圆的一般方程.ppt
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圆的一般方程ppt课件
联立方程
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
∴所求圆的圆心坐标为(4， 3),半径为r 5.
所求圆的方程为( x 4)2 ( y 3)2 25.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
圆的方程.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
解得D 8, E 6, F 0.
∴过O, M1, M2的圆方程为
圆心坐标为 (4 ， 3),半径r 5 .
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆
的半径和圆心坐标.
解2：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为
则
a 2 b2 r 2
.
.O
.M(x,y)
.B(4,3)
x
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
定点： B(4,3) ，
定圆：( x 1) 2 y 2 4 .
A (主动点)
M (从动点)
x0 4
y0 3
x
,y
.
2
2
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
而方程 x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 配方后得 ( x 1)2 ( y 2)2 1 ，
方程无意义，不表示任何图形.
形成概念
一般地，把方程 x 2 y 2 Dx Fy E 0 配方可得：
2
2
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
∴所求圆的圆心坐标为(4， 3),半径为r 5.
所求圆的方程为( x 4)2 ( y 3)2 25.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
圆的方程.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
解得D 8, E 6, F 0.
∴过O, M1, M2的圆方程为
圆心坐标为 (4 ， 3),半径r 5 .
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆
的半径和圆心坐标.
解2：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为
则
a 2 b2 r 2
.
.O
.M(x,y)
.B(4,3)
x
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
定点： B(4,3) ，
定圆：( x 1) 2 y 2 4 .
A (主动点)
M (从动点)
x0 4
y0 3
x
,y
.
2
2
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
而方程 x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 配方后得 ( x 1)2 ( y 2)2 1 ，
方程无意义，不表示任何图形.
形成概念
一般地，把方程 x 2 y 2 Dx Fy E 0 配方可得：
2
2
圆的一般方程ppt课件
x2 + 3y2 − 2x + 4y + 5 = 0不是圆的一般方程；
对于D，因为方程x2 + y2 − 3xy − 12 = 0中存在xy项，所以方程
x2 + y2 − 3xy − 12 = 0不是圆的一般方程.故选BCD.
课中探究
探究点二 求圆的一般方程
例2（1） 已知△ ABC的三个顶点为A 4,3 ，B 5,2 ，C 1,0 ，求△ ABC外接
又圆心在第二象限，所以D
= 2，E =
−4，
故圆C的一般方程为x2 + y2 + 2x − 4y + 3 = 0.
课中探究 （2）圆C关于直线x − y = 0对称的圆的一般方程. 解： 由（1）知圆C的圆心为C −1,2 ，设它关于直线x − y = 0对称的点为
C′ m, n ，则
m−1 − n+2 = 0,
半径的圆，我们把方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 D2 + E2 − 4F > 0 叫作圆的
一般方程.
课前预习
（1）圆的一般方程的特点是:①x2和y2的系数都是__1_;②没有__x_y_这样的二次
项;③D2 + E2 − 4F__>_0.
（2）方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0并不一定表示圆,当其系数满足
解得m < 1.故选B.
课中探究
（2）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有( BCD )
A.x2 + y2 − 2x + 4y + 3 = 0
B.x2 + y2 − 2x + 2y + 7 = 0
圆的一般方程ppt课件
( − ) +( − ) =
点 在圆外
| | >
( − ) +( − ) >
点 在圆内
| | <
( − ) +( − ) <
圆的标准方程的方法：
（1）几何法，数形结合
（2）待定系数法，计算上必须仔细。
直线的方程中有标准方程与一般式方程。在圆的方程表达式中
,半径长为
8
2 4
8
课本P88 习题2.4
3.已知圆 C 经过原点和点 A 2,1 ，并且圆心在直线 l : x 2 y 1 0 上，求圆 C 的标准方程．
【详解】设圆 C 的标准方程为 x a y b r 2 ，
2
2
6
a
0 a 2 0 b 2 r 2
课本P88 练习
3.如图，在四边形 ABCD 中， AB 6 ， CD 3 ，且 AB / /CD ， AD BC ，AB 与 CD 间的距
离为 3．求等腰梯形 ABCD 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
3
【详解】由题意可知 A (-3,0),B (3,0),C ,3 设所求圆的方程为 x2 y 2 Dx Ey F 0 ,
+ + + + = ()
+
+ +
=
+ −
()
当2 + 2 − 4 > 0时，比较方程(2)和圆的标准方程，可以看出方程(1)
圆的一般方程ppt课件
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解,不表示任何图形．
01 圆的一般方程
圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
一般方程 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
配方
展开
标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2
【典例】已知三点A(4,3), B(5,2), C(1,0),求△ABC外接圆的方 程.
将 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 左边配方，得
(x+
D
2 )
+
(
y
+
E
2 )
=
D2 + E2 - 4F
2
2
4
(1)当 D2+E2-4F>0
时,
它表示以
-
D 2
,-
E 2为圆心,以r=为半径的圆;
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点 (- D , - E ) ；
22
D2 + E2 - 4F 2
方法一： 几何方法
方法二： 待定系数法
y
A(4,3)
B(5,2)
0 C(1,0)
x
设圆的方程为x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
已知过三点A(4,3),B(5,2),C(1,0)
半径：圆心 到圆上一点
圆心：两条弦的中垂 线的交点
圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0
1．方程 2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0 表示的图形是( )
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
01 圆的一般方程
思考： 1.是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0方程都表 示的曲线是圆呢？
圆的一般方程PPT教学课件
2 的方程，并画出曲线.
图解
例3.已知直线:lx 2y 3 0, 圆 C:x2 y2 2x 0， 若 点 P 在圆C上，试确定点的P 坐 标 ， 使点P到直线l的距离最 小 ， 并 求这个最小值。
图 例4 线与圆
1、点与圆的位置关系 设圆C：(x a)2 (y b)2 r2，点M（x0,y0 )到 圆 心 的 距 离 为 d ， 则 有:
图解
例5.已知圆与直线xy 3 和 两 坐 标 轴 都 相 切 ， 求圆 的标准方程.
第十五课 张骞通西域与丝绸之路
一、张骞出使西域
{第一次：联合大月氏夹击匈奴
1、出使的原因 （前138年）
第二次：招引乌孙对付匈奴
（前119年）
2、出使的经过3、Fra bibliotek响 —开辟丝绸之路
二、丝绸之路
1、丝绸之路的概况
(1)d r 点M在圆外 (2)d r 点M在圆上 (3)d r 点M在圆内
设 圆 C:( x a )2 ( y b )2 r2 , 直 线 l： Ax By C 0, 圆 心 (a,b)到 直 线 l的 距 离 为d， 则有几何特征：
(1)d r 直线与圆相交； (2)d r 直线与圆相切； (3)d r 直线与圆相离；
渭城朝雨浥轻尘，
客舍青青柳色新。 劝君更尽一杯酒， 西出阳关无故人。
凉州词 王之涣
黄河远上白云间， 一片孤城万仞山。 羌笛何须怨杨柳， 春风不度玉门关。
西域：阳关、玉门关以西包括今天的 新疆、中亚地区。
张骞拜别汉武帝图
张骞出使西域图
张骞出使西域路线图
丝绸之路的得名：
19世纪，德国地理学家李希霍芬第一次把从 中国中原地区，经新疆而抵中亚的陆上通道翻译 为“silkroad”,翻译成中文就是“丝绸之路”。这 就 是丝绸之路得名的由来，后来所指范围逐渐扩大， 另外还有草原丝绸之路和海上丝绸之路。
图解
例3.已知直线:lx 2y 3 0, 圆 C:x2 y2 2x 0， 若 点 P 在圆C上，试确定点的P 坐 标 ， 使点P到直线l的距离最 小 ， 并 求这个最小值。
图 例4 线与圆
1、点与圆的位置关系 设圆C：(x a)2 (y b)2 r2，点M（x0,y0 )到 圆 心 的 距 离 为 d ， 则 有:
图解
例5.已知圆与直线xy 3 和 两 坐 标 轴 都 相 切 ， 求圆 的标准方程.
第十五课 张骞通西域与丝绸之路
一、张骞出使西域
{第一次：联合大月氏夹击匈奴
1、出使的原因 （前138年）
第二次：招引乌孙对付匈奴
（前119年）
2、出使的经过3、Fra bibliotek响 —开辟丝绸之路
二、丝绸之路
1、丝绸之路的概况
(1)d r 点M在圆外 (2)d r 点M在圆上 (3)d r 点M在圆内
设 圆 C:( x a )2 ( y b )2 r2 , 直 线 l： Ax By C 0, 圆 心 (a,b)到 直 线 l的 距 离 为d， 则有几何特征：
(1)d r 直线与圆相交； (2)d r 直线与圆相切； (3)d r 直线与圆相离；
渭城朝雨浥轻尘，
客舍青青柳色新。 劝君更尽一杯酒， 西出阳关无故人。
凉州词 王之涣
黄河远上白云间， 一片孤城万仞山。 羌笛何须怨杨柳， 春风不度玉门关。
西域：阳关、玉门关以西包括今天的 新疆、中亚地区。
张骞拜别汉武帝图
张骞出使西域图
张骞出使西域路线图
丝绸之路的得名：
19世纪，德国地理学家李希霍芬第一次把从 中国中原地区，经新疆而抵中亚的陆上通道翻译 为“silkroad”,翻译成中文就是“丝绸之路”。这 就 是丝绸之路得名的由来，后来所指范围逐渐扩大， 另外还有草原丝绸之路和海上丝绸之路。
圆的一般方程课件
的位置分别有什么特点？
y
y
y
C
C
C
O
O
x
x
O
x
D=0
E=0
F=0
7
练习: 判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 (4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是 (5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
解法一:设所共圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将A、B、D三点坐标代入得
2D 2E F 8 0, D 8,
5D 3E F 34 0, 解得E 2,
6D F 36 0.
F 12.
故过A、B、D三点的圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
把点C(3,-1)代入方程的左边=9+1-24+2+12=0.
即 (x 2)2 ( y 3)2 25
10
练习1： 求过三点 A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 .
解：设所求圆的方程为：x2 y2 Dx Ey F 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组
F 0
62 6D F 0
82 8E F 0
D 6, E 8.
15
∴圆心为(4,1),半径 r= (4 2)2 (1 2)2 5 .
故过 A、B、C 三点的圆的方程为 (x 4)2 ( y 1)2 5. 把点D(6,0)代入方程的左边= (6 4)2 (0 1)2 5.
y
y
y
C
C
C
O
O
x
x
O
x
D=0
E=0
F=0
7
练习: 判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 (4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是 (5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
解法一:设所共圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将A、B、D三点坐标代入得
2D 2E F 8 0, D 8,
5D 3E F 34 0, 解得E 2,
6D F 36 0.
F 12.
故过A、B、D三点的圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
把点C(3,-1)代入方程的左边=9+1-24+2+12=0.
即 (x 2)2 ( y 3)2 25
10
练习1： 求过三点 A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 .
解：设所求圆的方程为：x2 y2 Dx Ey F 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组
F 0
62 6D F 0
82 8E F 0
D 6, E 8.
15
∴圆心为(4,1),半径 r= (4 2)2 (1 2)2 5 .
故过 A、B、C 三点的圆的方程为 (x 4)2 ( y 1)2 5. 把点D(6,0)代入方程的左边= (6 4)2 (0 1)2 5.
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
2.4.2圆的一般方程 课件(共18张PPT)
解:设M的坐标为(x, y) , 点A坐标是(x0，y0).
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
人教版高中数学第四章 圆的一般方程(共13张PPT)教育课件
凡事 都 是多 棱 镜， 不 同的 角 度会
凡 事都 是 多棱 镜 ，不 同 的角 度 会看 到 不同 的 结果 。 若能 把 一些 事 看淡 了 ，就 会 有个 好 心境 ， 若把 很 多事 看 开了 ，就 会 有个 好 心情 。 让聚 散 离合 犹 如月 缺 月圆 那 样寻 常 ，让 得 失利 弊 犹如 花 开花 谢 那样 自 然， 不 计较 ， 也不 刻意 执 着； 让 生命 中 各种 的 喜怒 哀 乐， 就 像风 儿 一样 ， 来了 ， 不管 是 清风 拂 面， 还 是寒 风 凛冽 ， 都报 以 自然 的微 笑 ，坦 然 的接 受 命运 的 馈赠 ， 把是 非 曲折 ， 都当 作 是人 生 的定
《
《
我
是
算
命
先
生
》
读
同学们加油！
自
己
弄
五
分
钟
就
弄
完
所
以
最
后
通
常
变
成
我
自
己
弄
。
但
这
样
做
有
一
个
不
好
的
后
果
就
是
当
你
真
的
■
电
:
“
色
情
男
女
是
你
和
尔
东
口
罗
其
实
不
是
■电你是否有这样经历，当 你在做某一项工作 和学习的时候，脑 子里经常会蹦出各 种不同的需求。比 如你想安 心下来看2小时的书，大脑会 蹦出口渴想喝水， 然后喝水的时候自 然的打开电视。。 。。。。，一个小 时过去 了，可能书还没看2页。很多 时候甚至你自己都 没有意思到，你的 大脑不停地超控你 的注意力，你就这 么轻易 的被你的大脑所左右。你已 经不知不觉地变成 了大脑的奴隶。尽 管你在用它思考， 但是你要明白你不 应该隶属 于你的大脑，而应该是你拥 有你的大脑，并且 应该是你可以控制 你的大脑才对。一 切从你意识到你可 以控制你 的大脑的时候，会改变你的 很多东西。比如控 制你的情绪，无论 身处何种境地，都 要明白自己所
圆的一般方程公开课课件
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程有两个相等实根 ，则两圆相切。
21
两圆相离条件判断
两圆圆心距大于两圆半径之和或小于 两圆半径之差（包含内含情况），则 两圆相离。
VS
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程无实根，则两圆 相离。
2024/1/26
22
典型例题解析
例题1
圆心坐标求解
$(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})$
半径求解
$r = frac{sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$
注意事项
在求解过程中要确保$D^{2} + E^{2} - 4F > 0$，否则方程不表示一 个圆。
2024/1/26
11
特殊情况下的圆方程
圆心在原点
圆的方程与性质
掌握圆的标准方程和一般方程， 理解圆的性质，如圆心、半径、 直径等。
直线与圆的位置关
系
理解直线与圆的三种位置关系— —相离、相切、相交，并能运用 相关知识点解决问题。
圆锥曲线的综合应
用
了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的 基本概念和性质，并能与圆的知 识点结合，解决综合问题。
2024/1/26
01
平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合
。
基本要素
02
圆心、半径。
圆的表示方法
03
一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。
4
圆心、半径与直径
1 2
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示 。
3
直径
通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表 示，d=2r。
21
两圆相离条件判断
两圆圆心距大于两圆半径之和或小于 两圆半径之差（包含内含情况），则 两圆相离。
VS
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程无实根，则两圆 相离。
2024/1/26
22
典型例题解析
例题1
圆心坐标求解
$(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})$
半径求解
$r = frac{sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$
注意事项
在求解过程中要确保$D^{2} + E^{2} - 4F > 0$，否则方程不表示一 个圆。
2024/1/26
11
特殊情况下的圆方程
圆心在原点
圆的方程与性质
掌握圆的标准方程和一般方程， 理解圆的性质，如圆心、半径、 直径等。
直线与圆的位置关
系
理解直线与圆的三种位置关系— —相离、相切、相交，并能运用 相关知识点解决问题。
圆锥曲线的综合应
用
了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的 基本概念和性质，并能与圆的知 识点结合，解决综合问题。
2024/1/26
01
平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合
。
基本要素
02
圆心、半径。
圆的表示方法
03
一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。
4
圆心、半径与直径
1 2
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示 。
3
直径
通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表 示，d=2r。
圆的一般方程课件
切点坐标的求解
利用切线与半径垂直的性质，求出切点坐标。
圆的面积和周长求解
面积求解
利用圆的面积公式$S=pi r^2$，求出圆的面积。
周长求解
利用圆的周长公式$C=2pi r$，求出圆的周长。
06
总结与回顾
本章重点回顾
1 2
圆的一般方程
$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中D、E、 F为常数，且D^2 + E^2 - 4F > 0。Fra bibliotek圆的一般方程课件
• 引言 • 圆的一般方程 • 圆的性质 • 圆的实际应用 • 圆的解题方法 • 总结与回顾
01
引言
主题简介
圆的一般方程
本课件将介绍圆的一般方程及其 在几何学中的应用。
学习目标
通过本课件的学习，学生将掌握 圆的一般方程的推导、理解和应 用，提高解决几何问题的能力。
学习目标
01
圆周角定理
不在同一直线上的三个点可以确定一 个唯一的圆，这三个点称为圆的三个 不共线的点。
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于该弧所对的圆心角的一半。
圆的直径和半径
直径是经过圆心的弦，是圆中最长的 弦；半径是连接圆心和圆上任意一点 的线段。
圆的对称性
01
02
03
中心对称
圆关于其圆心对称，即任 意一点关于圆心对称的点 也在圆上。
科学中的圆
天文学
天文学中行星和卫星的运动轨迹常常是圆形或椭 圆形的，而圆形轨迹则是其中的一种特殊情况。
物理学
物理实验中常常需要用到各种圆形的器材，如圆 形的光束、圆形的电流等。
化学
化学实验中常常需要用到各种圆形的实验器材和 设备，如圆形烧杯、圆形滤纸等。
利用切线与半径垂直的性质，求出切点坐标。
圆的面积和周长求解
面积求解
利用圆的面积公式$S=pi r^2$，求出圆的面积。
周长求解
利用圆的周长公式$C=2pi r$，求出圆的周长。
06
总结与回顾
本章重点回顾
1 2
圆的一般方程
$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中D、E、 F为常数，且D^2 + E^2 - 4F > 0。Fra bibliotek圆的一般方程课件
• 引言 • 圆的一般方程 • 圆的性质 • 圆的实际应用 • 圆的解题方法 • 总结与回顾
01
引言
主题简介
圆的一般方程
本课件将介绍圆的一般方程及其 在几何学中的应用。
学习目标
通过本课件的学习，学生将掌握 圆的一般方程的推导、理解和应 用，提高解决几何问题的能力。
学习目标
01
圆周角定理
不在同一直线上的三个点可以确定一 个唯一的圆，这三个点称为圆的三个 不共线的点。
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于该弧所对的圆心角的一半。
圆的直径和半径
直径是经过圆心的弦，是圆中最长的 弦；半径是连接圆心和圆上任意一点 的线段。
圆的对称性
01
02
03
中心对称
圆关于其圆心对称，即任 意一点关于圆心对称的点 也在圆上。
科学中的圆
天文学
天文学中行星和卫星的运动轨迹常常是圆形或椭 圆形的，而圆形轨迹则是其中的一种特殊情况。
物理学
物理实验中常常需要用到各种圆形的器材，如圆 形的光束、圆形的电流等。
化学
化学实验中常常需要用到各种圆形的实验器材和 设备，如圆形烧杯、圆形滤纸等。
圆的一般方程课件
(4) x2+y2=0
不是
第5页/共11页
探究：圆的一般方程与圆的标准方程 在应用上的比较 例1 求圆心为C（5，-1）,过点P(8，-3)
的圆的方程.
例2 求过三点A(5，1)、B(7，-3)、C(2，-8) 的圆的方程.
第6页/共11页
求圆的方程时，关于圆的方程形式的选择： 1.由已知条件容易求得圆心坐标、半径或 列有关圆心和半径的方程时，一般采用圆 的标准方程； 2.已知条件与圆心坐标、半径无直接关系 时，一般采用圆的一般方程。
探究：圆的一般方程
1、若把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开 后，会得出怎样的形式？
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
即 x2 y2 Dx Ey F 0 的形式
2、反过来想一想，形如上式方程的曲线就一定 是圆吗？
第2页/共11页
问：你能将下列展开式配方成平方 的形式吗？
3. D2＋E2－4F＞0
二元二次方程表 示圆的一般方程
第4页/共11页
练一练：判断以下方程是不是圆的方程，若是， 则求出圆心和半径。
(1) x2+y2-2x=0
是 圆心为(1,0) 半径为1
(2) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心为(3,-1) 半径为 10
(3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是
第7页/共11页
练习：
1.已知两点A(4,9)、B(6,3), 求以AB为直 径的圆的方程. 2.求经过两点A(－1，0)，B(3，2)，圆心在 直线x＋2y＝0上的圆的方程．
第8页/共11页
课堂小结:
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
圆的一般方程(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
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第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
4.1.2 圆的一般方程(共25张PPT)
【解析】 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
－D＝－E，
则圆心是(－D2 ，－E2)，由题意知，
22 2－D＋E＋F＝0，
10＋3D－E＋F＝0，
解得 D＝E＝－4，F＝－2，即所求圆的一般方程是 x2＋y2－4x－4y－2＝0.
【答案】 x2＋y2－4x－4y－2＝0
栏目 导引
第四章 圆与方程
栏目 导引
第四章 圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因 为 A、B、C 为三角形的三个顶点，所以 A、B、C 三点不共 线．即点 B、C 不能重合且 B、C 不能为圆 A 的一直径的两 个端点．因为点 B、C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5)．
栏目 导引
第四章 圆与Байду номын сангаас程
栏目 导引
第四章 圆与方程
解：(1)∵方程 2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同，
∴它不能表示圆．
(2)∵方程 x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 这样的项，
∴它不能表示圆．
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴它不能表示圆．
F＝－ 4.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4＝0.
法二：直线 AB 的垂直平分线的方程为 y＝2(x－1)，令 y＝
0，得 x＝1，即圆心坐标是(1,0)，半径 r＝ 5，故所求圆的
方程为(x－1)2＋y2＝5.即一般方程为 x2＋y2－2x－4＝0.
栏目 导引
第四章 圆与方程
题型三 有关圆的轨迹问题
(3)当 _D_2_＋__E_2_－__4_F__>_0_时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐 标
圆的一般方程ppt课件
（3）x2 ( y 3)2 25
x2 y2 4x 6y 8 0 x2 y2 8x 8y 15 0 x2 y2 6 y 16 0
问题2、形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线都是圆吗？
将方程：x2 y2 Dx Ey F 0 （1）配方得：
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当D2+E2-4F>0时，方程（1）表示以
D ， 2
E 2
为圆心，以
1 D2 E2 4F 为半径的圆
2
（2）当D2+E2-4F=0时，方程（1）表示一个点
D 2
，
E 2
（3）当D2+E2-4F<0时，方程（1）不表示任何图形
例题与练习
例题1、求过三点O（0,0），M1（1,1），M2（4,2）的圆的方 程，并求这个圆的圆心和半径
变式练习
求圆C : x2 y2 8x 2y 8 0关于点（2，-1）对称的 圆的方程为
课堂小结
1.圆的一般方程的结构特点. 2.待定系数法求圆的方程. 3.求轨迹方程的方法
课后作业
教材P88习题2.4 A组复习巩固1-x+Ey+F=0，因为O，M1，M2 三点都在圆上，所以它们的坐标满足圆的方程，将坐标 带入方程得：
F 0
D 8
D E F 2 0
解得：E 6
4D 2E F 20 0
F 0
所以，所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0
方法总结
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； （3）解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程
x2 y2 4x 6y 8 0 x2 y2 8x 8y 15 0 x2 y2 6 y 16 0
问题2、形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线都是圆吗？
将方程：x2 y2 Dx Ey F 0 （1）配方得：
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当D2+E2-4F>0时，方程（1）表示以
D ， 2
E 2
为圆心，以
1 D2 E2 4F 为半径的圆
2
（2）当D2+E2-4F=0时，方程（1）表示一个点
D 2
，
E 2
（3）当D2+E2-4F<0时，方程（1）不表示任何图形
例题与练习
例题1、求过三点O（0,0），M1（1,1），M2（4,2）的圆的方 程，并求这个圆的圆心和半径
变式练习
求圆C : x2 y2 8x 2y 8 0关于点（2，-1）对称的 圆的方程为
课堂小结
1.圆的一般方程的结构特点. 2.待定系数法求圆的方程. 3.求轨迹方程的方法
课后作业
教材P88习题2.4 A组复习巩固1-x+Ey+F=0，因为O，M1，M2 三点都在圆上，所以它们的坐标满足圆的方程，将坐标 带入方程得：
F 0
D 8
D E F 2 0
解得：E 6
4D 2E F 20 0
F 0
所以，所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0
方法总结
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； （3）解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程
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2 2
• 上运动，求线段OP的中点M的 • 轨迹方程。
综合检测：自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴 反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0 相切， 求反射光线所在直线的方程. A(-3，3) •
C(2, 2)
•
• B(-3，-3)
小结
1.圆的一般方程: X2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0). 2.圆的一般方程与圆的标准方程的关系: (1) 2 2 D E 1
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
展开后，会得出怎样的形式？
2 2ax 2by 2 2 2 0 2 y x a b r
2、那么我们能否将以上形式写得更简单一点呢？
2 2 y Dx Ey F 0 x
3、反过来想一想，形如上式方程的曲线就一定是圆吗？
x
2
y
2
Dx Ey F 0
( D 2 E 2 4 F 0)
(1)圆的标准方程的优点在于它明确地指出了 圆心和半径 ； (2)圆的一般方程突出了方程形式上的特点.
例1： 判断以下方程是不是圆的方程?
（） 1 x y 2x 6 y 1 0
2 2
(2) x y 2 x 6 y 10 0
a 2 ,b 2 ,r
2
D E 4F ,
(2)圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆的圆心及半径,而 一般方程突出了方程形式上的特点. 3.圆的标准方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关 系: (1)A=C≠0,(2)B=0,(3) D2+E2-4AF>0时,二元二次方程才表示圆的 一般方程. 4.圆的一般方程的特点: (1)x2和y2的系数相同且不等于0. (2)没有xy这样的二次项,因此只要求出了D,E,F就求出了圆的 一般方程.
2 2
待定系数法
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法三：待定系数法 解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0(D E 4F 0)
2 2 2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0 2 2 7 ( 1) 7D E F 0 2 2 82 2 D 8 E F 0
D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
[小结二]: 注意:求圆的方程时,要学会根据题目
条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用 圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用 圆的一般方程用待定系数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)
2 2
(3) x y 2 x 6 y 13 0
2 2
①是
②不是
③不是
例2： 下列方程各表示什么图形?若是圆则
(1)2 x 2 y 4 x 12y 1 0 2 2 (2) x y 2ax 0(a 0)
2 2 (2) 由 x y 2ax 0 解： (1)由2x 2 y 4x 12 y 1 0
4、将
2 Dx Ey F 0 x2 y
左边配方，得
D 2 E 2 D 2 E 2 4F (x ) (y ) 4 2 2
（1）当 D2+E2-4F>0 时,
2
可以看出它表示以
2
D E , 2 2
D E 4F 为圆心, 以 r 为半径的圆; 2
圆的一般方程 圆的一般方程
教学目标
• • • • 1、掌握圆的一般方程及一般方程的特点 2、能将圆的一般方程化为圆的标准方程 3、能用待定系数法由已知条件导出圆的方程 4、培养学生数形结合思想,方程思想,提高学 生分析问题及解决问题的能力. • 重点:圆的一般方程及一般方程的特点 • 难点:圆的一般方程的特点及用待定系数法求 圆的方程.
(5 a ) (1 b) r a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
2 2 2
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
(x-5)2+(y-6)2=10
4.求圆心在直线y = x上,与两轴同时相切,半径为2的圆的方程.
y
2
y=x
C(2,2)
-2 0 C(-2,-2) -2
2
x
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
小结:利用圆的标准方程解题需要确定圆的圆心和半径.
二、[导入新课]
1、同学们想一想，若把圆的标准方程
(3)圆x y 4 x 2by b 0与x轴相
2 2 2
或-2 切, 则b 2 ___
[小结一]:
(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
配方
展开B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法一： 几何方法
变式2 若点(1， 3 )在圆x2＋y2－2ax－2 3ay ＝0(a≠0)的外部，求实数a的取值范围． 3.画出方程x－1＝ 1 y
2
表示的曲线 .
2
变式3 画出方程y＝3＋ 4 x x 表示的曲线.
本节小结：
圆的标准方程和一般方程；
用待定系数法求方程中的基本量．
课后作业：
必做：P124：2、3 8． 选做：P144：7、
(2) 当 D2＋E2－4F＝0 时，方程表示一个
D E 点 ( , ) ； 2 2
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无 实数解,不表示任何图形．
[观察]：圆的标准方程与圆的一般 方程在形式上的异同点.
圆的标准方程
2 2 ( x a ) ( y b) r 2
圆的一般方程 [说明]：
• 练习：
•
M1 (1,1), M 2 (4,2) 求过三点O（0,0）， 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆 心坐标。
例4：
已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3）， 端点A在圆 ( x 1) y 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。
• 练习：
已知点P在圆C：
x y 8x 6 y 21 0
圆的标准方程的形式是怎样的？
2 2 ( x a) ( y b) r 2
从中可以看出圆心和半径各是什么？
a , b r
【课前练习】
圆的一般方程
1.圆心在（-1,2），与 y 轴相切的圆的方程. (x+1)2+(y-2)2=1 2.已知圆经过P(5,1),圆心在C(8,3),求圆方程 (x-8)2+(y-3)2=13 3.已知两点A(4,9)、B(6,3), 以AB为直径 的圆的方程是
O
y
A(5,1)
x
E
B(7,-3)
C(2,-8) 圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法二：待定系数法 解：设所求圆的方程为：
2 2 2
( x a) ( y b) r (r 0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
课堂检测： 1.已知圆过点P(－4，3)，圆心在直线 2x－y＋1＝0上，且半径为5，求这个
圆的方程．
变式1 求满足下列条件的各圆C的方程： (1) 和直线 4x＋3y－5＝0相切，圆心在直 线x－y＋1=0上，半径为4； (2)经过两点A(－1，0)，B(3，2)，圆心 在直线x＋2y＝0上．
2.若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，求实数a 的取值范围．
巩固：
(1)已知圆x y Dx Ey F 0的圆心为
2 2
(2,3), 半径为4, 则D ___ ___ F ___ -3 4 E -6
(2) x y 2ax y a 0表示圆, 1 a R, a 则a的取值范围是 _____ 2
2 2
2 2
求出圆心、半径. 2 2
1 得x y 2x 6 y 0 2 21 2 2 即：（x 1) ( y 3) 2 故它表示以（ 1， 3）为圆心,
2 2
得（x a) y a 0
2 2 2
故它表示以（ a,0） a 为半径的圆 为圆心，
42 为半径的圆. 2
• 上运动，求线段OP的中点M的 • 轨迹方程。
综合检测：自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴 反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0 相切， 求反射光线所在直线的方程. A(-3，3) •
C(2, 2)
•
• B(-3，-3)
小结
1.圆的一般方程: X2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0). 2.圆的一般方程与圆的标准方程的关系: (1) 2 2 D E 1
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
展开后，会得出怎样的形式？
2 2ax 2by 2 2 2 0 2 y x a b r
2、那么我们能否将以上形式写得更简单一点呢？
2 2 y Dx Ey F 0 x
3、反过来想一想，形如上式方程的曲线就一定是圆吗？
x
2
y
2
Dx Ey F 0
( D 2 E 2 4 F 0)
(1)圆的标准方程的优点在于它明确地指出了 圆心和半径 ； (2)圆的一般方程突出了方程形式上的特点.
例1： 判断以下方程是不是圆的方程?
（） 1 x y 2x 6 y 1 0
2 2
(2) x y 2 x 6 y 10 0
a 2 ,b 2 ,r
2
D E 4F ,
(2)圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆的圆心及半径,而 一般方程突出了方程形式上的特点. 3.圆的标准方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关 系: (1)A=C≠0,(2)B=0,(3) D2+E2-4AF>0时,二元二次方程才表示圆的 一般方程. 4.圆的一般方程的特点: (1)x2和y2的系数相同且不等于0. (2)没有xy这样的二次项,因此只要求出了D,E,F就求出了圆的 一般方程.
2 2
待定系数法
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法三：待定系数法 解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0(D E 4F 0)
2 2 2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0 2 2 7 ( 1) 7D E F 0 2 2 82 2 D 8 E F 0
D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
[小结二]: 注意:求圆的方程时,要学会根据题目
条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用 圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用 圆的一般方程用待定系数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)
2 2
(3) x y 2 x 6 y 13 0
2 2
①是
②不是
③不是
例2： 下列方程各表示什么图形?若是圆则
(1)2 x 2 y 4 x 12y 1 0 2 2 (2) x y 2ax 0(a 0)
2 2 (2) 由 x y 2ax 0 解： (1)由2x 2 y 4x 12 y 1 0
4、将
2 Dx Ey F 0 x2 y
左边配方，得
D 2 E 2 D 2 E 2 4F (x ) (y ) 4 2 2
（1）当 D2+E2-4F>0 时,
2
可以看出它表示以
2
D E , 2 2
D E 4F 为圆心, 以 r 为半径的圆; 2
圆的一般方程 圆的一般方程
教学目标
• • • • 1、掌握圆的一般方程及一般方程的特点 2、能将圆的一般方程化为圆的标准方程 3、能用待定系数法由已知条件导出圆的方程 4、培养学生数形结合思想,方程思想,提高学 生分析问题及解决问题的能力. • 重点:圆的一般方程及一般方程的特点 • 难点:圆的一般方程的特点及用待定系数法求 圆的方程.
(5 a ) (1 b) r a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
2 2 2
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
(x-5)2+(y-6)2=10
4.求圆心在直线y = x上,与两轴同时相切,半径为2的圆的方程.
y
2
y=x
C(2,2)
-2 0 C(-2,-2) -2
2
x
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
小结:利用圆的标准方程解题需要确定圆的圆心和半径.
二、[导入新课]
1、同学们想一想，若把圆的标准方程
(3)圆x y 4 x 2by b 0与x轴相
2 2 2
或-2 切, 则b 2 ___
[小结一]:
(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
配方
展开B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法一： 几何方法
变式2 若点(1， 3 )在圆x2＋y2－2ax－2 3ay ＝0(a≠0)的外部，求实数a的取值范围． 3.画出方程x－1＝ 1 y
2
表示的曲线 .
2
变式3 画出方程y＝3＋ 4 x x 表示的曲线.
本节小结：
圆的标准方程和一般方程；
用待定系数法求方程中的基本量．
课后作业：
必做：P124：2、3 8． 选做：P144：7、
(2) 当 D2＋E2－4F＝0 时，方程表示一个
D E 点 ( , ) ； 2 2
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无 实数解,不表示任何图形．
[观察]：圆的标准方程与圆的一般 方程在形式上的异同点.
圆的标准方程
2 2 ( x a ) ( y b) r 2
圆的一般方程 [说明]：
• 练习：
•
M1 (1,1), M 2 (4,2) 求过三点O（0,0）， 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆 心坐标。
例4：
已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3）， 端点A在圆 ( x 1) y 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。
• 练习：
已知点P在圆C：
x y 8x 6 y 21 0
圆的标准方程的形式是怎样的？
2 2 ( x a) ( y b) r 2
从中可以看出圆心和半径各是什么？
a , b r
【课前练习】
圆的一般方程
1.圆心在（-1,2），与 y 轴相切的圆的方程. (x+1)2+(y-2)2=1 2.已知圆经过P(5,1),圆心在C(8,3),求圆方程 (x-8)2+(y-3)2=13 3.已知两点A(4,9)、B(6,3), 以AB为直径 的圆的方程是
O
y
A(5,1)
x
E
B(7,-3)
C(2,-8) 圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法二：待定系数法 解：设所求圆的方程为：
2 2 2
( x a) ( y b) r (r 0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
课堂检测： 1.已知圆过点P(－4，3)，圆心在直线 2x－y＋1＝0上，且半径为5，求这个
圆的方程．
变式1 求满足下列条件的各圆C的方程： (1) 和直线 4x＋3y－5＝0相切，圆心在直 线x－y＋1=0上，半径为4； (2)经过两点A(－1，0)，B(3，2)，圆心 在直线x＋2y＝0上．
2.若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，求实数a 的取值范围．
巩固：
(1)已知圆x y Dx Ey F 0的圆心为
2 2
(2,3), 半径为4, 则D ___ ___ F ___ -3 4 E -6
(2) x y 2ax y a 0表示圆, 1 a R, a 则a的取值范围是 _____ 2
2 2
2 2
求出圆心、半径. 2 2
1 得x y 2x 6 y 0 2 21 2 2 即：（x 1) ( y 3) 2 故它表示以（ 1， 3）为圆心,
2 2
得（x a) y a 0
2 2 2
故它表示以（ a,0） a 为半径的圆 为圆心，
42 为半径的圆. 2