数字信号处理[专业知识]

采样 =T；T
2 sam
[-m ,m ] [ , ]
X (e j ) X N [m] 周期
= 2 m；m 0,1,
N
N 1
[ , ] [0, 2 ]
X N [m] X [m] 取主值
[0, 2 ] [0,1, N 1] 18
2.5.1 连续非周期信号频谱与DFT的关系
[-m ,m ] [ , ] [0, 2 ] [0,1, N 1]
A
m m
2
X (e j )
A T
2
X~[m ]
A T
m
N
假设连续信号持续时间有限，频带有限
14
DFT的应用
信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换
x(t) 抽样
t=kTs
截取
周期延拓
周期延拓
xs (t)
xstr (t )
xs (t)
取一个周期
x[k ]
FT
DTFT
DTFT
DFS
DFT
周期延拓
X(j)
=T；T 2 sam
X (e j ) X N [m] 周期[书75公式（2-61）]
= 2 m；m 0,1, N 1
N
X N [m] X [m] 取主值[书75公式（2-62）]
17
2.5.1 连续非周期信号频谱与DFT的关系
X(j) X[m]采样、周期、取主值
X ( j) X (e j )
X(j)
0
X(n0)
... 2
...
0
X(ej)
...
0 2
X~[m]
...
m
-N
0
N
6
问题的提出
连续非周期信号x(t)
x(t)
1
2
X ( j) e j td
X ( j) x(t) e j tdt
频谱特点： 连续非周期谱
7
连续非周期信号x(t)
x(t) cos0t
cos 0t
解： 当m=600时，满足0m 799,按(书77)公式(2-61),可得到：
4
问题的提出
4.离散时间周期信号 ~x[k]
~x[k ]
X~[m]
N
1
~x [k
]e
j
2
N
mk
k 0
~x [k ]
X~[m]
...
k
-N
0
N
-N
0
图4 离散周期信号及其频谱
...
m N
5
四种信号的时域与频域对应关系
x(t)
FT
0
t
~x (t)
FS
0
t
x[k]
DTFT
0
k
~x[k ]
DFS
0
k
可否利用DFT分析连续非周期信号的频谱？
基本原理
利用信号傅立叶变换具有的信号时域与频 域之间的对应关系，建立信号的DFT与四种信 号频谱之间的关系。
时域的离散化 时域的周期化
频域周期化 频域离散化
13
利用DFT分析连续非周期信号的频谱
x(t ) 抽样
离散化
x[k]
周期化 ~x[k]
DFT实现
X ( j)
2). X(j)X[m]过程中现象产生的原因与解
决方法 (书77~85)
x(t)信号抽取(采样)、截断(加窗/卷积)和延拓(周期展开) 出现三种现象：混叠、频谱泄露和栅栏效应。
16
2.5.1 连续非周期信号频谱与DFT的关系
X(j) X[m]采样、周期、取主值
X ( j) X (e j ) 采样[书75公式（2-60）]
=T；T 2
=
2
m；m
0,1,
sam
N 1
N
(注意：N取偶数值)
ห้องสมุดไป่ตู้
[0, )
m 0,1,
,
N 2
1 ; (0
m
N 2
1)
= sam m, m 0,1, , N 1
N
2
[书76公式（2-63）]
19
2.5.1 连续非周期信号频谱与DFT的关系
[-m ,m ] [ , ] [0, 2 ] [0,1, N 1]
2.5 利用DFT分析信号频谱
问题的提出 利用DFT分析连续非周期信号频谱 混叠现象、泄漏现象、栅栏现象 DFT分析中的参数选择
1
问题的提出
1.连续时间非周期信号 x(t)
x(t) X ( j) x(t)ejtdt x(t) X(j)
0
t
0
图1 连续非周期信号及其频谱
2
问题的提出
2.连续时间周期信号 xT (t)
1 t 0
X ( j) 2 j
X ( j)
( )
π/2
0
0
π/2
信号特点：时域无限，频谱无限
10
问题的提出
如何利用数字方法分析信号的频谱？
x(t) X ( j) x(t)e jtdt
xT
(t)
X
(n0
)
1 T
T xT (t)e jn0tdt
x[k ] X (e j ) x[k ]e jk
xT
(t)
X
(n0
)
1 T
T xT (t)e jn0tdt
xT (t)
X(n0)
-T
0
T
t
0
图2 连续周期信号及其频谱
3
问题的提出
3.离散时间非周期信号 x[k ]
x[k ] X (e j ) x[k ]e jk
k
x[k] X(ej)
...
...
0
k
2 0 2
图3 离散非周期信号及其频谱
1
X ( j) +0 + -0
X ( j)
(π)
t 0 0
(π)
0
信号特点：时域无限，频谱有限
8
连续非周期信号x(t)
x(t)
A
0
t t
x(t)
A
X
( j)
A
Sa
2
=
2 A sin
2
X ( j) A
t
2
2
2π
2π
信号特点：时域有限，频谱无限 9
连续非周期信号x(t)
1 t 0 x(t) sgn(t) 0 t 0
X s ( j) 卷积
s
2
Ts
X (e j )
抽样
取一个周期
X
tr
s
(e
j
)
X [m]
T0 NTs
周期延拓
软件网络
X [m]
15
利用DFT分析连续非周期信号的频谱关键点
1). X(j)与X[m]之间对应关系理解(书75)
已知：x(t)信号的最高频率fm、抽样频率fsam和DFT的有限
长度N。(书77例2-6) 求解：X[m]中m点与X(j)中连续频谱点之间对应值
=T；T 2
= 2 m；m 0,1,
sam
N 1
N
[ , 2 )
m
N 2
,
N 2
+1,
,N
1
;
(
N 2
m
N
1)
= sam
N
m-sam , m
N 2
,
N 2
+1,
,N -1
[书76公式（2-64）] 20
例2-6：已知语音信号x(t)的最高频率fm=3.4kHz,用fsam=8kHz对x(t) 进行抽样。若抽样信号作 N=1600点的DFT,试确定X[m]中 m=600和m=1200点所对应原连续信号的连续频谱点f1和f2。
k
~x[k ]
X~ [m ]
N
1~x [k
]e
j 2
N
mk
k 0
11
问题的提出
有限长序列 xN[k] 的傅立叶变换DFT
N 1
j2π mk
xN [k ] X N [m] xN [k ]e N
k 0
xN[k ]
XN [m]
0
k
N-1
m
0
N-1
DFT可以直接计算周期序列的DFS
12
问题的提出