数学建模供应链网络物流配送与车辆路径问题
数学建模_送货线路设计问题
数学建模_送货线路设计问题送货路线设计问题1、问题重述现今社会⽹络越来越普及,⽹购已成为⼀种常见的消费⽅式,随之物流⾏业也渐渐兴盛,每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达,⽽且她们往往⼀⼈送多个地⽅,请设计⽅案使其耗时最少。
现有⼀快递公司,库房在图1中的O点,⼀送货员需将货物送⾄城市内多处,请设计送货⽅案,使所⽤时间最少。
该地形图的⽰意图见图1,各点连通信息见表3,假定送货员只能沿这些连通线路⾏⾛,⽽不能⾛其它任何路线。
各件货物的相关信息见表1,50个位置点的坐标见表2。
假定送货员最⼤载重50公⽄,所带货物最⼤体积1⽴⽅⽶。
送货员的平均速度为24公⾥/⼩时。
假定每件货物交接花费3分钟,为简化起见,同⼀地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算。
现在送货员要将100件货物送到50个地点。
请完成以下问题。
1、若将1~30号货物送到指定地点并返回。
设计最快完成路线与⽅式。
给出结果。
要求标出送货线路。
2、假定该送货员从早上8点上班开始送货,要将1~30号货物的送达时间不能超过指定时间,请设计最快完成路线与⽅式。
要求标出送货线路。
3、若不需要考虑所有货物送达时间限制(包括前30件货物),现在要将100件货物全部送到指定地点并返回。
设计最快完成路线与⽅式。
要求标出送货线路,给出送完所有快件的时间。
由于受重量与体积限制,送货员可中途返回取货。
可不考虑中午休息时间。
2、问题分析送货路线问题可以理解为:已知起点与终点的图的遍历问题的合理优化的路线设计。
图的遍历问题的指标:路程与到达的时间,货物的质量与体积,以及最⼤可以负载的质量与体积。
在路线的安排问题中,考虑所⾛的路程的最短即为最合理的优化指标。
对于问题⼆要考虑到所到的点的时间的要求就是否满⾜题意即采⽤多次分区域的假设模型从⽽找出最优的解对于问题三则要考虑到体积与质量的双重影响,每次到达后找到达到最⼤的体积与质量的点然后返回,再依次分析各个步骤中可能存在的不合理因素达到模型的进⼀步合理优化得到最合理的解。
数学建模在物流配送中的应用
数学建模在物流配送中的应用物流配送是现代社会中不可或缺的一个环节，它关系到商品的运输速度和效率。
而数学建模则是通过数学方法、模型和计算机算法来解决实际问题的一种有效手段。
在物流配送中，数学建模的应用可以帮助优化运输路线、提高运输效率、降低运输成本。
本文将探讨数学建模在物流配送中的应用。
1. 运输路线优化在物流配送中，选择合适的运输路线对提高运输效率至关重要。
数学建模可以通过地理信息系统（GIS）来获取道路数据、交通流量等信息，并建立运输网络模型。
通过分析道路状况、车辆载重量、运输时间等因素，可以利用优化算法来找到最短路径或最优路径，从而减少货物运输时间和运输成本。
2. 车辆调度优化在物流配送中，合理的车辆调度可以减少车辆的闲置时间，提高配送效率。
数学建模可以通过建立车辆调度模型来确定最佳的调度策略。
模型可以考虑到每辆车的载重量、运输里程、配送时间窗口等因素，并利用优化算法确定最合理的车辆分配和调度顺序，从而实现最佳的车辆利用率和运输效率。
3. 库存管理在物流配送中，合理的库存管理可以降低库存成本和避免缺货情况的发生。
数学建模可以通过建立库存管理模型来确定最佳的库存水平和补货策略。
模型可以考虑到需求量、供应量、补货周期等因素，并利用优化算法来优化库存控制策略，实现最佳的库存管理。
4. 送货路径优化在物流配送中，合理的送货路径可以减少里程和配送时间，提高配送效率。
数学建模可以通过建立送货路径优化模型来确定最佳的送货路径。
模型可以考虑到配送点之间的距离、配送时间窗口、物流流量等因素，并利用优化算法来寻找最短路径或最优路径，从而减少里程和配送时间，提高配送效率。
5. 需求预测与分配在物流配送中，准确的需求预测可以避免过量或不足的供应情况发生。
数学建模可以通过建立需求预测模型来预测商品的需求量，并根据需求量进行合理的商品分配。
模型可以考虑到历史销售数据、市场需求和季节性因素等因素，并利用预测算法来预测需求量，实现准确的需求预测和商品分配。
物流配送路线的数学建模
1 课题背景数学模型是一种抽象模拟现实世界的过程，它能通过模拟演算解释现实世界的某些客观现象、发展规律，进而对现实世界的某个事件或发展提供某种好的策略。
数学建模是当代大学生在未来工作和生活中探索各种各样问题并寻求解决方案的一个非常有帮助的工具。
本文将选取现实生活中物流配送路线选择作为场景实例进行数学建模并求解最佳方案。
2 问题描述图1 配送网络图配送网络图（图1）中P 为配送中心，其余A-I 为客户的接货点，各边上的数字为公里数，括号内的数字为需输送到各接货点的货物量，单位为吨。
有装载重量为2吨和5吨的两种货车，车辆一次运行路线距离不超过35公里，每个派送点只由一辆车服务一次，车辆由配送中心出发，完成任务后返回配送中心，快递车辆配送过程中无装货，只考虑卸货。
每个点卸货时间固定为5分钟，车辆每小时行驶距离为10千米，每个派送人员工作时间为8小时。
本文拟采用数学模型确定最优配送方案评估标准，并将图中所有点配送完毕。
选择最优运输路径，使成本最小化，配送订单最大化，满载率最大化的方式制定配送运输方案。
3 问题分析设车辆行驶速度为V(km/h)；卸货时长为T x (h)；货车载重为W(t)；单个派送员单日工作时长为T y (h)。
将单次多个点配送时长定义为单次时长t （h）；单次配送多个点行驶距离定义为单次行驶距离s （km）。
假定要进行n 次配送，t i 、s i 分别为第i 次配送的单次配送时长和单次配送行驶距离，则总时长T （h）的计算公式：00() ()nniiii i S T t s S v====<=∑∑将单次配送任务的总货物量定义为单次货物量w （t），单次货物量与车辆载重之比定义为单次满载率k，所有单次满载率加和除以配送次数得到平均满载率K。
假定要进行n 次配送，w i 、k i 为第i 次配送的单次货物量和单次满载率，则K 的计算公式：00() ()nn ii ii iw k W Kw W n n====<=∑∑将单次配送任务的配送点数量定义为单次订单量lshow how mathematical models abstract data from real life problems,And the effective application of mathematical calculation method to solve the problem.Keywords: mathematical modeling; Graph theory algorithm; Optimal route4.1 设定总体评估指标K、L、O、T、U 中每个评估指标都不能单独的确立某个方案为最优解，故设定一个总指标sum 作为对所有评估指标的综合考量用于的评估。
数学建模在物流配送优化中的应用有哪些
数学建模在物流配送优化中的应用有哪些在当今快节奏的商业环境中，物流配送的效率和成本直接影响着企业的竞争力和盈利能力。
数学建模作为一种强大的工具，为物流配送的优化提供了科学、精确的方法和策略。
接下来，让我们深入探讨数学建模在物流配送优化中的多种应用。
首先，数学建模在路径规划方面发挥着关键作用。
物流配送中，如何选择最优的配送路线是一个核心问题。
通过建立数学模型，可以综合考虑距离、交通状况、车辆载重限制、客户需求时间等因素，来规划出最短、最经济、最符合时间要求的配送路径。
例如，运用图论中的最短路径算法，如迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm），可以找到从配送中心到各个客户点的最短路径。
同时，结合实际的交通流量数据和路况信息，使用启发式算法，如模拟退火算法（Simulated Annealing Algorithm）或遗传算法（Genetic Algorithm），能够更有效地应对复杂的现实情况，生成更贴近实际的优化路径。
其次，车辆调度是物流配送中的另一个重要环节，数学建模在这方面也大有用武之地。
在确定了配送路径后，还需要合理安排车辆的出发时间、装载量以及使用数量。
建立整数规划模型可以解决这一问题，以最小化运营成本为目标，同时满足客户的需求和车辆的约束条件。
通过求解这个模型，可以确定每辆车负责的配送区域和配送顺序，实现车辆的高效利用，减少闲置和空驶，从而降低运输成本。
库存管理也是物流配送中不可忽视的一部分，数学建模能够帮助优化库存水平。
通过建立库存模型，如经济订货量（Economic Order Quantity，EOQ）模型，可以确定最佳的订货数量和订货时间。
考虑到需求的不确定性和季节性变化，还可以采用随机库存模型，如报童模型（Newsvendor Model），来平衡库存持有成本和缺货成本。
此外，结合供应链中的上下游企业信息，建立供应链库存模型，如供应商管理库存（Vendor Managed Inventory，VMI）模型，可以实现整个供应链的库存协同优化，提高整体的响应速度和服务水平。
数学模型优化在物流配送路径规划中的应用
数学模型优化在物流配送路径规划中的应用随着互联网的快速发展和电子商务的兴起，物流配送成为了现代社会中不可或缺的一环。
如何高效地规划配送路径，减少物流成本，提高配送效率，成为了物流企业亟待解决的问题。
在这个问题上，数学模型优化发挥了重要的作用。
一、物流配送路径规划的挑战物流配送路径规划是一个复杂的问题，涉及到多个因素的综合考虑。
首先，配送路径应该尽量短，以减少行驶里程和时间，从而降低物流成本。
其次，配送路径还需要考虑实际情况，如交通拥堵、道路状况等，以避免不必要的延误和损失。
此外，还需要考虑货物的特性，如重量、体积等，以确保车辆的安全和稳定。
因此，物流配送路径规划是一个复杂而困难的问题。
二、数学模型优化的基本思路数学模型优化是一种通过建立数学模型，利用数学方法求解最优解的方法。
在物流配送路径规划中，数学模型优化的基本思路是将问题抽象成一个数学模型，然后利用数学方法求解最优解。
具体来说，可以将配送路径规划问题转化为一个优化问题，即在满足各种约束条件下，寻找使得目标函数最小（或最大）的解。
三、1. 路径优化路径优化是物流配送路径规划中的一个关键问题。
通过建立数学模型，可以将路径优化问题转化为一个最短路径问题。
常用的数学方法包括图论、动态规划等。
通过这些方法，可以快速求解最短路径，从而实现路径的优化。
2. 车辆调度车辆调度是物流配送路径规划中的另一个重要问题。
通过建立数学模型，可以将车辆调度问题转化为一个优化问题。
常用的数学方法包括整数规划、线性规划等。
通过这些方法，可以有效地分配车辆资源，提高车辆利用率，从而降低物流成本。
3. 货物装载货物装载是物流配送路径规划中的一个关键环节。
通过建立数学模型，可以将货物装载问题转化为一个装载优化问题。
常用的数学方法包括二维装箱问题、多背包问题等。
通过这些方法，可以合理地安排货物的装载顺序和位置，从而提高装载效率，减少运输次数。
四、数学模型优化在物流配送路径规划中的优势数学模型优化在物流配送路径规划中具有以下优势：1. 高效性：数学模型优化可以通过数学方法求解最优解，从而提高配送路径的效率。
物流配送中的物流路径规划与车辆调度问题的建模与算法研究
物流配送中的物流路径规划与车辆调度问题的建模与算法研究物流配送是指将货物从生产地点运送到消费地点的过程。
在大规模物流配送中，如何合理地规划物流路径和调度车辆成为关键问题。
这个问题的解决对于提高物流效率、降低物流成本具有重要意义。
因此，建立合理的物流路径规划模型和车辆调度算法是当前物流行业中亟待解决的问题。
一、物流路径规划的建模研究物流路径规划的目标是确定物流配送过程中的最佳路径，使得货物能够更快速地到达目的地，并且最大程度地降低物流成本。
为了实现这一目标，需要将物流路径规划建模成为一个数学模型。
1.1 路径规划模型的要素路径规划模型的建立需要考虑以下要素：起始点、目的地、路径可行性、时间窗口、货物量、交通状况等。
起始点和目的地决定了路径的起点和终点，路径可行性考虑了路径的行驶限制，时间窗口是指货物需要在一定时间内到达目的地，货物量表示了要配送的货物数量，交通状况则是指路况的变化情况。
1.2 路径规划的算法针对物流路径规划问题，现有的算法主要有最短路径算法、遗传算法、模拟退火算法等。
最短路径算法主要通过计算节点之间的距离来确定最优路径，遗传算法则通过模仿生物进化的过程来寻找最优解，模拟退火算法则通过模拟金属退火的过程来搜索最优解。
这些算法在解决物流路径规划问题中都有一定的应用。
二、车辆调度问题的建模与算法研究车辆调度问题是指在物流配送中，如何合理地安排车辆的运输任务，使得所有的任务能够在最短的时间内完成，并且保证货物的安全与完好。
车辆调度问题的解决需要建立合理的模型，并设计相关的算法来进行求解。
2.1 车辆调度模型的要素车辆调度模型的建立考虑了以下要素：车辆的数量、起始点与目的地的分布、运输时间窗口、车辆的容量、运输路径等。
车辆的数量决定了需要安排的车辆数量，起始点与目的地的分布是指需要配送的货物所在的位置，运输时间窗口是指配送货物的时间约束，车辆的容量决定了车辆能够承载的货物量，运输路径则是指车辆需要行驶的路径。
物流配送网络优化的数学模型与算法研究
物流配送网络优化的数学模型与算法研究随着电子商务和全球化的迅猛发展，物流配送网络在现代社会中的作用越来越重要。
优化物流配送网络能够提高效率、降低成本，并为企业实现可持续发展打下坚实基础。
为了实现物流配送网络的优化，数学模型与算法的研究变得尤为重要。
物流配送网络的优化问题涉及到多个方面，例如路线规划、车辆调度、货物分配等。
数学模型在解决这些问题中起着关键作用。
通过建立数学模型，我们可以通过优化算法来寻找最优解，并在实际操作中提供可行的方案。
本文将重点介绍物流配送网络优化中常用的数学模型与算法。
首先，对于物流配送网络中的路线规划问题，常用的数学模型是旅行商问题（TSP）和车辆路径问题（VRP）。
旅行商问题是在给定若干个城市之间的距离或花费矩阵的情况下，确定一条最短路径，使得旅行商可以遍历每个城市一次，并最终回到出发地点。
车辆路径问题则是在给定一组需求点和车辆容量的情况下，确定多辆车的路径，使得能够满足所有需求点的货物分配，并且最小化总的路径长度或成本。
这两个经典的数学模型，可以通过启发式算法如遗传算法、模拟退火算法等来求解。
其次，对于物流配送网络中的车辆调度问题，常用的数学模型是车辆调度问题（VRP）和多车型车辆路径问题（MDVRP）。
车辆调度问题是在给定一组需求点和一辆车的容量的情况下，确定最优的车辆调度方案，使得能够满足所有需求点的货物分配。
多车型车辆路径问题则是在给定多种类型的车辆和一组需求点的情况下，确定最优的车辆调度方案，其中每种车辆的容量和成本不同。
这些问题往往可以通过混合整数规划方法来求解，通过建立线性规划模型并应用合适的优化算法求解。
最后，对于物流配送网络中的货物分配问题，常用的数学模型是装载问题（LP）和车辆装载问题（LDP）。
装载问题是在给定一组货物和一些容器的容量限制的情况下，确定最优的货物分配方案，使得能够最大化装载容器的利用率。
车辆装载问题则是在给定一组货物和一些车辆的容量限制的情况下，确定最优的货物分配方案，使得能够满足所有货物并最小化所需的车辆数量。
物流配送路径优化问题的数学建模与求解研究
物流配送路径优化问题的数学建模与求解研究随着全球化的发展，物流配送成为现代社会不可或缺的一环。
物流配送路径的优化对于提高效率、减少成本以及满足客户需求非常重要。
因此，数学建模与求解研究是解决物流配送路径优化问题的有效方法之一。
物流配送路径优化问题的数学建模主要涉及到两个方面的内容：节点选择和路径生成。
首先，节点选择指的是在给定的一组客户节点中选择一部分节点作为配送路径的起点、终点和经过的中间节点。
其次，路径生成是指根据所选择的节点，生成一条满足要求的最优路径，使得物流配送的总成本和时间最小化。
在数学建模的过程中，我们需要定义一些关键的参数和变量。
其中，节点的位置和距离、客户需求量以及运输成本是决定物流配送路径的关键因素。
我们可以使用图论的方法来表示物流网络，其中节点代表客户信息，边表示节点之间的路径。
然后，运用数学模型来表示路径选择和路径生成的过程。
在路径选择方面，我们可以考虑使用贪心算法或者启发式算法。
贪心算法的思想是每次选择最优的局部解作为全局解，通过不断的迭代求得最优路径。
启发式算法则是通过设置适应度函数来评估路径的好坏，然后通过模拟退火等策略来寻找最优解。
在路径生成方面，可以使用最短路径算法，比如迪杰斯特拉算法或者弗洛伊德算法。
这些算法可以帮助我们找到从起点到终点的最短路径，并考虑物流配送中的特殊要求，比如货物的体积和重量限制。
同时，我们还可以考虑使用动态规划来解决具有多个约束条件的问题，以得到更加精确的求解结果。
数学建模和求解研究在物流配送路径优化问题中有着广泛的应用。
它可以帮助企业优化运输成本，在有限资源的情况下提供快速、高效的物流配送服务。
通过合理的路径规划和资源调度，企业可以降低成本、提高效率，并且满足客户的不同需求。
然而，在实际应用中，物流配送路径优化问题依然存在一些挑战。
比如，在大规模网络中，节点数量庞大，路径的组合爆炸性增长，导致求解问题变得非常困难。
此外，还有一些其他的实际约束条件需要考虑，比如交通拥堵、道路限制等。
数学建模--运输问题
运输问题摘要本文主要研究的是货物运输的最短路径问题，利用图论中的Floyd算法、Kruskal算法，以及整数规划的方法建立相关问题的模型，通过matlab，lingo 编程求解出最终结果。
关于问题一，是一个两客户间最短路程的问题，因此本文利用Floyd算法对其进行分析。
考虑到计算的方便性，首先，我们将两客户之间的距离输入到网络权矩阵中；然后，逐步分析出两客户间的最短距离；最后，利用Matlab软件对其进行编程求解，运行得到结果：2-3-8-9-10总路程为85公里。
关于问题二，运输公司分别要对10个客户供货，必须访问每个客户，实际上是一个旅行商问题。
首先，不考虑送货员返回提货点的情形，本文利用最小生成树问题中的Kruskal算法，结合题中所给的邻接矩阵，很快可以得到回路的最短路线：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2；然后利用问题一的Floyd算法编程，能求得从客户2到客户1（提货点）的最短路线是：2-1，路程为50公里。
即最短路线为：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2-1。
但考虑到最小生成树法局限于顶点数较少的情形，不宜进一步推广，因此本文建立以路程最短为目标函数的整数规划模型；最后，利用LINGO软件对其进行编程求解，求解出的回路与Kruskal算法求出的回路一致。
关于问题三，是在每个客户所需固定货物量的情况下，使得行程之和最短。
这样只要找出两条尽可能短的回路，并保证每条线路客户总需求量在50个单位以内即可。
因此我们在问题二模型的基础上进行改进，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，对于模型求解出来的结果，本文利用Kruskal算法结合题中所给的邻接矩阵进行优化。
得到优化结果为：第一辆车：1-5-2-3-4-8-9-1，第二辆车：1-7-6-9-10-1，总路程为280公里。
关于问题四，在问题一的基础上我们首先用Matlab软件编程确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理想的运输方案。
物流配送优化模型的建立与求解方法
物流配送优化模型的建立与求解方法随着电子商务的快速发展，物流配送的效率和准确性成为了供应链管理中至关重要的一环。
为了降低成本、提高送货效率和满足客户的需求，物流配送优化模型的建立与求解方法逐渐受到了广泛关注。
物流配送优化模型是通过数学建模和优化方法，以最小化配送成本或最大化配送效率为目标，确定最佳的配送方案。
在这个模型中，需要考虑到多个因素，包括送货点的位置、货物数量、运输工具的可用性、交通网络的拥堵情况等。
下面将介绍一些常用的物流配送优化模型的建立与求解方法。
1. 车辆路径问题（Vehicle Routing Problem，VRP）车辆路径问题是物流配送中经典的优化问题之一，主要考虑如何合理安排货车的路线和送货顺序，以实现最佳的配送效果。
常用的求解方法包括贪心算法、启发式算法和精确算法等。
其中，贪心算法以局部最优解为基础，逐步得到更优的全局解；启发式算法通过一系列规则和启发式知识，快速搜索解空间，并找到较好的解；精确算法则通过穷举搜索或动态规划等方法，保证找到最优解。
2. 车辆规划问题（Vehicle Scheduling Problem，VSP）车辆规划问题是在给定的时间窗口内，合理安排货车的配送时间和路线，以最小化总的配送成本或最大化配送效率。
主要考虑到货车的装载率、时间窗口的限制、配送点的优先级等因素。
求解方法包括启发式算法、模拟退火算法和遗传算法等。
启发式算法根据启发式规则和评价函数，逐步优化解空间；模拟退火算法模拟金属冷却过程，逐步靠近最优解；遗传算法模拟生物进化过程，通过遗传操作找到最优解。
3. 配送路径规划问题配送路径规划问题是在给定的地理网络和需求点上，合理安排配送路径，以最小化总的配送距离或时间。
该问题主要考虑配送路径的优化和节约。
常用的求解方法包括最短路径算法、动态规划算法和模拟退火算法等。
最短路径算法根据地理网络的拓扑结构和距离信息，寻找最短路径；动态规划算法通过建立状态转移方程，逐步求解最优路径；模拟退火算法模拟金属退火过程，通过接受较差解的概率，找到全局最优解。
数学建模方法分析物流运输问题
数学建模方法分析物流运输问题作者：赵慕融来源：《商情》2019年第47期【摘要】供应链活动的一部分，是为了满足客户需要而对商品、服务以及相关信息从产地到消费地的高效、低成本流动和储存进行的规划、实施与控制的过程。
物流管理是指在社会生产过程中，根据物质资料实体流动的规律，应用管理的基本原理和科学方法，对物流活动进行计划、组织、指挥、协调、控制和监督，使各项物流活动实现最佳的协调与配合，以降低物流成本，提高物流效率和经济效益。
其中货运的运输是物流的重要组成部分。
【关键词】VRP问题;利润最大化;整数规划;Floyd算法物流运输是供应链活动的重要组成部分，这类问题可以归为VRP问题，即流配送车辆路径问题。
针对此类问题，首先应该明确它的路径的数学表达方式。
一般会提供相应的经纬度表示，并且提供两地之间的路程以及行驶时间，为了让运输更加高效，我们应首先求解出最短路程下的最短时间，或是最短时间下的最短路程。
因此，我采用了MATLAB图论工具箱里的graphshortestpath函数进行求解。
最后可以用ND_netplot函数画出网络拓扑图。
通过图形可以更加直观的感受到运输两地的路程时间的最优方案。
由此可以引申出如何规划出两地之间的货物装载量关系。
货物装载运输可以分为整车和零担。
整车是指在公路运输中，如果托运人一次托运货物在3t以上（含3t），虽不足3t，但其性质、体积、形状需要一辆3t级以上的车运输均为整车运输。
通俗来说就是整车所运输的货物只能为一种。
而零担则不同，当一批货物的重量或容积不满一辆货车时，可与其他几批甚至上百批货物共用一辆货车装运时，叫零担货物运输。
通俗来讲就是将多种货物存放在同一辆车上，进行运输。
解决货物装载运输时需要考虑的限制条件有，耗油问题，货物运输时间限制，车辆利用率，货车司机的工资问题。
由于考虑的因素较多，很难同时满足，这时就应该采用lingo软件中的整数规划功能进行求解。
将目标函数设置为利润最大化，而限制（s.t.）则为各个条件的实际限制因素。
数学建模在物流配送优化中的应用研究
数学建模在物流配送优化中的应用研究导言：物流配送是现代社会经济活动中不可或缺的一环，随着经济的发展，物流配送的需求也日益增加。
如何提高物流配送效率成为了重要的研究课题。
数学建模作为一种重要的优化方法，被广泛应用于物流配送优化中。
本文将介绍数学建模在物流配送中的应用研究，并分成以下几个方面进行详细讨论。
1. 车辆路径规划物流配送过程中，合理规划车辆的路径是提高物流配送效率的重要环节。
数学建模可以通过构建最优化模型，优化车辆路径规划问题。
其中，旅行商问题(TSP)是一个典型的车辆路径规划问题。
通过建立TSP数学模型，运用蚁群算法等优化算法，可以找到最优的车辆路径规划方案，从而降低物流配送成本，提高配送效率。
2. 仓库选址问题物流配送中的仓库选址问题是指如何合理选择仓库的位置，以满足物流配送的需求。
数学建模可以通过考虑仓库选址的多种因素，如客户需求、成本等，建立仓库选址模型。
例如，可以将仓库选址问题转化为优化问题，通过线性规划等方法，求解使得总成本最小的仓库选址方案。
通过数学建模，可以快速找到最佳仓库选址方案，提高物流配送效率。
3. 货物装载问题物流配送中的货物装载问题是指如何合理安排货物的装载顺序和位置，以最大限度地利用货物空间，提高装载效率。
数学建模可以通过构建装载模型，将货物装载问题转化为优化问题。
例如，可以考虑货物的体积、重量等因素，建立装载模型，并使用启发式算法等方法，求解最优的货物装载方案。
通过数学建模，在尽量提高装载效率的同时，还可以确保货物的安全运输。
4. 路线优化问题物流配送中的路线优化问题是指如何合理选择货车的行驶路线，以最短的时间和距离完成配送任务。
数学建模可以通过建立路线优化模型，考虑货车的行驶时间、交通拥堵情况等因素，寻找最优的行驶路线。
例如，可以使用图论算法，如Dijkstra算法、A*算法等，求解最短路径问题，从而实现路线的优化。
通过数学建模，可以减少货车的行驶时间和距离，提高物流配送效率。
数学建模运输问题送货问题
数学建模运输问题送货问题数学建模论文题目: 送货问题学院(直属系数学与计算机学院年级、专业: 2010级信息与计算科学姓名:杨尚安指导教师: 蒲俊完成时间: 2012年 3 月20 日本文讨论的是货运公司的运输问题，根据各公司需求和运输路线图，建立了线性规划模型和0-1规划模型，对货运公司的出车安排进行了分析和优化，得出运费最小的调度方案。
对于问题一，由于车辆在途中不能掉头，出车成本固定，要使得总成本最小，即要使在一定的车辆数下，既满足各公司的需求，又要尽量减小出车次数。
故以最小出车数为目标函数，建立线性规划模型，并通过lingo求解，得出最小出车数27次。
接着考虑车的方向问题，出车分为顺时针和逆时针，建立0-1模型，并求解，得出满足问题一的调度方案（见附录表1）。
对于问题二，车辆允许掉头，加上车辆装载货物和空装时运输费不同，，要使总成本最小，故可以通过修改原目标函数，建立线性规划模型和0-1规划模型，求解，得出最佳派出车辆3辆并列出满足问题二的调度方案。
对于问题三第一小问，增加了运输车辆的类型。
即装载材料的方法很多，在上述分析的基础上，通过增加约束条件，建立新的线性规划模型，并求解，得出满足问题三的调度方案。
在第二小问中，由于给出部分公司有道路相通，可采用运筹学中的最短路问题的解决方法加以解决。
关键字：线性规划模型0-1规划模型调度一、问题重述某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。
路线是唯一的双向道路(如图１)。
货运公司现有一种载重6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。
每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。
运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。
数学建模中的运输网络问题
数学建模中的运输网络问题在数学建模领域中，运输网络问题是一个极为重要的研究方向。
运输网络问题主要关注如何最优地将物资从生产地点运送到消费地点，以满足人们的需求。
本文将从数学建模的角度，讨论运输网络问题的建模方法和解决方案。
一、问题描述在实际生产和运输过程中，存在着大量的供应商、仓库和消费者。
我们需要找到一种最佳的方式，以最小的成本将产品从供应商处送到消费者手中。
这就是运输网络问题的核心。
具体来说，我们需要解决以下几个问题：1. 如何确定最佳的物资运输路径？2. 如何考虑不同供应商和消费者之间的距离和成本？3. 如何在不同供应商和消费者之间分配物资？4. 如何考虑网络拓扑结构和容量限制？二、建模方法为了解决运输网络问题，我们可以采用线性规划、图论和网络流等数学建模方法。
具体步骤如下：1. 确定节点和边：将供应商、仓库和消费者抽象为图中的节点，运输路径则为图中的边。
2. 设置决策变量：例如，我们可以定义一个变量表示从供应商到仓库的物资量，另一个变量表示从仓库到消费者的物资量。
3. 建立目标函数：目标函数可以是最小化总运输成本、最大化总运输效率等。
4. 添加约束条件：约束条件可以包括供应商和消费者的需求量约束、仓库的容量约束、流量平衡约束等。
5. 求解模型：利用数学优化算法对建立的模型进行求解，得到最优解。
三、解决方案分析运输网络问题后，可以得到以下几种解决方案：1. 最小生成树算法：通过构建最小生成树，找到供应商和消费者之间的最短路径。
2. 最短路径算法：通过Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法寻找最短路径。
3. 最大流最小割算法：通过Ford-Fulkerson算法或Edmonds-Karp算法，解决网络流问题。
4. 整数规划和线性规划：通过优化算法，对运输网络问题进行求解，得到最优解。
四、案例分析以下是一个实际案例的分析，以帮助读者更好地理解运输网络问题的应用：假设某城市有三个供应商、两个仓库和五个消费者。
数学建模供应链网络物流配送与车辆路径问题
二、车辆路径问题的数学模型
1. 单车场车辆路径问题
设配送中心编号为 0，客户编号为1,2,, N ，配送中心 0 有 K 辆配送车辆， 每辆的载重量为 Q ，需要向 N 个客户送货，客户 i 的需求量为 qi (1,2,, N ) ，客 户 i 到 j 的距离为 cij (i, j 1,2, , N ) ，配送中心到各客户的距离为 coj ( j 1,2, ， N ) ，另外，令
供应链网络的物流配送过程主要包括：从生产工厂进货并集结的集货作业； 根据各个用户的不同需求，在配送中心将所需要的货物挑选出来的配货作业；考 虑配送货物的质量和体积，充分利用车辆的载重和容积的车载货物的配装及路线 的确定。随着供应链管理系统的集约化、一体化的发展，常将配送的各环节综合 起来，核心部分为配送车辆的集货、货物装配及送货过程。进行配送系统优化， 主要是配送车辆优化调度，包括集货线路优化、货物配装及送货线路优化，以及 集货、货物配装和送货一体化优化。物流配送车辆优化调度，是供应链系统优化 中关键的一环，也是电子商务活动不可缺少的内容。对配送车辆进行优化调度， 可以提高供应链管理的经济效益、实现供应链管理科学化。
N M M Km
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1
j 1 m1 k 1
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N M M Km
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1
Байду номын сангаас
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1
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供应链网络物流配送与车辆路径问题
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3
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图 1 车辆路径问题示意图
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4
物流配送车辆路径问题可以归纳为一般网络模型：设 G＝(V,E,A)是一个连通 的混合网络，V 是顶点集（表示物流中心、客户、停车场等），E、A 分别为无向 的边集和有向的弧集，E 中的边和 A 中的弧均被赋权（可以表示配送的距离、时 间或费用），V1、E1、A1 分别为 V 、E、A 的子集，求满足约束条件（包括客户 的货物需求或供应数量约束、需求或供应时间约束、配送车辆一次配送的最大行 驶距离约束、车辆的最大载重量约束等），并包含 V1、、E1、A1 的一些巡回路线， 使目标函数取得优化，目标函数可以取配送总里程最短、配送车辆总吨位公里数 最少、配送总费用最低、配送时间最少、使用的配送车辆数最少、配送车辆的满 载率最高等。
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6
·综合费用最低 降低综合费用是实现配送业务经济效益的基本要求。在配送中，与取送货物 有关的费用包括：车辆维护和行驶费用、车队管理费用、货物装卸费用、相关工 作人员工资费用等。 ·准时性最高 由于客户对交货时间有较严格的要求，为提高配送服务质量，有时需要将准 时性最高的作为确定配送路线的目标。 ·运力利用最合理 该目标要求使用较少的车辆完成配送任务，并使车辆的满载率最高，以充分 利用车辆的装载能力。 ·劳动消耗最低 即以司机人数最少，司机工作时间最短为目标。
中关键的一环，也是电子商务活动不可缺少的内容。对配送车辆进行优化调度，
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可以提高供应链管理的经济效益、实现供应链管理科学化。
配送车辆优化调度实际上也就是车辆路径问题（Vehicle Routing Problem，简 称 VRP），是 Dantzig 和 Ramse [80] 于 1959 年提出来的，该问题被提出来之后， 很快就引起了运筹学、应用数学、组合数学、图论、网络分析、物流学、管理学、 以及计算机科学等学科专家和运输计划制订者的极大重视，成为了运筹学和组合 优化领域的前沿和研究热点问题。各学科专家对该问题进行了大量的理论研究及 实验分析，取得了很大的进展。
快递公司送货最优策略的研究 数学建模
快递公司送货最优策略的研究摘要本问题为物流配送路径优化问题，即所谓的车辆路径问题VRP。
对一系列的发货点和收货点，组织适当的车辆行驶路径，在满足货物需求量、发送量、交发货时间、车辆容量限制、行驶里程限制和时间限制等的约束条件下，达到使路程最短，费用最少，时间尽量短，使用车辆尽量少等目的，最终使得企业的成本最低。
问题一，为一个典型的规划模型，根据题目中的约束条件，首先建立0-1分布函数表示某一业务员是否经过某一送货点，列出目标函数为送货的总路程，采用节约算法求解最优的8条路线为0→28→30→29→23→15→0，0→8→27→26→0，0→18→24→25→0，0→21→15→19→14→16→0，0→22→11→13→17→9→0，0→20→7→12→0，0→10→4→2→0，0→6→5→3→1→0，再根据所得的路线，结合每个业务员的工作时间求得所需业务员数为5人。
由于节约算法得到的结果并非最问题二，考虑要使得总费用最小，则业务员的运行路线要尽量少，并且要尽早卸货，据此建立重力及引力模型，采用中心法求解，用C语言编程得到相应的路线为0→1→2→3→8，0→6→4→7→13→15，0→5→20→17→18，0→14→18→25→16，0→9→12→10→11，0→23→21→27，0→24→26→28，0→23→29→30 ，求得总费用为19891.1元。
而第一问中优化后求得的总费用为16059.7元，此问题中的所得的路线的费用更省，因此采用第一问中优化后的路线。
问题三，在问题一的基础上，只需将业务员每天的工作时间有6h改成8h，同样为规划模型，运用节约算法，并对其修正，得到优化后的结果为需要4名业务员，线路和问题一种优化的线路相同。
具体分配策略为1号业务员分配到线路1、8，2号分配到路线4、7，3号分配到2、6，4号分配到3、5。
关键词：规划模型节约算法多路线同步决策重力及引力模型中心法快件密集度一、问题重述与分析对于快递公司，一般地，所有快件到达某地后，先集中存放在总部，然后由业务员分别进行派送。
数学建模送货路线设计模型(标准版)
送货路线设计问题模型摘要：本题题目送货员选取最佳行驶线路问题。
（1111本文首先引入了图论中关于最佳推销员路径问题与最佳H圈问题的有关结论。
并利用矩阵翻转实现二边主次修正法求最佳哈密尔顿（H圈），即求的最佳路径。
此方法具有较强的实际意义和指导意义。
）））））））））对于问题一，是将1~30号货物送到指定地点并返回库房（O点）, 求送货员行驶所需时间最短的最佳线路，并计算出最短时间。
方法一：运用图论中关于最佳送货路径问题与最佳哈密顿圈（H圈）问题的有关结论建立基于前30号货物所需送至地点的完备图，通过矩阵翻转法和二边逐次修正法将最佳送货员的路径问题转化为求解最佳哈密顿圈（H圈）问题。
通过MATLAB实现最佳哈密顿圈（H圈）的求解。
最后将最佳解与实际路线结合，得出最优解。
方法二：进行观测判断。
由于前30号货物共需送到21个位置，交接时间可随之确定，所以直接观测判断可以得出几组较优路线，最后择优。
对于问题二，是将1~30号货物在送货不超过时间前将货物送到指定地点，不要求返回。
引入了时间问题，是解题有了时间限制。
方法一：问题中要求送货员从8点开始送货（前1~30号货物），由于每件货物都有自己的送货不超过时间，所以引入了送货时间先后的问题。
根据每件货物的所需送往地点和送货不超过时间，以及送货员运送货物的交接时间，确定出满足各约束条件的送货员行走路线。
方法二：进行观测判断。
由各个货物的送货不超过时间来确定其行驶路线，得出几组较优路线，最后择优。
对于问题三，将100件货物送至对应的位置并返回库房（O点），无时间限制，但多了重量和体积限制（送货员的最大载重为50公斤，所带货物的最大体积为1立方米）。
方法一：一百件货物的总重量为148公斤，总体积为2.8立方米。
将所有送货地点分成以库房（O点）为公共点的3个区域，使送货员以O点为起始逐一通过每个区域以满足他送货的重量和体积限制。
可以建立3个区域地点的完备图，通过矩阵翻转法和二边逐次修正法求解出三个最佳哈密顿圈（H圈）。
数学建模在物流配送优化中的应用
数学建模在物流配送优化中的应用随着全球货运量的增长和物流业不断发展，物流配送越来越成为各大企业的核心竞争力。
为了提高物流配送效率、降低成本、提供更好的服务质量，那么数学建模在物流配送优化中的应用就变得尤为重要了。
数学建模是将现实问题转化为数学模型的过程。
在物流配送中，我们可以将其转化为三个主要问题：路径规划、车辆载荷平衡和传统物流系统的实时监控。
接下来分别对这三个问题进行介绍。
路径规划在实际物流配送中，经常要选择一条最短的路线来配送货物，以减少配送成本并提高效率。
路径规划是数学建模在物流配送中的一个重要应用。
我们可以使用图论中的最短路径算法来帮助我们在给定的路径中找到最短的路径。
同时，还可以结合模拟退火算法或遗传算法等进一步优化路径。
车辆载荷平衡对于物流公司而言，货物的配载是物流配送中的一个重要环节。
要想最大化利用运输资源，保证每个车辆的总运输量和装载量要尽可能平衡。
而这个问题，就是车辆载荷平衡问题。
我们可以将其转化为数学模型，利用线性规划等算法求解。
同时，这个问题还可以结合车辆路径规划等问题共同优化。
传统物流系统的实时监控传统物流系统存在许多问题，例如缺乏实时监控系统，不能及时掌握运输过程中的问题等，这些问题会导致配送效率和服务质量下降。
数学建模可以帮助我们构建实时监控系统，利用数据挖掘和机器学习等技术监测整个配送流程。
例如，使用GPS追踪货车的行驶路径，对货车进行实时动态监控，以便及时处理路上出现的问题。
结合物联网技术，可以更好地实现实时监控和数据分析。
例如，配送途中可以通过传感器获取货物的温度和湿度信息，检测运输环境的变化，及时处理异常情况。
而这些数据也可以用于更好地进行配送路径和货物配载的调整和优化。
总而言之，数学建模在物流配送优化中的应用，有利于提高物流配送的效率和服务质量。
未来，随着物流业的不断增长和技术的不断进步，我们相信数学建模将在物流领域发挥更加重要的作用。
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(3) 按配送任务分 ·纯送货问题，即纯卸货问题，只考虑由配送中心向客户送货； ·纯取货问题，即纯装货问题，只考虑将客户供应的货物取到配送中心； ·取送混合问题，即装卸混合问题或集货和送货一体化问题。 (4) 按客户对货物取（送）时间的要求分 ·无时限问题，即客户对货物的取（送）的时间无具体要求； ·有时限问题，又称有时间窗问题，即客户要求在规定的时间内完成交易。 同时有时间窗问题又分为硬时间窗问题和软时间窗问题，硬时间窗问题即对客户 的交易必须在规定的时间内完成；软时间窗问题即对客户的交易尽量在规定的时 间内完成，否则对配送企业给予一定的惩罚。
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否则
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则车辆路径问题的数学模型为：
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N
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j 1
二、车辆路径问题的数学模型
1. 单车场车辆路径问题
设配送中心编号为 0，客户编号为1,2,, N ，配送中心 0 有 K 辆配送车辆， 每辆的载重量为 Q ，需要向 N 个客户送货，客户 i 的需求量为 qi (1,2,, N ) ，客 户 i 到 j 的距离为 cij (i, j 1,2, , N ) ，配送中心到各客户的距离为 coj ( j 1,2, ， N ) ，另外，令
(2) 约束条件 配送车辆路径问题应满足的约束条件主要包括： ·满足所有客户对货物品种、规格、数量的要求； ·满足客户对货物发到时间范围的要求； ·在允许通行的时间进行配送（如有时规定白天不能通行货车等）； ·车辆在配送过程中的实际载重量不得超过车辆的最大允许载重量； ·在配送中心现有运力范围内。
供应链网络物流配送与车辆路径问题
配送是指对局域范围内的客户进行多客户、多品种、按时联合送货活动。 配送活动是指根据一定区域范围内各个客户所需要的各个品种要求，对配送中心 的库存物品进行拣选、加工、包装、分割、组配、分装上车，并按一定路线循环 依次送达各个用户的物流活动。物流配送是供应链网络中一个重要的直接与消费 者相连的环节，是货物从物流节点送达收货人的过程。配送是在集货、配货基础 上，按货物种类、品种搭配、数量、时间等要求所进行的运送，是“配”和“送”的 有机结合。配送的实质是现代送货，是以低成本、优质服务为宗旨，是一种先进 的物流形式。
N M M Km
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1
j 1 m1 k 1
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N M M Km
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(13)
(14) (15) (16)
N N M
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m N 1, N 2,, N M
k 1,2,, K m
配送车辆优化调度实际上也就是车辆路径问题（Vehicle Routing Problem，简 称 VRP），是 Dantzig 和 Ramse [80] 于 1959 年提出来的，该问题被提出来之后， 很快就引起了运筹学、应用数学、组合数学、图论、网络分析、物流学、管理学、 以及计算机科学等学科专家和运输计划制订者的极大重视，成为了运筹学和组合 优化领域的前沿和研究热点问题。各学科专家对该问题进行了大量的理论研究及 实验分析，取得了很大的进展。
一、车辆路径问题的分类
1.车辆路径问题的目标函数和约束条件
(1) 目标函数 对配送车辆路径的问题，可以选用一个目标，也可以选用多个目标。经常选 用的目标函数有： ·配送总里程最短 配送里程与配送车辆的耗油量、磨损程度以及司机疲劳程度直接相关，它直 接决定运输成本，对配送业务的经济效益有很大影响。 ·配送车辆的吨位公里数最小 该目标将配送距离与车辆的载重量结合起来考虑，即以所有配送车辆的吨位 数（最大载重量）与行驶距离乘积的总和最少为目标。
·综合费用最低 降低综合费用是实现配送业务经济效益的基本要求。在配送中，与取送货物 有关的费用包括：车辆维护和行驶费用、车队管理费用、货物装卸费用、相关工 作人员工资费用等。 ·准时性最高 由于客户对交货时间有较严格的要求，为提高配送服务质量，有时需要将准 时性最高的作为确定配送路线的目标。 ·运力利用最合理 该目标要求使用较少的车辆完成配送任务，并使车辆的满载率最高，以充分 利用车辆的装载能力。 ·劳动消耗最低 即以司机人数最少，司机工作时间最短为目标。
线，它可以用支路消去约束代替，即
xijk S
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S 1,2,, N,2 S N 1; k
多 车 场 车辆 路 径问 题（ Multiply－ Depot Vehicle Routing Problem ， 简 称 MDVRP）是基本车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, 简称 VRP）的推广， 指的是有多个车场同时对多个客户送货，各客户有一定的货物需求，每个车场都 可提供货物，并且由车队负责执行运输任务，要求对各客户的车辆和行驶路线进 行适当的安排，在保证满足各客户需求的前提下，使总的运输成本最低。
(5) 按车辆类型分 ·单车型问题，即所有配送车辆的载重量、最大行驶里程及其他性能均相同； ·多车型问题，即配送车辆的载重量、最大行驶里程及其他性能不相同。 (6)按车辆对车场的所属关系分 ·开放式车辆路径问题，即车辆完成任务后可以不返回其出发的车场； ·封闭式车辆路径问题，即车辆完成任务后必须返回其出发的车场。 (7) 按优化目标分 ·单目标问题，即仅考虑一个配送目标； ·多目标问题，即同时考虑多个配送目标。
(3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
式（1）、（2）表示变量约束；式（3）表示目标函数为车辆行驶的最短距离
和；式(4)表示分配给每一辆车的客户需求量之和不大于车辆的最大装载量；式(5)
表示每个客户只能由一辆车配送；式（6）、（7）表示两个变量之间的约束关系；
式（8）表示为保证车辆 k 的行驶路线的连通性，避免出现与配送中心分离的路
(17)
N M
N M
x mk ji
x mk ij
0
j N 1
j N 1
i m N 1, N 2,, N M
k 1,2,, K m
(18)
x mk ij
{0,1}
(19)
模型中，式(12)表示目标函数，即最短路径长度；式(13)表示各车场派 出的车辆数目不能超过该车场所拥有的车辆数；式(14)确保车辆都是从各自 的车场出发，并返回原车场；式(15)、( 16)保证每个用户只能被一辆车服务 一次；式（17）定义了车辆容量约束；（18）式表示车辆不能从车场直接到 车场。
xijk yhk
iS jS
xijk 0,1
yki 0,1
( k {1,2,, K} ) ( i 1,2, , N ) ( j 1,2, , N ; k ) ( i 1,2, , N ; k )
( S V \ 0, h S , k )
( i, j 1,2, , N ; k ) ( i 1,2,, N ; k )
必须返回原车场，要求一合适的车辆调度方案，使各车场的车辆能满足所有客户
的要求，并使车辆的总运输成本最低。
设客户的编码为1,2,, N ，车场编码为 N 1, N 2,, N M ，定义变量
x mk ij
1 0
车场m的车辆k从客户i行驶到客户j为：
N M N M M Km
车辆路径问题是径旅行商问题（Travel Salesman Problem，简称 TSP）衍生 而出的多路 TSP 问题，即为 K-TSP。VRP 的一般定义为 [81] ：对一系列送货点和 （或取货点），组织适当的行车路线，使车辆有序地通过它们，在满足一定的约 束条件下（如货物需求量、发送量、交发货时间、车辆容量限制、行驶里程限制、 时间限制等），达到一定的目标（如路程最短、费用最少、使用车辆数最少等）。 见图 1。
● ●
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●
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图 1 车辆路径问题示意图
物流配送车辆路径问题可以归纳为一般网络模型：设 G＝(V,E,A)是一个连通 的混合网络，V 是顶点集（表示物流中心、客户、停车场等），E、A 分别为无向 的边集和有向的弧集，E 中的边和 A 中的弧均被赋权（可以表示配送的距离、时 间或费用），V1、E1、A1 分别为 V 、E、A 的子集，求满足约束条件（包括客户 的货物需求或供应数量约束、需求或供应时间约束、配送车辆一次配送的最大行 驶距离约束、车辆的最大载重量约束等），并包含 V1、、E1、A1 的一些巡回路线， 使目标函数取得优化，目标函数可以取配送总里程最短、配送车辆总吨位公里数 最少、配送总费用最低、配送时间最少、使用的配送车辆数最少、配送车辆的满 载率最高等。
2. 车辆路径问题的分类
现实中的物流配送车辆路径问题是一个非常复杂的问题，根据车辆路径问题 的构成要素将车辆路径问题分为以下几类 [111] ：
(1) 按配送中心的数目分 ·单配送中心问题，即只有一个配送中心； ·多配送中心问题，既有两个或两个以上的配送中心。 (2) 按车辆载货状况分 ·满载问题，即客户需求或供应的货物大于或等于车辆的载重量，完成一项 配送任务需要一辆或一辆以上的配送车辆，且配送车辆需要满载运行； ·非满载问题，即客户需求或供应的货物小于车辆的载重量，多项配送任务 可以用一辆配送车辆，且配送车辆常处于非满载状态； ·混载问题，即满载和非满载混合问题。