DCT_离散余弦变换PPT
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F(0,0) F(u,0) F(u,v) F(0,v)
N −1 N −1 x =0 y =0
1 F (0,0) = N
∑∑ f ( x, y ) ,
u = 0, v = 0
2 F (u ,0) = N
∑∑
x =0 y =0
N −1 N −1
π f ( x, y ) cos (2 x + 1)u , v = 0, u = 1,2,L , N − 1 2N
C =
3.3.3 3.3离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换的矩阵算法 离散余弦变换（ 离散余弦变换 ）
离散余弦变换的矩阵算法举例：
0 0 已知： f ( x, y ) = 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0
用矩阵算法求其DCT。
F (u, v) = CT fC
1 2 N −1 π f ( x) = F (0) + ∑ F (u) cos 2N (2x + 1)u , x = 0,1,L, N −1 N u =1 N
特点：（1）无虚数部分 （2）正变换核与反变换核一样
3.3离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换（ 离散余弦变换 ）
3.3.2 二维离散余弦变换 1. 正变换
由此例可看出：DCT将能量 集中于频率平面的左上角。
1 2 C = cos π 4 1 2 3π cos 4
当N=4时，变换矩阵C为：
1 2 cos π 1 8 π 2 cos 4 cos 3 π 8 1 2 3π cos 8 3π cos 4 9π cos 8 1 2 5π cos 8 5π cos 4 15 π cos 8 1 2 7π cos 8 7π cos 4 21 π cos 8
u , v = 1,2, L , N − 1
3.3离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换（ 离散余弦变换 ）
2. 反变换
3.3.2 二维离散余弦变换
1 f ( x, y) = F (0,0) N 2 N −1 π + F (u,0) cos (2 x + 1)u ∑ N u =1 2N 2 N −1 π + ∑ F (0, v) cos 2N (2 y +1)v N v=1 2 N −1 N −1 π π + ∑∑ F (u, v) cos (2 x + 1)u cos (2 y + 1)v N u =1 v=1 2N 2N
0.5 0.65 0.5 0.27 0.5 0.27 − 0.5 − 0.65 = 0.5 − 0.27 − 0.5 0.65 0.5 − 0.65 0.5 − 0.27 1.32 −0.26 −0.88 −0.17 −0.26 0.05 0.18 0.03 = −0.88 0.18 0.59 0.12 −0.17 0.03 0.12 0.02 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.65 0.27 − 0.27 − 0.65 0.5 − 0.5 − 0.5 0.5 0.27 − 0.65 0.65 − 0.27
3.3离散余弦变换 离散余弦变换 （DCT—Discrete Cosine Transform）
3.3.1 一维离散余弦变换 1， 正变换： f ( x)为一维离散函数， x = 0，L，N − 1 1 N −1 F (0) = u=0 ∑ f ( x) , N x =0
2 N −1 π F (u ) = f ( x) cos (2 x + 1)u , u = 1,2, L , N − 1 ∑ N x =0 2N 反变换：
1 2 3π cos 2N M 3( N − 1)π cos 2N
1 L 2 ( 2 N − 1)π L cos 2N M M ( 2 N − 1)( 2 N − 1)π L cos 2N
N ×N
当N=2时，变换矩阵C为：
F = Cf T f =C F
二维离散余弦变换： 正变换： F 反变换：
= CfC
T
T
f = C FC
C为离散余弦变换矩阵，CT为C的转置矩阵
3.3.3 3.3离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换的矩阵算法 离散余弦变换（ 离散余弦变换 ）
变换矩阵C为： 1 2 2 cos π C= 2N N M ( N − 1)π cos 2N
2 F (0, v) = N
∑∑
x =0 y =0
Hale Waihona Puke Baidu
N −1 N −1
π f ( x, y ) cos (2 y + 1)v , u = 0, v = 1,2, L , N − 1 2N
2 F (u , v) = N
∑∑
x =0 y =0
N −1 N −1
π π f ( x, y ) cos (2 x + 1)u cos (2 y + 1)v 2N 2N
3.3离散余弦变换（DCT） 3.3.2 二维离散余弦变换 离散余弦变换（ 离散余弦变换 ）
3. 举例
DCT
图像经DCT后, 能量集中于频率平面的左上角。 DCT用于图像数据压缩。
3.3离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换（ 离散余弦变换 ）
3.3.3 离散余弦变换的矩阵算法 一维离散余弦变换： 正变换： 反变换：
N −1 N −1 x =0 y =0
1 F (0,0) = N
∑∑ f ( x, y ) ,
u = 0, v = 0
2 F (u ,0) = N
∑∑
x =0 y =0
N −1 N −1
π f ( x, y ) cos (2 x + 1)u , v = 0, u = 1,2,L , N − 1 2N
C =
3.3.3 3.3离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换的矩阵算法 离散余弦变换（ 离散余弦变换 ）
离散余弦变换的矩阵算法举例：
0 0 已知： f ( x, y ) = 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0
用矩阵算法求其DCT。
F (u, v) = CT fC
1 2 N −1 π f ( x) = F (0) + ∑ F (u) cos 2N (2x + 1)u , x = 0,1,L, N −1 N u =1 N
特点：（1）无虚数部分 （2）正变换核与反变换核一样
3.3离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换（ 离散余弦变换 ）
3.3.2 二维离散余弦变换 1. 正变换
由此例可看出：DCT将能量 集中于频率平面的左上角。
1 2 C = cos π 4 1 2 3π cos 4
当N=4时，变换矩阵C为：
1 2 cos π 1 8 π 2 cos 4 cos 3 π 8 1 2 3π cos 8 3π cos 4 9π cos 8 1 2 5π cos 8 5π cos 4 15 π cos 8 1 2 7π cos 8 7π cos 4 21 π cos 8
u , v = 1,2, L , N − 1
3.3离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换（ 离散余弦变换 ）
2. 反变换
3.3.2 二维离散余弦变换
1 f ( x, y) = F (0,0) N 2 N −1 π + F (u,0) cos (2 x + 1)u ∑ N u =1 2N 2 N −1 π + ∑ F (0, v) cos 2N (2 y +1)v N v=1 2 N −1 N −1 π π + ∑∑ F (u, v) cos (2 x + 1)u cos (2 y + 1)v N u =1 v=1 2N 2N
0.5 0.65 0.5 0.27 0.5 0.27 − 0.5 − 0.65 = 0.5 − 0.27 − 0.5 0.65 0.5 − 0.65 0.5 − 0.27 1.32 −0.26 −0.88 −0.17 −0.26 0.05 0.18 0.03 = −0.88 0.18 0.59 0.12 −0.17 0.03 0.12 0.02 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.65 0.27 − 0.27 − 0.65 0.5 − 0.5 − 0.5 0.5 0.27 − 0.65 0.65 − 0.27
3.3离散余弦变换 离散余弦变换 （DCT—Discrete Cosine Transform）
3.3.1 一维离散余弦变换 1， 正变换： f ( x)为一维离散函数， x = 0，L，N − 1 1 N −1 F (0) = u=0 ∑ f ( x) , N x =0
2 N −1 π F (u ) = f ( x) cos (2 x + 1)u , u = 1,2, L , N − 1 ∑ N x =0 2N 反变换：
1 2 3π cos 2N M 3( N − 1)π cos 2N
1 L 2 ( 2 N − 1)π L cos 2N M M ( 2 N − 1)( 2 N − 1)π L cos 2N
N ×N
当N=2时，变换矩阵C为：
F = Cf T f =C F
二维离散余弦变换： 正变换： F 反变换：
= CfC
T
T
f = C FC
C为离散余弦变换矩阵，CT为C的转置矩阵
3.3.3 3.3离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换的矩阵算法 离散余弦变换（ 离散余弦变换 ）
变换矩阵C为： 1 2 2 cos π C= 2N N M ( N − 1)π cos 2N
2 F (0, v) = N
∑∑
x =0 y =0
Hale Waihona Puke Baidu
N −1 N −1
π f ( x, y ) cos (2 y + 1)v , u = 0, v = 1,2, L , N − 1 2N
2 F (u , v) = N
∑∑
x =0 y =0
N −1 N −1
π π f ( x, y ) cos (2 x + 1)u cos (2 y + 1)v 2N 2N
3.3离散余弦变换（DCT） 3.3.2 二维离散余弦变换 离散余弦变换（ 离散余弦变换 ）
3. 举例
DCT
图像经DCT后, 能量集中于频率平面的左上角。 DCT用于图像数据压缩。
3.3离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换（ 离散余弦变换 ）
3.3.3 离散余弦变换的矩阵算法 一维离散余弦变换： 正变换： 反变换：