多元函数的概念极限连续

小结 本节主要讨论了多元函数的概念、多元函数 极限及连续的概念． 本节要求了解多元函数极限及连续的概念， 知道多元初等函数的连续性及有界闭区域上连续 函数的性质，会求一些二元函数的极限．
x y 是否存在？ 思考： lim 4 2 x 0 x y y 0
解：当P沿直线y=kx而趋于(0，0)点时， x2 y kx 3 kx lim 4 2 lim lim 2 0 x 0 2 x 0 x 4 k 2 x 2 x y x 0 x k y kx 0 当P沿曲线y=kx2而趋于(0，0)时,
E 的内点属于 E .
( 2) 外点 如果存 在点 的某一 邻域 ( P )， P U 使得U ( P ) E ，则称 P 为 E 的外点 .
(3) 开集 如果点集E 的点都是内点， 则称 E 为开集 .
E 1 {( x , y ) 1 x 2 y 2 4} 例如，


P2
( 5) 连 通 集 设 D 是 开 集 ． 如 果 对 于 D 内任何两点，都可用线连结起来， 折 且该折线上的点都属于，则称开集 D E D 是连通的．

P
(6) 区域 连通的开集称为区域或开区域． 开区域连同它的边界一起称为闭区域
(a) (b) (c) (d)
( x, y) x y 0 ( x, y) 1 x 2 y 2 4
三、多元函数的极限
1. 定义 设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 D, P0 ( x0 , y0 )
是其聚点， 如果对于任意给定的正数 ， 总存在正数 ， 使得对于适合不等式
0 | PP0 | ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2
的一切点，都有| f ( x , y ) A | 成立，则称 A 为函 数 z f ( x , y ) 当 x x 0 ， y y0 时的极限， 记为
x x0 y y0
lim f ( x , y ) A
（或 f ( x , y ) A ( 0) 这里 | PP0 |）.
说 明
（1）定义中 PP0 的方式是任意的；
lim （2）二元函数的极限也叫二重极限 x x f ( x , y );
0 y y0
与二次极限lim lim f ( x, y )及 lim lim f ( x, y )不同。
边界上的点都是聚点也都属于集合．
5. n维空间
设 n为取定的一个自然数，我们称 n元数组 ( x1 , x2 ,, xn ) 的全体为 n 维空间，而每个 n 元数组 ( x1 , x 2 ,, x n ) 称为 n 维空间中的一个 点，数 x i 称为该点的第 i 个坐标.
注：(1) n维空间的记号为
的路径而趋于P0，如有不同的极限，则二重极限
不存在。
xy kx 2 k lim 2 2 lim 2 2 2 2 x 0 x 0 x k x x y 1 k y kx 0
xy lim 2 不存在 2 x 0 x y y 0
证明：令P沿直线y=kx而趋于点P0(0,0),则有
2
的定义域
解
3 x2 y2 1 x y2 0
2 x 2 y 2 4 2 x y
所求定义域为
D {( x, y) | 2 x y 4, x y }.
2 2 2
3. 二元函数z=f(x,y) 的图形
二元函数的图形通常是一张曲面.
记为z f ( x, y),( x, y) D, 或z f ( P ), P D
类似地可定义三元及三元以上函数．
n 当n 2 时， 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
点函数符号 f (P)
例1 求f ( x , y )
arcsin( 3 x 2 y 2 ) x y
例如, 二元函数 z
定义域为 圆域
1 x y
2
2
z
( x, y)
x2 y2 1
o
x
z
图形为中心在原点的上半球面.
1 y
( x, y ) R 2 又如, z sin( x y ),
2 2 2 三元函数 u arcsin( x y z )
x
y
定义域为 单位闭球 图形为 空间中的超曲面.
当0 ( x 0) ( y 0) 时， 1 2 2 ( x y ) sin 2 0 原结论成立． 2 x y
2 2
例3 求极限 解
sin( x 2 y ) lim 2 . 2 x0 x y y0
sin( x 2 y ) x2 y sin( x 2 y ) lim 2 , lim 2 2 2 2 x0 x0 x y x y x y y0 y0
U ( P0 , ) P | PP0 |
( x, y) | ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 .




P0
2. 区域 (1) 内 点 设 E 是 平 面 上 的 一 个 点 集 P 是 ，
平 面 上 的 一 个 点 ． 如 存 在 点P 的 某 一 邻 域 果 U ( P ) E ， 则 称P 为 E 的 内 点 .
lim
x0 y0
其中
u x2 y sin( x y )
2
x2 y
sinu 1, lim u 0 u
x2 y 1 x x 0, 2 2 0 x y 2
sin( x 2 y ) lim 2 0. 2 x0 x y y0
xy 不存在 例4 证明 lim 2 2 x 0 x y y 0 分析：要证明二重极限不存在，可使P选择不同
(2)多元函数不仅有间断点而且有间断线。
xy , x2 y2 0 2 f ( x, y) x y 2 0 , x2 y2 0 在点(0 , 0) 极限不存在 (例4), 故 ( 0, 0 )为其间断点.
例如, 函数
又如, 函数
x 2 y 2 1 上间断. 在圆周
第
7章
多元函数微分法及其应用
一元函数微分学 推广 多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
Ch7-1 多元函数的基本概念
一、平面点集的有关概念
二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
一、平面点集的有关概念
1. 邻域
设 P0 ( x 0 , y0 )是 xoy平面上的一个点， 是某 一正数，与点 P0 ( x 0 , y0 )距离小于 的点 P ( x , y ) 的全体，称为点 P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
Rn ;
(2) n维空间中两点间距离公式
设两点为 P( x1 , x 2 ,, x n ), Q( y1 , y 2 ,, y n ),
| PQ | ( y1 x1 ) 2 ( y 2 x 2 ) 2 ( y n x n ) 2 .
特殊地, 当n=1，2，3 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离． 注：n维空间中邻域、区域等概念
例如，{( x, y) | 1 x 2 y 2 4} 有界闭区域；
y
{( x, y ) | x y 0}
x
无界开区域．
o
4. 聚点
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一 个点，如果点 P 的任何一个去心邻域内总有点 属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点.
说 明
(1) 内点一定是聚点； (2) 边界点一定是聚点；
2. 多元初等函数的连续性
多元初等函数：由常数及不同自变量的一元 基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步 骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫 多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
一 般 地 ， 求lim f ( P ) 时 ， 如 果 f ( P ) 是 初 等 函
lim
x 0 y0
1 . xy 1 1 2
1
3. 闭区域上连续函数的性质 （1）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果 在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于这两值之间的任何值至少一次．
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P1
即为开集．
E
(4) 边 界 点 如 果 点P 的 任 一 个 邻 域 内 既 有 属 于 E的 点 ， 也 有 不 属 于 的 点 （ 点P 本 身 可 以 属 E
E 的边界点的全体称为 的边界．记为E . E
于 E ， 也 可 以 不 属 于 ） ， 则 称P 为 E 的 边 界 点 ． E
邻域： U ( P0 , ) P | PP0 | , P R n


内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
二、多元函数的概念
1. 引例
圆柱体的体积
定量理想气体的压强
r
h
三角形面积的海伦(秦九韶)公式 b abc (p ) c 2
a
2. 二元函数的定义
定义 1 设D是平面上的一个点集，则称映射 f:DR为定义在D上的二元函数，
P P0
D, P0 是其聚点且 P0 D ，如果 lim f ( P ) f ( P0 )
则称 n元函数 f (P ) 在点 P0 处连续.
设 P0 是函数 f (P ) 的定义域的聚点，如果 f (P ) 在点 P0 处不连续，则称 P0 是函数 f (P ) 的间断点.
说 明
(1) 间断点的判别与一元函数类似。
但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
P0 ( x 0 , y0 ) 处极限不存在．
(3) 特殊趋向： x, y x 2 , x y 2 , y x 3 等. y
四、 多元函数的连续性
1.多元函数连续性的定义 定义3
设 n 元 函 数 f (P ) 的 定 义 域 为 点 集
x x0 y y0 y y0 x x0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． （4） 二元以上的函数的极限可类似地定义。
2．二元函数极限问题举例 例2 用定义证明
2 2
1 lim( x y ) sin 2 0 2 x 0 x y y 0
2 2
1 证明: ( x y ) sin 2 0 2 x y 1 2 2 x y sin 2 x2 y2 x y2 0, ,
{( x, y) | 0 x 2 y 2 1} 例如，
(0,0)既是边界点也是聚点．
(3) 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 例如,
{( x, y) | 0 x y 1}
2 2
(0,0) 是聚点但不属于集合． 例如,
{( x, y ) | x y 1}
2 2
P P0
数 ， 且 P0 是 f ( P ) 的 定 义 域 的 内 点 ， 则 ( P ) 在 f 点 P0 处 连 续 ， 于 是 lim f ( P ) f ( P0 ).
P P0
xy 1 1 例5 求 lim . x 0 xy y 0 解 原 式 lim xy 1 1 x 0 y 0 xy( xy 1 1)
开区域
( x, y)
x y 0
2
( x, y)
y
1 x y 4
2
闭区域
y
y
y
o
(a)
x
o 1 2x
(b)
o
(c)
x
o 1 2x
(d)
3. 有界集
对 于 点 集E 如 果 存 在 正 数 , r
使E U (O, r )则 称 E 为 有 界 点 集 ， 否 则 称为无界点集．
显然，此极限值随k的变化而变化,所以二重极限
确定极限不存在的方法：
（1） 令 P ( x , y ) 沿 y kx 趋向于 P0 ( x0 , y0 ) ， 若
极限值与 k 有关，则可断言极限不存在；
（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y ) 存在，
x x0 y y0