洛阳高一数学2016-2017质检答案
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洛阳市２ — —２ ０ １ ６— ０ １ ７学年高一年级质量检测
数学试卷参考答案
一、 选择题 １－５Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｃ ６－１ ０Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ １ １－１ ２Ａ Ｃ 二、 填空题 ２ ４２ π 槡 １ ３．－ １ ４． １ １ ５． ６． ８ １ １ ３ ７ 三 、解答题
３ － （ ）由题意知 ， １ ７． １ ｌ ｏ ８ ＝ ３， 犫 －２ ＝ ６， ｇ 犪
……１ ０分
１ 当２ 即狓 ＝ π 时， 函数 犳（ ……１ 狓－ π ＝ π ， 狓）取得最大值 ． ２分 ６ ２ ３ ２ （ ） 且分数在 １ １ ９． １ ∵ 分数在 １ ２ ０～１ ３ ０ 分的学生人数为 ３ ０人 ， ２ ０～１ ３ ０ 分频率为 ０ ． １ ５， ３ ０ ∴ 分数在 ９ ０～１ ４ ０ 分的学生人数为 ０ ０人． ＝２ ０． １ ５ （ ）估计这所学校学生分数在 ９ ２ ０～１ ４ ０ 分的学生的平均成绩为 ……３ 分
……３ 分 ……５ 分
……７ 分 ……９ 分
……１ １分 ……１ ２分
９ ５×０． １＋１ ０ ５×０． ２ ５＋１ １ ５×０． ４ ５＋１ ２ ５×０． １ ５＋１ ３ ５×０． ０ ５＝１ １ ３分． ……６ 分 （ ） 分数在１ ３ ∵ 分数在９ ０～１ ０ ０分的学生人数为２ ０人 ， ２ ０～１ ３ ０分的学生人数 为３ ０人， ∴ 按分层抽样方法抽出 ５ 人时 ， 从分数在 ９ 记为 犃１ ， ０～１ ０ ０ 分的学生抽出 ２ 人 ， 犃２ ， 从分数在 １ 记为 犅１ ， ２ ０～１ ３ ０ 分的学生中抽出 ３ 人 ， 犅２ ， 犅３ ． ……８ 分 从抽出的 ５ 人中选出 ２ 人分别做问卷 犃 和问卷犅 ， 共有 ２ 分别为 犃１犃２ ， ０ 种情况 ， ……， ……９ 分 犃１犅１ ， 犃１犅２ ， 犃１犅３ ， 犃２犃１ ， 犃２犅１ ， 犃２犅２ ， 犃２犅３ ， 设事件 犃： “ ， 则事件 犃 ９ ０～１ ０ ０分的学生做问卷 犃， １ ２ ０～１ ３ ０分的学生做问卷 犅” 共有 ６ 种情况 ， 分别为 犃１犅１ ， 犃１犅２ ， 犃１犅３ ， 犃２犅１ ， 犃２犅２ ， 犃２犅３ ， ６ ３， 即事件 犃 的概率为 ３ ． ＝ ２ ０ １ ０ １ ０ 证明 ： （ ）取 犘 连接 犈 ２ ０． １ 犃 中点 犕 ， 犕， 犕犇 ． ∴ 犘（ 犃）＝ １ 在 △犘 犅 犃 中， 犈， 犕 分别为 犘 犅， 犘 犃 中点 ， 犕瓛 犅 犃． ∴ 犈 ２ １ 在矩形 犃 犅 犆 犇 中， 犉 为犇 犆 中点 ， 犇瓛 犅 犃． ∴ 犉 ２ ∴ 犈 犕 瓛犉 犇， 犉 犇犕 为平行四边形 ． ∴ 犈 又犈 ∴ 犈 犉 ∥ 犕犇 ， 犉 平面 犃 犘犇 ， 犕犇 平面 犃 犘犇 ， ∴ 犈 犉 ∥ 平面 犃 犘犇 ． （ ） 取犘 连接 犅 由犅 ２ 犆 中点 犖 ， 犖． 犘 ＝犅 犆 ＝３， 犘 犆 ＝槡 ６ 得犅 犖＝ ＝ ３ ０ 槡 ． ２ ……１ ０分 ……１ ２分
∵ 犃 犅 ⊥犅 犆， 犃 犅 ⊥犘 犆， 犅 犆 ∩犘 犆 ＝ 犆， 犅 犆 平面 犘 犅 犆， 犘 犆 平面 犘 犅 犆， 高一数学答案 第２ 页 （ 共 ３ 页） ） ２ ０ １ ７． ７ （
∴ 犃 犅 ⊥ 平面 犘 犅 犆， 犃 犅 平面 犃 犅 犆 犇， ∴ 平面 犘 犅 犆 ⊥ 平面 犃 犅 犆 犇． 且犘 ∵ 平面 犘 犅 犆 ∩ 平面 犃 犅 犆 犇 ＝犅 犆， 犌 ⊥犅 犆， ∴ 犘 犌 ⊥ 平面 犃 犅 犆 犇．
……１ 分 ……２ 分 ……３ 分Biblioteka Baidu……６ 分
槡
犘 犆 ２ 犅 犆２ － （ ） ２
犅 犖 ·犘 犆 过 犘 点作 犘 垂足为 犌 则犘 犌 ′⊥犅 犆， ′， 犌 ′＝ ５． ＝槡 犅 犆
２ 由 犌 为线段 犅 ∴ 犅 犌 ′＝ 槡 犘 犅２ －犘 犌 ′ 犆 上一点 ， 犅 犌 ＝２知 犌 犌 ′ 重合 ． ＝ ２， 即犘 ……８ 分 犌 ⊥犅 犆．
２ ２ （ ） （ １ ８． １ 狓）＝ ｃ ｏ ｓ 狓－ π ） ｏ ｓ 狓 －ｃ 犳（ ６
……５ 分 ……７ 分 ……９ 分 ……１ ０分 ……１ 分
（ １＋ｃ ｏ ｓ ２ 狓－ π ） ３ １＋ｃ ｏ ｓ ２ 狓 ＝ － ２ ２ ＝ ＝ ＝ １［ （ ｃ ｏ ｓ２ 狓－ π ） ｏ ｓ ２ 狓］ －ｃ ２ ３ １（ ３ １ 槡 ｓ ｉ ｎ ２ ｏ ｓ ２ 狓－ ｃ 狓） ２ ２ ２ １ （ 狓－ π ） ｓ ｉ ｎ２ ６ ２
……２ 分
……３ 分 ……４ 分 ……６ 分 ……８ 分
π π， 令２ 得狓 ＝犽 狓 － π ＝犽 犽 ∈ 犣， 犽 ∈ 犣． π， ＋ ６ ２ １ ２ 犽 π π， ） ， ∴ 函数 犳（ 狓）的对称中心为 （ ０ 犽 ∈ 犣． ＋ ２ １ ２
２ ５ π ２ π π． （ ） ２ ∵ － π ≤狓 ≤ π ， ∴ － ≤ 狓－ ≤ ４ ２ ３ ６ ６ １ 当２ 即 狓 ＝－ π 时 ， 函数 犳（ 狓 － π ＝－ π ， 狓）取得最小值 － ， ６ ２ ６ ２ 高一数学答案 第１ 页 （ 共 ３ 页） ） ２ ０ １ ７． ７ （
……１ ０分 ……１ ２分 ……２ 分
解： 由题知 ， ２ １． 犃 ＋犅 ＝ ５， 犅 ＝ ２． ∴ 犃 ＝ ３， －犃 ＋犅 ＝－１， ２ ３ π π π （ － ） ， （ ……３ 分 ∵ 狓）＝ ３ ｓ ｉ ｎ 狓 ＋φ） ＝２ ＋２． ∴ 狑 ＝ １， ∴ 犳（ 狑 ２ ２ π ） ５， π π 又 ∴ 犳（ （ ｉ ｎ ∴ ＝ 即ｓ ＋ ）＝ １ ∵ 狘 φ狘＜ ２ ， φ ＝ ０． ２ ２ φ ……４ 分 （ ） 的解析式为 （ ） ……６ 分 ∴ 犳 狓 ｓ ｉ ｎ 狓 ＋２． 犳 狓 ＝３ （ ）当 狓 ∈ ［ 函数 犵（ ２ ０， ４ 狓）有 ８ 个零点 ． π］时 ， 狓 ， 等价于 时， 方程 狘 （ ） 有 ８ 个不同 ∵ ２ ＞ ０ ∴ 狓∈ ［ ０， ４ 狓） 犪＋１ 狘＝ ２ π］ 犳（ ……８ 分 的解 ． 即 狔 ＝狘犳（ ） 与 （ ） 有 个 不 同 狓 狘 狔 ＝ ２犪 ＋１ ８ 交点 ． （ ）＜ １， ∴ 由图知必有 ０ ＜ ２ 犪＋１ 即 －１ ＜ 犪 ＜－ １ ． ２ １ ∴ 实数 犪 的取值范围是 （ ． －１， － ） ２ ……１ ２分 ２ ２ ２ ２ 解（ ）由题知 （ ） （ ） ２ ２． １ 狓 ＋２ 狓 ２ ６， ＋狔 ＋ － ＋狔 ＝ １ ２ ２ 整理得 狓 ＋狔 ＝ ４， ２ ∴ 点 犘 的轨迹方程是狓２ ＋狔 ＝ ４． 在 中 ， ∵ 犚 狋△犗 犕犙 犙 犗 ＝３ ０ °， 犙 狘＝ ２， 狘犗 ∠犕 即圆 犆 的半径狉 ＝ １． ∴ 狘犗 犕 狘＝ ２ ｓ ｉ ｎ ３ ０ ° ＝ １， （ ） 设点 （ ， ） ， （ ， ， （ ， ） ２ 犙狓 犕狓 犖（ 狓 狓 ． 狔 狔＞ ０ ０ 狔 ０ １ 狔 １） ２， ２） ０ ＞０ ２ ２ ∵ 犙 犕， 犙 犖 为圆犆２ ： 狓 ＋狔 ＝ １ 的切线 ， ∴ 犙 犕 方程为狓１ 狓 ＋狔 狔 ＝ １， １ 犙 犖 方程为狓２ 狓 ＋狔 狔 ＝ １， ２ 点在 ， ∵ 犙 犙犕 犙 犖 上， ∴ 犕犖 直线方程为狓０ 狓 ＋狔 狔 ＝ １． ０ １ ） 此时 ， 犕犖 与狓 轴的交点犆 坐标为 （ ， ０， 狓 ０ １ 与 狔 轴的交点 犇 坐标为 （ ０， ） ． 狔 ０ １ １ １ ２ ， 犛 ＝ 犆 犇 ＝ △犗 ２ ＝ ２ ２ ２ ２ ２ （ ） ４ 狓 ４ 狓 ４－狓 狓 ６ －４ ＋１ ０狔 ０ ０ （ ０ ） ０ －２ １， 当狓 此时点 犙 坐标为 （ ２ 时， 犛△犗 ２， ２） ． ０ ＝ 槡 犆 犇 取最大值 槡 槡 ４ 高一数学答案 第３ 页 （ 共 ３ 页） ） ２ ０ １ ７． ７ （
……２ 分 ……４ 分
１ 解得 ． 犪 ＝ ２， 犫＝ ， ２ ｌ ｏ 狓， 狓 ＞ ０， ｇ ２ 烄 函数 （ ） 的解析式为 （ ） ∴ 犳狓 犳狓 ＝烅 １ 狓 （ ） ２， 狓 ≤ ０． 烆２ － （ ）当 狓 ＞ ０ 时 ， 由ｌ ２ ｏ 狓 ＞ ０ 解得 狓 ＞ １； ｇ ２ １） 狓 由（ 当狓 ≤０时， －２ ＞ ０ 解得 狓 ＜－１． ２ 或狓 ＞１ ｝ ∴ 不等式 犳（ 狓）＞ ０ 的解集为 ｛ 狓狘狓 ＜－１， ．
数学试卷参考答案
一、 选择题 １－５Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｃ ６－１ ０Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ １ １－１ ２Ａ Ｃ 二、 填空题 ２ ４２ π 槡 １ ３．－ １ ４． １ １ ５． ６． ８ １ １ ３ ７ 三 、解答题
３ － （ ）由题意知 ， １ ７． １ ｌ ｏ ８ ＝ ３， 犫 －２ ＝ ６， ｇ 犪
……１ ０分
１ 当２ 即狓 ＝ π 时， 函数 犳（ ……１ 狓－ π ＝ π ， 狓）取得最大值 ． ２分 ６ ２ ３ ２ （ ） 且分数在 １ １ ９． １ ∵ 分数在 １ ２ ０～１ ３ ０ 分的学生人数为 ３ ０人 ， ２ ０～１ ３ ０ 分频率为 ０ ． １ ５， ３ ０ ∴ 分数在 ９ ０～１ ４ ０ 分的学生人数为 ０ ０人． ＝２ ０． １ ５ （ ）估计这所学校学生分数在 ９ ２ ０～１ ４ ０ 分的学生的平均成绩为 ……３ 分
……３ 分 ……５ 分
……７ 分 ……９ 分
……１ １分 ……１ ２分
９ ５×０． １＋１ ０ ５×０． ２ ５＋１ １ ５×０． ４ ５＋１ ２ ５×０． １ ５＋１ ３ ５×０． ０ ５＝１ １ ３分． ……６ 分 （ ） 分数在１ ３ ∵ 分数在９ ０～１ ０ ０分的学生人数为２ ０人 ， ２ ０～１ ３ ０分的学生人数 为３ ０人， ∴ 按分层抽样方法抽出 ５ 人时 ， 从分数在 ９ 记为 犃１ ， ０～１ ０ ０ 分的学生抽出 ２ 人 ， 犃２ ， 从分数在 １ 记为 犅１ ， ２ ０～１ ３ ０ 分的学生中抽出 ３ 人 ， 犅２ ， 犅３ ． ……８ 分 从抽出的 ５ 人中选出 ２ 人分别做问卷 犃 和问卷犅 ， 共有 ２ 分别为 犃１犃２ ， ０ 种情况 ， ……， ……９ 分 犃１犅１ ， 犃１犅２ ， 犃１犅３ ， 犃２犃１ ， 犃２犅１ ， 犃２犅２ ， 犃２犅３ ， 设事件 犃： “ ， 则事件 犃 ９ ０～１ ０ ０分的学生做问卷 犃， １ ２ ０～１ ３ ０分的学生做问卷 犅” 共有 ６ 种情况 ， 分别为 犃１犅１ ， 犃１犅２ ， 犃１犅３ ， 犃２犅１ ， 犃２犅２ ， 犃２犅３ ， ６ ３， 即事件 犃 的概率为 ３ ． ＝ ２ ０ １ ０ １ ０ 证明 ： （ ）取 犘 连接 犈 ２ ０． １ 犃 中点 犕 ， 犕， 犕犇 ． ∴ 犘（ 犃）＝ １ 在 △犘 犅 犃 中， 犈， 犕 分别为 犘 犅， 犘 犃 中点 ， 犕瓛 犅 犃． ∴ 犈 ２ １ 在矩形 犃 犅 犆 犇 中， 犉 为犇 犆 中点 ， 犇瓛 犅 犃． ∴ 犉 ２ ∴ 犈 犕 瓛犉 犇， 犉 犇犕 为平行四边形 ． ∴ 犈 又犈 ∴ 犈 犉 ∥ 犕犇 ， 犉 平面 犃 犘犇 ， 犕犇 平面 犃 犘犇 ， ∴ 犈 犉 ∥ 平面 犃 犘犇 ． （ ） 取犘 连接 犅 由犅 ２ 犆 中点 犖 ， 犖． 犘 ＝犅 犆 ＝３， 犘 犆 ＝槡 ６ 得犅 犖＝ ＝ ３ ０ 槡 ． ２ ……１ ０分 ……１ ２分
∵ 犃 犅 ⊥犅 犆， 犃 犅 ⊥犘 犆， 犅 犆 ∩犘 犆 ＝ 犆， 犅 犆 平面 犘 犅 犆， 犘 犆 平面 犘 犅 犆， 高一数学答案 第２ 页 （ 共 ３ 页） ） ２ ０ １ ７． ７ （
∴ 犃 犅 ⊥ 平面 犘 犅 犆， 犃 犅 平面 犃 犅 犆 犇， ∴ 平面 犘 犅 犆 ⊥ 平面 犃 犅 犆 犇． 且犘 ∵ 平面 犘 犅 犆 ∩ 平面 犃 犅 犆 犇 ＝犅 犆， 犌 ⊥犅 犆， ∴ 犘 犌 ⊥ 平面 犃 犅 犆 犇．
……１ 分 ……２ 分 ……３ 分Biblioteka Baidu……６ 分
槡
犘 犆 ２ 犅 犆２ － （ ） ２
犅 犖 ·犘 犆 过 犘 点作 犘 垂足为 犌 则犘 犌 ′⊥犅 犆， ′， 犌 ′＝ ５． ＝槡 犅 犆
２ 由 犌 为线段 犅 ∴ 犅 犌 ′＝ 槡 犘 犅２ －犘 犌 ′ 犆 上一点 ， 犅 犌 ＝２知 犌 犌 ′ 重合 ． ＝ ２， 即犘 ……８ 分 犌 ⊥犅 犆．
２ ２ （ ） （ １ ８． １ 狓）＝ ｃ ｏ ｓ 狓－ π ） ｏ ｓ 狓 －ｃ 犳（ ６
……５ 分 ……７ 分 ……９ 分 ……１ ０分 ……１ 分
（ １＋ｃ ｏ ｓ ２ 狓－ π ） ３ １＋ｃ ｏ ｓ ２ 狓 ＝ － ２ ２ ＝ ＝ ＝ １［ （ ｃ ｏ ｓ２ 狓－ π ） ｏ ｓ ２ 狓］ －ｃ ２ ３ １（ ３ １ 槡 ｓ ｉ ｎ ２ ｏ ｓ ２ 狓－ ｃ 狓） ２ ２ ２ １ （ 狓－ π ） ｓ ｉ ｎ２ ６ ２
……２ 分
……３ 分 ……４ 分 ……６ 分 ……８ 分
π π， 令２ 得狓 ＝犽 狓 － π ＝犽 犽 ∈ 犣， 犽 ∈ 犣． π， ＋ ６ ２ １ ２ 犽 π π， ） ， ∴ 函数 犳（ 狓）的对称中心为 （ ０ 犽 ∈ 犣． ＋ ２ １ ２
２ ５ π ２ π π． （ ） ２ ∵ － π ≤狓 ≤ π ， ∴ － ≤ 狓－ ≤ ４ ２ ３ ６ ６ １ 当２ 即 狓 ＝－ π 时 ， 函数 犳（ 狓 － π ＝－ π ， 狓）取得最小值 － ， ６ ２ ６ ２ 高一数学答案 第１ 页 （ 共 ３ 页） ） ２ ０ １ ７． ７ （
……１ ０分 ……１ ２分 ……２ 分
解： 由题知 ， ２ １． 犃 ＋犅 ＝ ５， 犅 ＝ ２． ∴ 犃 ＝ ３， －犃 ＋犅 ＝－１， ２ ３ π π π （ － ） ， （ ……３ 分 ∵ 狓）＝ ３ ｓ ｉ ｎ 狓 ＋φ） ＝２ ＋２． ∴ 狑 ＝ １， ∴ 犳（ 狑 ２ ２ π ） ５， π π 又 ∴ 犳（ （ ｉ ｎ ∴ ＝ 即ｓ ＋ ）＝ １ ∵ 狘 φ狘＜ ２ ， φ ＝ ０． ２ ２ φ ……４ 分 （ ） 的解析式为 （ ） ……６ 分 ∴ 犳 狓 ｓ ｉ ｎ 狓 ＋２． 犳 狓 ＝３ （ ）当 狓 ∈ ［ 函数 犵（ ２ ０， ４ 狓）有 ８ 个零点 ． π］时 ， 狓 ， 等价于 时， 方程 狘 （ ） 有 ８ 个不同 ∵ ２ ＞ ０ ∴ 狓∈ ［ ０， ４ 狓） 犪＋１ 狘＝ ２ π］ 犳（ ……８ 分 的解 ． 即 狔 ＝狘犳（ ） 与 （ ） 有 个 不 同 狓 狘 狔 ＝ ２犪 ＋１ ８ 交点 ． （ ）＜ １， ∴ 由图知必有 ０ ＜ ２ 犪＋１ 即 －１ ＜ 犪 ＜－ １ ． ２ １ ∴ 实数 犪 的取值范围是 （ ． －１， － ） ２ ……１ ２分 ２ ２ ２ ２ 解（ ）由题知 （ ） （ ） ２ ２． １ 狓 ＋２ 狓 ２ ６， ＋狔 ＋ － ＋狔 ＝ １ ２ ２ 整理得 狓 ＋狔 ＝ ４， ２ ∴ 点 犘 的轨迹方程是狓２ ＋狔 ＝ ４． 在 中 ， ∵ 犚 狋△犗 犕犙 犙 犗 ＝３ ０ °， 犙 狘＝ ２， 狘犗 ∠犕 即圆 犆 的半径狉 ＝ １． ∴ 狘犗 犕 狘＝ ２ ｓ ｉ ｎ ３ ０ ° ＝ １， （ ） 设点 （ ， ） ， （ ， ， （ ， ） ２ 犙狓 犕狓 犖（ 狓 狓 ． 狔 狔＞ ０ ０ 狔 ０ １ 狔 １） ２， ２） ０ ＞０ ２ ２ ∵ 犙 犕， 犙 犖 为圆犆２ ： 狓 ＋狔 ＝ １ 的切线 ， ∴ 犙 犕 方程为狓１ 狓 ＋狔 狔 ＝ １， １ 犙 犖 方程为狓２ 狓 ＋狔 狔 ＝ １， ２ 点在 ， ∵ 犙 犙犕 犙 犖 上， ∴ 犕犖 直线方程为狓０ 狓 ＋狔 狔 ＝ １． ０ １ ） 此时 ， 犕犖 与狓 轴的交点犆 坐标为 （ ， ０， 狓 ０ １ 与 狔 轴的交点 犇 坐标为 （ ０， ） ． 狔 ０ １ １ １ ２ ， 犛 ＝ 犆 犇 ＝ △犗 ２ ＝ ２ ２ ２ ２ ２ （ ） ４ 狓 ４ 狓 ４－狓 狓 ６ －４ ＋１ ０狔 ０ ０ （ ０ ） ０ －２ １， 当狓 此时点 犙 坐标为 （ ２ 时， 犛△犗 ２， ２） ． ０ ＝ 槡 犆 犇 取最大值 槡 槡 ４ 高一数学答案 第３ 页 （ 共 ３ 页） ） ２ ０ １ ７． ７ （
……２ 分 ……４ 分
１ 解得 ． 犪 ＝ ２， 犫＝ ， ２ ｌ ｏ 狓， 狓 ＞ ０， ｇ ２ 烄 函数 （ ） 的解析式为 （ ） ∴ 犳狓 犳狓 ＝烅 １ 狓 （ ） ２， 狓 ≤ ０． 烆２ － （ ）当 狓 ＞ ０ 时 ， 由ｌ ２ ｏ 狓 ＞ ０ 解得 狓 ＞ １； ｇ ２ １） 狓 由（ 当狓 ≤０时， －２ ＞ ０ 解得 狓 ＜－１． ２ 或狓 ＞１ ｝ ∴ 不等式 犳（ 狓）＞ ０ 的解集为 ｛ 狓狘狓 ＜－１， ．