成人教育《实变函数 》期末考试复习题及参考答案

一、单项选择题

1．下列命题或表达式正确的是 D

A ．}{b b ⊂

B ．2}2{=

C ．对于任意集合B A ,，有B A ⊂或A B ⊂

D ．φφ⊂ 2．下列命题不正确的是 A

A ．若点集A 是无界集，则+∞=A m *

B ．若点集E 是有界集，则+∞

C ．可数点集的外测度为零

D ．康托集P 的测度为零 3．下列表达式正确的是 D

A.}0),(m ax {)(x f x f -=+

B ．)()()(x f x f x f -

++= C.)()(|)(|x f x f x f -

+

-=

D ．}),(min{)]([n x f x f n = 4．下列命题不正确的是 B

A ．开集、闭集都是可测集

B ．可测集都是Borel 集

C ．外测度为零的集是可测集

D ．σF 型集，δG 型集都是可测集 5．下列集合基数为a （可数集）的是 C

A ．康托集P

B ．)1,0(

C ．设i n n

x x x x x A R A |),,,({,21 ==⊂是整数，},,2,1n i =

D ．区间)1,0(中的无理数全体

二、计算题

1. 设()3cos 0,\2x x E f x x x E π⎧∈⎪

=⎨

⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦

⎩

，E 为0,

2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦中有理数集，求()0,2f x dx π⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

⎰.

解：因为0mE =，所以()cos ,.f x x a e =于[]0,1 于是

()0,0,22cos f x dx xdx ππ

⎡⎤

⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦

=⎰⎰

而cos x 在0,

2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式 []

()2200

0,1cos cos sin |1xdx R xdx x π

π

===⎰⎰

因此

()0,21f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

=⎰

2. 设()()

[]22cos ,0,11n nx nx f x x n x =∈+，求()[]

0,1lim n n f x dx →∞⎰.

解：因为()n f x 在[]0,1上连续，所以可测()1,2,n =

又()()[]2222cos 1,0,1,1,2,

1122

n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=

∈=++

而22

lim

01n nx

n x →∞=+，所以()lim 0n n f x →∞=.

因此由有界控制收敛定理

()[]

()[]

[]

0,10,10,1lim

lim 00n

n

n n f x dx f x dx dx →∞

→∞

===⎰⎰⎰

三、判断题 1. 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <.(×)

2. 设

E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点. (×)

3. 点集

11,2,,E n

⎧⎫

=⎨⎬⎩

⎭

的闭集.(×) 4. 任意多个闭集的并集是闭集.(×) 5. 若n E

R ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合.(√)

6.非可数的无限集为c 势集。 （ × ）

7.开集的余集为闭集。（ √ ）