大学物理刚体力学习题课解析

六、刚体的定点运动： M （ 1 ） Ω (2) 进动方向的判断。 L sin
2018/8/2 4
例。一均匀细棒（m,l)的两端用绳子自天花板竖 直吊住，棒处于水平，若一端突然剪断，求此 时另一端绳的张力。
分析：
T
A
B mg
1 (1) T m g 2 1 (3) T m g 2
2018/8/2
9
方法2： 动量定理和角动量定理
v
P x O Vc
m: M:
F dt m v
L 1 2 F 2 dt 12 ML ω
6mv M
10
2018/8/2
方法3： 质心坐标系C 略
2018/8/2
11
例 如图，设m1>m2+m3，（M，R）、(m3,r)为两均质园柱, 绳子与圆柱体无滑动，圆柱体中心轴无摩擦。 求各物体的加速度和绳子的张力。
l h’
hc
c
h
a
b
分析:以小球、棒和地球为系统，在碰撞前、 中和碰后，系统的机械能守恒。碰撞中系统 动量不守恒，但系统的角动量守恒。
2018/8/2
16
解：设碰前摆球的速度为v0 ;碰撞后直杆的角速度 为，摆锤的速度为v‘。杆下端上升的高度为h 。 则有：
1 2 碰前摆球和地球： mv 0 mgh 0 (1) 2 碰中系统： m lv0 J m lv (2) 1 2 式中 J m l 3 1 1 1 2 2 2 碰中系统： mv 0 J mv (3) 2 2 2
( 2) T m g
1 ( 4) m g T m g 2
5
例。一均匀细棒（m,l)的两端用绳子自天花板 竖直吊住，棒处于水平，若一端突然剪断， 求此时另一端绳的张力。
解：剪断瞬间，A端可认为静止点。
1 2 M A mg 2 3 m mg T mac a c 2
2018/8/2 17
l m ho
l h’
hc
Hale Waihona Puke Baidu
c
h
a
1 2 碰后杆和地球： J mgh c 2
由此得
b
(4)
3h0 h 2hc 2
v
v0 3v0 , 2 2l
18
2018/8/2
例
一质量 m的匀质矩形薄板绕其竖 直边
转动，初始角速度为 0，转动时受到空气阻力 ， 阻力垂直于板面，每一 小面积上所受阻力的大 小 正比于该面积和速度平 方的乘积，比例常数为 k。 问经过多少时间角速度 减为原来的一半？已知 薄 板的竖直边长为 b，水平边长为 a。
刚体力学习题课
主要内容：
一、定轴转动线量和角 量的关系 : s r v r, at r, an rω
二、转动定律： M Z Jβ 适用于惯性系（定轴或 瞬时轴）或质心系 J的计算（常见的公式） , 平行轴定理。
2018/8/2 1
2
三、刚体定轴转动的动 能定理： 1 1 2 A Mdθ J 2 2 J 1 12。 2 2 θ1 刚体的重力势能E p mghc , 1 1 1 2 2 2 刚体的动能E k J固 mvc J cω 2 2 2
θ2
系统中有刚体时的功能 原理, 机械能守恒定律。
2018/8/2
2
四、刚体定轴转动的角 动量定理：
t2
Mdt J ω
2 t1
2
J 1ω1
角动量守恒定律的条件 ： (1) M 0 (2)惯性系或质心系
系统中有刚体时的角动 量定理, 系统角动量守恒定律。
2018/8/2 3
五、刚体的平面运动： ( 1 ) vi v c ω ric 1 1 2 ( 2 ) Ek m vc J cω 2 2 2 ( 3 ) F ma c , 只适用于惯性系。 M c J cβ 适用于任意参照系。
1 T mg 4
2018/8/2
T
A
mg
B
3 3g (ac g , ) 4 2
6
例（习题3.41）质量为m 的人站在质量为M，长L 的竹筏的一端，起初，人和筏处于静止状态，若 人以速度为v（相对于河岸）向垂直于筏身的方 向水平跳出，求竹筏获得的角速度。（筏作为细 杆，水的阻力可忽略）
分析：关键是计算阻力 矩和板的转动惯量
M,R
T3
T2 T1 T4
1
m3,r
2
m1 , M : M , m3 :
a1 1 R
a
1 R a2 2 r ( 1 R 2 2 r ) m3 , m2 : a 2 2 r
2018/8/2
m1
m2
a
2
13
4m1 2m2 2m3 a2 g 8m1 2m2 3m3 4M ........
解：把人和竹筏为系统 ，以过竹筏中心垂直 水平面的轴为转轴 1 角动量守恒： J 筏 m v 0 ( J 筏 M 2 ) 2 12
1
2
2018/8/2
6 mv M
3
7
解法1：
取岸为参照系，人和筏 为系统， O为筏的中心， P为人跳离筏过程中的静 止点。 所以过 P点的垂直轴为固定轴， 系统角动量守恒。
M,R
m3,r
m1
2018/8/2
m2
12
解： m1 g T1 m1 a1 1 2 (T1 T2 ) R MR 1 2 T2 T3 T4 m3 g m3 a 2 1 (T2 T3 ) r m3 r 2 2 2 T4 m2 g m2 a 2
1
2018/8/2
14
例 如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同 一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自 然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态 下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆 下端达到的高度h 。
l
l h’
hc
c
m
ho h
a
2018/8/2
b
15
l m ho
J P m v( x) 0 2 1 2 2 (J P M Mx ) P 12
x
2018/8/2
v
O
8
v
P x O Vc
系统动量守恒： MVC mv 0 相互关系 : VC x
x , 6 6mv , M VC mv M
2018/8/2