拓扑空间与连续映射
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(1)恒同映射： :X→X 是一个连续映射；
(2)如果 f:X→Y 和 gi:XY→Z 都是连续映射，则
映射.
g f:X→Z 也是连续
定义2.2.5 设 X 和 Y 是两个拓扑空间.如果 f：X→Y 是一个
一一映射，并且 f 和 ：Y→X 都是连续的，则称 f 是一个同
胚映射或同胚.
f 1
定理2.2.2 设 X，Y 和 Z 都是拓扑空间.则
集自明时，我们并不每次提起.因此在后文中对于 X 的每一个子集 A，它的补集 X－A 我们写为 .令
={U 易验证 是 X 的一个拓扑。
A
X| U是' X 的一个有限子集}∪{ }
一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围 更广一点？就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度 量诱导出来？
§2.2 拓扑空间与连续映射
我们遵循前一节末尾提到的思路，从开集及其基本性质(定理 2.1.2)出发来建立拓扑空间的概念.
定义2.2.1 设 X 是一个集合， 是 X 的一个子集族.如果满足如下条
件：
(l) X, ∈ ；
(2) 若 A，B∈ ，则 A∩B∈ ；
(3) 若
,有 ,则称 是 X 的一个拓扑,称偶对(X， )是
(1)恒同映射 ：X→X 是一个同胚；
(2)如果 f：X→Y 是i一X 个同胚，则 ：Y→X 也是一个同胚；
(3)如果 f：X→Y 和 g：Y→Z 都是同胚，则 gf f1：X→Z 也是一
个同胚.
ห้องสมุดไป่ตู้
定义2.2.6 设 X 和 Y 是两个拓扑空间.如果存在一个同胚 f：X→Y， 则称拓扑空间 X 与拓扑空间 Y 是同胚的，或称 X 与 Y 同胚，或称 X 同胚于 Y.
定义2.2.3 设(X，P )是一个拓扑空间.如果存在 X 的一个度量ρ 使得拓扑 P 即是由度量ρ诱导出来的拓扑，则称(X，P )是一个可 度量化空间.
满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？
现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间 之间的连续映射.
定义 2.2.4 设 X 和 Y 是两个拓扑空间，f:X→Y.如果 Y 中每一个开
拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质.
作业： P55 2,5,6,8,9,10
的由度量ρ诱导出来的拓扑. 如果没有另外的说明，我们提到度量空
间(X，ρ)的拓扑时，指的就是拓扑
；在称度量空间(X，ρ)为拓扑
空间时，指的就是拓扑空间 (X， )
例2.2.1 平庸空间.
设 X 是一个集合.令 ={X， }.容易验证，是X 的一个拓扑，称
之为 X 的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间 (X， ) 为一个平庸空间.
在平庸空间(X，)中，有且仅有两个开集，即 X 本身和空集.
例2.2.2 离散空间.
设 X 是一个集合.令 =P(X)，即 由 X 的所有子集构成的族.易证
， 是 X 的一个拓扑，称为 X 的离散 拓扑；在离散空间(X，)中，X的每一
个子集都是开集.
例 2.2.4 有限补空间. 设 X 是一个集合.首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础
集 U 的原象 (U)是 X 中的一个开集，则称 f 是 X 到 Y 的一个连续
映射，或简称映射f连续.
f 1
按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2.1中的定 理2.1.4的启发.
下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最 重要的性质.
定理 2.2.1 设 X，Y 和 Z 都是拓扑空间.则
一个拓扑空间, 的每一个元素都叫做拓扑空间(X， )或 X 中的一个开集.
即：A∈
A是 1开集.
1
(此定义与度量空间的开集的性质一样吗)
现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴.
定义2.2.2 设(X，ρ)是一个度量空间.令 为由 X 中的所有开
集构成的集族.根据定理2.1.2，(X， )是 X 的一个拓扑. 称 为 X
粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空 间.
定理2.2.3 设 X，Y 和 Z 都是拓扑空间.则 (1)X 与 X 同胚； (2)如果 X 与 Y 同胚，则 Y 与 X 同胚； (3)如果 X 与 Y 同胚， Y 与 Z 同胚，则 X 与 Z 同胚.
拓扑空间的某种性质 P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其 同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质 P 是一个拓扑不变性质. 换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质.
(2)如果 f:X→Y 和 gi:XY→Z 都是连续映射，则
映射.
g f:X→Z 也是连续
定义2.2.5 设 X 和 Y 是两个拓扑空间.如果 f：X→Y 是一个
一一映射，并且 f 和 ：Y→X 都是连续的，则称 f 是一个同
胚映射或同胚.
f 1
定理2.2.2 设 X，Y 和 Z 都是拓扑空间.则
集自明时，我们并不每次提起.因此在后文中对于 X 的每一个子集 A，它的补集 X－A 我们写为 .令
={U 易验证 是 X 的一个拓扑。
A
X| U是' X 的一个有限子集}∪{ }
一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围 更广一点？就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度 量诱导出来？
§2.2 拓扑空间与连续映射
我们遵循前一节末尾提到的思路，从开集及其基本性质(定理 2.1.2)出发来建立拓扑空间的概念.
定义2.2.1 设 X 是一个集合， 是 X 的一个子集族.如果满足如下条
件：
(l) X, ∈ ；
(2) 若 A，B∈ ，则 A∩B∈ ；
(3) 若
,有 ,则称 是 X 的一个拓扑,称偶对(X， )是
(1)恒同映射 ：X→X 是一个同胚；
(2)如果 f：X→Y 是i一X 个同胚，则 ：Y→X 也是一个同胚；
(3)如果 f：X→Y 和 g：Y→Z 都是同胚，则 gf f1：X→Z 也是一
个同胚.
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定义2.2.6 设 X 和 Y 是两个拓扑空间.如果存在一个同胚 f：X→Y， 则称拓扑空间 X 与拓扑空间 Y 是同胚的，或称 X 与 Y 同胚，或称 X 同胚于 Y.
定义2.2.3 设(X，P )是一个拓扑空间.如果存在 X 的一个度量ρ 使得拓扑 P 即是由度量ρ诱导出来的拓扑，则称(X，P )是一个可 度量化空间.
满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？
现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间 之间的连续映射.
定义 2.2.4 设 X 和 Y 是两个拓扑空间，f:X→Y.如果 Y 中每一个开
拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质.
作业： P55 2,5,6,8,9,10
的由度量ρ诱导出来的拓扑. 如果没有另外的说明，我们提到度量空
间(X，ρ)的拓扑时，指的就是拓扑
；在称度量空间(X，ρ)为拓扑
空间时，指的就是拓扑空间 (X， )
例2.2.1 平庸空间.
设 X 是一个集合.令 ={X， }.容易验证，是X 的一个拓扑，称
之为 X 的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间 (X， ) 为一个平庸空间.
在平庸空间(X，)中，有且仅有两个开集，即 X 本身和空集.
例2.2.2 离散空间.
设 X 是一个集合.令 =P(X)，即 由 X 的所有子集构成的族.易证
， 是 X 的一个拓扑，称为 X 的离散 拓扑；在离散空间(X，)中，X的每一
个子集都是开集.
例 2.2.4 有限补空间. 设 X 是一个集合.首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础
集 U 的原象 (U)是 X 中的一个开集，则称 f 是 X 到 Y 的一个连续
映射，或简称映射f连续.
f 1
按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2.1中的定 理2.1.4的启发.
下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最 重要的性质.
定理 2.2.1 设 X，Y 和 Z 都是拓扑空间.则
一个拓扑空间, 的每一个元素都叫做拓扑空间(X， )或 X 中的一个开集.
即：A∈
A是 1开集.
1
(此定义与度量空间的开集的性质一样吗)
现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴.
定义2.2.2 设(X，ρ)是一个度量空间.令 为由 X 中的所有开
集构成的集族.根据定理2.1.2，(X， )是 X 的一个拓扑. 称 为 X
粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空 间.
定理2.2.3 设 X，Y 和 Z 都是拓扑空间.则 (1)X 与 X 同胚； (2)如果 X 与 Y 同胚，则 Y 与 X 同胚； (3)如果 X 与 Y 同胚， Y 与 Z 同胚，则 X 与 Z 同胚.
拓扑空间的某种性质 P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其 同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质 P 是一个拓扑不变性质. 换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质.