高考数学压轴专题本溪备战高考《平面解析几何》基础测试题附解析

数学《平面解析几何》复习知识点

一、选择题

1．如图，12,F F 是双曲线22

1:13

y

C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一

象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）

A ．

1

3

B ．

15

C ．

23

D ．

25

【答案】C 【解析】

由2

2

1:13

y C x -=知2c =，1124F A F F ==

∵122F A F A -= ∴22F A =

∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+= ∴2

3,3

c a e a === 故选C

2．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．(1,14

) B ．1(,1)4

-

C ．(1,2)

D ．(1,2)-

【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：抛物线2

4y x =焦点为F （1,0），准线为1x =-，作PQ 垂直于准线，垂足为

M 根据抛物线定义： ，PQ PF PQ PM +=+，根据三角形两边距离之和大于第三边，

直角三角形斜边大于直角边知：PQ PM +的最小值是点Q 到抛物线准线1x =-的距离；所以点P 纵坐标为1，则横坐标为

14,即(1

,14

)，故选A

考点：抛物线的定义及几何性质的运用.

3．如图所示，已知双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上

一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线

C 的离心率是( )

A ．

27

B ．

52

C ．

7 D ．7

【答案】C 【解析】 【分析】

利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】

解：双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于

原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，

60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得22221

4962

c a a a =+-⨯，

2247c a =，

所以双曲线的离心率为：72

e =． 故选：C ．

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．

4．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、

对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.

给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程

()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是

( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④

【答案】B 【解析】 【分析】

利用基本不等式得2

2

4x y +≤，可判断②；22

4x y +=和()

3

22

2216x y x y +=联立解得

222x y ==可判断①③；由图可判断④.

【详解】

()

2

223

2

222

16162x y x

y

x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭

，

解得2

2

4x y +≤（当且仅当22

2x y ==时取等号），则②正确； 将2

2

4x y +=和(

)

3

2

22216x y

x y +=联立，解得222x y ==，

即圆2

2

4x y +=与曲线C 相切于点

2,2，(2,2-，(2,2，

2,2-，

则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】

本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.

5．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>)的左，右焦点分别为12,F F ，其右支上存在一点

M ，使得210MF MF ⋅=u u u u r u u u r

,直线:0l bx ay +=，若直线2//MF l 则双曲线C 的离心率为

（ ） A ．2

B ．2

C ．5

D ．5

【答案】C 【解析】 【分析】

易得且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线求出直线1MF 的方程与渐近线方程联立求出交点坐标，进而求得M 坐标，根据勾股定理即可求解离心率. 【详解】

由120

MF MF ⋅=u u u u v u u u u v 可得12MF MF ⊥易知直线:0l bx ay +=为双曲线的一条渐近线，

可知l 的方程为b

y x a

=-，且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线，且直线1MF 的方程为()a

y x c b

=

+设1MF ，与l 相交 于点(),N x y .由 ()a y x c b b y x a ⎧

=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得2a x c ab

y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

即2,a ab N c c ⎛⎫-

⎪⎝⎭，又()1,0F c -，由中点坐标公式，得222,.a ab M c c c ⎛⎫

- ⎪⎝

⎭由双曲线性质可得122MF MF a -=①，由12MF MF ⊥得22

2124MF MF c +=②，①②联立，可得2

122MF MF b ⋅=所以点M 的纵坐标为2b c ，所以22b ab c c =

即2b a =所以2

1 5.b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭

故选：C 【点睛】

本题考查双曲线性质的综合问题，考查数形结合思想，对于学生的数学运算和逻辑推理能力要求较高，属于一般性题目.

6．已知1F 、2F 分别为双曲线22

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x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足

120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v

，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）