拓扑空间与连续映射
第二章拓扑空间与连续映射一、教学目的与要求
第二章 拓扑空间与连续映射一、教学目的与要求本章是点集拓扑学的基础知识，在本章中建立了点集拓扑学许多最基本的概念，为学习点集拓扑学的核心内容打下基础。
本章应掌握的概念有：度量空间、开集、邻域、拓扑空间、映射在一点连续、连续映射、度量诱导的拓扑、可度量化空间、同胚、拓扑不变性质、邻域系、聚点、孤立点、闭集、闭包、内点、内部、边界点、边界、基、子基、邻域基、邻域子基、序列、序列的极限点、收敛、子序列。
学生还应该掌握：典型的拓扑和度量空间的例子、开集和邻域的性质、连续映射和同胚映射的性质、（集合的）内部的性质内部和边界和闭包之间关系、连续映射的等价条件（分别用开集、闭集、邻域来描述）、邻域系的性质和判定方法、基的判定法和子集族成为基（或子基）的条件、映射在一点连续的性质和判定法则、拓扑空间和度量空间中序列的性质。
二、教学重点与难点教学重点：拓扑空间和连续映射、导集、闭集、闭包、基与子基、拓扑空间中的序列。
教学难点：拓扑空间概念的建立、导集概念和基与子基概念的建立等。
三、课时安排与教学方法教学内容 （计划／实际）课时数课程类型／教学方法2.1,2.2 4/4 理论/讲授2.3,2.4 4/4 理论/讲授2.5,习题课 4/4 理论/讲授、讨论2.6,2.7 4/4 理论/讲授习题课 4/4 练习/讲授、讨论四、教学过程在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间, 将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射. 然后将两者再度抽象, 给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射. 随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域, 闭包, 内部, 边界, 基和子基, 序列等等.2.1度量空间与连续映射首先,我们从在数学分析中学过的连续函数出发, 抽象出度量和度量空间的概念.定义2.1.1 设是一个集合, X :X X R ρ×→.如果对于任何,,x y z X ∈,有(1) (正定性) (,)0,x y ρ≥并且(,)0x y ρ=当且仅当x y = ;(2) (对称性)(,)(,)x y y x ρρ=;(3) (三角不等式)(,)x z ρ≤(,)(,),x y y z ρρ+则称ρ是集合X 的一个度量.如果ρ是集合X 的一个度量,则称偶对(,)X ρ是一个度量空间或称,X 是一个对于度量ρ而言的度量空间.有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已有交代,不提它不至于引起混淆，这时我们称X 是一个度量空间. 此外对于任意两点 ,,,x y ∈X 实数(,)x y ρ称为从点到点的距离.例2.1.1 实数空间 R .对于实数集合定义,R :R R Rρ×→如下：对于任意,,x y R ∈令(,).x y x y ρ−=容易验证ρ是的一个度量因此偶对R ,(,)R ρ是一个度量空间.这个度量空间特别地称为实数空间或直线.这里定义的度量,ρ称为的通常度量,并且常常略而不提，称为实数空间.R 例2.1.2维欧氏空间n .n R对于任意1212,,,,,,(),()nn n x x x x ,y y y y R ==∈……令(,)x y ρ=容易验证ρ是的一个度量,因此偶对nR (,)nRρ是一个度量空间.这个度量空间特别地成为维欧式空间.这里定义的度量n ,ρ称为的通常度量,并且称为维欧氏空间.nR nR n 例2.1.3Hilbert 空间H .记为平方收敛的所有实数序列的集合,即H2121,,,;{()}i i i x R i Z x H x x x ∞+=∈∈<∞==∑…定义:H H R ρ×→如下：对于任意1212,,,,(),()x x x y y y H ==……∈令(,)x y ρ=则偶对(,)H ρ是一个度量空间.这个空间特别地称为Hilbert 空间.例2.1.4 离散的度量空间.设(,)X ρ是一个度量空间.称(,)X ρ是离散的，或者称ρ是的一个离散度量，如果对于每一个X ,x X ∈存在一个实数0x δ>使得(,)xx y ρδ>对于任何,.y X y x ∈≠例如我们假定是一个集合,定义X:X X Rρ×→使得对于任何,,x y X ∈有(,)0,x y x y ρ==或(,)1,x y x y ρ=≠容易验证ρ是的一个离散的度量，因此度量空间是离散空间.X 定义2.1.2 设(,)X ρ是一个度量空间，.x X ∈对于任意给定的0,ε>集合(,){}x y y X ρε<∈记作(,),B x ε或，称为一个以()B x εx 为中心，以ε为半径的球形邻域，简称为x 的一个球形邻域，有时也称为x 的一个ε−邻域.定理2.1.1 度量空间(,)X ρ的球形邻域具有以下基本性质：(1)每一点x X ∈至少有一个球形邻域，并且点属于它的每一个球形邻域; x (2)对于点x X ∈的任意两个球形邻域，存在的一个球形邻域同时包含于两者;x (3) 如果y X ∈属于x X ∈的某一个球形邻域，则y 有一个球形邻域包含于的x那个球形邻域.定义2.1.3 设A 是度量空间的一个子集.如果X A 中的每一个点有一个球形邻域包含于A (即对于每一个存在实数,a A ∈0ε>使得(,)B a A ε⊂)，则称A 是度量空间中的一个开集.X 例2.1.5 实数空间中的开区间都是开集. R 定理2.1.2 度量空间中的开集具有以下性质：X (1) 集合本身和空集Φ都是开集; X (2) 任意两个开集的交是一个开集;(3) 任意一个开集族(即有开集构成的族)的并是一个开集。
写出拓扑空间中的连续映射的8个等价命题
拓扑空间中的连续映射的8个等价命题引言在拓扑空间中，连续映射是一种非常重要的概念。
连续映射的性质和等价命题可以帮助我们理解拓扑空间的结构和性质。
本文将探讨拓扑空间中连续映射的8个等价命题，并对每个命题进行详细的解释和证明。
一、定义在开始讨论连续映射的等价命题之前，我们先来回顾一下连续映射的定义。
定义：设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个函数。
如果对于Y中的每个开集V，f-1(V)是X中的开集，则称f是从X到Y的连续映射。
二、等价命题下面是拓扑空间中连续映射的8个等价命题：1. 逆映射的原像是开集如果f:X→Y是一个连续映射，那么对于Y中的每个开集V，f-1(V)是X中的开集。
证明：对于Y中的每个开集V，根据连续映射的定义，f-1(V)是X中的开集。
2. 逆映射的原像是闭集如果f:X→Y是一个连续映射，那么对于Y中的每个闭集W，f-1(W)是X中的闭集。
证明：根据连续映射的定义，f-1(Y-W) = X-f-1(W)，由此可知f-1(W)是闭集。
3. 逆映射的连续性如果f:X→Y是一个连续映射，并且f是双射，则f-1:Y→X也是连续映射。
证明：对于Y中的每个开集V，我们需要证明(f-1)-1(V) = f(V)是X中的开集。
由于f是连续映射，f-1(f(V)) = V是Y中的开集。
因此，f(V)是X中的开集，即f-1是连续映射。
4. 连续映射的复合映射是连续的如果f:X→Y和g:Y→Z是连续映射，则复合映射g∘f:X→Z也是连续映射。
证明：对于Z中的每个开集W，我们需要证明(g∘f)-1(W) = f-1(g-1(W))是X中的开集。
由于g是连续映射，g-1(W)是Y中的开集；由于f是连续映射，f-1(g-1(W))是X中的开集。
因此，复合映射g∘f是连续映射。
5. 连续映射保持连通性如果f:X→Y是一个连续映射，并且X是连通的，则f(X)是Y中的连通子集。
证明：假设f(X)在Y中不是连通的，即存在开集U和V，满足f(X)∩U ≠ ∅，f(X)∩V ≠ ∅，f(X)∩(U∩V) = ∅，并且U∩f(X)和V∩f(X)是f(X)的分离集。
2.2 拓扑空间和连续映射
2.2 拓扑空间2.2.1 拓扑空间的基本概念定义2.2.1 设X 是一非空集，τ是X 的某些子集组成的一个集类，若τ满足：(1),X ττ∅∈∈；(2) 若,1,2,,i A i n τ∈= , 则1ni i A τ=∈ ；(3) 若,A I ατα∈∈，则IA αατ∈∈ , 其中指标集I 可以是有限集、可数集或不可数集； 则称τ为X 上的一个拓扑（结构）。
并称(,)X τ为拓扑空间，有时简写(,)X τ为X .τ中的元素称为X 的τ-开集，简称开集。
空间X 中的元素称为点。
若开集A （即：A τ∈）含有点x ，则称A 为x 的邻域，任何开集E （即：E τ∈）的余集c E X E =-称为闭集。
若拓扑空间(,)X τ又满足如下条件 (4) 若对,x y X ∀∈，当x y ≠时，必存在,x y 的邻域,U V ，使U V =∅ ，则称(,)X τ是Hausdorff 空间.注 在度量空间中，我们总是把按定义2.2.1的方法定义的开集全体作为拓扑,因此，度量空间自然地成为一个拓扑空间，而且是Hausdorff 空间。
例2.2.1 设τ是1R 中所有开的实数集构成的集族，则τ是1R 上的一个拓扑，并称之为1R上的通常拓扑或标准拓扑(usual topology ).类似地， 2R 平面上所有开集构成的集族τ是2R 上的一个拓扑，也称之为2R 上的通常拓扑或标准拓扑(usual topology ).例2.2.2 设{,,,,}Xa b c d e =，考察X 的子集族123{,,{},{,},{,,},{,,,}},{,,{},{,},{,,},{,,}},{,,{},{,},{,,},{,,,}}X a c d a c d b c d e X a c d a c d b c d X a c d a c d a b d e τττ=∅=∅=∅ 则1τ是X 上的一个拓扑，但2τ和3τ都不是X 上的拓扑。
点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射234
➢ 回答: 不是
定理2.14. 设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集 构成的族．则：
➢ (1)
➢ (2) 若A, B∈ . 则A∪B∈
➢ (3) 若
.则 ∈
➢ 有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开 ➢集．其余情形不一定． ➢ 有限个闭集的并闭集，任意个闭集的交是闭 ➢集．其余情形不一定．
➢ 3. 闭 包
定义2.13. 设X是一个拓扑空间，
,集合A
与A的导集d(A)的并A∪d(A)称为集合A的闭包,记
作:
定理2.15 拓扑空间X的子集A是闭集的充要 条件是 证明: 集合A为闭集当且仅当d(A)
而这又当且仅当A=A∪d(A)
定理2.16 设X是一个拓扑空间,则对于任意 A,B∈X,有：
包含于A的象的闭包，即 (4) 对于Y中的任何一个子集B， B的原象的闭
包含于B的闭包的原象，即
证明 (1)蕴涵(2)．设
是闭集
则 是一个开集，因此根据 (1)
是X中的一个开集，因此 是X中的一个闭集．
(2)蕴涵(3). 设
,
由于f(A)
根据(2)，
成立．
(3)蕴涵(4)设 应用(3)即得:
集合
定理2.13 设X是一个拓扑空间，
则A是一个闭集，当且仅当A的补集 是开集.
证明必要性：设A是一个闭集 充分性：设：
即A是一个闭集．
例2.6 实数空间R中作为闭集的区间． 设a,b∈R，a＜b．闭区间[a,b]是实数空间R 中的一个闭集. (-∞,a]，[b,∞)都是闭集，(-∞,∞)＝R显然更 是一个闭集．
§2.4 拓扑基与邻域基
定义2.16. 设 为拓扑空间, B
点集拓扑讲义.ppt
称 (X , ) 是一个度量空间. 在不至引
起混淆的前提下，迳称 X 是一个度量
空间； (x, y) 称为点 x 到 y 的距离.
3
常见度量空间
➢➢➢实实实数数数空集空间间R RR
设设 ::RRRRRR ,,对对于于任任意意xx,,yy∈∈RR,, 令令((xx,,yy))||xxyy||,,容容易易验验证证 是是 RR 的的
间间，，ff :: XX YY，，xx00 XX 则则下下述述条条件件
((11))和和((22))分分别别等等价价于于条条件件((11)) **和和((22))**：：
((11)) ff 在在点点 xx00 处处是是连连续续的的；；
((11))** ff ((xx00))的的每每一一个个邻邻域域的的原原象象是是
由由由于于于
AAA000AA是是A是一一一个个个使使使开开开得得得集集集xxx，，，从从从AAA而而而000 ,,存存,存在在在
AA
BBB(((xxx,,,))) 满满满足足足
BBB(((xxx,,,))) AAA000 UUU AAAAAA AAA
故故故AAUUUAA AAA是是是开开开集集集... AA 18
一一个个度度量量..
(R, )称为实数空间或直线.这
个度量称为 R 的通常度量，并且常常
迳称 R 为实数空间．
4
常见度量空间
➢➢➢nnn维重 重重欧笛 笛笛氏卡 卡卡空儿 儿儿间积 积积RRRnRnnn 定 定定义 义义 :::RRRnnn RRRnnn RRR
能对 对对够任 任任验意 意意证xxx(((xxx为111,,,xxx22R2,,,LLnL的,,,xxx度nnn)))， ，量，xxx，((称(yyy111,,,(yyyR222,,n,LLL, ,,,)yyynnn)))
第二章 拓扑空间与连续映射
-1
2.3 邻域
定义2 定义2.3.1 设(X, T)是拓扑空间. x∈X, UX称为x 的邻域, 如果存在V∈T使x∈VU; 若U是开的, U称 为x的开邻域. 定理2.3.1 设UX. U是X的开集U是它的每一 定理2 点的邻域. 证 由定义得“”; 利用开集之并为开得 “” . x在X的所有邻域构成的族称为x的邻域系, 记为 Ux.
2010-8-31
宁德师范高等专科学校
9
2.2 拓扑空间与连续映射(3)
定义2 定义2.2.3 可度量化空间. 离散空间是可度量化空间. 多于一点的平庸空间不是可 度量化空间. 度量化问题是点集拓扑学研究的中心问题之 一. 本书将在§6.6中给出该问题的一个经典的解. 定义2 定义2.2.4 X, Y是两拓扑空间. f: X→Y. 称f连续, 若Y中每 -1 一开集U的原象f (U)是X中的开集. 定理2 定理2.2.1 恒同映射连续. 连续函数的复合是连续的. 定义2.2.5 f: X→Y称为同胚或同胚映射, 若f是一一映射且 定义2 -1 f及f 均连续.
设f是包含a的所有闭集之交20121027宁德师范高等专科学校2224定理249对度量空间x20121027宁德师范高等专科学校232420121027宁德师范高等专科学校2425定义251a的所有内点的集合称为a的内部记为a20121027宁德师范高等专科学校2525是a所包含的所有开集之并是含于a内的最大开集
2010-8-31 宁德师范高等专科学校 13
2.3 邻域(3)
利用邻域与开集的关系(定理2.3.1)导出开集, 从Ux(x∈X) 具有定理2.3.2的性质的(1)-(4)出发, 定义 T={UX|x∈U, U∈Ux}, 则(X, T)是拓扑空间, 且这空间中每一点x的邻域系 恰是Ux. 详见定理2.3.3. 定义2.3.2(点连续) 映射f: X→Y称为在点x∈X连续, 如果U 定义2 -1 是f(x)在Y中的邻域, 则f (U)是x在X中的邻域. 定理2.1.4保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出 的拓扑空间中的点的连续性的一致. 另一方面, 关于点的连 续性, 易验证(定理2.3.4), 恒等映射在每一点连续, 两点连续 的函数之复合仍是点连续的.
拓扑学第2章拓扑空间连续映射
第二章 拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。
§ 2-1 数学分析中对连续性的刻画由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。
设11:f E E →是一个函数，10x E ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列1,2,{}n n x = 收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x = 收敛于0()f x ；（2）εδ-语言对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<（3）邻域语言若V 是包含0()f x 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得()f U V ⊂。
解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述； 对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。
§ 2-2 拓扑空间的定义一、 拓扑的定义注：这是关于拓扑结构性的定义定义1 设X 是一非空集，X 的一个子集族2Xτ⊆称为X 的一个拓扑，若它满足（1）,X τ∅∈；（2）τ中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于τ；(3) τ中有限多个元素的交仍属于τ。
集合X 和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记(,)X τ。
τ中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。
下面我们解释三个问题：(1)拓扑公理定义的理由； (2) 为什么τ中的元素称为开集；(3) 开集定义的完备性。
● 先解释拓扑定义的理由:① 从εδ-语言看：0x x δ-<和0()()f x f x ε-<分别为1E 上的开区间；② 从邻域语言看：,U V 是邻域，而()f U 是0()f x 的邻域，连续的条件是()f U V ⊂，即一个邻域包含了另一个邻域，也就是说，0()f x 是V 的内点，有内点构成的集合为开集。
拓扑空间中连续映射的证明
拓扑空间中连续映射相关命题证明摘要：定义在欧式空间的连续函数，将其连续的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射，从度量空间及其连续映射导入了一般拓扑学中的拓扑空间、连续映射的概念，本文通过介绍了拓扑空间中连续映射的定义, 总结连续映射的相关命题，并给出详细证明过程。
关键字：连续函数，拓扑空间，点连续1连续性的简要说明由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。
设11:E E f →是一个函数，10E x ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列1,2,{}n n x =收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x =收敛于0()f x ； （2）εδ-语言对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有 ε<-|)()(|0x f x f （3）邻域语言若V 是包含)(0x f 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得V U f ⊂)(。
详解：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述；对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）。
[1]2拓扑空间2.11拓扑空间的定义设X 是一非空集，X 的一个子集族X 2⊆τ称为X 的一个拓扑，若它满足 （1）τ∈∅,X ；（2）τ中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于τ； (3) τ中有限多个元素的交仍属于τ。
集合X 和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记),(τX 。
τ中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。
2.12常见拓扑1）离散拓扑 —— 非空集合X 的所有子集构成的集族2X τ=（包括∅）。
2） 平庸（平凡）拓扑 ——X 是非空集合，{,}X τ=∅。
2.21拓扑空间(,)X d 中开集，12,A A 是开集12A A ⇒⋂是开集。
证明：设12,A A 是X 上的开集。
梁基华拓扑学基础
梁基华拓扑学基础梁基华是著名的数学家，他在拓扑学领域做出了重要贡献。
拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间中的形状和性质。
在梁基华的拓扑学基础研究中，他主要关注拓扑空间、连续映射、同胚等基本概念，并运用这些概念解决了一系列问题。
在拓扑学中，最基本的概念就是拓扑空间。
拓扑空间是指一个具有拓扑结构的集合，这个结构由开集的概念来描述。
开集是指在集合中任意一点周围存在一个包含该点的开区间。
梁基华通过对拓扑空间的研究，发现了许多有趣的性质和结论。
连续映射是拓扑学中另一个重要的概念。
连续映射是指保持拓扑结构的映射，即原空间中的开集在映射后仍然是开集。
梁基华在研究连续映射时，发现了许多映射的性质和特点，这些性质对于理解拓扑空间的结构非常重要。
同胚是拓扑学中的一个重要概念，它指的是两个拓扑空间之间存在一个双射，且该双射和其逆映射都是连续映射。
同胚可以看作是两个空间具有相同的拓扑结构，它们在拓扑上是完全等价的。
梁基华通过研究同胚的性质和刻画，深入理解了拓扑空间的结构和性质。
在梁基华的拓扑学基础研究中，他还解决了一些关于拓扑空间的问题。
例如，他研究了紧致空间的性质，证明了一个紧致空间的闭子集也是紧致的。
他还研究了Hausdorff空间的性质，证明了Hausdorff空间中任意两个不相交的紧致集合可以被两个不相交的开集分离。
这些结果对于理解拓扑空间的性质和结构具有重要意义。
总的来说，梁基华在拓扑学基础研究中做出了重要贡献。
他通过研究拓扑空间、连续映射、同胚等基本概念，解决了一系列关于拓扑空间的问题，深化了对拓扑学的理解。
他的研究成果为后人在拓扑学领域的发展提供了重要的基础和参考。
拓扑空间与连续映射
拓扑空间与连续映射拓扑空间是数学中一个重要的概念，它描述了集合中的点如何聚集在一起，以及它们之间的关系。
拓扑空间的研究可以帮助我们理解各种数学和物理问题，同时也具有广泛的应用。
而连续映射则是在拓扑空间中描述点之间的映射关系的工具。
一、拓扑空间的基本定义在介绍拓扑空间之前，我们先给出集合和子集的定义。
定义1：集合是由元素组成的一个整体。
定义2：如果一个集合A的所有元素都是另一个集合B的元素，那么称A是B的子集。
在集合的基础上，我们可以定义拓扑空间。
定义3：拓扑空间是一个集合X，它的子集族T满足以下条件：（a）空集∅和整个集合X都是T的元素。
（b）T的任意有限个元素的交集仍然是T的元素。
（c）T的任意多个元素的并集仍然是T的元素。
拓扑空间的定义使得我们可以通过T族定义拓扑空间里的开集。
定义4：集合X的一个子集U是开集，如果U属于T。
定义5：设X是一个拓扑空间，P是X的一个点，邻域是包含P的开集的集合。
二、连续映射的定义在了解了拓扑空间后，我们可以引入连续映射的概念。
定义6：设X和Y是两个拓扑空间，函数f：X→Y是一个映射。
如果对于任意Y的开集V，f的原像f^(-1)(V)是X的开集，那么称f是一个连续映射。
连续映射的定义表明了映射在两个拓扑空间中的关系。
如果一个映射满足原像开集是定义域拓扑的开集，则该映射被称为连续映射。
三、连续映射的性质连续映射具有一些重要的性质，我们来介绍其中两个性质。
性质1：设X、Y、Z是三个拓扑空间，f：X→Y和g：Y→Z是两个连续映射，则复合函数g∘f：X→Z也是连续映射。
这个性质说明了连续映射的复合仍然是连续映射。
如果我们有多个连续映射进行复合，其结果仍然是连续映射。
性质2：设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y是一个连续双射，且f和f^(-1)都是连续映射，则f是一个同胚映射。
这个性质描述了连续双射和同胚映射的关系。
如果一个连续双射的逆映射也是连续映射，则该映射称为同胚映射。
连续映射把开集映成开集证明
连续映射把开集映成开集证明
连续映射是把一个拓扑空间映射到另一个拓扑空间的函数，其重要性在于保持了连续性这一关键性质。
连续映射在数学、物理等领域有着广泛的应用。
本文将探讨连续映射把开集映成开集的证明，并分析其意义。
首先，我们来了解一下连续映射的定义和性质。
连续映射的定义：设f是由拓扑空间X到拓扑空间Y的映射，若对于X中的任意点x，在Y中存在邻域U，使得f(X)U，则称f为连续映射。
连续映射的性质：
1.保距：连续映射保持距离不变。
2.保凸：连续映射保持凸集不变。
3.逆映射连续：连续映射的逆映射也是连续的。
接下来，我们定义开集，并探讨其性质。
开集的定义：在拓扑空间X中，若集合A中的任意点x，都有周围的邻域N(x)A，则称集合A为开集。
开集的性质：
1.空集和全集X都是开集。
2.任意两个开集的并集仍是开集。
3.任意开集的补集是闭集。
现在，我们来证明连续映射把开集映成开集。
证明：设f是由拓扑空间X到拓扑空间Y的连续映射，X中的开集为A，Y 中的开集为B。
任取Y中的点y，由于f是连续的，存在X中的开集U，使得
f(U)B。
又因为U是X的开集，所以f(A)f(U)B。
故连续映射f把开集A映成了开集B。
综上所述，我们证明了连续映射把开集映成开集，并分析了其意义。
这一结果进一步彰显了连续映射在拓扑学中的重要作用。
在实际应用中，连续映射保持集合的性质，使得在研究复杂问题时，可以简化问题并保持问题的本质特征。
点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射2-3.4介绍
f (U ) f (U ) f (U ) f (U )
c c c c
1 c 1 c
1
1
1
1
f (U ) ( f (U )) FX f 1 (U ) X
Department of Mathematics
二. 内部与边界
V 定义2.14. 设X是一个拓扑空间， A X ,称含于 VA A的所有开集的并称为集合A的内部,记为: A
成立．
Department of Mathematics
1 B Y , f ( B) X (3)蕴涵(4)设 集合
应用(3)即得:
(4)蕴涵(l)．设U是Y中的一个开集．
c U 则 是Y中的一个闭集．对此集合应用(4)
可见: f 1 (U c ) f 1 (U c ) f 1 (U c ) 而:
闭集
A X 定理2.13 设X是一个拓扑空间，
则A是一个闭集，当且仅当A的补集 A c是开集.
Department of Mathematics
证明必要性：设A是一个闭集
充分性：设：
即A是一个闭集．
Department of Mathematics
例2.6 实数空间R中作为闭集的区间． 设a,b∈R，a＜b．闭区间[a,b]是实数空间R
Department of Mathematics
x d ( A) U U x , U ( A { x}) x d ( A) U U x , U ( A { x})
例2.4.
离散空间中集合的凝聚点和导集． d(A)＝
例2.5.
平庸空间中集合的凝聚点和导集．
(4) d ((d ( A)) A d ( A) x d ( A) 证明(3)必要性: 如果 x d ( A) d ( B) x d ( B)
拓扑空间与连续映射
拓扑空间与连续映射拓扑空间是数学中一个重要的概念，它在分析、代数和几何学等领域都有广泛的应用。
拓扑学研究的主要对象是拓扑空间及其性质，而连续映射是拓扑空间之间的映射关系。
一、拓扑空间的定义拓扑空间是一个非空集合X，加上X的一个子集族T，满足以下三个条件：1. 空集∅和X本身是T的成员。
2. 任意多个T的成员的交集仍然是T的成员。
3. 有限多个T的成员的并集仍然是T的成员。
二、开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是比较常用的概念。
对于拓扑空间X中的子集A，如果A的所有元素都是X中的内点，则A是X中的开集。
如果A的所有极限点都属于A，则A是X中的闭集。
三、连续映射的定义设X和Y是两个拓扑空间，映射f：X→Y被称为连续映射，如果对于任意开集V∈Y，其原像f^(-1)(V)是X中的开集。
四、拓扑空间的基本性质1. 如果A是拓扑空间X的子集，则A相对于X的拓扑是一个拓扑空间。
2. 有限个拓扑空间的笛卡尔积仍然是一个拓扑空间。
3. 拓扑空间的维度是一个重要概念，维度较低的拓扑空间具有更简单的性质。
五、连续映射的性质1. 连续映射保持拓扑结构，即如果f：X→Y是连续映射，那么f(X)的相对拓扑和Y的拓扑在映射下是一样的。
2. 连续映射的复合仍然是连续映射。
3. 一个映射f：X→Y是连续映射，当且仅当对于X中的每一个闭集B，f^(-1)(B)在X中也是闭集。
六、连续映射的分类根据连续映射的不同特性，可以将它们分为几类，如同胚映射、同胚等。
1. 同胚：如果映射f：X→Y是一个双射并且连续，同时其逆映射f^(-1)：Y→X也是连续的，则称f是X和Y之间的同胚映射，X和Y 也被称为同胚空间。
2. 同伦：如果两个拓扑空间X和Y之间存在一个连续映射f：X×[0,1]→Y，其中[0,1]是区间，使得对于每个t∈[0,1]，都有f(x,t)是X 到Y的连续映射，则称X和Y是同伦空间。
3. 同伦等价：如果存在同胚映射将一个拓扑空间X映射到另一个拓扑空间Y，则称X和Y是同伦等价的。
拓扑空间与连续映射的性质
拓扑空间与连续映射的性质拓扑空间与连续映射是拓扑学中的重要概念，它们在分析和几何等领域具有广泛的应用。
本文将对拓扑空间及连续映射的基本性质进行探讨。
我们首先介绍拓扑空间的定义及其基本性质，然后讨论连续映射的定义及其常见性质。
最后，我们将讨论连续映射的一些特殊性质和几个重要定理。
一、拓扑空间的定义和基本性质拓扑空间是指一个集合及其上定义的一族子集所组成的对象。
具体而言，一个拓扑空间包括一个非空集合X以及X的子集族T，满足以下三个条件：1. 空集和全集属于T；2. T中任意有限个集合的交集仍然属于T；3. T中任意多个集合的并集仍然属于T。
根据上述定义，拓扑空间具有以下基本性质：1. 拓扑空间包含了空集和全集，因此任意一个拓扑空间X都不是空集。
2. 拓扑空间的性质由其定义的拓扑结构T决定，不同的拓扑结构可能导致不同的性质。
3. 拓扑空间中的元素可以是点、线、面等对象，具体的实例由所研究的领域决定。
二、连续映射的定义和性质在拓扑空间中，连续映射是一个重要的概念。
设X和Y是两个拓扑空间，其中映射f：X→Y被称为连续映射，如果对于任意Y中的开集U，其原像f^(-1)(U)是X中的开集。
连续映射具有以下性质：1. 恒等映射是连续的，即对于拓扑空间X，映射f：X→X，f(x)=x 是一个连续映射。
2. 连续映射的复合仍然是连续映射，即对于两个连续映射f：X→Y 和g：Y→Z，它们的复合映射g∘f：X→Z也是连续映射。
3. 连续映射保持拓扑空间的性质，即如果映射f：X→Y是连续映射并且X具有某种性质，那么Y也具有相应的性质。
三、连续映射的特殊性质和定理除了上述基本性质外，连续映射还具有一些特殊的性质和与之相关的定理。
下面介绍其中几个重要的性质和定理：1. 连续映射的像是连通的：若映射f：X→Y是连续映射，且X是连通的拓扑空间，则f(X)是连通的。
2. 连续映射的像是紧致的：若映射f：X→Y是连续映射，且X是紧致的拓扑空间，则f(X)是紧致的。
基础拓扑学笔记
0
可以定义 wi 为全集
i 1
（ A B x | x A, x B
yA B yA yB
0
z wi 不存在，所以定义全集合理）
i1
在这样的定义下，条件 1 可以省去，其可由 2、3 导出
对 X ，t , X 是拓扑，称为平凡拓扑
例： X ， s 2X （ X 的所有子集），称为离散拓扑
设C 2X 是拓扑空间 X 的子集族，称C 是 X 的一个 覆盖，若 C X ，若C 的每个成员都是开（闭）集，
CC
称C 为开（闭）覆盖
定理 1.2：粘接定理
n
f : X Y ， X Ai ， Ai 闭， f |Ai 连续，则 f 连
i 1
续
证明：只要证明 Y 的每个闭集的原像是闭集
设 B 是 Y 的闭集，则
n
n
f 1 B
f 1 B Ai
f 1 Ai
B
i 1
i 1
2.3 同胚映射 定义 1.8：X ,Y 同胚是指存在 f : X Y 满足：1） f
连续 2）一一对应 3）逆映射 f 1 也连续
在同胚映射下，开集映为开集，闭集映为闭集
例：a,b,c, d 的线性映射
例： 0,1,0, 同胚（ ln x ）
的闭包 A A A x | x邻域W,W A
命题 1.4：若拓扑空间 X 的子集 A 与 B 互为余集，则
A 与 B 互为余集 命题： A 是闭集
证明： y A 存在邻域U y A ，即Uy X A
X A X A
1.3 拓扑空间中的几个基本概念
推论： A X X A ， B X X B
证明： A B A A B A
拓扑空间中连续映射的等价命题及其证明
拓扑空间中连续映射的等价命题及其证明下面是常见的连续映射等价命题及其证明：命题1：设X，Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个映射，则以下命题等价：(1) f是连续映射。
(2) 对于每个开集U∈Y，原象集f⁻¹(U)是一个开集。
证明：(1)⇒(2)：对于任意开集U∈Y，有f⁻¹(U)是一个开集。
因为f是连续映射，如果U是Y中的开集，则f⁻¹(U)是X中的开集。
对于Y中的任意集合A，如果A是开集，则f⁻¹(A)是开集，因为开集在通过连续映射的原象的时候仍然是开集。
(2)⇒(1)：对于任意开集V∈X，由于f⁻¹(V)是一个开集，而显然f(f⁻¹(V))⊆V，所以f(f⁻¹(V))也是开集，即f是连续映射。
命题2：设X，Y，Z是三个拓扑空间，f:X→Y，g:Y→Z是两个映射，则以下命题等价：(1) g ∘f是连续映射。
(2) f是连续映射，g是连续映射。
证明：(1)⇒(2)：假设g ∘f是连续映射，如果U∈Y是开集，则由于g是连续映射，g(U)是一个开集。
又由于f是连续映射，f⁻¹(U)也是一个开集。
因此，g(f(f ⁻¹(U)))=g((g ∘f)(f⁻¹(U)))=g(f(f⁻¹(U)))=g(U)是开集。
这证明了g是连续映射。
(2)⇒(1)：假设f是连续映射，g是连续映射，如果V∈Z是一个开集，则g⁻¹(V)是一个开集，再由于f是连续映射，f⁻¹(g⁻¹(V))=(g ∘f)⁻¹(V)是开集。
因此g ∘f 是连续映射。
命题3：设X，Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个映射，则以下命题等价：(1) f是同胚映射。
(2) f是双射映射，且对于每个开集U∈X，f(U)是一个开集。
证明：(1)⇒(2)：假设f是同胚映射，如果U∈X是一个开集，则由于f是同胚映射，f⁻¹(f(U))=U是开集，而f(U)也是开集。
拓扑空间与连续映射
定义2.2.1例2.2.5作业§2.2拓扑空间与连续映射本节重点:拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射的概念.注意区别:拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同.现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理2.1.2）出发来建立拓扑空间的概念．定义2.2.1 设X是一个集合，T是X的一个子集族．如果T满足如下条件：（l）X，∈T；（2）若A，B∈T，则A∩B∈T ；（3）若则称T是X的一个拓扑．如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑T而言的拓扑空间；此外T的每一个元素都叫做拓扑空间（X，T）或X中的一个开集．即：A∈T A是开集（此定义与度量空间的开集的性质一样吗）经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集．现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．定义2.2.2 设（X，ρ）是一个度量空间·令为由X中的所有开集构成的集族．根据定理2.1.2，（X，）是X的一个拓扑．我们称为X的由度量ρ诱导出来的拓扑．此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，ρ）的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间（X，ρ）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间（X，）因此，实数空间R，n维欧氏空间（特别，欧氏平面），Hilbert空间H都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例2.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．例2.2.1 平庸空间．设X是一个集合．令T ={X，}．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个平庸空间．在平庸空间（X，T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．例2.2.2 离散空间．设X是一个集合．令T =P（X），即由X的所有子集构成的族．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；可知，在离散空间（X，T）中，X的每一个子集都是开集．例2.2.3 设X＝{a，b，c}．令T ={，{a}，{a，b}，{a，b，c}}．容易验证，T是X的一个拓扑，因此（X，T）是一个拓扑空间．这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间．例2.2.4 有限补空间．设X是一个集合．首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起．因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X－A我们写为．令T ={U X|是X的一个有限子集}∪{}先验证T是X的一个拓扑：（1）X∈T (因为=)；另外，根据定义便有∈T．（2）设A，B∈T如果A和B之中有一个是空集，则A∩B∈T,假定A和B都不是空集．这时是X的一个有限子集，所以A∩B∈T ．（3）设．令,显然有如果，则设任意选取．这时是X的一个有限子集，所以根据上述（1），（2）和（3），P是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间（X，P）称为一个有限补空间．例2.2.5 可数补空间．设X是一个集合．令T ={U X|是X的一个可数子集}∪{}通过与例2.2.4中完全类似的做法容易验证（请读者自证）T 是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑．拓扑空间（X，T ）称为一个可数补空间．一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？定义2.2.3 设（X，P）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量ρ使得拓扑P即是由度量ρ诱导出来的拓扑，则称（X，P）是一个可度量化空间．根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？从§2．1中的习题2和3可以看出，每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量化的；例2.2.3中给出的那个空间只含有三个点，但不是离散空间，也不是可度量化的．由此可见，拓扑空间是可度量空间的范围要广泛．进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论．现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．定义2.2.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．如果Y中每一个开集U的原象（U）是X中的一个开集，则称f是X到Y的一个连续映射，或简称映射f连续．按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2．1中的定理2.1.4的启发．并且那个定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f:X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，反之亦然．（按照约定，涉及的拓扑当然都是指诱导拓扑）下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质．定理2.2.1 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：:X→X是一个连续映射；（2）如果f:X→Y和g:Y→Z都是连续映射，则gof:X→Z也是连续映射．证明（l），所以连续．（2）设f:X→Y,g:Y→Z都是连续映射这证明gof连续．在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象．如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等．并且对于后者都要提出一类来予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，群论中的同构，集合论中的—一映射，以及初等几何学中的刚体运动（即平移加旋转）等等．我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射．下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注．定义2.2.5 设X和Y是两个拓扑空间．如果f：X→Y是一个—一映射，并且f和：Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚．定理2.2.2 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：X→X是一个同胚；（2）如果f：X→Y是一个同胚，则：Y→X也是一个同胚；（3）如果f：X→Y和g：Y→Z都是同胚，则gof：X→Z也是一个同胚．证明以下证明中所涉及的根据，可参见定理2.2.1，定理l．5．3和定理1．5．4．（l）是一个—一映射，并且，都是连续的，从而是同胚．（2）设f：X→Y是一个同胚．因此f是一个—一映射，并且f和都是连续的．于是也是一个—一映射并且和也都是连续的，所以也是一个同胚．（3）设f：X→Y和g：Y→Z都是同胚．因此f和g都是—一映射，并且f，，g和都是连续的．因此gof也是—一映射，并且gof和都是连续的．所以gof是一个同胚．定义2.2.6 设X和Y是两个拓扑空间．如果存在一个同胚f：X→Y，则称拓扑空间X 与拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚于Y．粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间．定理2.2.3 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）X与X同胚；（2）如来X与Y同胚，则Y与X同胚；（3）如果X与Y同胚，Y与Z同胚，则X与Z同胚．证明从定理2.2.2直接得到．根据定理2.2.3，我们可以说：在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．因而同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质．换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质．至此我们已经做完了将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一段时期才完成的工作．在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这种做法是屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某一个方面）的精粹而进行的一次提升，是一个去粗取精的过程．也正因为如此，新的概念和理论往往有更多的包容．拓扑学无疑也是如此，一方面它使我们对“空间”和“连续”有更为纯正的认识，另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间）．这一切读者在学习的过程中必然会不断地加深体会．作业：P55 2,5,6,8,9,10。
第一章拓扑空间与连续映射 ppt课件
第二节 连续映射与同胚映射
• 2．1连续映射的定义
• 2．2连续映射的性质 下列映射一定连续：
• 2．3同胚映射
下面求f 的逆映射，为此令
第三节 乘积空间与拓扑基
• 在第一节中，我们曾提出过如下问题： • 问题3 设11(,X τ) 和22(,X τ) 都是拓扑空间，
则如何给出1 XX×2 上的拓扑结构τ？（乘 积拓扑） • 3.1 乘积空间
• 1． 投射：
注：τ是满足这两个投射都连续的最小拓扑。 （思考为什么要这样？）
• 2． 生成的子集族：设Γ是X的一个子集族， 规定新的子集族
类似地，可以给出有限个拓扑空间的 乘积空间。 任意多个集合的笛卡尔积
无限个拓扑空间的乘积空间定义比较麻 烦，一般有两种：
第一章 拓扑空间与连续映射
第一节 拓扑空间
数学分析中连续概念的刻画
1．1 拓扑空间的定义
例子
Ex.5 （欧氏拓扑）设R是全体实数 的集合，
拓扑的比较
• 问题1（如何构造具体的拓扑）
• （1）若X有一个元素，则X上一共有几个拓 扑？（1个）
• （2）若X有两个元素，则X上一共有几个拓 扑？（4个）
• 3.2 乘积空间的性质
• 3．3 拓扑基
想法：度量空间中的开集是若干个互不相交 的球形邻域的并。度量拓扑由球形邻域生成； 乘积拓扑由一个特定的子集族生成。拓扑基 就是从上述方法中抽象出来的。
• Pro1. Γ 是集合X 的拓扑基的充分必要条件 是：
• 补充知识：拓扑空间的子基 （可参考熊金 城《点集拓扑讲义》）
• （3）若X有三个元素，则X上一共有几个拓 扑？（29个）
• （4）若X有n（）个元素，则4n≥X上一共 有几个拓扑？(思考题)
点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射 ppt课件
包含于B的闭包的原象，即 f1(B)f1(B)
Department of Mathematics
证明 (1)蕴涵(2)．设 BY是闭集 则 B c 是一个开集，因此根据 (1)
f1(Bc)(f1(B)c)是X中的一个开集，因此 f 1(B) 是X中的一个闭集．
A的所有开集的并称为集合A的内部,记为: A
A是含于A里的最大开集
定理2.19. 设X是一个拓扑空间，AX,则
A是开 集的任充取分x必要( A条c件)c,是则Ax=AA. c , 定理所2以.2,0存. 在对xA的X邻, 域VA,使得(:Ac),c A((Ac))c
证明: V 任取{ A xc { Ax } ,则 xV } AA cc , 从 而 x( Ac )c.
(2)蕴涵(3). 设 AX , 由于f(A) 根据(2)，
Department of Mathematics
成立．
(3)蕴涵(4)设 BY, 集合 f1(B)X 应用(3)即得:
(4)蕴涵(l)．设U是Y中的一个开集． 则 U c是Y中的一个闭集．对此集合应用(4) 可见: f1(Uc)f1(Uc)f1(Uc)
充分性：设：
Department of Mathematics
即A是一个闭集．
例2.6 实数空间R中作为闭集的区间． 设a,b∈R，a＜b．闭区间[a,b]是实数空间R 中的一个闭集. (-∞,a]，[b,∞)都是闭集，(-∞,∞)＝R显然更 是一个闭集．
（a，b]，[a，b）是否闭集?
回答: 不是
例2.5. 平庸空间中集合的凝聚点和导集．
d(A) X A
拓扑学中的空间理论
拓扑学中的空间理论拓扑学是数学的一个分支领域，研究的是空间中的性质和结构。
在拓扑学中，空间理论是一项重要的研究内容，它涉及到空间的各种性质和拓扑结构的定义、分类和描述。
本文将介绍拓扑学中的空间理论，探讨其基本概念和应用。
一、拓扑学基本概念拓扑学研究的是空间，而空间则是指一组对象及其之间的关系。
在拓扑学中，我们不考虑空间的度量和几何性质，而只关注其内部结构和连通性。
以下是一些拓扑学中常用的基本概念：1. 拓扑空间：拓扑空间是指一个非空集合，以及定义在该集合上的一组特定的拓扑结构。
拓扑结构由开集族组成，满足三个条件：空集和整个集合都是开集，有限个开集的交集仍然是开集，任意多个开集的并集也是开集。
2. 连通性：一个空间被称为连通的，如果在该空间中不存在将其划分为两个或多个非空、不相交且开的子集的方法。
连通性是空间的基本性质之一，它描述了空间内部的连通程度。
3. 紧致性：一个空间被称为紧致的，如果它的每个开覆盖都有有限子覆盖。
紧致性是一种有限性质，它与空间的局部性质和有限性有关。
4. 同胚：两个拓扑空间被称为同胚的，如果它们之间存在一个双射映射，并且这个映射及其逆映射都是连续的。
同胚关系保持了空间的基本拓扑性质，它能够说明两个空间在拓扑上是完全相同的。
二、空间理论的应用空间理论在拓扑学的研究中有着广泛的应用。
它不仅是基础理论，也在实际问题中发挥着重要作用。
以下是一些空间理论的应用场景：1. 空间分类：空间理论可以帮助我们对不同空间进行分类和描述。
通过研究空间的拓扑结构和性质，可以将不同的空间进行归类，形成分类学体系。
2. 连续映射：空间理论研究了连续映射的定义和性质。
连续映射是指两个拓扑空间之间的映射，在实际问题中常常需要通过连续映射来描述和分析空间间的关系。
3. 紧致性和分离性：空间理论中的紧致性和分离性概念可以用于研究空间的局部性质和有限性质。
它们在分析、几何和拓扑优化等领域中都有重要应用。
4. 拓扑群和拓扑环：空间理论研究了拓扑空间上的运算和代数结构，从而建立了拓扑群和拓扑环的理论。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的由度量ρ诱导出来的拓扑. 如果没有另外的说明，我们提到度量空
间(X，ρ)的拓扑时，指的就是拓扑
；在称度量空间(X，ρ)为拓扑
空间时，指的就是拓扑空间 (X， )
例2.2.1 平庸空间.
设 X 是一个集合.令 ={X， }.容易验证，是X 的一个拓扑，称
之为 X 的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间 (X， ) 为一个平庸空间.
定义2.2.3 设(X，P )是一个拓扑空间.如果存在 X 的一个度量ρ 使得拓扑 P 即是由度量ρ诱导出来的拓扑，则称(X，P )是一个可 度量化空间.
满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？
现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间 之间的连续映射.
定义 2.2.4 设 X 和 Y 是两个拓扑空间，f:X→Y.如果 Y 中每一个开
(1)恒同映射 ：X→X 是一个同胚；
(2)如果 f：X→Y 是i一X 个同胚，则 ：Y→X 也是一个同胚；
(3)如果 f：X→Y 和 g：Y→Z 都是同胚，则 gf f1：X→Z 也是一
个同胚.
定义2.2.6 设 X 和 Y 是两个拓扑空间.如果存在一个同胚 f：X→Y， 则称拓扑空间 X 与拓扑空间 Y 是同胚的，或称 X 与 Y 同胚，或称 X 同胚于 Y.
§2.2 拓扑空间与连续映射
我们遵循前一节末尾提到的思路，从开集及其基本性质(定理 2.1.2)出发来建立拓扑空间的概念.
定义2.2.1 设 X 是一个集合， 是 X 的一个子集族.如果满足如下条
件：
(l) X, ∈ ；
(2) 若 A，B∈ ，则 A∩B∈ ；
(3) 若
,有 ,则称 是 X 的一个拓扑,称偶对(X， )是
一个拓扑空间, 的每一个元素都叫做拓扑空间(X， )或 X 中的一个开集.
即：A∈
A是 1开集.
1
(此定义与度量空间的开集的性质一样吗)
现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴.
定义2.2.2 设(X，ρ)是一个度量空间.令 为由 X 中的所有开
集构成的集族.根据定理2.1.2，(X， )是 X 的一个拓扑. 称 为 X
集自明时，我们并不每次提起.因此在后文中对于 X 的每一个子集 A，它的补集 X－A 我们写为 .令
={U 易验证 是 X 的一个拓扑。
A
X| U是' X 的一个有限子集}∪{ }
一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围 更广一点？就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度 量诱导出来？
粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空 间.
定理2.2.3 设 X，Y 和 Z 都是拓扑空间.则 (1)X 与 X 同胚； (2)如果 X 与 Y 同胚，则 Y 与 X 同胚； (3)如果 X 与 Y 同胚， Y 与 Z 同胚，则 X 与 Z 同胚.
拓扑空间的某种性质 P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其 同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质 P 是一个拓扑不变性质. 换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质.
在平庸空间(X，)中，有且仅有两个开集，即 X 本身和空集.
例2.2.2 离散空间.
设 X 是一个集合.令 =P(X)，即 由 X 的所有子集构成的族.易证
， 是 X 的一个拓扑，称为 X 的离散 拓扑；在离散空间(X，)中，X的每一
个子集都是开集.
例 2.2.4 有限补空间. 设 X 是一个集合.首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础
拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质.
作业： P55 2,5,6,8,9,10
集 U 的原象 (U)是 X 中的一个开集，则称 f 是 X 到 Y 的一个连续
映射，或简称映射f连续.
f 1
按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2.1中的定 理2.1.4的启发.
下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最 重要的性质.
定理 2.2.1 设 X，Y 和 Z 都是拓扑空间.则
(1)恒同映射： :X→X 是一个连续映射；
(2)如果 f:X→Y 和 gi:XY→Z 都定义2.2.5 设 X 和 Y 是两个拓扑空间.如果 f：X→Y 是一个
一一映射，并且 f 和 ：Y→X 都是连续的，则称 f 是一个同
胚映射或同胚.
f 1
定理2.2.2 设 X，Y 和 Z 都是拓扑空间.则