(完整版)选修4-5《不等式选讲》测试题

不 等 式 选 讲 测 试 题

1．若是任意的实数,且,则( )

,a b a b >(A) (B)

(C) (D)22b a >1b a 21(21(<2．不等式的解集是( )32->x

(A ) (B) (C) (D) )32,(--∞)32,(--∞),0(+∞ )0,32(-),0(+∞ )0,3

2(-3．不等式的解集为( )

125x x -++≥(A) (B) (C) (D) (][)+∞-∞-,22, (][

)+∞-∞-,21, (][)+∞-∞-,32, (][)+∞-∞-,23, 4．若,则的最小值为 ( )0n >232n n +

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

5．若A=，B=，则A ，B 的大小关系为

(3)(7)x x ++(4)(6)x x ++__________.

6．设，，是不全相等的正数，求证：

a b c 1）；

()()()8a b b c c a abc +++>

2）a b c ++>++7.．已知，，求证≥x y R ∈222x y +2()2

x y +8．如图1，把一块边长是的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作a 成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

9．已知，，，且不全相等，求证.

a b 0c >222222

()()()6a b c b a c c a b abc +++++>10． 已知，，…，，且，求证.1a 2a +∈R a n 121=n a a a n n a a a 2)1()1)(1(21≥+++ 11.已知，，且.试证：，中至少有一个小于2.

x 0>y 2>+y x y x +1x

y +112.求函数的最大值.

x x y 21015-+-=13. 已知，求证≤1.

12

2=+b a θθsin cos b a +14. 已知，求的最小值.12=+y x 22y x +

15. 已知，求的最小值.

10432=++z y x 222z y x ++16. 已知，，是正数，求证.

a b c 2

2

29a b b c c a a b c

++≥+++++17.证明：能够被6整除.

)(53+∈+N n n n 18. 设,求证：.,,a b c R +∈32

a b

c

b c c a a b ++≥+++不 等 式 选 讲 答 案

1.D .提示：注意函数的单调性；

1()2x

y =2.B .提示：先移项，再通分，再化简；

3.D .提示：当≤－2时，原不等式可以化为≥5，

x (1)(2)x x ---+解得≤－3，即不等式组的解集是.

x 2125

x x x ≤-⎧⎪⎨-++≥⎪⎩(,3]-∞-当时，原不等式可以化为≥5，

21x -<<(1)(2)x x --++即3≥5，矛盾.所以不等式组，的解集为，

21125

x x x -<<⎧⎪⎨-++≥⎪⎩∅当≥1时，原不等式可以化为≥5，解得≥2，

x (1)(2)x x -++x 即不等式组的解集是.

1125

x x x ≥⎧⎪⎨-++≥⎪⎩[2,)+∞综上所述，原不等式的解集是;

(,3][2,)-∞-+∞ 4.C . 提示：;

223232

22n

n

n n n +=++5. .

A B <提示：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系.

因为(3)(7)(4)(6)x x x x ++-++22(1021)(1024)x x x x =++-++30

=-<所以;

(3)(7)(4)(6)x x x x ++<++

6．提示：，a b +≥ b c +≥ c a +≥ 分别将以上三式相乘或相加即可;

7.提示: ;

22222222

2()()2()2442

x y x y x y x y xy x y +++++++=≥=8.提示: 设切去的正方形边长为，无盖方底盒子的容积为，则

x V

2(2)V a x x =-3311(2)(2)42(2)(2)4[]44327

a x a x

x a a x a x x -+-+=--⨯≤=

当且仅当，即当时，不等式取等号，此时取最大值.即当切去的小正224a x a x x -=-=6

a x =V 3227a 方形边长是原来正方形边长的时，盒子容积最大.16

9.分析：观察欲证不等式的特点，左边3项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.

证明：因为≥，，所以≥. ①

22b c +2bc 0a >22()a b c +2abc 因为≥，，所以≥. ②

22c a +2ac 0b >22

()b c a +2abc 因为≥，，所以≥. ③

22a b +2ab 0c >22()c a b +2abc 由于，，不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得a b c .

222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>10．提示：观察要证明的结论，左边是个因式的乘积，右边是2的次方，再结合，发n n 121=n a a a 现如果能将左边转化为，，…，的乘积，问题就能得到解决.

1a 2a n a 证明：因为，所以，即.+∈R a 111112

1a a a =⋅≥+1121a a ≥+同理，，…….因为，，…，，由不等式的性质，2221a a ≥+n n a a 21≥+1a 2a +∈R a n 得.

n n n n a a a a a a 22)1()1)(1(2121≥≥+++ 因为时，取等号，所以原式在时取等号.

1=i a i i a a 21≥+121====n a a a 11. 提示：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.另外，如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于2是不可能的即可.于是考虑采用反证法.

证明：假设，都不小于2，即，且.y x +1x y +121≥+y

x 21≥+x y 因为，，所以，且.把这两个不等式相加，得，x 0>y y x 21≥+x y 21≥+)(22y x y x +≥++从而.这与已知条件矛盾.因此，，都不小于2是不可能的，即原命题成立.

2≤+y x 2>+y x y x +1x

y +112. 提示：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为的形式就能利用柯西不等式求其最大值.

bd ac +解：函数的定义域为，且.[

]5,10>y

x x y -⨯+-⨯=52153

6427=⨯=