不定积分表
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1
推式的形式：通过这个递推关系逐步下降分母的幕直到一式的情形，然后带入一式即可得解。三式是有理分
式的不定积分，通常是将之拆分为两个容易计算的分式，则不难得岀结果：
公式五含有
3
除开显然的(ax2b)d^°^ bx C不列为公式表所用之公式外，其余均与ax2b有关，不过在下
八3
面公式的推理中，我们可以肯定的是推理可能是不唯一的，因此某些推理也是可能涉及了该公式的。
2
这里的
如果
2a
否则为
a
这里值得注意的是辐角arJ2ax+b点勺取值问题，我们选择・王'这个区间并考虑反正切表示，则这
,2ax +b
时候辐角中所给之复数必须保证实部恒正或恒负，但由判别式b2_4ac：：：0依然无法断言2ax b之正负，这
对反正切的表示是不利的，因此考虑对辐角进一步转化，一个方便的方法是对分式上下乘以1个虚数单位，
公式六含有
先给出最基本的积分：
该积分的证明需要分情形处理。一般来说，如果分母的二次式对应的二次方程是有根的，那么其不定 积分可以考虑因式分解的方式拆分成两个分式之和，而对于无实数解的情形，可以考虑配方的方式，并利用 反三角函数的微分公式得到该不定积分的证明，不过在此我将使用另一种方式证明上述公式，我将在此引入 虚数单位i，并规定i2二「1：
则：
将该式与constant =C•2带入不定积分式，得：
』
虽然此方法比较复杂，但是可以说明的是，以复数进行实数的不定积分是可能的。
以拆项的方式来拆分为两个不定积分，这是及其显然的：
公式七 含有
含・x2a2(a0)的不定积分，通常会考虑的变换是1tan2x二sec2x，特别是岀现在分母中的根式,
这样做的好处不但可以抵消根式，同时可以处理并约分掉分母中的积分变量，以大幅度化简积分运算。不过 在很多时候，我们也常常考虑双曲换元来完成，这是因为对于正切与正割之间的关系式运算在某些时候没有 双曲函数简便。下面几个公式都是可以通过换元得到的：
卷终公式表注解四
基本不定积分表
序言：
微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了 发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微 积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要， 亦是数学发展之必要结果。
二式以双曲换元得到积分a4cosh4xdx，以降幕进行变形，所得积分的计算是容易的:
在得岀结果之后，再以(二)倍角公式将
是一个需要分类讨论的积分。显然的可以发现这个被积函数的形式与反正切是有关的，不过反正切的
分母是加法运算，因此如果这里b是负的，那么就不能适用反正切，这导致了积分需要分类讨论之。
该公式的证明中再一次的遇到了二I形式的不定积分，虽然这里我采用的是换元为三角函数的方法，而
•
并非使用公式四中利用有理函数积分的性质来推理，但是三角换元计算不定积分是值得深入探讨和学习的计
本表给岀常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之 换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而 对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给岀推演方法，或仅以推演步骤简要之说 明。
本表收录公式16组，151式。
..ax
即原积分=_Larctan严厲+C,b£0。该不定积分公式对于负数的b计算是很容易的。
需
注意到微分公式d . ax—b二_a—dx，故上面公式均可以分部积分公式指岀。
2jax+b
公式四含有x2_a2的积分3式
一式用凑微分的方式以及微分公式d (arctan x)容易得岀。第二式是利用分部积分公式给岀的递
算方法，也许在这个公式中体现不岀来，但是在某些场合下，三角换元无疑是强大的。
一式是显然的。在这组公式中，除了一式之外，后者在各种场合的运用还是相对频繁的。二式、三式
都是典型的有理函数的不定积分问题，可以采取分离常数的方法来求解，其推理及其陈述如下： 类似的对于之后的不定积分，依然可以拆项： 但是对于最后一式，拆项显然是不理想的，分子也不具备变量以进行凑微分，因此从分母考虑： 接着带入公式(45)即得所证。
第一式是典型的反双曲三角函数的微分，以及反双曲三角函数的定义式所得，事实上，我们设
y =arsinh xn dx =coshydyn dy =
coshy
式即刻得之。二式也是典型的双曲换元得到的等式：
双曲换元的得岀：
于是四式也可如法炮制:
得：
这样就完成了五式和六式。
一式三角换元是显然的。但值得注意的是双曲正弦与对数之间的关系是:
公式一 基本初等函数的不定积分18式：
[
(2)
In a
(3)Байду номын сангаас
(4)
(5)
三角函数
反三角函数
常数函数
上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给岀，特别的，对于正
切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。
公式二 含ax b的积分(要指岀a非零)10式：
同理利用分部积分可以将第三式拆开，并以第二式证明之。
利用凑微分的方式，我们显然有不定积分dx_d(ax b^<axr~bC，本组公式可以考
•
虑用此公式，并使用分部积分即可证明一式： 二式同理使用分部积分，并利用一式的结论即可证明。
算的，首先分部积分就不容易得岀结果，而另一方面我们也无法进行一个显然的凑微分，因此对于这一类带
对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。
对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式」11一―，则得其积分是显的：
ax+b a
丄
多项式除法算得：
对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所
得到的。我们注意第一式中有1111丄1b，积分即得。对于第二式依然可
x(ax ^b) ax(x+b/a) a
用分离拆项的方式：1(axb) _ax_1a1，然后积分即可，而一般对于拆项，常用待定系数的
b x
方法完成。
公式三含ax—b的积分9式
第一式的证明用凑微分的方式即可完成。而有了第一式的结论，第二式可用分部积分完成计算。我们
有：
其中，对上式右侧的2..(ax—b)3dx再次使用凑微分的方法，即可得解：
推式的形式：通过这个递推关系逐步下降分母的幕直到一式的情形，然后带入一式即可得解。三式是有理分
式的不定积分，通常是将之拆分为两个容易计算的分式，则不难得岀结果：
公式五含有
3
除开显然的(ax2b)d^°^ bx C不列为公式表所用之公式外，其余均与ax2b有关，不过在下
八3
面公式的推理中，我们可以肯定的是推理可能是不唯一的，因此某些推理也是可能涉及了该公式的。
2
这里的
如果
2a
否则为
a
这里值得注意的是辐角arJ2ax+b点勺取值问题，我们选择・王'这个区间并考虑反正切表示，则这
,2ax +b
时候辐角中所给之复数必须保证实部恒正或恒负，但由判别式b2_4ac：：：0依然无法断言2ax b之正负，这
对反正切的表示是不利的，因此考虑对辐角进一步转化，一个方便的方法是对分式上下乘以1个虚数单位，
公式六含有
先给出最基本的积分：
该积分的证明需要分情形处理。一般来说，如果分母的二次式对应的二次方程是有根的，那么其不定 积分可以考虑因式分解的方式拆分成两个分式之和，而对于无实数解的情形，可以考虑配方的方式，并利用 反三角函数的微分公式得到该不定积分的证明，不过在此我将使用另一种方式证明上述公式，我将在此引入 虚数单位i，并规定i2二「1：
则：
将该式与constant =C•2带入不定积分式，得：
』
虽然此方法比较复杂，但是可以说明的是，以复数进行实数的不定积分是可能的。
以拆项的方式来拆分为两个不定积分，这是及其显然的：
公式七 含有
含・x2a2(a0)的不定积分，通常会考虑的变换是1tan2x二sec2x，特别是岀现在分母中的根式,
这样做的好处不但可以抵消根式，同时可以处理并约分掉分母中的积分变量，以大幅度化简积分运算。不过 在很多时候，我们也常常考虑双曲换元来完成，这是因为对于正切与正割之间的关系式运算在某些时候没有 双曲函数简便。下面几个公式都是可以通过换元得到的：
卷终公式表注解四
基本不定积分表
序言：
微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了 发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微 积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要， 亦是数学发展之必要结果。
二式以双曲换元得到积分a4cosh4xdx，以降幕进行变形，所得积分的计算是容易的:
在得岀结果之后，再以(二)倍角公式将
是一个需要分类讨论的积分。显然的可以发现这个被积函数的形式与反正切是有关的，不过反正切的
分母是加法运算，因此如果这里b是负的，那么就不能适用反正切，这导致了积分需要分类讨论之。
该公式的证明中再一次的遇到了二I形式的不定积分，虽然这里我采用的是换元为三角函数的方法，而
•
并非使用公式四中利用有理函数积分的性质来推理，但是三角换元计算不定积分是值得深入探讨和学习的计
本表给岀常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之 换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而 对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给岀推演方法，或仅以推演步骤简要之说 明。
本表收录公式16组，151式。
..ax
即原积分=_Larctan严厲+C,b£0。该不定积分公式对于负数的b计算是很容易的。
需
注意到微分公式d . ax—b二_a—dx，故上面公式均可以分部积分公式指岀。
2jax+b
公式四含有x2_a2的积分3式
一式用凑微分的方式以及微分公式d (arctan x)容易得岀。第二式是利用分部积分公式给岀的递
算方法，也许在这个公式中体现不岀来，但是在某些场合下，三角换元无疑是强大的。
一式是显然的。在这组公式中，除了一式之外，后者在各种场合的运用还是相对频繁的。二式、三式
都是典型的有理函数的不定积分问题，可以采取分离常数的方法来求解，其推理及其陈述如下： 类似的对于之后的不定积分，依然可以拆项： 但是对于最后一式，拆项显然是不理想的，分子也不具备变量以进行凑微分，因此从分母考虑： 接着带入公式(45)即得所证。
第一式是典型的反双曲三角函数的微分，以及反双曲三角函数的定义式所得，事实上，我们设
y =arsinh xn dx =coshydyn dy =
coshy
式即刻得之。二式也是典型的双曲换元得到的等式：
双曲换元的得岀：
于是四式也可如法炮制:
得：
这样就完成了五式和六式。
一式三角换元是显然的。但值得注意的是双曲正弦与对数之间的关系是:
公式一 基本初等函数的不定积分18式：
[
(2)
In a
(3)Байду номын сангаас
(4)
(5)
三角函数
反三角函数
常数函数
上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给岀，特别的，对于正
切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。
公式二 含ax b的积分(要指岀a非零)10式：
同理利用分部积分可以将第三式拆开，并以第二式证明之。
利用凑微分的方式，我们显然有不定积分dx_d(ax b^<axr~bC，本组公式可以考
•
虑用此公式，并使用分部积分即可证明一式： 二式同理使用分部积分，并利用一式的结论即可证明。
算的，首先分部积分就不容易得岀结果，而另一方面我们也无法进行一个显然的凑微分，因此对于这一类带
对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。
对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式」11一―，则得其积分是显的：
ax+b a
丄
多项式除法算得：
对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所
得到的。我们注意第一式中有1111丄1b，积分即得。对于第二式依然可
x(ax ^b) ax(x+b/a) a
用分离拆项的方式：1(axb) _ax_1a1，然后积分即可，而一般对于拆项，常用待定系数的
b x
方法完成。
公式三含ax—b的积分9式
第一式的证明用凑微分的方式即可完成。而有了第一式的结论，第二式可用分部积分完成计算。我们
有：
其中，对上式右侧的2..(ax—b)3dx再次使用凑微分的方法，即可得解：