数值计算方法第四章参考答案

f ( xk ) e xk − 4 cos ( xk ) = xk − xk xk +1 = xk − f ′ ( xk ) e + 4sin ( xk )
利用公式作迭代得：
e − 4 cos ( x0 ) x1 = x0 − x0 = 0.911878, e + 4sin ( x0 )
x0
e x1 − 4 cos ( x1 ) x2 = x1 − x1 = 0.904810, e + 4sin ( x1 ) e − 4 cos ( x2 ) x3 = x2 − x2 = 0.904788 e + 4sin ( x2 )
因此可以得到牛顿迭代式为：
2 2 axk − 1 axk + 1 xk +1 = xk − = 2axk 2axk 1 −2 解法2：f ( x ) = 2 − a, f ′ ( x ) = 3 , x x 1 −2 相应的：f ( xk ) = 2 − a, f ′ ( x ) = 3 , xk xk
2 x13 + 1 x2 = 2 = 1.8795 3x1 − 3
3 2 x2 + 1 x3 = 2 = 1.8794, x∗ = 1.879 3x2 − 3
f ( x ) = ax 2 − 1, f ′ ( x ) = 2ax 21、解法1：由题意知 f ( xk ) = axk2 − 1, f ′ ( xk ) = 2axk 相应的：
数值计算方法第四章参考答案
7.、 证明：1） 对于该迭代式，相应的迭代函数为：
1 ϕ ( x ) = 1 + 2 ,易知该函数为单调递减函数， x 而 ϕ (1.3) = 1.59, ϕ (1.3) = 1.39
因此有 ϕ
( x ) ∈ [1.3,1.6] 2 ′( x) = − ϕ 又： ,易知 ϕ ′ ( x ) 为单调递减函数，所以有 x
因此可以得到牛顿迭代式为：
xk +1 = xk −
1 − axk2 −2
2 xk
3 xk
a 3 3 = xk − xk 2 2
x x 23. 解: 1)由题意得 f ( xk ) = e k − 4 cos ( xk ) , f ′ ( xk ) = e k + 4sin ( xk )
相应的牛顿迭代公式为：
x2
2) 弦截法：取 x0
=
π
4
, x1 =
π
2
相应的弦截迭代公式为：
xk +1 = xk −
f ( xk ) − f ( x0 )
f ( xk )
( xk − x0 )
xk e − 4 cos ( xk ) = xk − ( xk − x0 ) π e xk − 4 cos ( xk ) − (e 4 − 4 ⋅ 2 ) 2
(
)
利用公式作迭代得：
x1 e − 4 cos ( x1 ) x2 = x1 − ( x1 − x0 ) = 0.877003 π e x1 − 4 cos ( x1 ) − (e 4 − 4 ⋅ 2 ) 2
x2 e − 4 cos ( x2 ) x3 = x2 − ( x2 − x0 ) = 0.906360 π e x2 − 4 cos ( x2 ) − (e 4 − 4 ⋅ 2 ) 2 x3 e − 4 cos ( x3 ) x4 = x3 − ( x3 − x0 ) = 0.904701 π e x3 − 4 cos ( x3 ) − (e 4 − 4 ⋅ 2 ) 2
相应的牛顿迭代公式为：
3 3 f ( xk ) xk − 3 xk − 1 2 xk + 1 = xk − = 2 xk +1 = xk − 2 3 xk − 3 3xk − 3 f ′ ( xk )
利用公式作迭代得：
2 x + 1 17 x1 = = = 1.8889 3x − 3 9
3 0 2 0
由压缩影像定理知该迭代式收敛。
2 − 2 又： ′ ( x ) = x(1 + x) 3 ϕ 3
2 2 − ϕ ′ ( x ) ≤ ⋅1.6 ⋅ (1 + 1.6 ) 3 = 0.5641 < 1 3
2 3 17、 解：1） 由题意得 f ′ ( xk ) = 3xk − 3, f ( xk ) = xk − 3 xk − 1
(

利用公式作迭代得：
x1 e − 4 cos ( x1 ) x2 = x1 − ( x1 − x0 ) = 0.877003 π e x1 − 4 cos ( x1 ) − (e 4 − 4 ⋅ 2 ) 2 e x2 − 4 cos ( x2 ) ( x2 − x1 ) = 0.898545 x3 = x2 − x x1 e 2 − 4 cos ( x2 ) − ( e − 4 cos ( x1 ) ) e x3 − 4 cos ( x3 ) ( x3 − x2 ) = 0.904866 x4 = x3 − x x2 e 3 − 4 cos ( x3 ) − ( e − 4 cos ( x2 ) )
3
ϕ′( x) ≤
2 = 0.9103 < 1 3 (1.3)
由压缩影像定理知该迭代式收敛。
2） 对于该迭代式，相应的迭代函数为：
ϕ ( x) = 1+ x
3
2
,易知该函数为单调递增函数，
而 ϕ (1.3) = 1.39, ϕ (1.3) = 1.53
因此有 ϕ
( x ) ∈ [1.3,1.6] 易知 ϕ ′ ( x ) 为单调递增函数，所以有
3) 快速弦截法 相应的弦截迭代公式为：
f ( xk ) xk +1 = xk − ( xk − xk −1 ) f ( xk ) − f ( xk −1 ) e xk − 4 cos ( xk ) = xk − x e k − 4 cos ( xk ) − e xk −1 − 4 cos ( xk −1 )