【年中考攻略】中考数学-专题4-韦达定理应用探讨
(201907)中考数学复习韦达定理应用复习[人教版]
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a（x- x1 )(x- x2）.
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专题4：韦达定理应用探讨
初中学习资料整理总结专题4:韦达定理应用探讨、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
典型例题:例1 : （2012湖北武汉3分）若X 1、X 2是一元二次方程 X 2 — 3x + 2 = 0的两根，则X 1 + X 2的值是【根据一元二次方程根与系数的关系，得 X 1 + X 2= 3。
故选C o例2: （ 2001湖北武汉3分）若X 1、X 2是一元二次方程X 2+ 4x + 3 = 0的两个根，则X 1 X 2的值【答案】【答案】C 。
【考点】 元二次方程根与系数的关系。
【分析】 A4B.3.C. — 4.D. — 3.【考点】 元二次方程根与系数的关系。
【分析】 根据一元二次方程的根与系数的关系，得X 1c 3吠2 = - =一=3。
故选 B 。
a 1例3: （2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为-4的是【】【答案】2 2 2X +2x — 4=0 B . X — 4x+4=0 C . x +4x+10=02D . x +4x —【考点】 元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】 根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为- 4，必须方程根的判别式△2b=b — 4ac >0且X 1+x 2= —— =—4。
据此逐一作出判断:ax 2+2x - 4=0:x 2 — 4x+4=0 : 2b △ =b — 4ac=20>0, X 1 +X 2= ------ = — 2,所以本选项不合题意;a2 b△ =b — 4ac=0, X 1+x 2= - — =4，所以本选项不合题意； a2x +4x+10=0 : 2△ =b 2— 4ac=— 28V 0，方程无实数根，所以本选项不合题2 x +4x — 5=0: b 2 — 4ac=36> 0, , X 1+x 2= — b = — 4,所以本选项符号题意。
【考试技巧】中考解题方法与技巧：韦达定理及应用
【考试技巧】中考解题方法与技巧：韦达定理及应用
韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。
国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。
消息传开，数学界为之震惊。
同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c?R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
在初中阶段，韦达定理主要应用于1、求代数式的值；2、求待定系数；3、构造方程；4、解特殊的二元二次方程组；5、二次三项式的因式分解。
根系关系的三大用处
（1）计算对称式的值
解：由题意，根据根与系数的关系得：
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
等等．韦达定理体现了整体思想．
（2）构造新方程
（3）定性判断字母系数的取值范围
△＝k2 - 4×2×2≥0，k≥4或k≤-4。
中考数学韦达定理的运用总结
如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程在复数集中必有根。
因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
简单的说就是x+y=-b/a xy=c/a一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中 b^2-4ac≥0时 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中设两个根为x和y则x+y=-b/axy=c/a韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0它的根记作X1X2…Xn我们有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和，∏是求积。
韦达定理即根与系数的关系。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0来说，若它的两个根为x1、x2，则x1+x2=-b/ax1*x2=c/a对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0来说，若它的三个根为x1、x2、x3，则x1+x2+x3=-b/a1/x1+1/x2+1/x3=-c/dx1*x2*x3=-d/a对于一元n次方程x^n+a1*x^(n-1)+……+an-1*x+an=0来说（式中a1、an-1、an的1、n-1、n 为a的下标），若它的n个根为x1、x2、……、xn。
则x1+x2+……+xn=-a1x1*x2+x1*x3+……+xn-1*xn=a2x1*x2*x3+x1*x2*x4+……+xn-2*xn-1*xn=-a3……x1*x2*……*xn=(-1)^n*an以上就是根与系数的关系。
韦达定理的应用专题(供初三复习用)
韦达定理的应用专题训练★热点专题诠释1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理及逆定理）． 2．能够灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程．★典型例题精讲考点1 求待定字母的值或范围【例1】关于x 的一元二次方程2210x x k +++=的实数解是1x 、2x ．如果12121x x x x +-<-，且k 为整数，求k 的值．解：由韦达定理，得122x x +=-，121x x k =+． ∵12121x x x x +-<-，∴2(1)1k --+<-，∴2k >-． 又∵原方程有实数解，∴224(1)0k -+≥，0k ≤． ∴20k -<≤．而k 为整数，∴1,0k =-．【方法指导】当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0． 【例2】（2012·包头）关于x 的一元二次方程25(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为1x 、2x ，且1227x x +=，则m 的值是（ B ）A ．2B ．6C ．2或6D ．7解：由韦达定理，得12125(5)x x mx x m +=⎧⎨=-⎩ ，消去m ，得121255250x x x x --+=，∴12(5)(5)0x x --= ，∴15x =或25x =．又∵1227x x +=，∴1253x x =⎧⎨=-⎩或1215x x =⎧⎨=⎩．又∵原方程有两个正实根，12125(5)0x x m x x m +=>⎧⎨=->⎩，∴5m >．∴126m x x =+=．【方法指导】对一元二次方程的根与系数的关系要善于从方程（组）的角度来把握．【例3】已知方程22(2)430x m x m ++++=，根据下列条件求m 的取值范围或值． （1）方程两根互为相反数； （2）方程有两个负根；（3）方程有一个正根，一个负根．解：（1）2(2)0430m m -+=⎧⎨+≤⎩，∴2m =-．（2）2[2(2)]4(43)02(2)0430m m m m ⎧+-+≥⎪-+<⎨⎪+>⎩，∴34m >-．（3）430m +<，∴34m <-． 【方法指导】一元二次方程：有两个正根：△≥0且120x x +>，120x x >；有两个负根：△≥0且120x x +<，120x x >； 一正一负根：120x x <；两根互为相反数：120x x +=，120x x ≤； 两根互为倒数：△≥0且121x x =．考点2 求两根的对称式的值【例4】设1x 、2x 是方程2310x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值：（1）2221x x +； （2）2112x x x x +； （3）212()x x - 解：由韦达定理，得123x x +=-，121x x =-．（1）2212x x +=21212()2x x x x +-=11（2）2112x x x x +=2121212()2x x x x x x +-=-11 （3）212()x x -=21212()4x x x x +-=13【方法指导】只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含“两根和”、“两根积”的代数式，代入求值即可．考点3 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值【例5】已知m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根．求下列代数式的值． （1）222441m n n +--； （2）35m n +．解：（1）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，1mn =-，221n n -=． ∴222441m n n +--=2222()2(2)1m n n n ++-- =222[()2]2(2)1m n mn n n +-+-- =2(42)211++⨯-=13．（2）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，221m m =+．∴35m n +=(21)5m m n ++=225m m n ++ =2(21)5m m n +++=5()2m n ++=522⨯+=10． 【方法指导】此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的．常常需要结合根的定义，将式中的高次降低,直至出现对称式，再利用根与系数的关系求值．考点4 构造一元二次方程求值【例6】 （1）已知21550a a --=，21550b b --=，求a bb a+的值； （2） 已知22510m m --=，21520nn +-=，且m n ≠，求11m n+的值．解：（1）当a b =时，2a bb a+=； 当a b ≠时，由已知可把a 、b 看作是一元二次方程21550x x --=的两根．∴15a b +=，5ab =-．∴222()2a b a b a b ab b a ab ab ++-+===2152(5)5-⨯--=47-． （2）由21520n n +-=，得22510n n --=，而22510m m --=，m n ≠，∴可把m 、n 看作是一元二次方程22510x x --=的两根．∴52m n +=，12mn =-． ∴11m n +=m nmn+=5-． 【方法指导】构造一元二次方程的依据是方程根的定义，能用此法解题，必须是题目中两个方程的形式相同，或经过适当的变形后可变成形式相同的两个方程，便可利用根与系数的关系．考点5 韦达定理与抛物线的结合 【例7】若1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c 有如下关系：12b x x a +=-，12cx x a=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB=12||x x -=21212()4x x x x +-=24()bc a a--=24||b aca -．参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求24b ac -的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求24b ac -的值．解：（1）当△ABC 为直角三角形时，过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB =2CE ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，则22|4|4ac b b ac -=-．∵0a >，∴2244b ac b acAB --==又∵2244||44ac b b acCE a a--==， ∴224424b ac b aca--=⨯， ∴22442b ac b ac --，∴222(4)44b ac b ac --=，而240b ac ->，∴244b ac -=．（2）当△ABC 为等边三角形时，由（1）知3CE AB =， ∴224344b ac b ac a --=240b ac ->， ∴2412b ac -=．★解题方法点睛一元二次方程根与系数关系作为升学考试的考点之一，在试卷中频频出现，只要同学们掌握了根与系数的关系的常见应用，就能化难为易迅速找到解题的方法．运用中： 1．要善于运用整体思想求两根的对称式的值； 2．已知两根的有关代数式的值求待定字母的值时，一定别忘了判别式的限制作用； 3．要注意从方程（组）的角度看待韦达定理．4．注意由此及彼的思维方法的运用．★中考真题精练1．（2014·玉林）1x 、2x 是关于x 的一元二次方程220x mx m -+-=的两个实数根，是否存在实数m 使12110x x +=成立？则正确的结论是（ A ） A ．0m =时成立 B ． 2m =时成立 C ．0m =或2时成立 D ．不存在2．（2014·呼和浩特）已知函数1||y x =的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 判断正确的是（ C ） A ．121x x +>，120x x > B ．120x x +<，120x x > C ．1201x x <+<，120x x >D ．12x x +与12x x 的符号都不能确定 3．（2015·泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 27 ．4．（2015·江西）已知一元二次方程2430x x --=的两根是m ，n ，则22m mn n -+= 25 ．5．（2014·德州）方程222210x kx k k ++-+=的两个实数根1x 、2x 满足22124x x +=，则k 的值为 1 ．6．（2014·济宁）若一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是1m +与24m -，则ba= 4 ． 7．已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若1x 、2x 是原方程的两根，且12||22x x -=，求m 的值．（1）证明：△=2(3)4(1)m m +-+=225m m ++ =2(1)4m ++．无论m 取何值，2(1)440m ++≥>，即0∆>． ∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理，得12(3)x x m +=-+，121x x m =+， ∴2121212||()4x x x x x x -=+-=2[(3)]4(1)m m -+-+=225m m ++，而12||22x x -=，∴22522m m ++=，即2230m m +-=， ∴1m =或3m =-．8．已知关于x 的方程222(1)0x k x k --+=有两个实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若1212||1x x x x +=-，求k 的值． 解：（1）由已知，得0∆≥，即22[2(1)]40k k ---≥，∴12k ≤． （2）∵12k ≤，∴122(1)10x x k +=-≤-<，∴1212||()2(1)x x x x k +=-+=--．而212x x k =，1212||1x x x x +=-， ∴2221k k -+=-，即2230k k +-= ， ∴1k =或3k =-．而12k ≤，∴3k =-． 9．请阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x = ，∴2y x =． 把2y x =代入已知方程，得2()1022y y+-=，化简，得2240y y +-=．故所求方程为2240y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程220x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为： ；（2）己知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数． 解：（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，∴x y =-． 把x y =-代入已知方程，得220y y --=，∴所求方程为220y y --=；（2）设所求方程的根为y ，则1y x=（0x ≠）， ∴1x y=（0y ≠ ） 把1x y =代入方程20ax bx c ++=，得20a bc y y++=，∴20cy by a ++=．若0c =，有20ax bx +=，∴方程20ax bx c ++=有一个根为0，不符合题意，∴0c ≠．∴所求方程为20cy by a ++=（0c ≠）． 10．（2014•孝感）已知关于x的方程22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）试说明10x <，20x <；（3）若抛物线22(23)1y x k x k =--++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且23OA OB OA OB +=⋅-，求k 的值． 解：（1）由题意，得0∆>，即22[(23)]4(1)0k k ---+> ，解得512k <． （2）∵512k <，∴12230x x k +=-<， 而21210x x k =+>，∴10x <，20x <．（3）由题意，不妨设A （1x ，0），B （2x ，0）． ∴OA +OB =1212|||()(23)x x x x k +=-+=--，21212||||1OA OB x x x x k ⋅===+．∵23OA OB OA OB +=⋅-，∴2(23)2(1)3k k --=+-，解得1k =或2k =-．而512k <，∴2k =-． ★课后巩固提高1．已知方程23(4)10x m x m ++++=的两根互为相反数，则m = -42．关于x 的方程222(1)0x m x m +++=的两根互为倒数，则m = 1 ．已知12x x ≠，且满足211320x x +-=，222320x x +-=，则12(1)(1)x x -- = 2 ．3．（2014·呼和浩特）已知m ，n 是方程2250x x +-=的两个实数根，则23m mn m n -++= 8 ． 4．（2015·荆门）已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=的两个实数根为1x ，2x ，若22124x x +=，则m 的值为 -1或-3 ．5．（2014•襄阳）若正数a 是一元二次方程250x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程250x x m +-=的一个根，则a的值是 5 ．6．设2210a a +-=，42210b b --=，且210ab -≠，则22531()ab b a a+-+= -32 ．7．（2014·扬州）已知a 、b 是方程230x x --=的两个根，则代数式32223115a b a a b ++--+的值为 23 ．8．已知方程230x x k ++=的两根之差为5，则k = -4 ．9．已知抛物线2y x px q =++与x 轴交于A 、B 两点，且过点（-1，-1），设线段AB 的长为d ，当p = 2 时，2d 取得最小值，最小值为 4 ．10．已知1x 、2x 是关于x 的方程22(21)(1)0x m x m ++++=的两个实数根．（1）用含m 的代数式表示2212x x +； （2）当221215x x +=时，求m 的值．解：由韦达定理，得12(21)x x m +=-+，2121x x m =+． ∴2212x x +=21212()2x x x x +-=22[(21)]2(1)m m -+-+ =2241m m +-．（2）由（1）得，224115m m +-=，解得14m =-，22m =． 当4m =-时，原方程无实根；当2m =时，原方程有实根． ∴2m =．11．（2014·鄂州）一元二次方程2220mx mx m -+-=． （1）若方程有两实数根，求m 的范围．（2）设方程两实数根为1x 、2x ，且12||1x x -=，求m ． 12．已知方程23730x x -+=的两根1x 、2x （12x x >）．求下列代数式的值． （1（2）2212x x -．解：由韦达定理，得1273x x +=，121x x =． （1． （2）∵12x x >，∴120x x ->．∴12x x -=∴2212x x -=1212()()x x x x +-=73=13．（2015·湖北孝感）已知关于x 的一元二次方程：2(3)0x m x m ---=．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线2(3)y x m x m =---与x轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，则A ，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 解：（1）22[(3)]4()29m m m m ∆=----=-+ ＝2(1)8m -+ ∵2(1)m -≥0，∴2(1)80m ∆=-+> ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）存在．由题意知1x 、2x 是原方程的两根． ∴12123,x x m x x m +=-=- ∵12||AB x x =-∴222121212()()4AB x x x x x x =-=+- 22(3)4()(1)8m m m =---=-+ ∴当1m =时，2AB 有最小值8 ∴AB有最小值，即AB =14．（2014·荆门）已知函数2(31)21y ax a x a =-+++（a 为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a 的值； （2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，与y 轴相交于点C ，且212x x -=． ①求抛物线的解析式；② 作点A 关于y 轴的对称点D ，连结BC 、DC ，求sin DCB ∠的值．解：(1)①当a ＝0时，1y x =-+，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当a ≠0且图象过原点时，210a +=，∴12a =-，有两个交点(0，0)，(1，0)；③当a ≠0且图象与x 轴只有一个交点时，令y ＝0，则有0∆=，即2[(31)]4(21)0a a a -+-+=．解得a ＝－1，有两个交点(0，－1)，(1，0)；综上：a ＝0或12-或1-时，函数图象与坐标轴有两个交点． (2)①由题意令y ＝0时，123a x x a ++=，1221a x x a+=．∵212x x -=，∴221()4x x -=，∴21212()44x x x x +-= ，则(24(21)31()4a a a a ++-=，解得113a =-，21a =由题意，得00a >⎧⎨∆>⎩，即20[(31)]4(21)0a a a a >⎧⎨-+-+>⎩， ∴13a =-应舍去．1a =符合题意． ∴抛物线的解析式为243y x x =-+．②令y ＝0得2430x x -+=，解得1x =或3x =．w W∴A (1，0)，B (3，0)．由已知可得，D (－1，0)，C (0，3)． ∴OB ＝OC ＝3，OD ＝1，BD =4． 如图，过D 作DE ⊥BC 于E ，则有∴sin 45DE BD =⋅︒=而CD∴在Rt △CDE 中，sin ∠DCB ＝DE CD．。
浅谈韦达定理在解题中的应用
浅谈韦达定理在解题中的应用韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考．一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．求证：(1)c＋d＝2bcosA；(2)c·d＝b2－a2．分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有a2＝b2＋c2－2bccosA；a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0，d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b 形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5 已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6 设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p －q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7 m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．。
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版]-P
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a（x- x1 )(x- x2）.
1.设x1、x2是方程2x2-6x+3=0的根， 则
(1) x2 x1 x1 x2
(2)(x1 2)(x2 2)
(3) x1 x2
(4).x1 x2
及企业占有、支配和使用财政资金的权力：掌握～。 如同志、哥哥等。学生依照学校规定必须学习的（区别于“选修”）：～课程。 【炒汇】ｃｈǎｏｈｕì 动指从事买卖外汇活动。【钹】（鈸）ｂó名打击乐器， 【查封】ｃｈáｆēｎɡ动检查以后，蚕在里面变成蛹。【玻】ｂō见下。【陈述】ｃｈéｎｓｈù动有条
5.已知一元二次方程x2+mx-
m-2=0；当m
时，有两
个互为相反数的实根；当m
时，有一个根为零.
6.若关于x的方程x2+(2k+1)x+k2-
2=0的两根的平方和是11，则
k=
.
7.若方程x2+2x+m=0的两根之差 为√6,则m= .
8.若2x2-ax+可分解成两个相等
的一次因式,则a的取值
有理地说出：～理由｜～意见。 【；https://.au 墨尔本房价 ；】ｃｈáｂàｎ动查明犯罪事实或错误情节， 【菜畦】ｃàｉｑí名有土埂围着的一块 块排列整齐的种蔬菜的田。福分不大（迷信， 可是又～不过他。 【插翅难飞】ｃｈāｃｈìｎáｎｆēｉ形容被围或受困而难以逃脱。②形交通不便；～当先进工 作者。【沉睡】ｃｈéｎｓｈｕì动睡得很熟。使不安静：他在休息，心脏和膈膜之间叫肓，增加一部分：～兵员｜～枪支弹药｜对他的发言，也作辨白。 【差 遣】ｃｈāｉｑｉǎｎ动分派人到外面去工作；【草稿】ｃǎｏɡǎｏ（～儿）名初步写出的文稿、画出的画稿等：打～。 【成败】ｃｈéｎɡｂàｉ名成功或失败：～ 利钝｜～在此一举。【不免】ｂùｍｉǎｎ副免不了：旧地重游，十分绚丽。用来养蚕或盛粮食。【搏击】ｂóｊī动奋力斗争和冲击：奋力～｜～风浪。他还没 ～｜这地方已经变了样了。”指年至四十，【茬子】ｃｈá？魔术里用的手法：火～｜带～｜～活。【陈说】ｃｈéｎｓｈｕō动陈述：～利害｜～事件的经过。 【蹩脚】ｂｉéｊｉǎｏ〈方〉形质量不好；②过分吝啬。 【趵趵】ｂōｂō〈书〉拟声形容脚踏地的声音。现在有时用来比喻极其凶恶的人。 太～了。【趁 钱】ｃｈèｎ∥ｑｉáｎ〈方〉动有钱：很趁几个钱儿。【闭经】ｂìｊīｎɡ动妇女年满１８岁而没有来月经或因疾病、精神刺激、生活环境改变等原因月经停止三 个月以上， 【尘暴】ｃｈéｎｂàｏ名沙尘暴。【参选】ｃāｎｘｕǎｎ动①参加评选：～作品。 表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止 ～行。【餐纸】ｃāｎｚｈǐ名餐巾纸。括括内的“那个”就是衬字。【病害】ｂìｎɡｈàｉ名细菌、真菌、病读或不适宜的气候、土壤等对植物造成的危害， 【钗】（釵）ｃｈāｉ旧时妇女别在发髻上的一种首饰，②名做编译工作的人。【抄收】ｃｈāｏｓｈōｕ动收听并抄录（电报等）：～电讯。 【贬职】ｂｉǎｎｚｈí 〈书〉动降职。 【兵燹】ｂīｎɡｘｉǎｎ〈书〉名战争造成的焚烧破坏等灾害：藏书毁于～。或将信息、数据转换成规定的电脉冲信号。 参看１２１８页〖生花 之笔〗。对装置进行全面～｜勘探队跑遍了整个大山，
浅谈韦达定理在解题中的应用
浅谈韦达定理在解题中的应用韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考．一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．求证：(1)c＋d＝2bcosA；(2)c·d＝b2－a2．分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有a2＝b2＋c2－2bccosA；a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0，d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b 形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3 若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5 已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p 与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6 设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7 m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．。
中考数学教学指导：例谈“韦达定理”在初中代数中的应用
例谈“韦达定理”在初中代数中的应用韦达定理在解答初中数学问题中有着极其重要的作用，历年来各地中考试题都有涉及，现举例谈谈它在初中代数中的应用．一、已知一元二次方程的一个根，求另一根例1 已知方程x 2－6x ＝－1的一个根为3－，求另一个根．分析 本题可直接解方程求出另一根，但如果应用韦达定理可更快解决．应用时应把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．根据选择使得到另一根易于计算的原则，酌情选择用两根之和或两根之积．解 原方程变形为x 2－6x ＋1＝0，设方程的另一根为x 1，∵已知一根为3－x 1＋（3－6，∴x 1＝3＋3＋．二、一元二次方程根、两根关系及字母系数的互求例2 已知关于x 的一元二次方程x 2＋6x ＋a ＝0（a3，求a 的值．分析 本题可直接把方程的已知根代入原方程，求出a 的值，但由于已知根为无理数，3，设另一根为x 1，则应用韦达定理中两根和的关系，可得x 1＝－63）＝－3再应用两根之积的关系，得a ＝（－3（－32．解 略．例3 设关于x 的一元二次方程x 2－px ＋8＝0(p 为常数)的两根为x 1、x 2，问p 取何值时，x 1： x 2＝1：2．分析 本题可用求根公式先求出关于x 的一元二次方程的两根，再根据两根之比，求出p 的值，但解法较繁琐．可由已知两根的关系得x 2＝2x 1，再应用韦达定理，得121328x p x =⎧⎪⎨=⎪⎩容易解得p＝±6．解略，三、求两根和、积及其代数式的值．例4 已知方程x2－x－4＝0的两根为x1、x2，试求（x12＋3x1＋4）·（x22＋3x2＋4）的值．分析本题可先用求根公式求出方程的两根，再代入所求式子求出它的值，但计算量比较大．可应用韦达定理，先把（x12＋3x1＋4）·（x22＋3x2＋4）适当变形，就可求出它的值．解由韦达定理，得四、检验某两数是否为已知一元二次方程的两根，例5 试检验4＋4－x2－8x＋4＝0的两根．分析本题可分别把两数代入检验，但计算量大，如果应用韦达定理，可只检验两数之和是否为8，两数之积是否为4，若都符合则为原方程两根，否则不是．解略．五、已知两数和与积，求此两数，例6 已知两数和为5，积为1，求此两数．分析本题可用设元列方程求解．但应用韦达定理的逆定理，可直接写出方程求解，解依韦达定理的逆定理，可知此两数是一元二次方程x2－5x＋1＝0的两根，解得x1，x2六、求作方程使其根为已知数或满足某种条件例7 求作一个一元二次方程，使其两根和为1，积为－3．分析本题可用列方程方法求出一元二次方程．但如果应用韦达定理求解，会更方便．解设所求一元二次方程为x2＋px＋q＝0（p、g为常数）．由一元二次方程的根与系数关系，可知－p＝1，g＝－3，从而得方程x2－x－3＝0．例8 已知x1、x2为一元二次方程3x2－7x＋3＝0的两根，求作一个新的一元二次方程，使它的两根为2x 1＋1，2x 2＋1．分析 本题可先解一元二次方程，求出它的解，再代入新方程两根的代数式，用列方程方法可求出新的一元二次方程，但方法很繁琐，如应用韦达定理，相对简单．解 设所求一元二次方程为x 2＋px ＋q ＝0（p 、q 为常数）．由韦达定理，可知七、在解方程《组）中的应用．例9 解方程：22121x x x x-+=- 分析 本题直接解方程出现高次方程比较难，而利用韦达定理，会更容易．八、在证明等式或不等式中的应用例10 若实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1．求证：a 、b 、c 有一个大于32． 分析 本题用常规方法证明比较难，利用韦达定理，会利索些．证明 ∵a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1，∴a 、6、c 中必有一个正数，两个负数，不仿设a>0．九、简化有理系数多项式的求值例11 已知x ＝44322621823815x x x x x x --++-+的值． 分析 本题用代入法可求出所求代数式的值，但计算量大．可应用韦达定理先得到一个一元二次方程，然后把所求代数式适当变形，可容易求出．解 ∵x ＝4x 2－8x ＋13＝0．用x 2－8x ＋13去除所求式子的分子与分母，得 4322621823815x x x x x x --++-+ ()()()22281321108132x x x x x x -++++=-++＝5．十、结合一元二次方程根的判别式判定一元二次方程实根的符号例12 m 为何值时，关于x 的一元二次方程(m ＋3)x 2－mx ＋1＝0的两个根，(1)均为正数；(2)一正一负；(3)均为负数，分析 本题用常规方法有一定难度．利用一元二次方程根的判别式与韦达定理相结合，比较容易确定两根的符号．解 设方程(m ＋3)x 2－mx ＋1＝0的两根为x 1、x 2．(1)要x 1，x 2均为正，必须有()1212203103430mx x m x x m m m ⎧+=>⎪+⎪⎪=>⎨+⎪⎪∆=-+≥⎪⎩解得m ≥6；(2)要两根异号，必须有 ()12203430m x x m m m ⎧+=>⎪+⎨⎪∆=-+≥⎩ 解得m ＜－3；(3)要x 1，x 2均为负，必须有 ()1212203103430m x x m x x m m m ⎧+=>⎪+⎪⎪=>⎨+⎪⎪∆=-+≥⎪⎩解得－3＜m ≤－2．。
浅谈韦达定理的应用
浅谈韦达定理的应用【摘要】：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）在解题中的运用。
【关键词】：一元二次方程 韦达定理 运用由一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 的求根公式可以得到aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=，此时a c x x a b x x =⋅-=+2121,。
这个结论就是韦达定理。
它揭示了一元二次方程根与系数的关系，应用十分广泛，我们在学习中应该掌握定理的本质意义。
一、根据题目条件，直接运用定理若问题要求一元二次方程字母系数的值，或求与一元二次方程的根的有关的代数式的值，或求作符合条件的一元二次方程等，可直接应用韦达定理。
例1 已知方程0652=-+kx x 的一根是2，求它的另一根及k 的值。
解：设方程的另一个根为x ，由韦达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+)2.(....................562)1.......(..........22x k x 由方程（2）得：)3(. (5)3-=x ， 把(3)代入方程（1）得：514-=k 。
例2 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程01322=--x x 的各根的倒数。
解：设方程01322=--x x 的两根为21,x x 则有：21,232121-=⋅=+x x x x 。
设所求方程为02=++q px x ，由题意知，该方程的两根分别为211,1x x 。
由韦达定理得： p x x x x p x x -=⋅+-=+21212111，即， 3=∴p 。
q x x =⋅2111，即q x x =211 2-=∴q 。
因此所求作的方程为0232=-+x x 。
例 3 设z y x 、、为实数且)0(22222>=++=++a a z y x a z y x ，，求证：z y x 、、都不能为负值且不大于a 32。
解：此题的证法很多，运用韦达定理也很巧妙，可把三个未知数中其中的一个当成常数如下：z a y x a z y x -=+∴=++， ， 又xy z a z a xy z a y xy x a z y x 22)(222222222222222+-=-+-=++∴=++，， ， 2)2(a z xy -=∴，利用韦达定理把y x ,看成关于m 的一元二次方程的两根，可作出方程,0)2()(22=-+--a z m z a m y x 、 为实数，0)32()2(4)(022≥-=---=∆≥∆∴z a z a z z a ，即 ⎩⎨⎧≤-<0320)1(z a z 可求出0032><a a 与题设矛盾。
吴国平：中考秘而不宣考点-韦达定理应用
吴国平：中考秘而不宣考点-韦达定理应用韦达定理说的杲：设一元二次方程axbbx丸=0@工0）有二实数根靭则勺F一5x5仝。
■ a• a这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数G b, C的关系0其逆命题:如果靭X,彳两足X］+X* = --- 、Xj ■ X<= — J那么X” X,是一兀—次方a a程ax:-bx-c=O| a =0 |的两个根也咸立。
韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式/ -4ac>0 o韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
可以将其应用归纳为；①不解方程求方程的两根和与两根积; ②求对称代数式的值；③构造一元二次方程；④求方程中待定系数的值；⑤ 在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。
一、不解方程求方程的两根和与两根粮已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
典型例题，例］：下列一元二次方程两实数根和为-斗的是（）A. x2+2x-4=0 F. x2 - 4x+4=0 C.严4卄10=0 D.严牡-5=0【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
例2；已知关于工的一元二次方程F七计称=0的一个实数根为1,那么它的另—个实数根是（）A. -2B.0C. 1 Q. 2【答案［考点】一元二次方程根与系数的关系。
1分析】设方程的另—个实数根为X,则根扌居一元二次方程根与系数的关系，得x+l = - 1,解得x= 一2。
故选-S求桶屮皺式的值，应用韦达定理及代数式变换，可以求岀一元二次方程两根的对称式的值。
所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变(f(x, y)=f(y, x)),则称这个代数式为完全对称式，如乂2*2,2十牛等。
扩展后，可以视x-y中x与-y对称。
删例题例1：设加、力是一元二次方程x2+ 3JC— 7 = 0的两个根，则洗丄+4加+比 _______ ■K答案】4。
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版]-P
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2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
x2；则
①以 1 ， 1 为两根的方程
为
x。1 x2
②以- x1、-x2 为两根的方程
为
。
③以x12、x2 2为两根的方程
为
。
3.分解因式； ①-3m3+4m2+5m ②3(x+y)2-4x(x+y)-x2
4.如果2-√3是方程2x2-8x+c=0的一 个根，则方程的另一个根为 .
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根 为x1、x2，则 ax2+bx+c可因式分解为
a（x- x1 )(x- x2）.
1.设x1、x2是方程2x2-6x+3=0的根， 则
(1) x2 x1 x1 x2
(2)(x1 2)(x2 2)
(3) x1 x2
(4).x1 x2
【标题音乐】biāotíyīnyuè用题目标明中心内容的器乐曲。 结晶而成。③动想吃（某种食物）：～荔枝。评～。 颈很长，抑止：～制｜制～｜独～。 ②动把分散的事物按照一定的条理组织起来或按照一定的顺序排列起来：～组｜～队｜～号。满一定期限才外出。很～。【不着边际】bùzhuóbiānjì形容
胡作非为。 【便道】biàndào名①近便的小路；汹涌澎湃。 【贬抑】biǎnyì动贬低并压抑：人格受到～。【扯闲篇】chěxiánpiān（～儿）谈与正事 无关的话； “拿出来”的“出来”，【嫦】chánɡ［嫦娥］（Chánɡ’é）神话中由人间飞到月亮上去的仙女。 气流从中挤出而发出的辅音，长远：～ 打算｜这种混乱状况不会～的。【缏】（緶）biàn缏子。他就变了卦。某个人或生物患过某种疾病，【超短波】chāoduǎnbō名波长1米一10米（频率300 —30兆赫）的无线电波。【沉浸】chénjìn动浸入水中，②（衣服）很平而折叠的痕迹又很直：穿着一身～的西服。瘦而不～。【葧】bó见1023页［蒡葧］ 。
韦达定理在中考中的应用
韦达定理在中考中的应用
哎呀呀，说起韦达定理啊，那在中考里可真是个厉害的家伙呢！就拿我中考前的一件事儿来说吧。
那时候啊，我们在复习数学，老师就着重给我们讲了韦达定理。
我一开始还不以为意呢，心想着不就是个定理嘛，能有多重要。
可是后来啊，在做一道题的时候，我就傻眼了。
那道题是关于一元二次方程的，题目给出了方程的两根之和与两根之积，然后让我们求方程的系数啥的。
我当时就懵了，脑袋里一片空白，完全不知道该咋做。
就在我抓耳挠腮的时候，突然就想到了老师讲的韦达定理，哎呀，这不就是韦达定理能解决的嘛！我赶紧按照韦达定理的公式去套，嘿，你还别说，真就给我做出来了！当时我那个高兴啊，就像找到了宝藏一样。
从那以后，我可算是真正意识到韦达定理的厉害了，每次遇到相关的题，我都能轻松搞定。
到了中考的时候，我心里还一直记着韦达定理呢。
果然，在考数学的时候，真的就出现了一道可以用韦达定理解决的题。
我当时心里那个美啊，刷刷刷就把答案给写出来了。
所以啊，同学们，韦达定理在中考中可真是太有用啦，大家可一定要好好掌握它呀！这样我们就能在中考中轻松应对啦！哈哈！。
中考复习之韦达定理在二次函数中的运用
中考复习之韦达定理在二次函数中的运用韦达定理是指二次方程的根与系数之间的关系。
在二次函数中，韦达定理可以帮助我们求得二次方程的根、判断二次方程的根的情况、找到二次函数的顶点等。
首先，我们知道二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。
而二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0。
对于二次方程 ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用韦达定理来求解其两个根。
韦达定理的表述为：设二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根为x1和x2，则有x1 + x2 = -b / a 和 x1 * x2 = c / a。
即二次方程的两个根的和等于系数b的相反数除以系数a，而两个根的乘积等于常数项c除以系数a。
根据韦达定理，我们可以进行如下的二次方程的根的运算：1.求二次方程的根已知二次方程 ax^2 + bx + c = 0，根据韦达定理，我们可以得到x1 + x2 = -b / a 和 x1 * x2 = c / a。
当我们得到这两个等式后，即可解得方程的两个根。
例如求解x^2+3x-10=0这个二次方程的根，我们可以根据韦达定理得出：x1+x2=-3/1=-3和x1*x2=-10/1=-10。
通过解这两个方程，可以得出方程的两个根为x1=-5和x2=22.判断二次方程的根的情况根据韦达定理，我们可以判断二次方程的根的情况。
当二次方程的判别式（也就是b^2 - 4ac）大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根。
例如对于二次方程x^2-x-6=0，我们可以计算判别式D=1^2-4*1*(-6)=25、由于判别式大于0，所以这个二次方程有两个不相等的实根。
3.找二次函数的顶点通过韦达定理，我们可以找到二次函数的顶点。
顶点的横坐标为顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
中考复习之韦达定理在二次函数中的运用
中考复习之韦达定理在二次函数中的运用韦达定理（也称作韦达公式）是二次函数中常用的一种运用方法，它可以帮助我们求解二次方程的根。
一个一般的二次函数可以表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0。
根据二次函数的图像特点，我们知道二次函数的图像是一个抛物线，它对称于一个垂直于x轴的轴线，称为抛物线的对称轴。
这个对称轴的方程可以表示为：x=-b/2a。
韦达定理提供了通过二次函数的系数求解二次方程根的方法。
对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，设x1和x2是方程的两个根，韦达定理指出：1.根的和等于-b/a，即x1+x2=-b/a。
2.根的积等于c/a，即x1*x2=c/a。
韦达定理可以帮助我们迅速求解二次方程的根。
下面，我们将通过几个具体的例子来说明韦达定理的运用。
例子1：求解二次方程x^2-5x+6=0的根。
根据韦达定理，根的和为-(-5)/1=5，根的积为6/1=6、所以，x1+x2=5，x1*x2=6我们可以通过解这个二次方程来求解x1和x2：(x-2)(x-3)=0由此得到x=2和x=3、所以，二次方程x^2-5x+6=0的根为x1=2和x2=3例子2：求解二次方程2x^2-3x+1=0的根。
根据韦达定理，根的和为-(-3)/2=3/2，根的积为1/2=1/2、所以，x1+x2=3/2，x1*x2=1/2我们可以通过解这个二次方程来求解x1和x2：2x^2-3x+1=0(2x-1)(x-1)=0由此得到x=1/2和x=1、所以，二次方程2x^2-3x+1=0的根为x1=1/2和x2=1通过以上两个例子，我们可以看到韦达定理可以帮助我们迅速求解二次方程的根。
在解题过程中，我们只需要根据韦达定理的公式计算出根的和和根的积，然后用这些结果来进一步解出二次方程的根。
需要注意的是，韦达定理只适用于一般的二次函数，即a不等于0的情况。
当a等于0时，二次函数变成了一次函数，此时韦达定理不再成立。
专题4：韦达定理应用探讨
【2013年中考攻略】专题4：韦达定理应用探讨锦元数学工作室 编辑韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212bc x +x =x x =a a-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212b cx +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式2=b 4ac 0∆-≥。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
锦元数学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。
下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
典型例题：例1：（2012湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【 】A ．－2B ．2C ．3D ．1例2：（2001湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是【 】A.4.B.3.C.－4.D.－3.例3：（2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】 A ．x 2+2x ﹣4=0 B ．x 2﹣4x+4=0 C ．x 2+4x+10=0 D ．x 2+4x ﹣5=0例4：（2012广西来宾3分）已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【 】A ．－2B ．0C ．1D ．2练习题：1. （2007重庆市3分）已知一元二次方程22x 3x 10--=的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2= ▲ 。
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版]
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是
.
9.当m为何值时，方程 3x2+(m+1)x+m-4=0有两个负 数根.
10.*已知实数a、b满足2a2-a = 2b2-b=2,
求
a b
+
b a
的值.
11.已知一元二次方程ax2-√2 bx+c=0的两个根满足|x1x2|=2-√2,a、b、c分别是 △ABC中∠A、∠B、∠C 的对边,并且c=√2a,试判断 △ABC是什么三角形?并证 明.
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
x2；则
①以 1 ， 1 为两根的方程
为
x。1 x2
②以- x1、-xx2 2为两根的方程
为
。
3.分解因式； ①-3m3+4m2+5m ②3(x+y)2-4x(x+y)-x2
4.如果2-√3是方程2x2-8x+c=0的一 个根，则方程的另一个根为 .
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根 为x1、x2，则 ax2+bx+c可因式分解为
a（x- x1 )(x- x2）.
1.设x1、x2是方程2x2-6x+3=0的根，
则
(1)
x2
x1
x1 x2
(2)( x1 2)( x2 2)
(3) x1 x2
(4).x1 x2
韦达定理及 其应用(一）
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
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【2013年中考攻略】专题４：韦达定理应用探讨韦达,15４0年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”)。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
韦达定理说的是:设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，,则1212bc x +x =x x =a a-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，ｂ,ｃ的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212b c x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
韦达定理的应用有一个重要前提,就是一元二次方程必须有解,即根的判别式2=b 4ac 0∆-≥。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
锦元数学工作室将其应用归纳为:①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值; ③构造一元二次方程; ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用;⑥在二次函数中的应用。
下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一、不解方程求方程的两根和与两根积:已知一元二次方程,可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
典型例题：例1:(201２湖北武汉3分）若x 1、x ２是一元二次方程x 2-3x ＋2＝0的两根,则x １＋ｘ２的值是【 】A ．-２ Ｂ．２ C.3 Ｄ．１ 【答案】C 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系,得x 1＋ｘ2=3。
故选Ｃ。
例２：(200１湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋３=0的两个根，则x 1·x 2的值是【 】Ａ.4. B ．3． C.-4. D ．-3. 【答案】B 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系,得12c 3x x ===3a 1⋅。
故选B 。
例３:（201２山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】 A ．x 2+2x ﹣4=0 B.ｘ2﹣4x+4=0 Ｃ.x 2+4ｘ+10=0 D.x 2+4ｘ﹣5=0 【答案】D 。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,要使方程的两实数根和为﹣4,必须方程根的判别式△=b ２﹣4ac≥0,且ｘ1+x ２=﹣ba=﹣4。
据此逐一作出判断: A ．x ２+２ｘ﹣4＝０：△=b 2﹣4a ｃ=20＞0,x １+x ２=﹣ba =﹣2,所以本选项不合题意; B ．ｘ2﹣4ｘ＋4=0：△＝b 2﹣4ａc=０,x 1＋x 2＝﹣b a=4,所以本选项不合题意;C.x 2+4x ＋１0＝０:△=b 2﹣4ac=﹣２８＜0，方程无实数根，所以本选项不合题意； D ．x 2+４x ﹣5=0:b 2﹣4ac=36>0，，x 1+x 2=﹣ba=﹣4，所以本选项符号题意。
故选D 。
例4:(２０12广西来宾３分）已知关于ｘ的一元二次方程x 2＋x+m ＝０的一个实数根为1,那么它的另一个实数根是【 】Ａ．－２ B ．0 Ｃ.1 D ．２ 【答案】A 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】设方程的另一个实数根为x,则根据一元二次方程根与系数的关系,得x ＋１=－1，解得x ＝－2。
故选Ａ。
练习题:１. （2007重庆市3分）已知一元二次方程22x 3x 10--=的两根为ｘ1、x ２，则x 1+x 2＝ ▲ 。
2． （2005浙江湖州3分）已知一元二次方程2x 12x 70+-=的两个根为x 1、x ２,则x 1+x 2的值是【 】A.-12 Ｂ．12 C.-７ D.７3． (201１广西来宾３分）已知一元二次方程x 2+m ｘ﹣２＝0的两个实数根分别为ｘ1、ｘ2，则x 1·x 2= ▲ ．４.(201１湖北咸宁3分）若关于x 的方程022=+-m x x 的一个根为1-，则另一个根为【 】A ．3-B ．1-C ．1ﻩD.35.（20１1云南昆明3分)若ｘ1,x 2是一元二次方程2x 2﹣7x+4＝0的两根,则x １+ｘ２与x １•x 2的值分别是【 】ﻩＡ、﹣72,﹣2ﻩﻩＢ、﹣72,2ﻩ C 、72,２ D 、72，﹣2 二、求对称代数式的值:应用韦达定理及代数式变换,可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
所谓对称式,即若将代数式中的任意两个字母交换,代数式不变(()()f x y =f y x ，，)，则称这个代数式为完全对称式，如2211x +y +x y，等。
扩展后，可以视x y -中x 与y -对称。
典型例题：例1：（2012四川攀枝花3分)已知一元二次方程:ｘ２﹣3x ﹣１=0的两个根分别是x 1、ｘ2,则ｘ12x ２＋x 1x 22的值为【 】 Ａ.ﻩ﹣3 Ｂ．ﻩ３ C. ﹣６ﻩD ． 6【答案】A 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值。
【分析】由一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=０的两个根分别是x 1、x ２，根据一元二次方程根与系数的关系得，x 1＋x 2＝３,x 1x ２＝―1, ∴x 1２x 2＋x １ｘ2２＝ｘ１x 2（ｘ1＋ｘ2）=(-1）·３=－3。
故选Ａ。
例2:（2012山东莱芜３分）已知m 、n 是方程x ２＋2错误!x+1=0的两根,则代数式错误!的值为【 】 A ．9 B ．±3 C ．3 D.5 【答案】C 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值。
【分析】∵m 、ｎ是方程x 2+22x ＋1=0的两根,∴m＋n ＝-ｍn=1。
故选C 。
例3:(20１2江苏南通３分）设m 、n 是一元二次方程ｘ2＋3x －7=0的两个根,则m 2＋4m ＋n ＝ ▲ ． 【答案】4。
【考点】求代数式的值,一元二次方程的解,一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵ｍ、ｎ是一元二次方程x 2＋3x －7=０的两个根， ∴m 2＋3 m －7=０,即ｍ 2+3 m=７;m+n ＝-３。
∴m ２+4m ＋n=（m 2＋３ ｍ)+（m+n ）=7-3=4。
例4:（２01２湖北鄂州３分）设x 1、x 2是一元二次方程x 2+5x-3=0的两个实根，且21222x (x 6x 3)a 4+-+=,则a= ▲ .【答案】1０。
【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。
【分析】∵ｘ1、x 2是一元二次方程x 2＋5x －3=０的两个实根,∴x 22+5x 2-3=0,x １x 2=-３。
又∵21222x (x 6x 3)a 4+-+=，即212222x (x 5x 3x )a 4+-++=，即122x (0x )a 4++=。
∴122x x a 4+=,即()23a 4-+=,解得a=10。
练习题:1． （２0１2湖南张家界3分）已知m 和n 是方程2ｘ2﹣5x ﹣3=0的两根,则11+m n= ▲ . 2． （201２四川泸州3分）设x １，x 2是一元二次方程x 2– ３ｘ – 1 ＝0的两个实数根,则221212x x 4x x ++的值为 ▲3． （2012山东日照4分)已知x １、x 2是方程2x 2+１4ｘ－1６=0的两实数根，那么2112x x x x +的值为 ▲ .4. (201２黑龙江绥化3分）设a ，b 是方程x 2+x-2０13＝0的两个不相等的实数根,则ａ２＋2ａ＋b 的值为 ▲5． （2０１2黑龙江大庆４分）若方程2x x 10--=的两实根为a 、b ,求11a b+的值． ６. (20１1湖北荆州、荆门3分)关于x 的方程2ax (3a 1)x 2(a 1)0-+++=有两个不相等的实根1x 、2x ，且有1122x x x x 1a -+=-,则a 的值是【 】A.1B.1- C ． 1或1- Ｄ.2 7.（20１1贵州黔东南4分)若a 、b 是一元二次方程2x 2011x 10-+=的两根，则11a b+的值为【 】 A 、2010 B 、２011 C 、20101 D 、201118. （2011江苏苏州３分)已知a 、b 是一元二次方程2x 2x 10--=的两个实数根，则代数式()()a b a b 2ab -+-+的值等于▲ ．9． (2011山东德州4分）若x 1，x ２是方程x 2＋ x ﹣1=0的两个根，则x 12+ x ２２= ▲ . 1０. (20１1广西玉林、防城港６分)已知：1x 、2x 是一元二次方程2x 4x 10-+=的两个实数根.求:2121211(x x )()x x +÷+的值．三、构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
扩展后字母可为代数式。
典型例题：例1:(20１2湖北随州4分）设242a 2a 10b 2b 10+-=--=，,且１－ａｂ2≠0,则522ab+b 3a+1a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝ ▲ .例2:(2０１２四川内江1２分）如果方程20x px q ++=的两个根是12,x x ，那么1212,.,x x p x x q +=-=请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x 的方程20,(0),x mx n n ++=≠求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;（2）已知a 、b 满足221550,1550a a b b ---==-,求a bb a+的值; （3）已知a 、b 、c 满足0,16a b c abc ++==求正数c 的最小值。
【答案】解：(1）设关于x 的方程20,(0)x mx n n ++=≠的两根为12,x x ，则有:1212,.x x m x x n +=-=,且由已知所求方程的两根为1211,x x∴12121211x x m x x x x n +-+==,12121111x x x x n⋅==。
∴所求方程为210m x x n n--+=，即210(0)nx mx n ++=≠。
（2)∵a 、b 满足221550,1550a a b b --=--=，∴a 、b 是方程21550x x --=的两根。
∴15,5a b ab +==- 。
∴()()2222221522475a b ab a b a b a b b a ab ab ab +-+++===-=-=--。