第三章线性时不变系统的标准形与最小实现

1 an1
1 1
an2 L
O
1 a1
h
hA
hA2
M
hAn1
P
其中，
hAn anh an1hA an2hA2 L a1hAn1
(凯莱 哈密尔顿定理）
7
另一方面，注意到U1U I
1 0 0
M[b
AbL
An1b] I= 0
M
h
0 L 1
我们有 hb 0,hAb 0,L ，hAn2b 0,hAn1b 1
U [b AbL An1b] Rnn,
c
V
cA
Rnn
M
cAn1
3
目的：给定(A,b,c, d ), 找一个等价线性变换x Px,使得 (A,b,c, d ) xPx(A,b, c, d )为具有某种性质的标准形。 这里， A PAP1,b Pb, c cP1,d d
求标准形的等价变换阵也有两种方法： 1. 先求P; 2. 先求 P1 。
h
hA
an 1 an 2 L a1 1 1
an 2 an 3 N
1
0
P hA2 [b AbL An1b] M N N 0 0
M
Βιβλιοθήκη Baidu
a1
10
hAn 1
1
4
4
4
4
4
4 4412
4
0 44
4
4
4
4 043
P1
16
2).变换阵的唯一性：
命题：设(A,b)可控，若有满秩线性变换阵P1和P2 ,
第三章 线性时不变系统的 标准形与最小实现
1
为什么要研究标准形和最小实现？
1. 标准形可以显然、简洁的方式反映系统的 可控性、可观测性或其它性质；
2. 利用标准形有时会极大简化控制律的设计。 例如在动态输出反馈控制律设计、一些自 适应控制系统的控制律设计中，由于仅输 出状态可测量，往往采用一些标准形作为 控制律设计的基础，从而使控制律的设计 尽可能简化；
Aq1 anqn
14
2）因
b Pb b P1b
an 1 an 2 L a1 an 2 an 3 L 1 [b AbL An 1b] M N N 0
a1
10
1 0
3) c cP1 : [bn bn1 L b2 b1]
1 0
0 0
0 0
M
0 {1
b
15
讨论： 1).由变换阵的唯一性可给出P为：
an 3
L
a1 1 1 0 0 0
a1
10
: [q1 q2L qn ] 1
0
0
显然有
qn b
而 q1 an 1b an 2Ab L An 1b
an 1qn A (1an42b4 4 L2 4 A4n 423b) an 1qn Aq2
q2
Aq2 q1 an1qn
12
q2 an2b an3Ab L An2b an2qn A (1an43b4 4 L2 4 A4n433b) an2qn Aq3
4
1. 可控标准形实现
定理3-1：设系统(3-1)可控，则可通过等价变换将其 变成如下所示的可控标准形：
0
0
x& M
0
an
1
M 0 an 1
00 1 MO 00 an 2 L
0 0
0
0
Mx Mu
1
0
a1 1
y [bn bn 1 L b2 b1]x du
5
➢求可控标准形的方法一：先求变换阵P 1)计算可控性矩阵U=[b Ab L An1b];
因此， A PAP1 AP1=P1A
AP1 A[q1 q2L qn ] [Aq1 Aq2L Aqn ]
0 1
0 0 0
0
1
0
[q1 q2L qn ] M M
0
0
M O M
0
0
1
1a4n 4 4an414 2a4n 24 4L 4 4a31
A
其中，用到了关系：
Aqi1 qi aniqn,i 1, 2,L , n 1;
2)计算U1，并记其最后一行为h;
h
hA
3)给出变换阵： P hA2 ；
M
hAn1 nn
6
4)由A PAP1,b Pb, c cP1即可求出变换后的系统
状态方程。6 4 4 4 4 4 4 7A 4 4 4 4 4 4 8
h
hA
hA2
M
14hA2 n431
A=
0 an
q3
Aq3 q2 an2qn 依次，我们有
qi =an -iqn +Aqi1,i 1, 2,L ,n 1,
最后，由 Aqi1 qi an iqn q1 an 1b an 2Ab L An 1b
考虑到凯莱 哈密尔顿定理，我们有
Aq1 an 1Ab an 2A2b L a1An 1b Anb anqn13
为此，我们考虑
1h 2hA L nhAn1 0 (*)
用b右乘上式，并考虑到
hb 0, hAb 0, hAn2b 0, hAn1b 1， (3-4)
有 a n 0;
用Ab右乘（*）式，并考虑到（3-4）及n 0之事
实，有
a n 1 0
依次类推，有
M
ai 0 a 0
10
➢求可控标准形的方法二：先求变换阵P1
3. 最小实现可以避免对系统可控性和可观测
性的讨论，简化分析和控制器设计。当然，
在系统分析时，有时也需要用到非最小实
现。
2
§3-1系统的标准形
一、单变量系统的标准形
x& Ax bu, A Rnn ,b Rn1
y cx du,c R1n, d R
A的特征多项式为:
(s) det(l I A) l n a1l n 1 a2l n 2 L an 系统的可控和可观测矩阵为：
使得
A P1AP11,b P1b;
则必有
A P2AP21,b P2b
证明：事实上，
P1=P2
[b AbL A(n1)b] P1[b AbL A(n1)b]
h 0
hA
0
b = Pb = hA2 b = 0
M
M
14hA2
n1
43
1
8
P
问题：这样构造的P是否可逆？ 为证明P为可逆阵，只要证明对任意给定的
由
a [a1 a 2L a n ]
h
hA
P hA2 0
M
hAn1
1h 2hA L nhAn1 0
0
即可。
9
1). 令基底为：
an 1 an 2 L
P-1
[b
AbL
an 2 An 1b] M
an 3
L
a1 1 1 0 0 0
a1
10
1 0
0
: [q1 q2L qn ]
注意到det(sI A) l n a1l n1 a2l n2 L an
11
an 1 an 2 L
P-1 [b
AbL
an 2 An 1b] M