结构自振频率的几种计算方法

T 3 = 2π = 0.0200s；f 3 = 1 = 50.109HZ
ω3
T3
Y ZX
(a)一阶振型图
Y ZX
(b)二阶振型图
-5-
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Y ZX
(c)三阶振型图 图 2 ansys 计算振型图 Fig2 The figure of Vibration with ansys
L
n
∫L EI ( d 2 y(x) )2 dx
=0
dx 2
L
∫ ∑ mu
y2 (x)
dx
+
m
j
y
2 j
∫ my(2x)dx
0
j =1
0
L
L
n
∫ ∫ ∑ my(2x)dx = mu y(2x)dx +
m
j
y
2 j
0
0
j =1
即有：
L
n
∫ ∑ y
2 (x
)
dx
m
j
y
2 j
m
=
mu
0 L
+ j =1 L
梁自由振动时的最大动能则为：
最大动能为：
∫ ∑ U max
=
1 2
ω
2
(
L 0
mu
y
2 (x
)
dx
+
n
m
j
y
2 j
)
j =1
由式(1) 得：
∫ Wmax
=
1 2
L EI ( d 2 y(x)
0
dx 2
)2 dx
由此得：
∫ ∑ ∫ 1
2
ω
2
L
(
0
mu
y
2 (x
)
dx
+
n
m
j
y
2 j
)
=
j =1
1 2
L 0
= ωy(x) cos(ωt + φ)
∫ ∑ U
=
1 2
L 0
mu
(
∂y( x,t) ∂t
)
2
dx
+
1 2
n j =1
m
j
( ∂y(x,t) ∂t
)2
∫ ∑ =
1ω2 2
cos2 (ωt
L
+ φ ) mu y(2x) dx +
0
1 2
n
m jω 2 cos2 (ωt
j =1
+
φ
)
y
2 j
式中： y j 为集中质量 m j 处的振型曲线值，L ω 2 cos2 (ωt + φ ) 为梁的跨度。
三阶振型
50.109 49.663 0.890
通过以上算例表明，运用本文的方法计算梁的自振频率和振动形式与 ansys 计算结果基
本一致。
参考文献
[1] 赵光恒．结构动力学．中国水利水电出版社．1996． [2] 钱陪风．结构动力学．中国工业出版社．1966． [3] 张子Baidu Nhomakorabea等．结构动力学．河海大学出版社．2001．
2．振动计算的简化处理
在梁的振动计算时，根据具体情况对梁上作用的各种荷载进行一些简化处理,使其计算 简单化，而简化处理后的体系振动效应接近原体系的振动效应。在这里主要介绍的简化处理
方法有：把单跨梁的质量(包括集中的和均布的) 化为均布质量;把单跨梁的质量集中到梁上 任一点；将连续梁的质量化为均布质量；把单跨梁的质量集中到梁的“特定”位置上等[1]。
Umax =Wmax
(1)
以 mu 表示梁在单位长度上的质量， mu 为梁在 j 点的集中质量, j =1 ，2 ……n 。梁自由
振动时截面的横向位移为：
y(x,t) = y(x) sin(ωt + φ )
其振动速度为：
-1-
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自由振动时的动能为：
∂y( x,t) ∂t
梁上除具有均布质量外，常常有多个集中质量,，把质量集中到一个较大集中质量处按
单自由度进行计算，所求得的自振频率与原体系的第一频率比较接近。如果需要计算梁上动
力机器作用处的振动位移时，为便于自由振动和强迫振动分析，质量集中到动力机器作用处
是必要的。集中到梁上任一点的方法仍是采用能量法原理[2]。
具有均布质量和集中质量梁的自振频率表达式即为公式(2) 。
=
1 2
L EI ( d 2 y(x) )2 dx
0
dx 2
-2-
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∫L EI ( d 2 y(x) )2 dx
ω2 = 0
dx 2
L
(3)
∫ my(2x)dx
0
令式(2) 和式(3) 的自振频率相等，则：
∫L EI ( d 2 y(x) )2 dx
0
dx 2
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结构自振频率的几种计算方法
袁明亮
河海大学土木学院，江苏南京 （210098）
E-mail：mingliang_yuan9@yahoo.com.cn
摘要：本文从实际工程出发,介绍了计算梁自振频率的几种简化处理实用方法,即把梁上分布 复杂的质量等效地化为均布的或者集中到任一点上的和集中到“特定”位置上的质量的方法。
位置 项目
理论解/ 1/s ansys 解/ 1/s
误差/ %
4．总结
表 1 理论解和 ansys 解的比较 Tab.1 The Comparison of theoretical solution and ansys
一阶振型
二阶振型
2.8556 2.8598 0.147
17.896 17.834 0.346
作者简介：袁明亮，男，1983 年生，硕士研究生，主要研究方向是钢筋混凝土。
-6-
)
2
dx
同时假定U max = Wmax 得：
∫L EI ( d 2 y(x) )2 dx
ω2 = 0
dx 2
ma
y
2 a
(6)
令式(2) 与式(6) 的固有频率相等，即：
由此得：
L
n
∫ ∑ mu
y
2 (x)
dx
+
m j yi2
=
ma
y
2 a
0
j =1
L
n
∫ ∑ mu
y
2 (x
)
dx
+
m j yi2
通过算例表明,运用这些方法计算梁的自振频率和振动形式与 ansys 计算结果基本一致。 关键词：自振频率 复杂质量 振形 中图分类号：TU311.4
1．引言
在建筑工程、水利工程、煤炭、仪表装配等多层工业厂房中，在楼层上常常安装有压缩 机、离心机、通风机、破碎机、电动机、振动筛等旋转式(也有往复式的) 动力机器。由于 动力机器上楼，避免不了对楼层梁进行竖向振动分析。分析振动问题，首先要计算其自振特 性包括频率和振型。因为在实际工程中，楼层梁的布置首先要满足工艺设备布置的要求，因 此在一根梁上经常布置有数台设备(包括动力机器) 和支承着几根次梁,还支承着楼板传递的 荷载。总之，梁上作用的静和动荷载是比较复杂的。同时荷载的取值与实际的大小也不可能 完全相符,还有不确定性。另外梁的端部支承条件不完全是理论上的铰接或刚接，因此要精 确地计算其自振频率和振型是困难的，而在实际工程中进行复杂的分析一般必要性也不大。
ma = 0
j =1
y a2
取
∫L
mu
y
2 (x)
dx
0
=
mu
L 2
得
∑ ma
=
mu
L 2
n
+ m j yi2
j =1
ya2
2.3 将连续梁的质量化为均布质量的方法
在此仅介绍各跨刚度相同的等跨连续梁。把梁上的集中和均布质量化为均布质量的换算
公式的形式同式(4) ，即：
∑ m
=
mu
+
1 nL
n
mjK j
∫y
2 (x
)
dx
∫y
2 (x
)
dx
0
0
从而得：
∑ ∫ = mu
+1 L
n
mj
j =1
y
2 j
1 L
L 0
y2 (x)
dx
令
Kj =
y
2 j
∫ 1
L
L 0
y
2 (x
)
dx
则有
∑ m =
mu
+
1 L
n
mjK j
j =1
(4)
对标准振形
∫L
0
y(2x) dx
=
L 2
K j = 2 yi2
(5)
2.2 单跨梁的质量集中到梁上任一点的方法
EI
(
d
2 y( dx 2
x)
)2
dx
ω2 =
∫L EI ( d 2 y(x) )2 dx
0
dx 2
L
n
(2)
∫ ∑ mu
y
2 (x)
dx
+
m
j
y
2 j
0
j =1
对于仅具有均布质量 m 的梁，振动时最大动能为：
最大动能为： 同样由式(1) 得：
∫ U max
=
1 2
ω
2
L 0
my(2x) dx
∫ Wmax
换算系数 K j 时，首先确定连续梁第 2 ,3……n 振型集中质量作用处的值 y j ，然后按式(5) 计 算 K j [3]。
3．算例分析
计算下图等截面悬臂梁的自振频率和振形，截面尺寸为 500mm × 500mm。
图 1 悬臂梁示意图 Fig1 The sketch of cantilever
j =1
式中：n 为连续梁的跨数,其他符号同前。
计算两端简支边界条件下的多连续梁第 1 频率时，K j 值可取表 1 中两端简支梁ω1 对
-4-
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应的 K j 值。表 1 中αj为集中质量j 离左边支座距离 x j 与梁的跨度L 之比, 对于中间跨内
集中质量的x 值，仍为集中质量离本跨左边支座的距离。计算第 2 ,3……n频率的集中质量
2.1 单跨梁的质量化为均布质量的方法
该方法主要是运用能量法原理，即根据能量守恒定理，结构体系在振动过程中，如果不 计阻尼的影响,则任何时刻位能与动能之和始终为一常数[1]。如果体系在平衡位置时的位能为 零,其动能为最大Umax ,而体系在极限位置(最大位移) 时的动能为零，其位能为最大Wmax ， 则有：
Some Calculation Methods of The Structure Vibration
Frequency
Yuan Mingliang
College of Civil Engineering,Hohai University, Nanjing, (210098)
Abstract Based on the engineering practices this article presents several simplified and practical methods to calculate the natural frequency for the beam. The principle of methods is equivalently transfer the complex mass on beam to uniform or point mass located in any position or located in certain position on beam. Keywords: Natural frequency, Complex mass, Vibration
采用理论计算，算出各阶自振频率理论值为：
ω1
=
3.5160 L2
EI M
T1 =
2π ω1
=
0.3502s；f 1 =
1 T1
= 2.856HZ
ω2
=
22.0345 L2
EI M
T 2 = 2π = 0.0557s；f 2 = 1 = 17.896HZ
ω2
T2
ω3
=
61.6972 L2
EI M
采用 ansys 计算，结果如下：
-3-
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假定把梁的质量集中于 a 点，集中后的质量为 ma ，这样就简化为以质量为 ma 的单自
由度体系，振动最大动能为：
U max
=
1 2
ω
2
ma
y
2 a
式中： ya 为 a 点的振型值
最大位能为：
∫ Wmax
=
1 2
L 0
EI
(
d 2 y(x) dx 2