圆的一般方程.ppt

a 2 ,b 2 ,r
2
D E 4F ,
(2)圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆的圆心及半径,而 一般方程突出了方程形式上的特点. 3.圆的标准方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关 系: (1)A=C≠0,(2)B=0,(3) D2+E2-4AF>0时,二元二次方程才表示圆的 一般方程. 4.圆的一般方程的特点: (1)x2和y2的系数相同且不等于0. (2)没有xy这样的二次项,因此只要求出了D,E,F就求出了圆的 一般方程.
x
2

y
2
Dx Ey F 0
( D 2 E 2 4 F 0)
(1)圆的标准方程的优点在于它明确地指出了 圆心和半径 ； (2)圆的一般方程突出了方程形式上的特点.
例1： 判断以下方程是不是圆的方程?
（） 1 x y 2x 6 y 1 0
2 2
(2) x y 2 x 6 y 10 0
2 2
(3) x y 2 x 6 y 13 0
2 2
①是
②不是
③不是
例2： 下列方程各表示什么图形?若是圆则
(1)2 x 2 y 4 x 12y 1 0 2 2 (2) x y 2ax 0(a 0)
2 2 (2) 由 x y 2ax 0 解： (1)由2x 2 y 4x 12 y 1 0
2 2
求出圆心、半径. 2 2
1 得x y 2x 6 y 0 2 21 2 2 即：（x 1) ( y 3) 2 故它表示以（ 1， 3）为圆心,
2 2
得（x a) y a 0
2 2 2
故它表示以（ a,0） a 为半径的圆 为圆心，
42 为半径的圆. 2
4、将
2 Dx Ey F 0 x2 y
左边配方，得
D 2 E 2 D 2 E 2 4F (x ) (y ) 4 2 2
（1）当 D2+E2-4F>0 时,
2
可以看出它表示以
2
D E , 2 2
D E 4F 为圆心, 以 r 为半径的圆; 2
圆的一般方程 圆的一般方程
教学目标
• • • • 1、掌握圆的一般方程及一般方程的特点 2、能将圆的一般方程化为圆的标准方程 3、能用待定系数法由已知条件导出圆的方程 4、培养学生数形结合思想,方程思想,提高学 生分析问题及解决问题的能力. • 重点:圆的一般方程及一般方程的特点 • 难点:圆的一般方程的特点及用待定系数法求 圆的方程.
(5 a ) (1 b) r a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
2 2 2
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法三：待定系数法 解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0(D E 4F 0)
2 2 2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0 2 2 7 ( 1) 7D E F 0 2 2 82 2 D 8 E F 0
(3)圆x y 4 x 2by b 0与x轴相
2 2 2
或-2 切, 则b 2 ___
[小结一]:
(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
配方
展开
一般方程
标准方程
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法一： 几何方法
O
y
A(5,1)
x
E
B(7,-3)
C(2,-8) 圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的Βιβλιοθήκη Baidu程 方法二：待定系数法 解：设所求圆的方程为：
2 2 2
( x a) ( y b) r (r 0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(2) 当 D2＋E2－4F＝0 时，方程表示一个
D E 点 ( , ) ； 2 2
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无 实数解,不表示任何图形．
[观察]：圆的标准方程与圆的一般 方程在形式上的异同点.
圆的标准方程
2 2 ( x a ) ( y b) r 2
圆的一般方程 [说明]：
巩固：
(1)已知圆x y Dx Ey F 0的圆心为
2 2
(2,3), 半径为4, 则D ___ ___ F ___ -3 4 E -6
(2) x y 2ax y a 0表示圆, 1 a R, a 则a的取值范围是 _____ 2
2 2
2 2
• 上运动，求线段OP的中点M的 • 轨迹方程。
综合检测：自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴 反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0 相切， 求反射光线所在直线的方程. A(-3，3) •
C(2, 2)
•
• B(-3，-3)
小结
1.圆的一般方程: X2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0). 2.圆的一般方程与圆的标准方程的关系: (1) 2 2 D E 1
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
展开后，会得出怎样的形式？
2 2ax 2by 2 2 2 0 2 y x a b r
2、那么我们能否将以上形式写得更简单一点呢？
2 2 y Dx Ey F 0 x
3、反过来想一想，形如上式方程的曲线就一定是圆吗？
(x-5)2+(y-6)2=10
4.求圆心在直线y = x上,与两轴同时相切,半径为2的圆的方程.
y
2
y=x
C(2,2)
-2 0 C(-2,-2) -2
2
x
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
小结:利用圆的标准方程解题需要确定圆的圆心和半径.
二、[导入新课]
1、同学们想一想，若把圆的标准方程
变式2 若点(1， 3 )在圆x2＋y2－2ax－2 3ay ＝0(a≠0)的外部，求实数a的取值范围． 3.画出方程x－1＝ 1 y
2
表示的曲线 .
2
变式3 画出方程y＝3＋ 4 x x 表示的曲线.
本节小结：
圆的标准方程和一般方程；
用待定系数法求方程中的基本量．
课后作业：
必做：P124：2、3 8． 选做：P144：7、
课堂检测： 1.已知圆过点P(－4，3)，圆心在直线 2x－y＋1＝0上，且半径为5，求这个
圆的方程．
变式1 求满足下列条件的各圆C的方程： (1) 和直线 4x＋3y－5＝0相切，圆心在直 线x－y＋1=0上，半径为4； (2)经过两点A(－1，0)，B(3，2)，圆心 在直线x＋2y＝0上．
2.若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，求实数a 的取值范围．
• 练习：
•
M1 (1,1), M 2 (4,2) 求过三点O（0,0）， 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆 心坐标。
例4：
已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3）， 端点A在圆 ( x 1) y 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。
• 练习：
已知点P在圆C：
x y 8x 6 y 21 0
D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
[小结二]: 注意:求圆的方程时,要学会根据题目
条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用 圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用 圆的一般方程用待定系数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)
圆的标准方程的形式是怎样的？
2 2 ( x a) ( y b) r 2
从中可以看出圆心和半径各是什么？
a , b r
【课前练习】
圆的一般方程
1.圆心在（-1,2），与 y 轴相切的圆的方程. (x+1)2+(y-2)2=1 2.已知圆经过P(5,1),圆心在C(8,3),求圆方程 (x-8)2+(y-3)2=13 3.已知两点A(4,9)、B(6,3), 以AB为直径 的圆的方程是