+n2=4mn，则的值等于（）A．3 B．C．D．2【分析】已知等式变形后利用完全平方公式化简得到关系式，代入所求式子计算即可得到结果．【解答】解：m2+n2=4mn变形得：（m﹣n）2=2mn，（m+n）2=6mn，∵0＜n＜m，∴m﹣n＞0，m+n＞0，∴m﹣n=，m+n=，∴原式===2．故选D．【点评】此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（2014•金水区校级模拟）为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（）A．52013﹣1 B．52013+1 C．D．【分析】根据题目所给计算方法，令S=1+5+52+53+…+52012，再两边同时乘以5，求出5S，用5S﹣S，求出4S的值，进而求出S的值．【解答】解：令S=1+5+52+53+ (52012)则5S=5+52+53+…+52012+52013，5S﹣S=﹣1+52013，4S=52013﹣1，则S=．故选D．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．二．填空题（共5小题）8．（2012•泰州）若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是11．【分析】利用x2+3x+2=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵x2+3x+2=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b=x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1），∴a﹣2=3，∴a=5，∵b﹣a+1=2，∴b﹣5+1=2，∴b=6，∴a+b=5+6=11，故答案为：11．【点评】此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出x2+3x+2=x2+（a ﹣2）x+（b﹣a+1）是解题关键．9．（2012•杭州模拟）有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）．（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片3张，3号卡片7张．【分析】（1）画出相关草图，表示出拼合前后的面积即可；（2）得到所给矩形的面积，看有几个b2，几个ab即可．【解答】解：（1）如图所示：故答案为：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）；（2）（a+3b）（2a+b）=2a2+ab+6ab+3b2=2a2+7ab+3b2，需用2号卡片3张，3号卡片7张．故答案为：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）；3；7．【点评】考查多项式与多项式相乘问题；根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本题的关键．10．（2015•崇左）4个数a，b，c，d排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：=ad﹣bc．若=12，则x=1．【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．【解答】解：利用题中新定义得：（x+3）2﹣（x﹣3）2=12，整理得：12x=12，解得：x=1．故答案为：1．【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．11．（2014春•苏州期末）若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为y=4（x+1）2+1．【分析】将4m变形，转化为关于2m的形式，然后再代入整理即可【解答】解：∵4m+1=22m×4=（2m）2×4，x=2m﹣1，∴2m=x+1，∵y=1+4m+1，∴y=4（x+1）2+1，故答案为：y=4（x+1）2+1．【点评】本题考查幂的乘方的性质，解决本题的关键是利用幂的乘方的逆运算，把含m的项代换掉．12．（2015•雅安）若m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2015=1525，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510，则在m1，m2，…m2015中，取值为2的个数为510．【分析】通过m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510从而得到1的个数，由m1+m2+…+m2015=1525得到2的个数．【解答】解：∵（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510，∵m1，m2，…，m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，∴m1，m2，…，m2015中为1的个数是2015﹣1510=505，∵m1+m2+…+m2015=1525，∴2的个数为（1525﹣505）÷2=510个．故答案为：510．【点评】此题考查完全平方的性质，找出运算的规律．利用规律解决问题．三．解答题（共3小题）13．（2015秋•厦门期末）已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3=p，a3﹣a﹣3=q成立．（1）若p+q=4，求p﹣q的值；（2）当q2=22n+﹣2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a3+）的大小，并说明理由．【分析】（1）根据已知条件可得a3=2，代入可求p﹣q的值；（2）根据作差法得到p﹣（a3+）=2﹣n﹣，分三种情况：当n=1时；当n=2时；当n≥3时进行讨论即可求解．【解答】解：（1）∵a3+a﹣3=p①，a3﹣a﹣3=q②，∴①+②得，2a3=p+q=4，∴a3=2；①﹣②得，p﹣q=2a﹣3==1．（2）∵q2=22n+﹣2（n≥1，且n是整数），∴q2=（2n﹣2﹣n）2，∴q2=22n+2﹣2n，又由（1）中①+②得2a3=p+q，a3=（p+q），①﹣②得2a﹣3=p﹣q，a﹣3=（p﹣q），∴p2﹣q2=4，p2=q2+4=（2n+2﹣n）2，∴p=2n+2﹣n，∴a3+a﹣3=2n+2﹣n③，a3﹣a﹣3=2n﹣2﹣n④，∴③+④得2a3=2×2n，∴a3=2n，∴p﹣（a3+）=2n+2﹣n﹣2n﹣=2﹣n﹣，当n=1时，p＞a3+；当n=2时，p=a3+；当n≥3时，p＜a3+．【点评】考查了负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数），关键是加减消元法和作差法的熟练掌握．14．归纳与猜想：（1）计算：①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1；②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x10﹣1；（3）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）=x n﹣1（n为整数）；（4）若（x﹣1）•m=x15﹣1，则m=x14+x13+x12+…+x2+x+1；（5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．【分析】（1）运用乘法公式以及多项式乘多项式的法进行计算即可；（2）根据（1）中的计算结果的变换规律进行判断即可；（3）根据（1）（2）中的计算结果总结变换规律即可；（4）根据（3）中的规律，直接求得m的表达式即可；（5）根据（3）中的规律列出等式进行变形，求得226+225+…+2+1的值．【解答】解：（1）①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣1=x4﹣1；（2）①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1；②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x10﹣1；（3）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）=x n﹣1（n为整数）；（4）∵（x﹣1）•m=x15﹣1，∴m=x14+x13+x12+…+x2+x+1；（5）∵（2﹣1）（226+225+224+…+22+2+1）=227﹣1，∴226+225+…+2+1=227﹣1．【点评】本题主要考查了多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．计算时按一定的顺序进行，必须做到不重不漏．15．（2014春•泰兴市校级期末）杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n=0，1，2，3，4，5…）的计算结果中的各项系数．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．（a+b）0=1（a+b）1=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…上面的构成规律聪明的你一定看懂了！（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是15；（2）利用上述规律直接写出27=128；杨辉三角还有另一个特征：（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与11的积．（4）由此你可以写出115=161051．（5）由第9行可写出118=214358881．【分析】观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．【解答】解：（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是15；（2）利用上述规律直接写出27=128；杨辉三角还有另一个特征：（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与11的积．（4）由此你可以写出115=161051．（5）由第9行可写出118=214358881．故答案为：15，128，11，161051，9，214358881．【点评】考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．。
初中数学整式乘除培优讲义(含解析)
初中数学整式乘除培优考试要求:知识点汇总：模块一壽的运算需的运算概念：求〃个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幕，在/中，α叫做底数, n叫做指数. 含义：水中，"为底数，〃为指数，即表示α的个数，/表示有刃个α连续相乘.例如：3'表示3×3×3×3×3 , (一3f 表示(一3)x(-3)x(-3)x(-3)x(-3) , -3'表示 -(3×3×3×3×3)5. . 2x2x2x2x2z2 < . . 2 2 2 2 2 27 7 7 7 7 7 7 7特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.“奇负偶正” 口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：⑴多重负号的化简，这里奇偶指的是“一”号的个数，例如：一[-(一3)] = -3； -[+(-3)] = 3・⑵有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：(—3) × (—2) × (—6) = —36,而(—3) × (—2) X (+6) = 36 ・⑶有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则嫌为负；指数为偶数，则幕为正，例如：(一3)‘ = 9 , (一3)、= 一27 ・特别地：当“为奇数时，(一")”=一『：而当“为偶数时，(-a)n =a n・负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数正数的任何次幕都是正数，1的任何次幕都是1,任何不为O的数的O次幕都是⑴・(1)同底数幕相乘・同底数的彖相乘，底数不变，指数相加.用式子表示为：(m√ι都是正整数)・(2) 策的乘方.幕的乘方的运算性质：幕的乘方.底数不变，指数相乘.用式子麦示为: (町=旷(m 9n 都是正整数)・ ⑶积的乘方.积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的無相乘•用 式子表示为： (ab)n ≈a fl h fl(“是正整数)・ (4)同底数彖相除・同底数的幕相除，底数不变，指数相减.用式子表示为:模块二整式的乘法⑴单项式与单项式相乘：系数、同底数幕分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的 字母，则连同它的指数作为积的一个因式・以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：Ub • 3a 2b y c 2= 3a^c 2,两个单项式的系数分 别为1和3,乘积的系数是3,两个单项式中关于字母α的幕分别是α和/,乘积中d 的幕 是才,同理，乘积中b 的幕是戻，另外，单项式“b 中不含C 的幕，而3i l 2b i c 2中含¢2,故乘 积中含疋・ ⑵单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：m(a + b + c) = ma + mb + me ,其中加为单项式，a+b + c为 多项式.⑶多项式与多项式相乘:将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单 项式相乘，然后把积相加，公式为：(∕π + n)(a + b) = ma + mb + Ha + Hh模块三整式的除法(1) 单项式除以单项式^系数、同底数的幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有 的字母，則连同它的指数作为商的一个因式•如：3a 2b 3c 2*ab = 3ab 2c 2,被除式为3a 2b 3c 2, 除式为肪，系数分别为3和1,故商中的系数为3, α的彖分别为/和α,故商中α的 幕为∕τ=α,同理，〃的幕为，，另外，被除式中含Y,而除式中不含关于c ・的策，故 商中e 的幕为c'・(2) 多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加， 公式为：(" + b + c ∙)÷∙m = "*"2 + b*m + c*"?,其中加为单项式，a + h + c 为多项式.(3) 多项式除以多项式后有专题介绍.模块四平方差公式(a+ h){a-b) = a 2 -h 2平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。
(完整版)整式的乘除专项培优-
整式的乘除知识梳理：1、 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项2、 同底数幕的乘法法则：a m- a n=a m+n（m ，n 是正整数）.同底数幕相乘，底数不变，指数相加3、 幕的乘方法则：（a m）n=a mn（m ，n 是正整数）.幕的乘方，底数不变，指数相乘 .4、 积的乘方的法则：（ab ） m=a n b m（m 是正整数）.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘 5、 同底数幕的除法法则：a m+ a n=a m-n（a z 0, m n 都是正整数，并且m>n ）.同底数幕相除，底数不变，指数相减 •规定：a 0 1 （ a z 0） 6、单项式乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数相乘、相同字母的幕分别相加，其余字母连同它的指数不变，作为 积的因式。
7、单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指 数作为商的一个因式• 8单项式与多项式相乘的乘法法则 ：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.9、 多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得 的积相加.10、 多项式除以单项式的除法法则 ：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.典型例题:1 .若x , y 均为正整数，且2x+1?4=128,则x+y 的值为（ C . 4或 5C . 02.已知 a=8131, b=2741, c=961，则 a , b , c 的大小关系是 A . a >b >cB . a >c >bC . a v b v cb >c > a3.已知 10x =m , 12=n ,贝 U 102x+3y等于A . 2m+3nB . m 2+n 2C . 6mn m 2n 3 4 .如&+口）与（x+3）的乘积中不含x 的一次项，则 的值为5.下列等式错误的是(A . (2mn) 2=4m2n2)B. (- 2mn) 2=4m2n2C. (2m2n2) 3=8m6n6 D . (- 2m2n2)3= - 8m5n56 .计算a5? (-a) 3-a8的结果等于()A . 0-2a8 C . - a16D. - 2a167 .已知(x - 3) (x2+mx+n)的乘积项中不含x2和x项，则m, n的值分别为( )A . m=3, n=9 B. m=3, n=6 C. m= - 3, n=- 9 D. m= - 3, n=98. _________________________________ 计算：(-3) 2°13?(-丄)2011= .9. 计算：82014X( - 0.125) 2015= _________ .10 .若a m=2, a n=8，则a m+n= ______ .11. ____________________________ 若a+3b- 2=0,则3a?27b= .12. __________________________________ 计算：(卄)2007X( - 1二)2008= .13 .已知x2m=2,求(2x3m) 2-( 3x m) 2的值.14 .先化简，再求值3a (2a2- 4a+3)- 2a2(3a+4),其中a=- 2 .15 .已知2x+3y - 3=0,求9"?27 的值.17.已知多项式x2+ax+1与2x+b的乘积中含x2的项的系数为3,含x项的系数为2,求a+b的值.16 .已知x n=2, y n=3，求(x2y) 2n的值.18 .若2x+5y - 3=0,求4x?32 的值.19. 若（x2+nx+3）（x2- 3x+m）的展开式中不含x2和x3项，求m, n的值.20. 如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3, b=2时21. 已知2m=5, 2n=7,求24m+2n的值.23 .比较 3555 , 4444 , 5333 的大小.25.小明与小乐两人共同计算（2x+a ） （3x+b ）,小明抄错为（2x -a ） （3x+b ）,得到的结果为 6x 2 - 13x+6;小乐抄错为（2x+a ）（x+b ），得到的结果为2x 2 - x - 6. （1）式子中的a , b 的值各是多少？（2）请计算出原题的答案.26 .已知(x 2+ax+3) (x 2- ax+3) =x 4+2x 2+9，求 a 的值.22•计算:6a?(-討24. (1) (|)?015xi^2016x(-i)2aiT(2) （寺：/）[zy (2x-y)-+*Ky^ ]参考答案与试题解析一•选择题（共7小题）1.若x , y 均为正整数，且2x+1?4=128,则x+y 的值为（ A . 3B . 5C . 4 或 5【解答】解：：2x+1?4^=2x+1+2y , 27=128, x+1+2y=7，即 x+2y=6 ••• x , y 均为正整数， •••厂或厂lv=2 I 产1• x+y=5 或 4, 故选：C .【解答】解：T a=8131= (34) 31=3124 b=2741= (33) 41=3123;C =961= (32) 61=3122.贝U a >b >C .【解答】解:102x+3y =102x ?1(3y = (10x ) 2? (10y ) 3=m 2n 3. 故选：D .4 .如（乂+口）与（x+3）的乘积中不含x 的一次项，贝U m 的值为2.已知 a=8131, b=2741, c=961，则 a , b , c 的大小关系是( A . a >b >cB . a >c >bC . a v b v c) D . b >C >a3.已知 10x =m , 1吟， 则102x+3y 等于（) A . 2m+3nB .m 2+n 2C .6mnD . m 2n 3故选：A .B．3 C．0 D．1【解答】解：T( x+m) (x+3) =x2+3x+mx+3m=x2+ (3+m) x+3m, 又•••乘积中不含x的一次项，3+m=0,解得m= - 3.故选： A ．5 ．下列等式错误的是( )A．(2mn) 2=4m2n2B．(-2mn) 2=4m2n2C．( 2m2n2) 3=8m6n6D．(- 2m2n2) 3=- 8m5n5【解答】解：A、结果是4m2n2,故本选项错误；B、结果是4m2n2,故本选项错误；C、结果是8m6n6,故本选项错误；B、结果是-8m6n6,故本选项正确；故选：D．6 .计算a5? (- a) 3-a8的结果等于( )A．0 B．-2a8C．-a16D．-2a16【解答】解：a5?(- a) 3- a8=- a8- a8=- 2a8．故选：B．7.已知(x - 3) (x2+mx+n)的乘积项中不含x2和x项，贝U m, n的值分别为( )A．m=3, n=9 B．m=3, n=6 C．m=- 3, n=- 9 D．m=- 3, n=9【解答】解：•••原式=x3+ (m - 3) x2+ (n - 3m) x - 3n, 又•••乘积项中不含x2和x项，•••( m - 3) =0, (n - 3m ) =0, 解得，m=3, n=9. 故选：A ..填空题（共5小题）8.计算:(-3) 2013?(-丄)2011= 9【解答】=(-3) =(-3)解: (-3) 2013?(-丄)?(卡勺-3X(-二)]20112? (- 3) 201120112011=(-3)=9,故答案为：9.9.计算：82014X( - 0.125) 2015= - 0.125【解答】解：原式=82014X( - 0.125) 2014X( - 0.125) =(-8X 0.125) 2014X( - 0.125)=-0.125,故答案为：-0.125.10 .若a m=2, a n=8，贝U a m+n= 16 .【解答】解：：屮=2, a n=8,• a m+n=a m?e y=16,故答案为：1611.若a+3b- 2=0,则3a?27b= 9三.解答题（共18小题）13. 已知 x 2m =2，求（2x 3m ） 2-（ 3x m ） 2 的值.【解答】解：原式=4x 6m - 9x 2m =4 (x 2m ) 3 -9x 2m =4X 23- 9X 2 =14. 14. 先化简，再求值3a (2孑-4a+3)- 2孑(3a+4),其中【解答】 解：3a (2a F - 4a+3)- 2a ? (3a+4)=6a 3- 12a F +9a — 6a 3- 8a F=-20a 2+9a ,当 a=- 2 时，原式=-20X 4- 9X 2=- 98.【解答】解a+3b - 2=0, --c+3b=2, 则 3a ?27b =3a X 33b =3a+3b =32=9.2007X( - 1 二)a=- 2. 12.计算:【解答】解:（亠）2007x （ - 1一） 2008 200?X(-匚) =(-2007 x15 .已知2x+3y- 3=0,求9"?27 的值.【解答】解：：2x+3y- 3=0,二2x+3y=3,故答案为：27.16.已知x n=2, y n=3，求(x2y) 2n的值.【解答】解：：x n=2, y n=3,•••( x2y) 2n=x4n W n=(x n) 4(y n) 2=24X 32 =144.17.已知多项式x2+ax+1与2x+b的乘积中含x2的项的系数为3,含x项的系数为2,求a+b 的值.【解答】解：根据题意得：(x2+ax+1) (2x+b) =2x3+ (b+2a) x2+ (ab+2) x+b,•••乘积中含x2的项的系数为3,含x项的系数为2,--b+2a=3, ab+2=2,解得：a亠,b=0; a=0, b=3,则a+b=^ 或3.18 .若2x+5y - 3=0,求4x?32 的值.【解答】解：4x ?32^=22x ?25y =22x+5y■/ 2x+5y - 3=0,即 2x+5y=3,•••原式=23=8.19. 若(x 2+nx+3) (x 2- 3x+m )的展开式中不含x 2和x 3项，求m , n 的值.【解答】解：原式的展开式中，含x 2的项是：mx 2+3x 2-3nx 2= (m+3- 3n ) x 2, 含 x 3的项是：-3x 3+nx 3= (n - 3) x 3,解得20. 如图，某市有一块长为(3a+b )米，宽为(2a+b )米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当 a=3, b=2【解答】解：阴影部分的面积=(3a+b ) (2a+b ) =6a 2+5ab+b 2 - a 2 - 2ab- b 2 =5a +3ab,当 a=3, b=2 时，原式=5X 32+3X 3X 2=63.21. 已知 2m =5, 2n =7,求 24m+2n 的值.由题意得: C irrb3^3n-0|n-3=0(a+b ) 212 【解答】解：T 2m =5, 2n =7,又••• 24m =625,••• 22n =49,... 24m+2n =625X 49=30625故答案为30625.23 .比较 3555 , 4444 , 5333 的大小.【解答】解：：3555=35X 111= (35) 111=243111,4444=44X 111= (44) 111=256111,5333=53X 111= (53) 111=125111,又••• 256 > 243 > 125,.256111> 243111> 125111,即 4444 > 3555> 5333.24.化简：：；丁■--丁-「|.25.计算：(-a ) 2? (a 2) 2-a 3.22•计算: 6a?(-【解答】解：-6a?(-丄 J =3a 3+2a - 12a. 【解答】解：「亍=2x - 4.【解答】解：原式=护?孑2宁a3=a2+4「3 =a ．26．计算：(1)(- xy2) 2?X?y-(x3y4)(2)(15x3y5- 10x4y4- 20x3y2)-( 5x3y2)【解答】解：(1)原式=x2y4?x2y -(x3y4) =x4y「( x3y4)=xy；(2)原式=15x3y5十(5x3y2) - 10x4y4*( 5x3y2)- 20x3y2*( 5x3y2) =3y3- 2xy2- 4．27．计算：(1)(x+3)(x- 2)(2)(6a^b- 2b- 8at?)-( 2b)【解答】解：(1) (x+3) (x - 2),=x2+3x - 2x- 6，2=x2+x- 6；(2) (6s f b- 2b- 8at?)-( 2b) =3^- 1 - 4ab2.28．a3?a4?a+( a2) 4+(- 2a4) 2．【解答】解：原式=a3+4+1+a2X4+4a8,=a8+a8+4a8，=6a8．29.计算：(-x2) ?X3? (- 2y) 3+ (2xy) 2? (- x) 3?y.【解答】解：原式=x2?X3?8y3- 4x2y2?x3?y =8x5y3- 4x5y3 =4x5y3.30 .已知(x2+ax+3) (x2- ax+3) =x4+2x2+9，求a 的值.【解答】解：•••( x2+ax+3) (x2- ax+3)=[ ( x2+3) +ax][ ( x2+3)- ax]=( x2+3) 2-( ax) 2=x4+6x2+9- a2x2=x4+( 6- a2) x2+9，••• 6- 0^=2,二a=±2.。
第三讲 整式的乘除(不含公式)专题培优竞赛辅导
第三讲 整式的乘除专题培优辅导一、整式的乘法要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的 ， 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的 作为积的一个 式. 例：（1）=（2）= 要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去 多项式的每一项，再把所得的 .即 .例：（1）= ；（2）=要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 另一个多项式的 ，再把所得的 。
即 .要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.例：（1）=（2）= （3）= （4）= ； 六、整式的除法要点一、单项式的除法法则：单项式相除，把 、 分别相除，作为商的因式，对于只在 ，则连同它的 作为商的一个 。
注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的121(2)(3)2n n xy xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-()m a b c ma mb mc ++=++21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++(32)(45)a b a b +-2(1)(1)(1)x x x -++()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：（1）()()b a m b a 242497÷-= ； （2）()2323342112⎪⎭⎫⎝⎛÷-y x yx = ； （3）32332)6()4()3(xy y x ÷-⋅= ；（4）36)a b (34)(8-÷-b a = ；)]()(51[)()(5523y x x y y x y x +--÷+-）（= ；要点二、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
整式的乘除培优
整式的乘除 一、选择题 1、以下式子运算结果是m 2n 4－2mn 2+1的是( )A.(m 2n+1)2B. (m 2n-1)2C. (mn 2-1)2 D. (mn 2+1)2 2、已知a+b=10，ab=24,则a 2+b 2等于（ ）A.52B.148C.58D.763、若(x －1)(x +3)＝x 2+mx +n ，那么m ,n 的值分别是( )A.m =1，n =3B.m =4，n =5C.m =2，n =－3D.m =－2 ，n =34、设()()A b a b a +-=+223535，则A =（ ） A. 30ab B. 60ab C. 15ab D. 12ab5、已知,5,3==ba x x 则=-b a x 23（ ） A. 2527 B. 109 C. 53 D. 52 6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（ ）A ．()2222a b a ab b -=-+B ．()2222b ab a b a ++=+C ．()ab a b a a 2222+=+D ．()()22a b a b a b +-=-7、乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 8、如果(x +p )(x +5)的乘积中不含x 的项，那么p 等于（ ）A 、5B 、－5C 、0D 、－109、若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ）A ．M>NB ． M<NC ． M=ND ．无法确定10、在1，2，3，……，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的数有（ ）个A 、8B 、10C 、12D 、15二、填空题1、已知x 2-y 2=6,x+y=3,则x-y=__________.2、若a －b ＝1，ab=-2，则(a ＋1)(b －1)＝___________________.3、已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值nmb a4、方程()()()()41812523=-+--+x x x x 的解是_______5、当2y –x =5时，()()6023252-+---y x y x =6、若4x 2＋kx ＋25＝(2x －5)2，那么k 的值是7、若1007=+y x ，2x y -=，则代数式22x y -的值是8、一个正方形的边长增加了cm 2，面积相应增加了232cm ，则这个正方形的边长为____9、如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①(2a +b )(m +n );②2a (m +n )+b (m +n );③m (2a +b )+n (2a +b ); ④2am +2an +bm +bn ，你认为其中正确的有___________________(填序号） 10、若622=-n m ，且3=-n m ，则=+n m ． 三、解答题1、计算下列各题：（1）()()()()233232222x y x xy y x ÷-+-⋅ （2） ()()222223366m m n m n m -÷--（3）)12)(12(-+++y x y x （4）)2)((4)2(2y x y x y x +---（5）2(a+1)2－4(a+1)(a-1)+3(a-1)2 （6）1)17()17()17()17(6842++⨯+⨯+⨯+⨯(7)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452．（巧算 设0.345=a ）2、已知)1()3)(3(1,09322---+++=-+x x x x x x x ）求（的值.3、先化简，再求值：（1）2b 2+(a +b )(a －b )－ (a －b )2， （2）22(2)(2)2(2)(2)a b a b a b a b ++---+ 其中a =－3,b =21. 其中26279b a ==．4、（1）已知5=+b a ，6=ab ，求 （2）已知13x x -=，求 x 2+ 1x 222b a +，2)(b a -，33b a +的值。
培优--整式的乘除法
整式的乘法与除法数学更高的价值在于培养纯粹的思维能力，启发人们向往理念的端倪，便于将灵魂从变化的世界转向真理的存在。
——柏拉图《理想国》 知识枞横指数运算律是整式乘除的基础，有以下四个：n m n m n m n mn n m n m a a a b a ab a a a a -+=÷===•,)(,)(,b n m 。
学习指数运算律应注意：1．运算律成立的条件；2．运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用。
多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式、竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止。
【例题1】（1）把621x ）（+-x 展开后得022********...a x a x a x a x a +++++，则024681012a a a a a a a ++++++= ；（“祖冲之杯”邀请赛）（2）已知882210322)2(...)2()2(71+++++++=-+x a x a x a a x x ）（）（，则7654321a a a a a a a +-+-+-= ；（“祖冲之杯”邀请赛） 思路点拨 我们很难将相应多项式的展开式写出，因此想通过展开式去求出每一个系数是不实际的，事实上，上列等式在的x 允许值范围内取任何一个值代入计算，等式都成立，考虑赋值法解。
[例2]已知,200025x =,200080y =则yx 11+等于（ ） A ．2 B ． 1 C ．21 D ．23 （“希望杯”邀请赛试题）思路点拨 因x 、y 为指数，我们目前无法求出x 、y 的值，xyyx y +=+1x 1，其实只需求出xy y x 、+的值或他们的关系，自然想到指数运算律。
浙教版2022-2023学年七下数学第三章 整式的乘除 培优测试卷(解析版)
浙教版2022-2023学年七下数学第三章整式的乘除培优测试卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．计算：（﹣20）0＝（）A．0B．20C．1D．﹣20【答案】C【解析】（﹣20）0＝1，故答案为：1.2．计算m×(−m)2所得结果为（）A．−m2B．m2C．−m3D．m3【答案】D【解析】m×(−m)2=m×m2=m1+2=m3故答案为：D．3．某H品牌手机上使用5nm芯片，1nm＝0.0000001cm，则5nm用科学记数法表示为（）A．50×10−8cm B．0.5×10−7cmC．5×10−7cm D．5×10−8cm【答案】C【解析】5nm=5×0.0000001cm=0.0000005cm=5×10-7cm.故答案为：C.4．() ×ab=2ab2，则括号内应填的单项式是()A．2B．2a C．2b D．4b【答案】C【解析】括号内的单项式=2ab2÷ab= 2b.故答案为：C.5．若(x+3)(x−5)=x2+mx−15，则m的值为（）A．2B．-2C．5D．-5【答案】B【解析】(x+3)(x−5)=x2−5x+3x−15=x2−2x−15，∵(x+3)(x−5)=x2+mx−15，∴m=-2，故答案为：B．6．计算（3x2y﹣xy2+ 12xy）÷（12xy）的结果为（）A．﹣6x+2y﹣1B．﹣6x+2y C．6x﹣2y D．6x﹣2y+1【答案】D【解析】（3x2y﹣xy2+ 12xy）÷（12xy）= 6x﹣2y+1 .故答案为：D.7．下列不能用平方差公式计算的是（）A．(x+y)(x−y)B．(−x+y)(x−y)C．(−x+y)(−x−y)D．(−x+y)(x+y)【答案】B【解析】A.(x+y)(x−y)=x2−y2，能用平方差公式计算，不符合题意；B.(−x+y)(x−y)=−(x−y)2=−x2+2xy−y2，不能用平方差公式计算，符合题意；C.(−x+y)(−x−y)=(x−y)(x+y)=x2−y2，能用平方差公式计算，不符合题意；D.(−x+y)(x+y)=y2−x2，能用平方差公式计算，不符合题意．故答案为：B．8．若x +y =2，xy =−2，则(x −1)(y −1)的值是（ ）A ．−1B ．1C ．5D ．−3【答案】D【解析】(x −1)(y −1)=xy −(x +y)+1，∵x +y =2，xy =−2，∴原式=−2−2+1=−3；故答案为：D.9．若多项式2x +1与x 2+ax −1的乘积中不含x 的一次项，则a 的值（ ）A ．12B ．2C ．−12D ．-2 【答案】B【解析】(2x +1)(x 2+ax −1)=2x 3+2ax 2−2x +x 2+ax −1=2x 3+(2a +1)x 2+(a −2)x −1，∵多项式2x +1与x 2+ax −1的乘积中不含x 的一次项，∴a −2=0，解得a =2.故答案为：B.10．已知a=833，b=1625，c=3219，则有（ ）A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．a<c<b【答案】C【解析】∵a=833=299，b=1625=2100，c=3219=295，295<299<2100，∴c<a<b ，故答案为：C.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．若a 2⋅a m =a 6，则m = ．【答案】4【解析】∵a 2•a m =a 6，∴a 2+m =a 6，∴2+m=6，解，得m=4．故答案为：4．12．已知：a m ＝2，a n ＝3，则a 2m ＋n ＝ ．【答案】12【解析】∵a m ＝2，a n ＝3，∴a 2m+n =a 2m ⋅a n =(a m )2⋅a n =22×3=12，故答案为：12．13．若m 2+n 2＝5，m+n ＝3，则mn ＝ ．【答案】2【解析】∵m ＋n=3，∴(m +n)2=32，即：m 2+2mn +n 2=m 2+n 2+2mn =9，又∵m 2+n 2=5，∴5+2mn =9，∴mn =2，故答案为：2．14．已知a =(23)−2，b =(−2)2，c =(π−2021)0，则a ，b ，c 的大小关系为 ． 【答案】c <a <b【解析】∵a =(23)−2=(32)2=94，b =(−2)2=4，c =(π−2021)0=1；∵1<94<4，∴c<a<b；故答案为：c<a<b．15．如图，把五个长为b，宽为a（b>a)的小长方形，按图一和图二两种方式放在一个长比宽大(6−a)的大长方形上，设图一中两块阴影部分的周长和为C1，图2中阴影部分的周长和为C2，则C2−C1的值为.【答案】12【解析】∵大长方形的长=b+2a，大长方形的长比宽大（6-a），∴大长方形的宽=b+2a-（6-a）=b+3a-6，∴C1=2（b+b-6）+2[2a+(3a-6)]=4b-12+10a-12=4b+10a-24，C2=2[（b+2a）+(3a-6)]+2b=4b+10a-12，∴C2-C1=4b+10a-12-（4b+10a-24）=12.故答案为：12.16．设m ＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（264＋1），则m的个位数字是.【答案】5【解析】m=(2＋1)(22＋1)(24＋1)⋯(264＋1)=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)⋯(264+1)=(22−1)(22+1)(24+1)⋯(264+1)=(24−1)(24+1)⋯(264+1)=(28−1)(28+1)⋯(264+1)…=(264−1)(264+1)=2128−1∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…∴以2为底且指数分别从1开始的正整数指数幂的个位数字按2、4、8、6的顺序循环∵128÷4=32∴2128的个位数字为6∴2128−1的个位数字为6-1=5故答案为：5三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．计算：（1）(−2)2−20210+(−12)−2；（2）[（x+1）（x+2）+2（x﹣1）]÷x.【答案】（1）解：原式=4−1+4=7；（2）解：原式=（x2+3x+2+2x﹣2）÷x=（x2+5x）÷x= x+5.18．计算：已知3m=6，9n=2，求32m−4n的值．【答案】解：∵3m=6，9n=2，∴32m=(3m)2=36，34n=(32n)2=(9n)2=4，∴32m−4n =32m ÷34n =36÷4=9．19．已知（a 2+pa+6）与（a 2﹣2a+q ）的乘积中不含a 3和a 2项，求p 、q 的值．【答案】解：（a 2+pa+6）（a 2﹣2a+q ）=a 4﹣2a 3+a 2q+pa 3﹣2a 2p+pqa+6a 2﹣12a+6q=a 4+（﹣2+p ）a 3）+（q ﹣2p+6）a 2+（pq ﹣12）a+6q ， ∵（a 2+pa+6）与（a 2﹣2a+q ）的乘积中不含a 3和a 2项， ∴﹣2+p=0，q ﹣2p+6=0，解得p=2，q=﹣2．20．点点与圆圆做游戏，两人各报一个整式，圆圆报的整式作为除式，点点报的整式作为被除式，要求商式必须是 4x 2y .（1）若点点报的是 x 7y 5−4x 5y 4+16x 2y ，那么圆圆报的整式是什么? （2）若点点报的是 (−2x 3y 2)2+5x 3y 2 ，圆圆能报出一个整式吗?请说明理由.【答案】（1）解：∵点点与圆圆在做游戏时，两人各报一个整式，圆圆报的整式作为除式，点点报的整式作为被除式，要求商式必须是 4x 2y ， ∴ 圆圆报的整式为 (x 7y 5−4x 5y 4+16x 2y)÷(4x 2y)=14x 5y 4−x 3y 3+4 . （2）解：圆圆能报出一个整式.理由： [(−2x 3y 2)2+5x 3y 2]÷(4x 2y)=(4x 6y 4+5x 3y 2)÷(4x 2y)=x 4y 3+54xy.21．化简求值：（1）已知：a +a −1=5，求a 2+a −2；a 12+a −12；a 12−a −12； （2）已知：2a +2−a =3，求8a +8−a ．【答案】（1）解：∵(a +a −1)2=a 2+a −2+2=25， ∴a 2+a −2=23；∵a +a −1=5∴a >0，∴a 12+a −12>0， ∵(a 12+a −12)2=a +a −1+2=7， ∴a 12+a −12=√7； ∵(a 12−a −12)2=a +a −1−2=3，∴a 12−a −12=±√3（2）解：∵(2a +2−a )2=22a +2+2−2a=9， ∴22a +2−2a =7．∵(22a +2−2a )(2a +2−a )=21，∴23a +2−3a +2a +2−a =21．∴23a +2−3a =18．∵8a +8−a =(2a )3+(2−a )3，∴8a +8−a =18．22．热爱数学的小明在家中发现了一根铁丝．．．．，他先把该铁丝做成如图甲的长方形，再把该铁丝做成如图乙的长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S 1，S 2.（1）请计算甲，乙长方形的面积差.（2）若把该铁丝做成一个正方形，该正方形的面积为S 3. 已知S 1+S 2=32S 3，求S 3的值. 【答案】（1）解：S 1=(m+2)(m+4)=m 2+6m+8由题意得，图乙的长为(m+2)(m+4)－(m+1)=m+5 S 2=(m+1)(m+5)=m 2+6m+5∴ S 1－S 2=(m 2+6m+8)－(m 2+6m+5)=3（2）解：由题意得正方形的边长为 m +3 ， S 3=(m +3)2=m 2+6m +9 由S 1+S 2=32S 3得 m 2+6m +8+m 2+6m +5=32(m 2+6m +9) m 2+6m =1 S 3=(m +3)2=m 2+6m +9=1+9=10 23．阅读下列材料：我们知道对于二次三项式a 2+2ab +b 2可以利用完全平方公式，将它变形为(a +b)2的形式．但是对于一般的二次三项式x 2+bx +c 就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方即(b 2)2，使其凑成完全平方式，再减去(b 2)2，使整个式子的值不变，这样就有x 2+bx +c =(x +b 2)2+m ．例如x 2−6x +1＝x 2−6x +9−9+1＝(x −3)2−8． 请根据上述材料解决下列问题：（1）将多项式x 2−4x +3变形为(x +m)2+n 的形式； （2）当x ，y 分别取何值时x 2+y 2−4x +6y +28有最小值？求出这个最小值； （3）若m =a 2+b 2−1，n =2a −4b −7，则m 与n 的大小关系是 ．【答案】（1）解：x 2−4x +3=x 2−4x +4−4+3=(x −2)2−1；（2）解：x 2+y 2−4x +6y +28=x 2−4x +y 2+6y +28=x 2−4x +4−4+y +6y +9−9+282=(x −2)2+(y +3)2+15． ∵(x −2)2≥0，(y +3)2≥0，∴当x −2=0，y +3=0时原式有最小值为15． ∴当x =2，y =−3时原式有最小值为15；（3）m>n【解析】(3)∵m =a 2+b 2−1，n =2a −4b −7， ∴m −n =a 2+b 2+1−2a +4b +7=a 2−2a +1+b 2+4b +4+3=(a −1)2+(b +2)2+3>0，∴m >n ．故答案为：m >n ．24．（1）【初试锋芒】若x +y =8，x 2+y 2=40，求xy 的值； （2）【再展风采】已知4a 2+b 2=57，ab =6，求2a +b 的值； （3）【尽显才华】若(20−x)(x −30)=10，求(20−x)2+(x −30)2的值．【答案】（1）解：∵x+y=8，∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64，∵x2+y2=40，∴2xy=64−(x2+y2)=24，∴xy=12；（2）解：∵(2a+b)2=4a2+4ab+b2，又∵4a2+b2=57，ab=6，∴(2a+b)2=4a2+4ab+b2=57+4×6=81，∴2a+b=±9；（3）【尽显才华】∵[(20−x)+(x−30)]2=(20−30)2=100，又∵[(20−x)+(x−30)]2=(20−x)2+(x−30)2+2(20−x)(x−30)，∴100=(20−x)2+(x−30)2+2(20−x)(x−30)，∵(20−x)(x−30)=10，∴100=(20−x)2+(x−30)2+20，∴(20−x)2+(x−30)2=80．。
整式的乘除专题训练卷(培优题)
整式的乘除专题训练卷（培优题）1．计算m3•m2的结果是（）A．m6B．m5C．2m3D．2m52．已知a m＝6，a n＝2，则a m+n的值等于（）A．8B．3C．64D．123．计算（b﹣a）2（a﹣b）3（b﹣a）5，结果为（）A．﹣（b﹣a）10B．（b﹣a）30C．（b﹣a）10D．﹣（b﹣a）30 4．已知m x＝2，m y＝5，则m x+y值为（）A．7B．10C．25D．m75．a2019可以写成（）A．a2010+a9B．a2010•a9C．a2010•a D．a2010•a20096．计算a•a2•a3的正确结果是（）A．a5B．a6C．a8D．a97．计算m2•m3的结果是（）A．6m B．5m C．m6D．m58．计算﹣x2⋅（﹣x）2的结果是（）A．﹣x4B．﹣2x2C．x4D．2x49．计算a3•（﹣a）4•a的结果是．10．计算x2•x7的结果等于．11．计算（﹣2xy3）2正确的结果是（）A．﹣4x2y6B．4x2y5C．4x2y6D．﹣4x2y5 12．计算（﹣3x3y2）3的结果是（）A．﹣9x6y5B．9x6y5C．﹣27x9y6D．27x9y6 13．计算（﹣ab）2的结果是（）A．﹣a2b2B．a2b2C．a2b D．ab214．计算（﹣x3）2结果正确的是（）A．x6B．x5C．x9D．﹣x615．计算：＝（）A．B．C．D．16．已知3n＝2，5n＝3，则152n的值为（）A．25B．36C．10D．12 17．计算2x2•（﹣3x2）的结果是（）A．﹣6x4B．6x5C．﹣2x5D．2x6 18．计算3n•（﹣9）•3n2的结果是（）A．﹣33n2B．﹣3n4C．﹣34n3D．﹣3n6 19．下列计算正确的是（）A．x2×x4＝x6B．2x3+3x3＝5x6C．（﹣3x）3•（﹣3x2）＝81x6D．2x2•3x3＝6x620．下列运算正确的是（）A．m2•m2＝m5B．m2+m2＝m4C．（﹣2m）2•2m3＝8m5D．（m4）2＝m621．下列计算正确的是（）A．2m2•3m3＝6m6B．m•m5＝（﹣m3）2C．（﹣3mn）3＝﹣9m3n3D．（﹣2mn2）2＝4m2n222．计算（﹣2ab）（ab﹣3a2﹣1）的结果是（）A．﹣2a2b2+6a3b B．﹣2a2b2﹣6a3b﹣2abC．﹣2a2b2+6a3b+2ab D．﹣2a2b2+6a3b﹣123．计算（﹣m2）•（2m+1）的结果是（）A．﹣m3﹣2m2B．﹣m3+2m2C．﹣2m3﹣m2D．﹣2m3+m2 24．若多项式mx+6y与x﹣3y的乘积中不含有xy项，则m的值为（）A．﹣6B．﹣3C．0D．2 25．（3x+2y）（kx﹣y）的展开式中不含xy项，则k的值是（）A．B．C．D．26．若（x2+px+q）（x﹣2）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．p+2q＝0B．p＝2q C．q+2p＝0D．q＝2p27．计算（2a2）3÷2（﹣a2）3的结果是（）A．﹣3B．﹣4C．4D．﹣128．小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，■×2ab＝4ab+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（）A．（2+b2）B．（a+2b）C．（3ab+2b2）D．（2ab+b2）29．若长方形面积是6a2﹣3ab+3a，且该长方形的长为3a，则这个长方形的宽是（）A．2a﹣b+1B．2a﹣b C．2a2﹣ab+a D．6a﹣3b+3 30．我市某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为（6y2+y）平方米，宽为y米，则这块空地的长为（）A．6xy米B．（6y+1）米C．（6y+y）米D．（6xy3+y2）米31．计算﹣m3n2÷n2的结果是（）A．mn2B．﹣mn2C．﹣m3D．m232．长方形的面积是3（x2﹣y2），如果它的一边长为（x+y），则它的周长是（）A．4x﹣2y B．8x﹣4y C．3x﹣3y D．8x﹣8y33．计算（﹣2a2）3÷a3的结果是（）A．﹣8a3B．﹣8a2C．﹣6a3D．﹣6a234．已知28a3b m÷（28a n b2）＝b2，那么m，n的值分别为（）A．4，3B．4，1C．1，3D．2，335．计算（x3﹣2x2y）÷（﹣x2）的结果是（）A．x﹣2y B．﹣x+2y C．﹣x﹣2D．﹣x+236．计算（2ab2c﹣3）﹣2÷（a﹣2b）3的结果是（）A．2a2b﹣4c6B．4a2b﹣4c6C．a4b﹣7c6D．﹣a4b﹣6c6 37．计算：＝．38．计算：（﹣m3）2＝．39．计算的值是．40．已知2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则24m+10n＝．41．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝，D（16）＝．（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．根据运算性质，计算：①若D（a）＝1，求D（a3）；②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（30），的值（用含a、b、c的代数式表示）．42．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（5，125）＝，（﹣2，﹣32）＝；②若（x，）＝﹣3，则x＝．（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系；（3）若（m，8）+（m，3）＝（m，t），求t的值．43．阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x ＝log a N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）＝log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，∴M•N＝a m•a n＝a m+n，由对数的定义得m+n＝log a（M•N）又∵m+n＝log a M+log a N，∴log a（M•N）＝log a M+log a N．请解决以下问题：（1）将指数式34＝81转化为对数式；（2）求证：log a＝log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝．44．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝，（﹣2，4）＝，（﹣2，1）＝；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n∴3x＝4，即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．（4，7）+（4，8）＝（4，56）．45．一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为a n；如2×2×2＝23＝8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3），一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算下列各对数的值：log24＝；log216＝；log264＝；（2）你能得到log24、log216、log264之间满足怎样的关系式：；（3）由（2）的结果，请你归纳出log a M、log a N、log a MN之间满足的关系式：；（4）根据幂的运算以及对数的含义验证（3）的结论．46．先阅读下列材料，再解答后面的问题．一般地，n个相同的因数a相乘：记为a n．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．问题：（1）计算以下各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝；（2）通过观察（1），思考：log24，log216，log264之间满足怎样的关系式？（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？结论：log a M+log a N＝（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；（4）利用（3）的结论计算：log42+log432．47．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（4，16）＝，（﹣3，81）＝；②若（x，）＝﹣4，则x＝．（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：．①计算（9，100）﹣（81，10000）②若（16，49）＝a，（4，3）＝b，（16，441）＝c，请探索a，b，c之间的数量关系．48．规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果a c＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．（1）根据上述规定，填空：2※16＝，※36＝﹣2；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；设3※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即3※4＝x，所以3n※4n＝3※4．请你尝试运用这种方法解决下列问题：①证明：5※7+5※9＝5※63；②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝※（结果化成最简形式）．49．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂a b和c b，当a＞c时，则有a b＞c b，根据上述材料，回答下列问题．（1）比较大小：520420（填写＞、＜或＝）；（2）比较233与322的大小（写出比较的具体过程）；（3）计算42023×0.252022﹣82023×0.1252022．50．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果a m＝b，则（a，b）＝m．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m•3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝；（，16）＝4；（2）计算（5，2）+（5，7）＝，并说明理由；（3）利用“雅对”定义说明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立．。
七年级整式的乘除培优材料
整式的乘除培优讲义【知识精要】: 1幂的运算性质：① （、为正整数） ② （为正整数） ③ （、为正整数） ④（、为正整数，且）（）（，为正整数）2整式的乘法公式：①② ③3. 科学记数法，其中4单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
5.单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，多项式与多项式相乘的法则；6．多项式与多项式相乘：先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
7单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
8多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
【例题解析】:例1, 计算:1、(a ＋b ＋c)(a －b －c) 2，()2a b c ++3、20082－2009×20074、 (2a-b)2(b+2a)2例2已知，求的值。
例3 [例2] 已知，，求的值。
例4 [例3]已知，求的值。
例5 [例4] 已知，，求的值。
【课堂精练】:1. （为偶数）2. 0.00010490用科学记数法表示为3.4.5.6.7. 若，那么8. 如果，那么=（）A. B. C. D.9. 所得结果是（）A. B. C. D. 210. 已知为正整数，若能被整除，那么整数的取值范围是（）A. B. C. D.11. 要使成为一个完全平方式，则的值为（）A. B. C. D.12. 下列各式能用平方差公式计算的是（）A. B.C. D.13.计算：（1）（2）（3）（为正整数）（4）【培优拓展】:1.已知，求的值。
2. 若，求的值。
3. 已知，求的值。
4.己知x+5y=6 , 求 x2+5xy+30y 的值。
5计算（1－221）（1－231）（1－241）…（1－291）（1－2011）的值．6.若（x 2＋px ＋q ）（x 2－2x －3）展开后不含x 2，x 3项，求p 、q 的值．7．已知（a －1）（b －2）－a （b －3）＝3，求代数式 12（a ²+b ²）－ab 的值．8.化简求值：[（x ＋21y ）2＋（x －21y ）2]（2x 2－21y 2），其中x ＝－3，y ＝4．9.填空①.设12142++mx x 是一个完全平方式，则m =_______。
整式的乘除能力培优
第 12 章整式的乘除幂的运算专题一与幂的计算有关的研究题1. 我们商定 a&b=10a×10b，如 2&3=102× 103=105，那么 4&8为（）A． 3232 12D ． 1210 B．10 C ．102. 已知 10a=3， 10b=5， 10c =7，试把 105 写成底数是10 的幂的形式 ___________．3. 小丽给小明出了一道计算题：若（-3x（ -32 3 7） ? ） ? （ -3 ） =（ -3 ），求 x 的值，小明的答案是 -2 ，小亮的答案是2，你以为 ___________的答案正确（请填“小丽”、“小明”或“小亮”）．并说明原因.4．我们规定： a*b=10 a× 10b，比如 3*4=10 3×104=107．（1）试求 12*3 和 2*5 的值；（2）想想（ a*b ）*c 与 a* （ b*c ）相等吗假如相等，请考证你的结论．专题二阅读理解题2 3 4 2013的值，可令2 3 4 20135. 为了求 1+2+2 +2 +2 + +2 S=1+2+2 +2 +2 + +2 ，则 2S=2+22+23+24+ +22013+22014，所以 2S-S=（ 2+22 +23+ +22013+22014） - （ 1+2+22+23++22013） =22014-1 ．所以： S=22014-1 ．即 1+2+22+23+24++22013=22014-1 ．请依据此法，求：1+4+42+43 +44++42013的值．6.阅读以下解题过程，试比较2100与 375的大小．解：∵ 2100=（ 24）25=1625， 375=（ 33）25=2725，，而 16＜27,∴2100＜ 375.请依据上述解答过程解答：若 a=2555， b=3444，c=4333， d=5222，试比较a、 b、c、 d 的大小．（写出过程）状元笔录：[ 知识重点 ]1.同底数幂的乘法法例：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即 a m· a n=a m+n(m、 n 都是正整数） .a m表示 m个 a 相乘， a n表示 n 个 a 相乘， a m·a n表示 m个 a 相乘再与 n 个 a 相乘，依据乘方的意义可得 a m· a n =a m+n.2.幂的乘方是指几个同样的幂相乘法例：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即(a m) n=a mn（ m， n 都是正整数） .3.积的乘方是指底数是乘积形式的乘方法例：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ ab) n=a n b n（ n 是正整数）．4.同底数幂的除法法例：同底数幂相除，底数不变，指数相减．即 a m÷ a n= a m-n（ a≠ 0， m，n 都是正整数，且m>n)．参照答案1. C 【分析】 4&8=104× 108=1012．应选 C．2. 10 a+b+c【分析】 105=3× 5× 7，而 3=10a b c，∴ 105=10ab ca+b+c，5=10 ， 7=10 ? 10? 10 =10 .故应填 10a+b+c．3.小亮【分析】小亮的答案是正确的．原因以下：∵（ -3 ）x? （ -3 ）2? （ -3 ）3 =（ -3 ）x+2+3=（ -3 ）7，∴ x+2+3=7，解得 x=2．故填小亮．4.解：（ 1） 12*3=10 12×103=1015， 2*5=10 2× 105=107；a b a b（2）相等．∵（ a*b ）*c= （ 10a× 10b）*c= 1010× 10c=1010+c，a*（b*c）=a*（10b×10c）=10a+10b+c．∴（ a*b ） *c ≠ a* （ b*c ）．5.解：为了求1+4+42+43+44+ +42013的值，可令S=1+4+42+43+44++42013，则 4S=4+42+43+44+ +42014，所以 4S-S=（ 4+42 +43+44+ +42014） - （ 1+4+42+43+44++42013）=42014-1 ，所以 3S=42014-1 ，所以 S=1（42014-1 ），3即 1+4+42+43+44+ +42013= 1（ 42014-1 ）．36.解：∵ a=2555，b=3444，c=4333，d=5222，∴a=（ 25）111， b=（34）111， c=（ 43）111， d=（ 52）111，∴a=32111， b=81111， c=64111， d=25111．∵81＞ 64＞32＞ 25，∴81111＞ 64111＞ 32111＞ 25111，∴b＞ c＞ a＞ d．整式的乘法专题阅读研究题1.阅读以下解答过程，并回答以下问题．在（x2+ax+b）与（ 2x2-3x-1 ）的积中， x3系数为 -5 ，x2系数为 -6 ，求 a， b 的值．解： (x 2+ax+b） ? （ 2x2-3x-1 ） =2x4-3x 3+2ax3+3ax2-3bx①=2x4- （ 3-2a ） x3- （ 3a-2b ） x2-3bx..②3 2a 5依据对应项系数相等，有. ③3a 2b 6回答：（1）上述解答过程能否正确 ____________．（2）若不正确，从第_________步开始出现错误，其余步骤能否还有错误__________________ ．（ 3）写出正确的解答过程．2.（ 1）计算（ x+1）（ x+2）=_____________ ，（x-1 ）（ x-2 ）=___________，（x-1 ）（ x+2）=__________，（x+1）（ x-2 ）=_______________．（2）你发现（ 1）小题有何特点，会用公式表示出来吗？（3）已知 a、 b、 m均为整数，且（ x+a）（ x+b） =x2+mx+12，则 m的可能取值有多少个状元笔录【知识重点】1.单项式与单顶式相乘法例：单项式与单项武相乘，把它们的系数、同样字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．2.单项式与多项式相乘法例：单项式与多项式相乘，就是依据分派律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．3.多项式与多项式相乘法例：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【方法技巧】1.先利用乘法交换律和乘法联合律，再利用同底数幂的乘法法例可达成单项式乘法．关于法例不要照本宣科，要注意以下几点：(1)积的系数等于各单项式的系数的积，应先确立符号后计算绝对值．(2)要注意只在一个单项式里含有的字母要连同它的指数写在积里，不可以将这个因式扔掉．(3)单项式乘法法例关于三个以上的单项式相乘也合用.参照答案1. 解：（ 1）不正确，（ 2）第①步出现错误，第②③步还有错误；（ 3）（ x 2+ax+b ）（ 2x 2-3x-1 ）的睁开式中含 x 3 的项有： -3x 3+2ax 3=（ 2a-3 ）x 3， 含 x 2 的项有： -x 2+2bx 2-3ax 2=（ -3a+2b-1 ）x 2． 又∵ x 3 项的系数为 -5 ， x 2 项的系数为 -6 ，2a3，a 1 5，解得 ∴有．3a 2b 1， b462. 解：（ 1）（ x+1）（ x+2）=x 2+3x+2， （ x-1 ）（ x-2 ） =x 2-3x+2 ， （ x-1 ）（ x+2） =x 2+x-2 ，（ x+1）（ x-2 ） =x 2-x-2 ；（ 2）能够发现题（ 1）中，左右两边式子切合（x+p ）（ x+q ） =x 2+（ p+q ） x+pq 结构．（ 3）由于 12 能够分解以下 6 组数， a × b=1× 12， 2× 6，3× 4，（ -1 ）×（ -12 ），（ -2 ）×（ -6 ），（ -3 ）×（ -4 ），所以 m=a+b 应有 6 个值．乘法公式专题一与乘法公式有关的规律研究题1.察看以下各式：（ x-1 ）（ x+1）=x2-1（x-1 ）（ x2+x+1）=x3 -1（x-1 ）（ x3+x2 +x+1） =x4-1（x-1 ）（ x4+x3 +x2+x+1）=x5 -1（1）你可否由此概括出一般性规律：（x-1 ）（ x n-1 +x n-2 +x n-3 + +x2+x+1）=____；（2）依据（ 1）求出： 1+2+2++262+263的结果 .2.察看下边各式规律：222 21 +（ 1× 2） +2 =（ 1×2+1）；22+（ 2× 3）2+32=（ 2×3+1）2；32+（ 3× 4）2+42=（ 3×4+1）2写出第 n 个的式子，并证明你的结论．专题二与平方差公式有关的图形问题3.以以下图，把正方形的方块，按不一样的方式区分，计算其面积，即可获得不一样的数学公式．按图 1 所示区分，计算面积，便获得一个公式：（x+y ）2=x2 +2xy+y 2．若按图 2 那样区分，大正方形则被区分红一个小正方形和两个梯形，经过计算图中的面积，请你达成下边的填空．（1）图 2 中大正方形的面积为 __________ ；（2）图 2 中两个梯形的面积分别为 __________；（3）依据（ 1）和（ 2），你获得的一个数学公式为______________________ ．5.图 1 是一个长为 2m，宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分红四块小长方形，而后按图 2 的形状拼成一个正方形．（ 1）图2 中的暗影部分的面积为_______；_______若x+y=-6 ，（ 2）察看图2，三个代数式（m+n)2，（ m-n) 2， mn之间的等量关系是xy=，则 x-y=___________(4 ）察看图3，你能获得如何的代数恒等式呢（ 5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（2 2 m+n）（ m+3n） =m+4mn+3n.专题三平方差公式的逆运用5.假如一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神奇数”．如： 4=22-0 2， 12=42-2 2，20=62-4 2，所以 4， 12， 20 都是“神奇数”（1） 28 和 2 012 这两个数是“神奇数”吗为何？（2）设两个连续偶数为 2k+2 和 2k（此中 k 取非负整数），由这两个连续偶数结构的神奇数是 4 的倍数吗为何？（3）两个连续奇数的平方差（ k 取正数）是神奇数吗为何状元笔录【知识重点】1.平方差公式： (a+b) （ a-b ） =a2-b 2．用语言表达为：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．3. 完整平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2，(a-b) 2=a2 -2ab+b 2.语言表达为：两数和（或差）的平方，【方法技巧】平方差公式常用的几种变化形式：(1) 地点变化： (b+a)(-b+a ） =(a+b)(a-b ） =a2 -b 2；(2) 符号变化：（-a-b ）（ a-b ） =- （a+b）（ a-b ） =-(a 2 2 -b ) ；(3) 系数变化： (2a+3b)(2a-3b)=4a 2 -9b 2；（4）指数变化： (a 2+b2)(a 2-b 2)=(a 2) 2-(b 2) 2=a4-b 4（ 5）增项变化：（ a-b-c)(a-b+c)=(a-b) 2-c 2,完整平方公式常有以下几种变化形式：(l)a2+b2=(a+b)2-2ab;2 2 2(2)a +b =(a-b) +2ab；(3)2ab=(a+b)2-(a2+b2);(4)2ab=(a 2+b2) -(a-b)2；(5)(a+b)2=(a-b)2+4ab；（ 6） (a-b) 2-(a+b)2=4ab.参照答案1.解：①（ x-1 ）（ x n-1 +x n-2 +x n-3 + +x2+x+1 ） =x n-1 ；②原式 =（ 2-1 ）（ 263+262+ +22+2+1） =264 -1 ．2.解：第 n 个式子： n2+[n （ n+1） ] 2+（ n+1）2=[n （n+1） +1] 2.证明：由于左侧 =n2+[n （ n+1） ] 2+（ n+1）2=n2+（ n2+n）2+（n+1）222 2=（ n +n） +2n +2n+1=（ n2+n）2+2（ n2+n） +1=（ n2+n+1）2，而右侧 =（ n2+n+1）2，所以，左侧 =右侧，等式建立3.解：（ 1）图中大正方形的面积为 x2；（ 2）两个梯形的面积分别为1（x+y）（x-y）；2（3） x2-y 2=2×1（ x+y ）（ x-y ）；即 x2-y 2=（x+y ）（ x-y ）．24.解：（ 1）（ m-n）2（2）（ m-n）2+4mn=（ m+n）2（3）± 52 2（4）（ m+n）（ 2m+n） =2m+3mn+n （5）答案不独一，比如：222 25.解：（1）28=2×14=（8-6）（8+6）=8 -6；2012=4× 503=504 -502，所以 28 和 2012 是神奇数．（ 2）（ 2k+2）2- （2k ）2=（ 2k+2-2k ）（ 2k+2+2k ）=4（ 2k+1），∴由 2k+2 和 2k 结构的神奇数是 4 的倍数．（3）设两个连续奇数为 2k+1 和 2k-1 ，则（ 2k+1）2- （ 2k-1 ）2=8k=4× 2k，∴两个连续奇数的平方差不是神奇数．整式的除法专题与乘除互逆运算有关的问题1.已知一个多项式与单项式-7x 2y3的积为 21x4y5-28x 7y4+14x6y6，试求这个多项式.2.已知被除式为x3+3x2-1 ，商式是x，余式是 -1 ，求除式．状元笔录【知识重点】1.单项式除以单项式法例：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；关于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一同作为商的一个因式，2.多项式除以单项式法例：多项式除以单项武，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，即：（ a+b+c) ÷ m=a÷ m+b÷ m+c÷ m．【温馨提示】1.计算单项式除以单项式时要注意：(1)商的符号；(2)运算次序与有理数运算次序同样．2.在进行多项式除以单项式时，必定要注意符号，不要漏除每一项．多项式除以单项式的重点是逐项去除，结果的项数与多项的项数同样，这是查验能否漏项的重要方法．注意多项式带单位对要加括号 .参照答案1.解：依题意：所求多项式=（ 21x 4y5-28x 7y4 +14x6y6）÷（ -7x 2y3） =-3x 2y2+4x5y-2x 4y3．2.解：[x3+3x2-1-（-1）]÷ x=（x3+3x2）÷ x=x2+3x．因式分解专题因式分解的奇妙应用2 21．假如 m－ n=－ 5，mn=6，则 mn－ mn的值是（）A． 30 B．－ 30 C． 11 D．－ 112．利用因式分解计算32×+×+×2013=___________．3．在以下三个不为零的式子：x2－4x， x2+2x， x2－ 4x+4 中 .（1）请你选择此中两个进行加法运算，并把结果因式分解；（2）请你选择此中两个并用不等号连结成不等式，并求其解集．状元笔录【知识重点】我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子边形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．【方法技巧】因式分解的方法：(1)提公因式法：假如多项式的各项有公因式，能够把这个公因式提拿出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法．(2)将乘法公式的等号两边交换地点，获得用于分解因式的公式，用来把某些拥有特别形式的多项式分解因式，这类分解因式的方法叫做公式法．(3)平方差公式： a2－ b2=(a+b)(a － b) ，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．(4)完整平方公式：a2± 2ab+b2=(a ± b) 2，两个数的平方和，加上( 或减去 ) 它们的积的 2 倍，等于这两个数的和( 或差 ) 的平方．参照答案2 21． B【分析】∵ m－n=－5，mn=6，∴m n－mn=mn（m－n）=6×（－5）=－30.应选B．2． 2013【分析】32×+×+× 2013=× 2013+× 2013+× 2013=2013×（++）=2013×1=2013．3．解： (1) （ x2－ 4x） +（x2+2x）=2x2－ 2x=2x （x－ 1）．(2)x2－4x＞x2+2x，归并同类项，得－6x＞ 0，解得 x＜ 0．。
精选初一整式的乘除培优讲义
整式的乘除培优讲义【知识精要】:1 幂的运算性质：①（、为正整数）②（为正整数）③（、为正整数）④（、为正整数，且）（）（，为正整数） 2整式的乘法公式：①②③【例题分析】:例1, 计算:21、(a＋b＋c)(a－b－c) 2， a b c,3、20082－2009×2007 4、(2)2(2a)2例2 已知，求的值。
例3 已知，，求的值。
例4 已知，求的值。
例5 已知，，求的值。
【讲堂精练】:1. （为偶数）2. 0.00010490 用科学记数法表示为3.4.5.6.7. 若，那么8. 假如，那么=（）A. B. C. D.9. 所得结果是（）A. B. C. D. 210. 已知为正整数，若能被整除，那么整数的取值范围是（）A. B. C. D.11. 要使成为一个完整平方式，则的值为（）A. B. C. D.12. 以下各式能用平方差公式计算的是（）A. B.C. D.13. 计算：（1）（2）（3）（为正整数）（4）【培优拓展】:1. 已知，求的值。
2. 若，求的值。
3. 已知，求的值。
4.己知56 , 求x2+530y 的值。
5计算（1－122）（1－123）（1－124）⋯（1－129）（1－1210）的值．2＋＋q）（x2－2x－3）睁开后不含x2，x3项，求p、q 的值．6.若（x7．已知（a－1）（b－2）－a（b－3）＝3，求代数式?（a22）－的值．8.化简求值：[（x＋12y）2＋（x－12y）2]（2x2－12y2），此中x＝－3，y＝4．9. 填空2 mx①.设4x 121是一个完整平方式，则m 。
②.已知1 5x ，那么x2 1x 。
2x③方程x 3 2x 5 2x 1 x 8 41的解是。
④.已知m n 2，mn 2，则(1 m)(1 n) 。
⑤.已知25,210,250,那么a、b、c 之间知足的等量关系是.2 n2⑥.若m 6 ，且m n 3，则m n ．10. 计算（1） 122012 3.1412（2）（2）2 33 2 2 23 2 2x y xy x y x（3） 2 6 3 32 2 2 26m n m n m m【当堂检测】:2a＝5，则（2x3a）2÷4x4a 的值（）1.若a 为正整数，且x（A）5 （B）52（C）25 （D）102012 2012 5 3 2. 2 （）13 5A. 1B. 1C. 0D. 199725 3 23.设 5a 3b a b A ，则（ ）A. 30 abB. 60 abC. 15 abD. 12ab4.已知 x y 5, xy 3, 则2 y2x （ ）A. 25. B 25 C 19 D 、 19ax b5.已知 x 3, 5, 则3a 2b （ ）x A 、2725B 、910C 、3 5D 、526. .如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四a b a种表示该长方形面积的多项式：m①(2)(); ②2a()();n③m(2)(2); ④22， 你以为此中正确的有A 、①②B 、③④C 、①②③D 、①②③④ （ ） 7．如()与(3)的乘积中不含 x 的一次项，则 m 的值为（ ）A 、 –3B 、3C 、0D 、18．已知 .()2=9， －1，则 a22的值等于（ ）A 、84B 、78C 、12D 、622）（a 4－b 4）的结果是（ ）9．计算（ a －b ）（）（aA ．a8+2a 4b 48 B ．a 8－2a 4b 48 C ．a 88 D ．a 8－b 8 10.计算（1）（23 a 2b ）3÷ （ 13 2）2× 34 a 3b 2； （2）（x 4 ＋3y ）2－（ x 4 －3y ）2； （3）（2a －3b ＋1）2； （4）（x 2－2x －1）（x 2＋2x －1）；（5）（a－16b）（2a＋132＋b）（3a1122）；b。
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专题：B 卷得分能力提升
一、填空题（代数类）
1、已知：1052==b a ，则
b a 11+的值为 2、已知：102558111
===z y x ，则z y x ++=
3、已知：1284212=⋅+y x ，则y x +=
4、已知：53=a ，109=b ，则b a 23-=
5、已知：25102=y ，则y -10=
6、已知：)3)(8(22
b x x ax x +-++的乘积中不含2x 和3x 项，则a = ，b = 7、若)1)(12(+-=a a M ，)1)(4(-+=a a N ，则M 、N 的大小关系为
8、已知a 、b 满足522+=b a ，则3
3)()(b a b a -+= 9、若20)63(2)3(----a a 有意义，则a 的取值范围
10、已知：36)2(2
+--x m x 是完全平方式，则m= 11、已知：10262
2-=-+x y y x ，则y x -= 12、已知：01461322=+-+-x y xy x ，则20162017)(x y x +=
13、若20174222
2++++=b a b a P ，则P 的最小值是= 14、已知20162018
1201720181201820181222+=+=+=x c x b x a ，，， 则ac bc ab c b a ---++22
2的值为
15、已知（a －1）（b －2）－a （b －3）＝3，则代数式222b a +－ab 的值为 16、已知2017)2018)(2016(=--a a ，则2
2)2018()2016(a a -+-= 17、已知5=+b a ，3=ab ，则2
)(b a -=
18、已知：01223344555)1(a x a x a x a x a x a x +++++=+，则135a a a ++= 19、已知51=-x
x ，则142+x x = 20、已知：0132=--x x ，则221x x += ，4
41x x += 20、已知：n mx x x +++2
394能被322-+x x 整除，则n m -的值为 21、已知：099052=-+x x ，则代数式102798562
3+-+x x x 的值为 22、计算：)2017
11()411)(311)(211(2222---- = 23、计算3116422
1)211()211)(211)(21
1(+++++ = 24、1)12
()12)(12)(12(6442+++++ 的各位数字是
二、填空题（几何类） 1、已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是
2、已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10度，则这个角的余角的度数为
3、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是
4、如图，已知AE ∥BD ，∠1=3∠2，∠2=25°，则∠C=
（第3题图） （第4题图） （第5题图） （第6题图）
5、如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE 等于
6、如图，l ∥m ，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线m 上，若∠β=20°，则∠α的度数为
7、如图，已知AB ∥EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B+∠BED+∠D =192°，∠B -∠D=24°，
则∠GEF 的度数为
（第7题图） （第8题图）
（第9题图） （第10题图）
8、如图，已知FD ∥BE ，则∠1+∠2-∠3=
9、如图，12//l l ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=
10、如图，1502110AB CD ∠=∠=∥，°，°，
则3∠= 三、解答题
1、图（1）是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长等于多少？ ；
（2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积．
方法一： ；方法二： ；
（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n ）2，（m ﹣n ）2，4mn ． ；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．
2、（1）、填空：
))((b a b a +-=
))((22b ab a b a ++-=
))((2222b ab b a a b a +++-=
（2）、猜想：))((1221---++++--n n n b ab b a a b a n = （其中n 为正整数，且n ≥2）
（3）、利用（2）猜想的结论计算：22222223789+-+-+-
3、如图，已知l1∥l2，MN分别和直线l1、l2交于点A、B，ME分别和直线l1、l2交于点C、D，点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）．
（1）如果点P在A、B两点之间运动时，∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系请说明理由；
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，∠α、∠β、∠γ有何数量关系（只须写出结论）．
4、如图3个图中，均有AB∥CD，
（1）如图1，点P为AB、CD间的一个折点，则∠1、∠2、∠3的关系是___________；
（2）如图2，在（1）的基础上增加一个折点，则∠1、∠2、∠3、∠4的关系是___________；（3）如图3，当AB、CD间有三个折点时，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系是___________；（4）通过以上4题的探究，从中寻找规律，并解答，当AB、CD间有n个折点时，则∠1、∠2、……∠n+2之间的关系是____________________________________。
（n为正整数）。