数学建模试卷答案

2012-2013第一学期《数学建模》选修课试题卷

班级：软件1104

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学号：********

成绩：

一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)

1．模型:

模型是为了某种特定目的的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而构造成的原型替代物。如：地图，苯分子图。

2．数学模型：

由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述显示对象（原型）数量规律的数学结构。具体地说，数学建模也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的解题工具，得到一个数学结构称之为数学建模.如：抽奖，排座位等。

3．抽象模型：

抽象模型就是从实际的人、物、事和概念中抽取所关心的共同特性，忽略非本质的细节把这些特性用各种概念精确地加以描述，这些概念所组成的模型

二、简答题（每小题满分8分，共24分）

1．模型的分类

按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类. 形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等; 抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。

2．数学建模的基本步骤

1）建模准备：确立建模课题的过程；

2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；

3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.；

4）模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；

5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数

6）模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行

检验，看它是否符合客观实际；

7）模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用.

3．数学模型的作用

数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用数学不仅是人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。特别是，当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透，产生了众多的边缘学科。数学模型还物化于各种高新科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算、控制来实现的。

三、解答题（满分20分）

I 杂交育种的稳定性(9n+8, 9n+7)

假设某一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA、Aa和aa，三种基因型各占1/3. 已知AA型基因属于优良品种，试分析下列三种方案中哪一个方案有利于培养出优良品种？

方案1：采用AA型的植物与每种基因型相结合的方法培育植物后代；

方案2：采用Aa型的植物与每种基因型相结合的方法培育植物后代；

方案3：将具有相同基因型植物相结合.

解：

1）、问题分析：根据遗传学的知识，相对的性质有相对的基因所控制，相对的基因有显性和隐性的关系.因而有显性性状和隐性性状，隐性性状的基因在跟显性性状的基因同时存在时，得不到表现，但是没有消失，而是在子二代中得

到体现. 这种相对的基因称为等位基因. 在有性生殖的传代过程中，两代间唯一的联系是配子,即花粉或花蕊. 基因在上一代细胞里成双存在，而在生殖细胞里成单存在.代表某个性状的相对的基因以相等的可能性传给子代，父母双方对后代的遗传是相等，配子通过授粉成为合子，合子所含的基因又是成双存在.

根据这一规律，如果一个亲本是 aa 型，另一个亲本是Aa 型，后代从 aa 型亲本总是接受一个a 基因，以相等的可能性从Aa 型亲本接受一个A 基因或者a 基因，后代所具有的等位基因为Aa 型或AA 型的可能性相同.因此，对于亲本基因型的所有可能组合，后代可能的基因的可能性如表：

2）模型建立

设)

3()2()1(,,n n n x x x 分别表示第n 代植物的基因AA 型、Aa 型和aa 型所占的比例，n

=1,2, … . 那么由假设知：3

1)

3()2()1(===n n n

x x x 。 (1) 对于AA 型基因授粉情况，第n 代的基因型分布可由第n-1代的基因型分布来确定，即：

,0,2/,

2/)3()

3(2)2()2(1)1(1)1(=⇒+=+=--n n n n n n n x x x x x x x )3()2()

1(n n n

x x x 00012/100

2/11= )3(1

)2(1)1(1

---n n n x x x

)

3()

2()1()(100012/100

2/11n

n n

n x x x X M ==

)

0(1

)

1(11

)

2(2

1

1

1)

(11)(......X

M X

M

X

M X

M X

X M X n n n n n n n =====⇒=⇒----

为了得到X 的具体表达式，我们将M 对角化: