泰勒公式与导数的应用(教学课资)
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泰勒公式与导数的应用名称主要内容
泰勒公式泰勒中值定理：如果)
(x
f在含有
x的某个开区间)
(a,b内具有1
+
n阶的导数，则对任一)
(a,b
x∈，有
+
-
+
-
+
=2
//
/
)
(
!2
)
(
)
)(
(
)
(
)
(x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
)
(
)
(
!
)
(
)
(
x
R
x
x
n
x
f
n
n
n
+
-
+，此公式称为n阶泰勒公式；
其中1
)1
(
)
(
)!1
(
)
(
)
(+
+
-
+
=n
n
n
x
x
n
f
x
R
ξ
（ξ介于0x于x之间），称为拉格朗日型余项；或
]
)
[(
)
(
n
n
x
x
o
x
R-
=，称为皮亚诺型余项。
n阶麦克劳林公式：
)
(
!
)0(
!2
)0(
)0(
)0(
)
(
)
(
2
//
/x
R
x
n
f
x
f
x
f
f
x
f
n
n
n
+
+
+
+
+
=
其中1
)1
(
)!1
(
)
(
)
(+
+
+
=n
n
n
x
n
x
f
x
R
θ
（1
0<
<θ）或)
(
)
(n
n
x
o
x
R=。
常用的初等函数的麦克劳林公式：1）)
(
!
!2
1
2
n
n
x x
o
n
x
x
x
e+
+
+
+
+
=
2）)
(
)!1
2(
)1
(
!5
!3
sin2
2
1
2
5
3
+
+
+
+
-
+
-
+
-
=n
n
n x
o
n
x
x
x
x
x
3）)
(
)!
2(
)1
(
!6
!4
!2
1
cos1
2
2
6
4
2
+
+
-
+
+
-
+
-
=n
n
n x
o
n
x
x
x
x
x
4）)
(
1
)1
(
3
2
)
1
ln(1
1
3
2
+
+
+
+
-
+
-
+
-
=
+n
n
n x
o
n
x
x
x
x
x
5）)
(
1
1
1
2n
n x
o
x
x
x
x
+
+
+
+
+
=
-
6）)
(
!
)1
(
)1
(
!2
)1
(
1
)
1(2n
n
m x
o
x
n
n
m
m
m
x
m
m
mx
x+
+
-
-
+
+
-
+
+
=
+