利用向量混合积求四面体体积
纵观立体几何考题感悟向量方法解题
纵观立体几何考题感悟向量方法解题在高中数学学习中，立体几何一直是学生们非常头疼的一个部分。
立体几何的主要难点是空间的复杂性，加上几何思维本来就不易理解，许多学生解题困难。
但是，通过向量方法解题是一种很好的解决立体几何问题的方法。
本文将通过纵观立体几何考题，分享一些关于向量方法解题的经验与感悟。
一、向量的基本概念及运算向量的表示法是用箭头表示。
箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
一个向量可以被表示为一个由有序数对$(x,y)$所确定的点A和另一个由有序数对$(x',y')$所确定的点B之间的向量$\vec{AB}$。
向量也可以表示为箭头的坐标，即$\vec{AB}=\begin{pmatrix}x'-x\\y'-y\end{pmatrix}$。
向量的大小表示为$|\vec{AB}|=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}$。
向量的运算有向量加法和向量数乘。
向量加法的定义是：$\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\e nd{pmatrix}$。
其中，$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$。
向量数乘的定义是：$\lambda\vec{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$。
其中，$\lambda$是一个实数。
二、应用向量方法求解空间几何问题1.立体几何基本概念首先，我们需要掌握一些立体几何的基本概念，比如平面、线段、角等。
此外，还需要了解空间中的直线、平面、空间角、平行线等概念。
了解这些概念是建立解题基础的必要条件。
2.向量表达式的转化在解题中，我们可以通过向量的基本运算将问题转化为向量的加、减、数乘问题。
因此，我们需要能够将向量从一个表达式转化为另一个表达式，并灵活地运用向量的加、减、数乘运算法则来求解问题。
三向量的混合积
B
C
[ AB AC AD ]
3 1 9
5 4 2 2 0 14 16
A
D
故 A , B , C , D 四点共面 .
内容小结
设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , by , bz ) , c (c x , c y , c z ) 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积:
a , b , c 共面
( ab )c 0
ax a y az b x b y bz 0 cx c y cz
思考与练习
1. 设 a i 2 j k , b i j , 计算 a b 及 a b , 并求 a , b 夹角 的正弦与余弦 . 答案: a b 1 ,
1 6
x2 x1 y2 y1 z2 z1 x3 x1 y3 y1 z3 z1 x4 x1 y4 y1 z4 z1
例1. 证明四点 A(1,1,1) , B( 4 , 5 , 6 ), C ( 2 , 3 , 3 ) ,
D(10 ,15 ,17 ) 共面 .
解: 因
a b (a x bx , a y by , a z bz )
a ( a x , a y , a z )
a b a x bx a y by a z bz
i j k a b ax a y az
bx b y bz
ax a y az 混合积: a b c ( a b ) c bx b y bz cx c y cz 2. 向量关系: bx b y bz ab 0 ax a y az a x bx a y by a z bz 0
ab
空间向量与立体几何测试试卷
空间向量与立体几何测试试卷空间向量与立体几何测试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a·b的结果为：A. 4B. 14C. 32D. 562.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a×b的结果为：A. (1,-2,1)B. (-1,2,-1)C. (1,2,1)D. (-1,-2,-1)3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a+b的结果为：A. (5,7,9)B. (5,6,7)C. (4,7,9)D. (4,6,8)4.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a-b的结果为：A. (3,3,3)B. (-3,-3,-3)C. (-3,-1,1)D. (3,1,-1)5.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·(a+b)的结果为：A. 42B. 56C. 70D. 846.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×(a+b)的结果为：A. (14,-28,14)B. (-14,28,-14)C. (14,28,14)D. (-14,-28,-14)7.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|a|的结果为：A. √6B. √14C. √26D. √468.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|b|的结果为：A. √14B. √26C. √38D. √509.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×b的模长为：A. √6B. √14C. √26D. √3810.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·b的模长为：A. 14B. 26C. 38D. 50二、填空题（每题3分，共30分）1.向量(2,3,4)与向量(-1,2,-3)的夹角为______度。
向量的外积和混合积
x ( x, x )
三维空间：
x
k 1
n
2 k
设 x ( x1 , x2 , x3 )
y ( y1 , y2 , y3 )
12
则 x y x1 y1 x2 y2 x3 y3
2） 任意两向量之间的夹角定义:
( x, y) cos x y
1
平面解析几何是通过坐标法,把平面上的点与一 对有序的数对应起来，把平面上的图形和方程对应 起来，从而可以用代数方法来研究几何问题。空间 解析几何也是按照类似的方法建立起来的，它是在 三维坐标系中，用代数方法研究空间曲面和曲线性 质的一个数学分支。
2
§1 向量的外积与混合积
一、空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系。 即以右手握住 z 轴，右手的四个手指从正向 x 轴 以π/2 角度转向正向 y 轴时， 大拇指的指向就是 z 轴 z 竖轴 的正向。
z
R
M1
P
M2
Q
o
x
cos
x3 x x x
2 1 2 2 2 3
0 ,
0 ,
y
(cos , cos , cos )
0 .
表示线段OM 距离原点O 一个单位的点。
9
4、 向量的运算法则
设 x ( x1 , x2 , x3 ) y ( y1 , y2 , y3 ) 1）加法 （平行四边形法则） 即 x y ( x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 ) 满足 a ) x y y x b) ( x y ) z x ( y z )
B(0, y , z )
四面体的六条棱长求体积公式
六条棱长分 别为 。
第二步： 由空间解析几何知，该四面体的体积 V 等于以矢 量 为棱的平行六面体的体积的
,即
将上式平方后得
V=
由于行列式转置后其值不变，将第二个行列式进行转值后再相乘， 得
V=
= (1)
解题过程 （详细过程） 第三步： 根据矢量数量积的坐标表示及数量积的定义得
故得花岗岩巨石体积近似为
（米 ）。
3
花岗岩巨石体积 数学实验 其他 可执行的文件名及其原文件；
又根据矢量数量积的坐标表示、定义及余弦定理得
第四步：将以上各式代入第二步的（1）式便得
这就是利用四面体的六条棱长去计算四面体体积的欧拉四 面体求积公式。
欧拉四面体求积公式 第五步：计算花岗岩巨石的体积。 设 l=10 米,m=15 米,n=12 米,p=14 米,q=13 米,r=11 米， 代入四面体体积计算公式得
知识点一： 知识点二：
矢量的数量积 矢量的向量积
解题方法
（解题思路、解题提 示、解题要点等）
用六条棱长表示的四面体体积公式 内容：将四面体放入直角坐标系内，利用矢量混合积的几 何意义及坐标运算公式，结合矢量数量积的坐标运算公式、 定义及余弦定理得到用六条棱长表示的四面体体积公式。
解题过程 （详细过程）
欧拉四面体求积公式
问题内容： 历史上欧拉提出了这样一个问题：如何用四面体的六条棱长去表示 它的体积。试用矢量代数知识来解决这个问题。并计算棱长分别为 10 米，15 米，12 米，14 米，13 米，11 米的四面体形状的花岗岩巨石的体积。 问题应用背景 几何
涉及的知识点
（知识点的标准说法 参见知识框架结构图）
正四面体的体积计算公式
正四面体的体积计算公式正四面体是一种很有趣的几何体，在数学学习中经常会碰到。
那咱就来聊聊正四面体的体积计算公式。
先给大家说说我曾经碰到的一件事儿。
有一次在课堂上，我给学生们讲正四面体的知识，其中一个平时很调皮的学生居然听得特别认真。
我当时就觉得很惊喜，讲完之后让大家做练习，这小家伙居然第一个做完，而且还全对！这让我深刻地体会到，只要能激发起学生的兴趣，再难的知识他们也能掌握得很好。
咱回到正四面体的体积计算公式这个正题哈。
正四面体的体积计算公式是：V = √2/12 × a³ （其中 V 表示体积，a 表示正四面体的棱长）。
要理解这个公式，咱们先来了解一下正四面体的特点。
正四面体的四个面都是全等的等边三角形，每个顶点到对面三角形的距离都相等。
想象一下，就像是四个一模一样的小三角形拼成了一个尖尖的立体图形。
那这个公式是怎么来的呢？这就得用到一些高中阶段的数学知识啦。
我们可以把正四面体放进一个正方体里面，通过正方体的体积和正四面体与正方体之间的关系来推导出来。
假设正方体的棱长是 a ，那么正方体的体积就是 a³。
而正四面体的体积正好是正方体体积的一部分。
通过一系列的计算和推导，最终就得出了正四面体的体积是√2/12 × a³ 。
可能有的同学会觉得，哎呀，推导过程太复杂啦，不好懂。
没关系，咱们多做几道题，多画几个图，慢慢地就会有感觉啦。
比如说，给你一个正四面体，棱长是6 厘米，那它的体积是多少呢？咱们就把棱长 6 厘米代入公式，V = √2/12 × 6³ ，经过计算就能得出答案啦。
在实际生活中，正四面体的体积计算也有不少用处呢。
比如建筑师在设计一些独特的建筑结构时，如果用到了正四面体的元素，就得通过这个公式来计算相关的体积，从而确定材料的用量和空间的大小。
学习正四面体的体积计算公式，就像是打开了一扇通往数学奇妙世界的门。
虽然可能会遇到一些小困难，但只要咱们不放弃，多思考，多练习，一定能掌握得妥妥的！就像那个调皮的学生一样，只要用心，啥都能学好。
已知四点坐标求四面体体积例题
已知四点坐标求四面体体积例题四面体是一种三维几何图形，由四个不在同一平面上的点组成。
它是一种重要的几何图形，在数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍如何利用已知的四点坐标求解四面体的体积。
首先，我们需要了解四面体的定义和性质。
四面体是一种由四个不在同一平面上的点组成的三维几何图形。
四面体有四个面和六条棱，每个面都是一个三角形。
四面体的体积可以通过以下公式计算：V = (1/3) * S * h，其中S为底面积，h为高。
接下来，我们来看一个例题。
已知四个点的坐标分别为 A(1,2,3)，B(4,5,6)，C(7,8,9)，D(10,11,12)，求四面体ABCD的体积。
我们可以利用向量的方法来求解。
首先，我们需要求出三个向量AB、AC和AD的值。
根据向量的定义，我们可以得到：AB = B - A = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)AC = C - A = (7-1, 8-2, 9-3) = (6, 6, 6)AD = D - A = (10-1, 11-2, 12-3) = (9, 9, 9)接下来，我们需要求出三角形ABC的面积。
根据向量的叉乘公式，我们可以得到：SABC = |AB x AC| / 2= |(3, 3, 3) x (6, 6, 6)| / 2= |(0, 18, -18)| / 2= 9然后，我们需要求出四面体的高。
我们可以利用点到平面的距离公式来求解。
四面体的高可以从点D到四边形ABC所在平面的垂线上。
根据点到平面的距离公式，我们可以得到：h = |(D - A) · n| / |n|= |(9, 9, 9) · (AB x AC)| / |AB x AC|= |(9, 9, 9) · (0, 18, -18)| / |(0, 18, -18)|= 3最后，我们可以利用四面体的体积公式来求解四面体的体积。
根据公式，我们可以得到：V = (1/3) * SABC * h= (1/3) * 9 * 3= 9因此，四面体ABCD的体积为9。
高数 向量的乘积 知识点与例题精讲
的平行四边形的面积.
ay
0
c
a
b
思考: 右图三角形面积
a
b
S＝
1 2
ab
a
b
例5
求与a
3i
2
j
4k ，b
i
j
2k 都垂
直的单位向量.
解
c
a
b
i ax
j ay
ki az 3
j 2
k
4 10 j 5k,
解 AC {0,4,3}
B
AB {4,5,0}
三角形ABC的面积为 A
DC
S 1 | AC AB | 1 152 122 162 25 ,
2
2
2
| AC | 42 (3)2 5, S 1| AC | | BD |
25 1 5 | BD |
解
(1)
a
b
11 1 (2) (4) 2
9.
(2) cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
1 ,
2
(3)
a
b
|
b
|
Pr
jba
3 .
Pr
4
jba
a
证: 如图 . 设
C B a, C A b, AB c 则
A b
c
C
Ba
c 2 (a b)(a b) a a bb 2ab
空间向量(内积、外积、混和积)
1
向量的内积
向量是一个具有很强的物理背景的概念，尤 其在流体力学、电磁场理论等中有很多的应用，
要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的
关系，仅仅只有向量的线性运算就远远不够了， 还要不断充实向量的运算。这一节先引入向量的
一种乘法。
2
例: 物体放在光滑水平面上，设力 F以与水平线成θ角的方向作用于 物体上，物体产生位移S，求力F 所作的功。
D(4, 1, 2) 为顶点的四面体的体积。
以AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积 分析: 是以三角形ABC为底面，AD为棱的三棱柱体 积的2倍，而四面体的体积是三棱柱体积的三
分之一。 所以，D-ABC的体积 VD ABC 可用混合积求
出。
32
解： 构造向量
AB (3,0,3), AC (1,1,2), AD (4,1,0),
F
S
解: 根据物理知识，F 可以分解成水平方向分力 Fx 和垂直方向分力 F y 。其中只有与位移平行的分力 Fx 作功，而 F y 不作功。 于是功W为: W=|F|cosθ|S|=|F||S|cosθ 为反映这一类物理现象，引入向量的内积。
3
内积及其运算规律 定义 两个向量α与β的内积是一个数，它等于
( ) ( )
5
例： 用向量证明余弦定理 证明：
B
A
C
即 AB AC BC 2 AC BC cos
2 2 2
6
例： 证明：直径所对应的圆周角为直角.
C
证明：
A
O
B
因此
所以
7
例： 证明：
三坐标参数计算公式
三坐标参数计算公式在直角坐标系中，一个点的坐标可以由其在三个坐标轴上的投影来表示，即(x,y,z)。
其中，x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影，z表示点在z轴上的投影。
在三维空间中，两点之间的距离可以通过勾股定理来计算。
假设点A 的坐标为(x1,y1,z1)，点B的坐标为(x2,y2,z2)，则两点之间的距离d可以计算为：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)在三维空间中，两个向量的夹角可以通过向量的点乘和模长来计算。
假设向量A的坐标为(x1,y1,z1)，向量B的坐标为(x2,y2,z2)，则两向量之间的夹角θ可以计算为：θ = arccos((x1*x2 + y1*y2 + z1*z2) / (sqrt(x1^2 + y1^2 + z1^2) * sqrt(x2^2 + y2^2 + z2^2)))在三维空间中，平面上三个点组成的三角形的面积可以通过向量的叉乘来计算。
假设点A的坐标为(x1,y1,z1)，点B的坐标为(x2,y2,z2)，点C的坐标为(x3,y3,z3)，则三角形ABC的面积S可以计算为：S=0.5*，(x2-x1,y2-y1,z2-z1)×(x3-x1,y3-y1,z3-z1)在三维空间中，由四个点组成的四面体的体积可以通过向量的混合积来计算。
假设点A的坐标为(x1,y1,z1)，点B的坐标为(x2,y2,z2)，点C 的坐标为(x3,y3,z3)，点D的坐标为(x4,y4,z4)，则四面体ABCD的体积V可以计算为：V=1/6*，(x2-x1,y2-y1,z2-z1)·(x3-x1,y3-y1,z3-z1)×(x4-x1,y4-y1,z4-z1)以上是一些常用的三坐标参数计算公式，可以用于在三维空间中进行点的定位、距离的计算、角度的计算、面积的计算和体积的计算等。
这些公式在工程、物理、几何、计算机图形学等领域有广泛的应用。
向量的内积 外积 混合积课件
AMB . 解: MA (1, 1, 0 ), MB ( 1, 0, 1)
则 cos AMB MA MB MA MB
100 1
22 2
故
AMB
3
A
B M
例3. 设均匀流速为 v 的流体流过一个面积为 A 的平
面域 , 且 v 与该平面域的单位垂直向量 n 的夹角为 ,
求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
为 ) .
解: P A v cos
n 为单位向量
A vn
v n
A
单位时间内流过的体积
A v cos
例
4
已知a
(1,1,4) ，b
(1,2,2)，求（1）
a ·b ；（2）a 与b 的夹角；（3）a 在b 上的投影.
v a r sin
v a
M
且 r v 符合右手法则 v r
lr
O
三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
( a b ) c 记作 a, b,c
ab
为 a , b , c 的混合积 . 几何意义
以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其
例11. 证明四点 A(1,1,1), B( 4,5, 6 ),C( 2,3 ,3),
D(10,15,17 ) 共面 .
解: 因 [ AB , AC , AD ]
3 45
1 2 2 0 9 14 16
A
B C
D
故 A , B , C , D 四点共面 .
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ) , c (cx , cy , cz )
平面向量的混合积与四面体的体积
平面向量的混合积与四面体的体积在数学中，平面向量是一个有大小和方向的矢量。
混合积是一种用于描述三个向量之间关系的数学运算符号。
而四面体是一个具有四个面的立体图形。
本文将探讨平面向量的混合积与四面体的体积之间的相关性。
一、平面向量的混合积平面向量的混合积，也称为三维向量的体积，是一个三个向量的数值，用符号[a, a, a]来表示。
其中，a、a和a是三个三维向量，可以表示为：a = a1a + a2a + a3aa = a1a + a2a + a3aa = a1a + a2a + a3a混合积计算公式为：[a, a, a] = a · (a ×a)其中，"·"代表点积（数量积），"×"代表叉积（向量积）。
二、四面体的体积四面体是一个由四个三角面组成的立体图形。
对于一个四面体，可以使用三个点a、a和a来定义三个向量aa、aa和aa。
四面体的体积可以通过这三个向量的混合积来计算，公式为：a = 1/6 |[aa, aa, aa]|其中，"|"代表向量的模，也就是向量的大小。
三、混合积与四面体的体积之间的关系平面向量的混合积与四面体的体积之间存在着紧密的关系。
据研究表明，混合积的绝对值等于四面体体积的六倍。
换句话说，混合积的绝对值可以用来衡量四面体的体积大小。
这一关系可以由混合积的计算公式推导得出。
在计算混合积时，首先计算向量的叉积，然后再进行点积。
因为叉积的结果是一个与原始向量垂直的向量，而点积表示了向量在某个方向上的投影长度。
所以，混合积实际上是通过计算垂直于其他两个向量的向量在第三个向量上的投影长度来得到的。
四、应用实例为了更好地理解混合积与四面体体积的关系，我们来看一个具体的应用实例。
假设有一个四面体，其中三个顶点的坐标分别为a(1, 2, 3)、a(4, 5, 6)和a(7, 8, 9)。
我们可以通过这三个顶点来计算三个向量aa、aa和aa，然后根据混合积的公式计算四面体的体积。
已知四点坐标求四面体体积例题
已知四点坐标求四面体体积例题四面体是空间几何中的一种基本图形，由四个不共面的点和四个三角形面组成。
在实际问题中，有时需要求解四面体的体积，这就需要已知四点坐标来进行计算。
本文将以一个例题为例，介绍已知四点坐标求解四面体体积的方法。
例题：已知四点坐标A（1，2，3）、B（-1，3，4）、C（2，0，1）、D（-2，1，5），求四面体ABCD的体积。
解题思路：1.首先，我们需要计算出四面体的底面积和高，然后通过公式计算出体积。
2.底面积的计算：通过向量叉积公式可得，已知三个不共线的向量a、b、c，以a为底边，b、c为两条侧边的三角形面积为：S = 1/2 |a×b| = 1/2 |a×c|因此，我们可以通过向量叉积公式计算出四面体底面积S。
3.高的计算：四面体的高是指从顶点到底面所在平面的垂线。
因此，我们需要求解出垂线的长度。
我们可以通过向量点积公式来计算出垂线的长度。
以点A为例，假设垂线交于点P，则向量AP与向量n（底面法向量）垂直，即AP·n = 0。
因此，我们可以得到以下方程组：(x-1, y-2, z-3)·[(3-4)×(1-2), (1-2)×(2-3), (2-3)×(3-4)] = 0化简后得到：-2x + 3y - z = -1同理，我们可以得到垂线交于底面上的三个点Q、R、S的坐标。
然后，我们可以通过向量公式计算出四面体的高h。
4.体积的计算：通过底面积S和高h，我们可以得到四面体的体积V：V = 1/3 Sh5.计算过程：首先，我们需要计算出底面法向量n：n = (3-4, 1-2, 2-3)×(1-2, 2-3, 3-4) = (-1, 1, 1) 然后，我们可以计算出四面体的底面积S：S = 1/2 |(1-(-1), 2-3, 3-4)×(2-1, 0-2, 1-3)| = 1/2 |(2, 1, -1)×(1, -2, -2)| = 3√2接下来，我们需要计算出四面体的高h：以点A为例，我们可以得到以下方程组：-2x + 3y - z = -12x + y + z = 14化简得：y = 5z = 2x + 9代入第一个方程得：x = 1因此，垂线交于点P(1, 5, 11)。
空间四面体的体积和表面积的计算
空间四面体的体积和表面积的计算空间四面体是一种几何体，由四个三角形组成，它有六个边和四个顶点。
空间四面体在建筑、工程、航天和地质学等领域中都具有重要的应用价值。
因此，计算空间四面体的体积和表面积是很必要的。
计算空间四面体的体积
计算空间四面体的体积可以使用以下公式：
V = (1/3) * B * h
其中，V是空间四面体的体积，B是底面积，h是高。
底面积是指由四个顶点构成的三角形的面积。
假设底面三角形的三条边长分别为a、b、c，则根据海伦公式，底面积B可以计算为：
B = sqrt(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))
其中，s是半周长，可以计算为：
s = (a + b + c) / 2
高可以由以下公式计算：
h = sqrt(b^2 - (d/2)^2)
其中，d是四面体四个顶点与底面的距离的最小值。
将B和h 代入公式V = (1/3) * B * h中即可计算出空间四面体的体积。
计算空间四面体的表面积
通过计算它的底面三角形的面积和四个侧面三角形的面积，可以得出空间四面体的表面积。
底面积可以使用上述公式计算，侧面三角形的面积可以使用以下公式：
S = (1/2) * a * d
其中，S是三角形的面积，a是三角形的底边，d是三角形的高。
三角形的高可以使用勾股定理计算，即：
d = sqrt(c^2 - (a/2)^2)
其中，c是三角形斜边的长度。
通过计算四个侧面三角形的面积和一个底面三角形的面积之和，即可得到空间四面体的表面积。
四面体体积计算公式
四面体体积计算公式四面体是一种简单的几何体，它有四个面，其中任意三个都相交于一个点。
四面体的体积是描述这个几何体内部空间大小的一个重要指标。
了解四面体体积的计算公式对于解决几何问题和实际应用具有重要意义。
四面体体积的计算公式是基于底面积和高度的乘积再除以3。
具体而言，公式可以表示为：V = (底面积× 高度) ÷ 3其中，V代表四面体的体积，底面积是指四面体底面上的面积，高度是指从顶点垂直下落到底面的长度。
为了更好地理解和应用四面体体积计算公式，我们可以通过一个生动的例子来进行说明。
假设有一个四面体ABCX，其中底面ABC是一个等边三角形，高度AX垂直落在底面的中心O上。
首先，我们需要计算底面ABC的面积。
由于底面ABC是一个等边三角形，我们可以利用等边三角形的性质来计算底面积。
假设三边长为a，那么根据等边三角形的面积公式，底面积S可以表示为：S = (√3 ÷ 4) × a²接下来，我们需要计算高度AX的长度。
由于AX垂直于底面ABC，并且垂直落在底面中心O上，因此高度AX可以等于底面AB的一半。
假设底面边长为a，那么高度AX可以表示为：AX = a ÷ 2现在，我们可以将底面积S和高度AX代入四面体体积计算公式中，计算出四面体ABCX的体积V：V = (S × AX) ÷ 3= ( (√3 ÷ 4) × a² × (a ÷ 2) ) ÷ 3= (√3 × a³) ÷ 24通过这个例子，我们可以看到四面体体积计算公式的具体应用过程。
只要我们知道底面的面积和高度，就可以轻松地计算出四面体的体积。
这个公式的推导过程也让我们更深入地理解了四面体的几何特性。
四面体体积计算公式在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在建筑和土木工程中，设计师可以通过计算四面体体积来确定建筑物的内部空间大小，以便合理安排房间布局和使用空间。
向量混合积与四面体体积公式的教学探究
第24卷第3期2021年5月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol..4,No.3May!0!1doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2021.03.017向量混合积与四面体体积公式的教学探究李国望，卞革，付芳芳(陆军炮兵防空兵学院基础部，安徽合肥230031)摘要本文利用空间K量的方法和线性代数的有关理论及K量的混合积，得到了利用棱长求四面体体积的公式，并利用该公式推广了几个有意义的结论.关键词向量；四面体；混合积；行列式中图分类号O182..文献标识码A文章编号1008-1399(2021)03-0057-03On Teaching the Volume Formula of a Tetrahedron andVector Mixed ProductLI Guowang,BIAN Ge,and FU Fangfang2D epartment of Basic Courses，Army Academy of Arti l ery and Air Defense，Hefei!30031，PRC)Abstract With t he theory of Linear Algebra,this paper discusses the mixed product and the formula for thevolumeoQatetrahedralbyitsedgelength.Severalinterestingconclusionsaredeliberatedaswe l. Keywords vector,tetrahedron,mixedproduct,determinant0引言四面体，又叫三棱锥，生活中很常见.小到端午节庆时糯香可口的粽子，大到巧夺天工无以复加的金字塔.大名鼎鼎的“龙牙”，坦克的“钉刺带”，至今仍矗立在德法边界齐格菲防线旧址上，其上沧桑的痕迹见证了德意志帝国的兴盛和覆灭.长江三峡截流纪念园里的三峡截流纪念石，先后在葛洲坝工程和三峡截流工程中立下汗马功劳，是三峡水利工程的科技创新成果之一.这些混凝土浇筑的四面体在军事或工程中发挥了巨大的作用.众所周知，已知三角形三个边长，利用海伦公式可以计算它的面积.若已知四面体的六条棱长，能否收稿日期：2020-06-22修改日期：2020-09-02基金项目：安徽省高等学校自然科学重点基金(KJ2015A323)*安徽省高校优秀青年人才基金(2011SQRL172)陆军炮兵防空兵学院科研自主立项(PFXY190101019).作者简介：李国望21979—)，男，安徽寿县人，硕士，讲师，研究方向：复分析与微分方程.Email：leeguowang@.用来计算它的体积呢据记载，早在1752年大数学家欧拉研究并提出了已知六条棱长求四面体体积问题.后来凯莱等数学家又对此进行了研究.近些年国内相关研究论文也很多•文献［1—2］利用四面体由一个顶点出发的三条棱长以及其中每两条棱长的夹角求体积•文献［3_4］利用六条棱长给出了四面体体积公式.文献［5_6］探讨了解析几何中利用向量方法求四面体体积公式.这些公式有的比较烦琐，不易学生记忆.有的数据不易测量，给计算体积带来麻烦.本文借鉴了文献［7］中的一个例题，运用案例式教学和启发式教学，引导学生从生活中常见的四面体体积问题出发，利用空间向量的方法和线性代数的有关理论，推出了利用棱长求四面体体积的公式•1教学设计思路本次课的内容设计分为问题引入、公式推导、实际应用和课程小结四个部分.在问题引入部分，先从截流的体积!四体体积与向量混合积之间的关系.在公式推导部分，利用数量58高等数学研究2021年5月积的定义、坐标运算公式以及三角形余弦定理，推导出了利用棱长求四面体体积的公式•在实际应用部 分,利用公式计算了三峡截流石的体积，并对体积公式作了推广•最后是课程小结,通过对本次课归纳总结，强调数形结合思想在几何问题中的应用•2教学过程2.1问题引入在学习本节课之前，首先通过播放三峡截流工程视频，引出这节课的重点内容：怎么利用棱长求四 面体体积呢?积的 义知，它的绝对值表示为以向量"，筋,(C 为棱的平 行六面体的体积•再由立oclOA体几何的补形法知，四面体的体积就等于该平行六 面体体积的六分之一.2.2公式推导为了更好的利用向量来计算混合积，我们先建立如下图所示的空间直角坐标系• 设A,B,C 三点的坐标为Q$i，6,，c , % , 5 — 1,2,3.并设四面体O-ABC 的六条棱 长分别为@＜，0，p ，q ，r.由立体几彳知，该四面体的体积等于以OA ，OB ,OC 棱的平行六面体体积的六分之一.当OA,O ，组成右手系时，有v =1 OA ，o B ，c C ]—1 (OA x ob % ・6 616$1$2$3C 1 —$1$3C 2十$1$2°3626361636162」$2$36163621612在实际计算中，相对于坐标来说，棱长更易被测 来•怎么把坐标转发为棱长呢？不妨来看向量OA 的模，因为o A —槡$十61十占一p .受此启发，我们对体积v 两边平方，得对(1)式右边利用矩阵乘法，得$1$2 $3$1 $2$3V 2 —1366162 63・61 6263(1)c 1c 2c 3c 1 c 2c 3$1$2$3记% —616263，由线性代数知c 1c 2C 3 -|%T =， %T % -= |%T ・%5$161c < 5 $1$2$3 <$262门1616263$363c 2$2 +62 +c$1 $2 +6i 62 +c 1 c 2 $i $3+6i 63+c c=6 $i $2+662+；i ；2 $2+62+c$2$3+66 十eg $1$3 +6163 +C 1C 3 $2$3 +6263 +C 2C 3$2+63+c 2由向量的数量积定义和坐，得$2 +6f— o A ・ o A — o A 12—p 2$2 +62 +c2 — cob ・ OB — OB |2 — q 2$2 +6| +c2-・ 兄一 c(\2 =r 2设每两条侧棱间的夹角分别为J AOB - "，J BOC=.,J AOC —/.根据余弦定理得$1$2 十 6162十C iC2— O A ・ OB — p ・ q ・ cos "_ p 2 十 q 2 — n 2= 2$2$3 十6263 十；2c 3— OB ・ OC = q ・ r ・ cos ._q 2 十 r 2 —@2_ 2$1$3 十6163 十;1c 3— OA ・ cC —p ・ r ・ cos y —p 2+r 2一 <2= 2将以上六个式子代入体积V 2的表达式，得到欧拉四面体体积公式：p 2p 2 十 q 2—n 2p 十 r 2 —<22v 2-6p 2 十 q —n2q 2p 2 十 q 2 —@22p 十 r 2 —<2p 2 十 q —@222Y 观察发现，上式右边的行列式里，所有的元素都化成了与棱长有关的表达式•由此推出了利用棱长来求体积的四面体体积公式•众所周知，只要知道了 三角形的三个边长，利用海伦公式就可以计算它的面积•现在只要知道了四面体的六条棱长，就可以利用这个公式来求它的体积了.第24卷第3期李国望，卞革，付芳芳：向量混合积与四面体体积公式的教学探究59 2.3公式推广由上述推导过程知，体积公式还蕴含着2pD2=祈pq cos"p rcos y pq cos"pr cos y q2qrcos/3 q厂cos.E1,222 36pqr1co s"cos y cos«1cos. cos y cos.1开方可得四面体体积公式的推广形式.推论1设四面体o-ABC,过顶点的三条侧棱长分别为OA=p,OB=q,OC=r,又设每两条侧棱的夹角为Z AOB=a,J BOC=.,Z AOC=y,则—pqr1co s"cos ycos"1cos.槡cos y cos.116pr cos"cos2y)推论1是文献'_2］中已有的结论，但是证明方法都比较繁琐.我们由欧拉四面体体积公式来推导此推论，比较简单.由此推论可见，若四面体过某顶点三条棱的两两夹角中存在直角时，则选用该公式计算体积较为简便•利用这个体积公式，我们还可以得到几个特殊四体的体积公•推论2正四面体:设四面体六条棱长都相等,即p=q=r=l=m=”,由体积公式得j推论3正三棱锥:设正三棱锥底面边长@=m=”,侧棱长p=q=r,由体积公式得D=p3p—I24直四体:设四体条侧两两垂直，即a=.=y="，且三条侧棱长分别为p,q,r, 1得v=pqr6推论5等腰四面体：设四面体三组对棱两两相等l=p,m=qrn=r,由体积公式得d=槡槡(p2+q2-r2))q+r2—p2))r+p2_q)数学是思维的体操，学习数学更多的是为培养学生良好的数学素养.然而对于“无形”的数学思想的领会必然要通过老师在课堂的正确引导，才能有效渗透到学生的数学学习中，也将成为提高学生综合数学素养的必然途径.“从特殊到一般”和“从一般到特殊”的思想是众多数学思想中体现互逆特点的•上述四面体体积公式在解决特殊类型的四面体体积时，能起到事半功倍的效果.教师在教学过程中不妨设置阶梯式的问题,启发学生更好的思考，从而更好地锻炼学生的思维•2.4实际应用三峡工程共分三期进行，其中一期工程主要是大江截流.据史料记载，在大江截流中，一共向龙口抛投物料14万立方米.其中每块截流石单边长2•5米，重达23吨，由混凝土浇筑而成，是三峡截流时的主要投抛料•我们把量得的数据p=2•5代入推论2，计算得D=1.84立方米.可以看出利用欧拉四面体体积公式及其推论来计算四面体体积事半功倍.该公式及推论简洁、高效，具有一定的实效性和普遍性，值得借鉴和推广•古埃及的金字塔形状为四面体，类彳的方法，我们可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积•2.5课程小结本文利用向量混合积对四面体体积问题进行了研究.对教材内容进行了深化和拓展•本节课从三峡截流石体积问题出发，利用混合积的定义及几何意义，给出了它的坐标表示.再结合数量积的定义，坐标运算公式以及余弦定理，推导出了四面体的求积公式.解决了实际生活中的问题.课程中注重与实际问题的联系，提高学生分析问题，解决问题的能力.求解过程中主要体现了数形结合的思想•数学家华罗庚说过:数缺形时少直观，形少数时难入微.只有以形助数，以数解形，数形结合，才能优势互补•3教学反思本节课的教学理念是：问题牵引-启发思维-循序渐进-学以致用.基于上述教学理念，本节课的设计从生活中的实际问题入手，运用问题驱动法、案例(下转第33页)第24卷第3期陈建龙，张小向：线性代数中几个疑难问题的处理33时，直线P1与P2重合.5.3向量组的线性相关性的几何意义空间内两个向量00线性相关当且仅当00共线；三个向量00#线性相关当且仅当00#共面. 5.4正交矩阵的几何意义设Q为”阶正交矩阵，X="1"2，…，"”)T, y=(*1，*2，，则x=Q y称为正交变换.对于任意的”维列向量0,0&R",有如下关于内积的等式0,0〉=0(0=0(+0=0(,(,0=(Q«)T(Q0)=Q,Q0〉•根据向量长度以及夹角与内积的关系可得正交变换保持向量的长度与夹角•换言之,正交变换是刚体变换.5.5施密特正交化的几何意义下面以”=$=2为例,介绍施密特正交化的几何意义•对于平面内两个线性无关的向量0T102,如图5-3所示，为了构造图5-3一个正交的向量组01,02,使得01=0102=02+01,据〈02,01〉=)02+01,01〉=)02,01〉+k)01,01〉=k)01,0i〉可得k=02,01〉〈01,01〉5.6二次型与二次曲面设A为三阶实对称矩阵，x="1,"2,"3)T,二次型/("1,"2,"3)=x T Ax,二次曲面+的方程为/"1,"2,"3)=1,则+的类型与/"1,"2,"3)的秩r 以及正惯性指数。
基于分割法探究四面体体积的新方法
基于分割法探究四面体体积的新方法作者：滕旭来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第11期[摘要] 四面体体积计算是研究四面体的基本问题，文章基于分割法推导出了四面体的一个新的体积公式，并由推出的体积公式推导出了传统体积公式及三面角的特征值.[关键词] 四面体;分割法;体积公式■四面体中的元素及其表示四面体为空间图形（如图1所示），因此其元素的形式比三角形的元素复杂得多，研究四面体的体积须明确其元素及表示.1. 角四面体中的角包括空间角和平面角，空间角包括三面角、二面角及棱面角三种，平面角指的是每个面（三角形）的内角，只有一种.（1）三面角四面体中的一个顶点及由该顶点出发的三条棱构成其一个三面角，四面体中共四个三面角，记作：A-BCD，B-ACD等.（2）二面角四面体中的一条棱及由该棱出发的两个面构成其一个二面角，四面体中共四个二面角，记作：A-BC-D，B-AC-D等.（3）棱面角四面体中的一条棱及与该棱相交的面构成棱面角，四面体中共八个棱面角，记作：AB-ACD，AB-BCD等.（4）平面角四面体中的面（三角形）的内角称为四面体的平面角，四面体共十二个平面角，记作：∠ABC，∠ACD等.2. 棱四面体中共十二条棱记作：AB，AC等.3. 面四面体中四个面记作：△ABC，△ABD等.■分割法1. 分割法求四面体体积的一般方法[1-5]文献[1-5]在推导四面体的体积时均采用将四面体从平行六面体中分割出来进行计算，而计算平行六面体的体积则采用向量的混合积.2. 分割法求四面体体积的新的方法（1）已知二面角棱长及两个面的面积求体积在四面体ABCD中，已知二面角A-BC-D，棱BC及两个面△ABC，△BCD的面积d，a. △ABC在BC边上的高为■为定值，所以A点在过A点BC的平行线上，同理D点在过D点BC的平行线上，现以三条平行线为侧棱，BC为高构造直三棱柱，如图2所示.三棱柱的体积为：V=S·h=■·■·■sinA-BC-D·BC=2■sinA-BC-D，所以四面体的体积为V■=■V=■·■sinA-BC-D.■其他计算四面体体积的公式1. 已知三面角及三条棱棱长求体积在四面体ABCD中，已知三面角A-BCD，棱AC，AB，AD.由2.2.1知：四面体的体积为V■=■·■sinC-AB-D，其中c=S△ABD=■·AB·AD·sin∠BAD，d=S△ABC=■·AB·AC·sin∠BAC，所以V■=■·■·■sinC-AB-D=■AB·AC·AD·sin∠BADsin∠BAC·sinC-AB-D;同理：V■=■AB·AC·AD·sin∠BAC·sin∠CADsinB-AC-D=■AB·AC·AD·sin∠BADsin∠CADsinB-AD-C.根据上述三个体积公式可知，对三面角A-BCD总有：T■（A-BCD）=sin∠BACsin∠CAD·sinB-AC-D=sin∠BADsin∠CADsinB-AD-C？摇=sin∠BACsin∠BADsinC-AB-D？圯T■（A-BCD）=sin∠BACsinB-AC-DsinC-AB-D=sin∠BADsinB-AD-CsinC-AB-D=sin∠CADsinB-AD-CsinB-AC-D分别称T■（A-BCD），T■（A-BCD）为三面角A-BCD的特征值1和特征值2[6-7].2. 已知棱面角及三条棱棱长求体积在四面体ABCD中，已知棱面角AB-ACD，棱AC，AB，AD.设四面体在面ACD上的高为H，则H=AB·sinAB-BCD，所以，四面体的体积为V■=■·S△ACD·H=■·■·AC·AD·sin∠CAD·（AB·sinAB-ACD）？摇=■AC·AD·AB·sin∠CADsinAB-ACD同理：V■=■AC·AD·ABsin∠BAC·sinAD-ABC？摇=■AC·AD·ABsin∠BAD·sinAC-ABD根据上述三个体积公式可知，对三面角A-BCD总有：T■（A-BCD）=sin∠BACsinAD-ABC=sin∠BADsinAC-ABD？搖=sin∠CADsinAB-ACD 3. 已知六条棱棱长求体积除了上述已知角和棱长求四面体的体积，还可以通过六条棱长l■，l■，l■，l■，l■，l■求体积■.若l■，l■，l■为同一面上的三条棱且其对棱分别是l■，l■，l■，则四面体体积为：V■=■■其中：M■=l■l■（l■+l■+l■+l■-l■-l■）M■=l■l■（l■+l■+l■+l■-l■-l■）M■=l■l■（l■+l■+l■+l■-l■-l■）M=l■l■l■+l■l■l■+l■l■l■+l■l■l■■总结四面体体积公式多采用向量的混合积的几何意义进行推导，运算比较复杂，本文通过三棱柱分割法简化了四面体体积公式的推导，并对四面体体积计算的方法进行了系统的总结.参考文献：[1] 杨世国.向量在几何中的应用[J]. 数学的实践与认识，2006，36（9）.[2] 陶兴模. 四面体的一个体积公式及应用[J]. 数学教学通讯：中学生版高三卷， 2000（1）.[3] 蔡树松. 四面体的一个体积公式及其应用[J]. 中学数学月刊，2002（6）.[4] 胡仕华.四面体的一个体积公式[J]. 中学数学教学，2004（3）.[5] 四面体的一个体积定理的证明和应用[J]. 数学通讯，1996（3）.[6] 王永洪. 四面体的正余弦公式及体积公式[J]. 中学数学，2010（1）.[7] 刘毅. 四面体的另一种空间角的正弦定理[J]. 数学通讯，1997（7）.[8] 戴翔天. 已知四面体的条棱长求体积公式[J]. 中学教研（数学），1992（11）.。
构造长方体 巧求四面体体积
构造长方体巧求四面体体积
孙祥凤
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1997(000)001
【摘要】例在四面体P-ABC中,三组对棱分别相等,且依次为
2(5<sup>1/2</sup>)cm,2(13<sup>1/2</sup>)cm,2(10<sup>1/2</sup>)c m,求四面体的体积。
解因长方体中,以不相邻的四个顶点为顶点的四面体的对棱相等,所以构造长方体,使得四面体的对棱分别为长方体相对面
【总页数】1页(P38-38)
【作者】孙祥凤
【作者单位】江苏省如皋市江安中学!226534
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.解析几何课程中求四面体体积新方法探究 [J], 孙欣;马思佳;李铭辉
2.利用向量混合积求四面体体积 [J], 郑惠
3.已知四面体的六条棱长求体积公式 [J], 戴翔天;陈霞秋
4.利用平行六面体求四面体的体积 [J], 赵纪向
5.也谈由各棱长求四面体的体积 [J], 崔静安
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Calculating the volume of tetrahedron with the mixed products of vectors
ZHENG Hui
（School of Mathematics and Computer Science，Aba Teacher′s University，Wenchuan 623000，China）
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r
b - a,
rr c - a,
r c
，
rr c - a,
rr c - b,
r b
，
rr c - a,
rr c - b,
r a
，
rr b - a,
rr c - b,
r b
，
rr b - a,
rr c - b,
r c
．由混合积的运
( ) 算规律可知，这 12 个混合积的绝对值都相等，且都等于
2
高师理科学刊
第 39 卷
( ) ( ) V = 16 P1-P2P3P4
uuuur P1P2 ,
uuuur P1P3 ,
uuuur P1P4
=1 6
r a,
r b,
r c
=
( ) ( ) 1
6
uuuur P2 P1,
uuuur P2 P3 ,
uuuur P2 P4
=1 6
r -a,
rr b - a,
r a,
r b,
r c
．故四面体的体积等于以其任意不共面
的三边（向量）为棱所作的平行六面体体积的六分之一.
P1 - P2 P3P4 为一四面体（见图１），设 P1P2
= a ，P1P3
= b ，P1P4
= c ，则 P2P4
= c - a ，P2P3
=b-a，
P3P4 = c - b ．由初等几何知识可知，四面体 P1 - P2P3P4 的体积等于以其共点的三边（向量）为棱所作的平行
六面体体积的六分之一．因为平行六面体的体积等于其三边的混合积的绝对值，所以
rrrr
( ) 四面体 P1 - P2P3P4 不共点、不共面的任意三边的组合共有 12 种，其混合积分别为 a, b, c - b ，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r
rrrr
rrrr
rrrr
rrrr
rrrrr
a, b, c - a ， a, c, b - a ， a, c, c - b ， b, c, a - c ， b, c, b - a ， b - a, c - a, b ，
( ) r r r
Abstract：In analytical geometry，an important application of the mixed products of vectors a, b, c is to get the volume of parallelepiped and tetrahedron with its geometric meaning．Provided a more general method to get the volume of tetrahedron with the mixed products of vectors． Key words：analytical geometry；mixed product；tetrahedron；volume
体体积进行了研究．本文给出求四面体体积的一个更一般的方法． 定理 四面体的体积等于以其任意不共面的三边（向量）为棱所作
P３
图 1 四面体 P1 - P2 P3P4
的平行六面体体积的六分之一．
uuuur r uuuur r uuuur r uuuur r r uuuur r r
证明 uuuur r r
收稿日期：2018-12-10 基金项目：国家自然科学基金项目（11861001）；四川省应用基础研究项目（2018JY0458）；四川省高校科研创新团队建设计划项目（18TD0047）；
四川省教育厅自然科学基金项目（18ZB0001）；阿坝师范学院校级课题（ASB14-21）；阿坝师范学院教学改革研究项目（20171225， 20170816） 作者简介：郑惠（1977 -），女，四川南充人，副教授，从事几何以及数论研究．E-mail：zh_9203@
（阿坝师范学院 数学与计算机科学学院，四川 汶川 623000）
( ) 摘要：在解析几何中，向量混合积
r a,
r b,
r c
的一个重要应用就是利用其几何意义求平行六面体和
四面体的体积．利用向量混合积给出了求四面体体积的一个更一般的方法． 关键词：解析几何；混合积；四面体；体积 中图分类号：O182.2 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.03.001
r a,
r b,
r c
rr 为以 a ，b ，
( ) r
rrr
rrr
c 为棱所作的平行六面体的体积；当 a ，b ，c 共面时， a, b, c = 0 ．混
合积应用研究的热点除了用于证明向量共面，就是求平行六面体和四面 P2
P4
体的体积．教材[1-3]对四面体体积问题进行研究时，都只是利用四面体
其共点三边（向量）混合积计算四面体的体积，文献[4-10]分别对四面
rr c-a
=
( ) ( ) 1
6
uuuur P3 P1 ,
uuuur P3P2 ,
uuuur P3 P4
=1 6
rr a - b,
r - b,
rr c-b
=
1
( ) ( ) 6
uuuur P4 P1,
uuuur P4 P2 ,
uuuur P4 P3
=1 6
rr b - c,
rr a - c,
r -c
第 39 卷 第 3 期 2019 年 3 月
高师理科学刊 Journal of Science of Teachers′College and University
文章编号：1007-9831（2019）03-0001-02
Vol. 39 No.3 Mar. 2019
利用向ห้องสมุดไป่ตู้混合积求四面体体积
郑惠
rr
r
在解析几何中 2 个向量 a ， b 先作外积，再与另一向量 c 作内积，
P1
( ) ( ) ( ) r r r
rrr rrr
称 为 三 向 量 的 混 合 积 ， 记 为 a, b, c ， 即 a, b, c = a ´ b × c ．
( ) ( ) r
a,
r b,
r c
rrr 的几何意义为：当 a ，b ，c 不共面时，