归纳法与数学归纳法

归纳法与数学归纳法

摘要：归纳法与数学归纳法是数学的常用方法，本文通过对归纳法与数学归纳法的定义、类别、特

征以及归纳法与数学归纳法之间的联系与区别的探索与分析，了解归纳法与数学归纳法，进而讨论

以归纳法为主要工具，去探索和发现数学问题的解题途径，并学会应用归纳法与数学归纳法解决数

学问题及其它问题．

关键词：归纳法 数学归纳法 初级归纳法 高级归纳法

引言：

归纳法与数学归纳法是解决数学问题的常用方法，通过从特殊事例得出的结论得出在一般情况下该事例的情形，从特殊到一般.

一 归纳法

1、归纳法的定义

引例 观察下列等式

2

111== 21342+==

1359++==23

21357164+++==……

请推测，从1开始n 个连续的奇数相加,表示它们的和S 的公式是什么?

分析:由21、22、23、24所呈现的规律知底数1、2、3、4恰好是各相应等式左边连续奇数的个数，而指数都是2，因此公式为2S n =即对任何自然数n ，等式2135(21)n n ++++-=

像以上这种由几个具体的特殊事例引出一类事物的一般性结论的推理方法就叫做归纳法. 归纳法是一种特殊的推理方法，归纳法的定义通常有：

定义1：归纳就是由特殊推到一般的过程.

定义2：归纳就是通过对某类事物中的若干特殊情形的分析得出一般结论的思维方法.

2、归纳法的两种形式

归纳法分为两种形式：完全归纳法和不完全归纳法

2.1完全归纳法：所谓完全归纳法就是根据一切特殊情况的考虑而作出的推理．由于应用完

全归纳法时，必须考虑所有对象的情况，所以得出的结论自然是可靠的.不过

在一般情况下，所要考察的对象总是相当多的甚至是无穷多的；特别在数学里，

所以常常需要了解无穷多个对象的情况.

2.2 不完全归纳法：所谓不完全归纳法就是根据一个或几个（但不是全部）特别情况作出

的推理.

例如：（1）铜在加热时膨胀 （2）玻璃在加热时膨胀 （3）一切物体在加热时膨胀

根据不完全归纳法作出的结论可能是错误的，所以它不能用来作为严格的、科学的证明方法.不完全归纳法的意义在于：对特殊情况的考虑，会提示我们这一个或那一个规律性存在，帮助定出这一规律性.

3、归纳法、归纳推理的涵义、联系与区别

按定义1或定义2来理解，归纳法不包括类比法，因为类比是个别到个别的推理.但将完全归纳法列入归纳法范围也值得讨论，因为其实质是一种演绎推理，不是归纳推理.

3.1 归纳法、归纳推理的涵义

归纳推理：指特殊到一般的推理

归纳法：指从某类事物的部分知识为前提推出关于该类事物的其他部分或全部知识的思维方法，其狭义涵义即归纳推理.

3.2 归纳法与归纳推理的联系与区别

按我们对归纳法涵义的分析，归纳推理是归纳法的一种特殊情形，也是人们日常生活中一种最常用的推理形式；归纳法比归纳推理外延要广.因此，不应将归纳法与归纳推理视为同一概念.

4、归纳法的主要类别

4.1 初级归纳法

4.1.1 简单枚举推理：是根据某类事物的部分对象具有（或不具有）某种属性得出该类事物的全体也具有（或不具有）这种属性的思维方法.其推理格式为：

1S 具有属性P

2S 具有属性P

……

n S 具有属性P

1S 2S …n S 是S 部分对象，并且尚未观察到反例

S 类的所有对象具有属性P

对简单枚举归纳法，我们可以通过断定1S 2S …n S 在其它性质上有很大差异或断定它们是S 类的具有较强代表性的对象或增加考察对象的数量推大考察范围来提高结论的可靠性．

4.1.2 科学归纳推理（亦称精确归纳推理）：是指以科学理论分析为指导，根据对象与属性之间的内在联系所进行的归纳推理．其推理格式为：

1S 具有属性P

2S 具有属性P

……

n S 具有属性P

1S 2S …n S 是S 部分对象，并且与P 有必然联系

S 类的所有对象具有属性P

由于科学归纳推理不是根据所考察对象之间的表面现象，主要不是依靠前提数量的大小而是根据对象之间的因果联系的本质属性所进行的推理.因此，即使有限的前提也能得出可靠的结论．科学归纳推理比简单枚举法可靠性更强．

4.2 高级归纳法

4.2.1 培根三表法：通过建立整理不同类型事例的“三表”，即存在与具有表、差异表、程度表，消除不相干因素，提出假设，从而得出结论的思维方法.其可靠性较简单枚举归纳推理高，但它仍是或然性推理，并非象培根认为的“结论是确定无误的”．

4.2.2 求因果五法

（1）求同法：是在被研究现象出现的若干不同场合中寻找共同原因的方法．

（2）求异法：是在被研究现象出现与不出现的两种矛盾场合中，通过比较而找出由于某一原因而产生某一结果的思维方法．

（3）求同求异并用法：是在被研究现象出现与不出现的若干场合中，通过比较判断得出一定的原因产生一定的结果的思维方法．

（4）共变法：是指在被研究现象发生变化的若干场合中，如果其中只有一个情况变化着，并根据这一情况的变化而引起另一现象的变化去确定某一情况是某一现象原因的方法．

（5）剩余法：是指从复杂现象中减去已知的一部分原因从而确定另一部分原因的方法．

4.2.3 交叉归纳法：是根据已有的事例以及由与此类似的事例得出结论的一系列归纳推理而推出结论的思维方式．其推理格式可描述为

1S 具有属性P

2S 具有属性P

……

n S 具有属性P

S 具有属性Q （﹡1）

1S 2S …n S 与S 存在某种相似性Q P （﹡2）

S 具有属性P （﹡3）

交叉归纳法的交叉意即（﹡1）与（﹡2）的交叉．虽然（﹡1）与（﹡2）都是初级归纳法，但（﹡3）却体现了概率知识．

4.2.4 解释归纳法：是根据或参考假设所具有的概率来选择假说的思维方法．

高级归纳法的实质是有权重的认定，在运用这些归纳法时都或多或少参考了以前的归纳结论．高级归纳法优于初级归纳法．

二、数学归纳法