基本不等式及其应用

§8.3基本不等式及其应用（１）
教学目标
1、 掌握重要不等式及它的变式
2、 能应用不等式求最大(小)值、证明不等式及比较两数大小
一、知识梳理
1．基本不等式ab ≤a ＋b 2
(1)基本不等式成立的条件：__________. (2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)重要不等式：a 2＋b 2≥ (a ，b ∈R )．当且仅当a ＝b 时取等号．
(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．
(3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．
(4)b a ＋a b
≥ (a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为__________，几何平均数为________
4．利用基本不等式求最值问题
已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有最____值是______
(简记：积定和最小)．
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，xy 有最____值是________
(简记：和定积最大)．
二、基础自测
(1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b 2≥ab . ( ) (2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 成立的条件是相同的．( ) (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( )
(4)2ab a ＋b ＝21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22
.( ) (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．( )
(6)函数y ＝sin x ＋4sin x
，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为4.( ) (7)若x ＞－3，则x ＋4x ＋3
的最小值为1.( ) (8)已知函数f (x )＝4x ＋a x
(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝36.( )
三、例题分析
例1 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y
＝1，求x ＋y 的最小值；
变式 ①已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b
的最小值是________．
②已知,10<<a 则a
a y -+=
141的最小值是
(2)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5
的最大值；
(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．
例2 (1)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对任意a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．
(2)已知x >y >0，且xy ＝1，若x 2＋y 2≥a (x －y )恒成立，则实数a 的取值范围是________．
例3 某单位2160万元购得一块空地，计划在空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米
的楼房．如将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．
(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；
(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积
)
变式 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数．
(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)
四、课堂练习
1、下列不等式一定成立的是________．
①lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)②sin x ＋1sin x
≥2(x ≠k π，k ∈Z ) ③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )④1x 2＋1
>1(x ∈R ) 2、设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭
⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．
3、设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )
的最小值是________．
4、已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．
5、若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是________．
6、若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是________．
7、若,422,31-≤-≤≤+≤b a b a 求b a -8的范围
8、已知实数x ，y 满足1≤x 3y ≤4，2≤x 2
y 2≤3，则xy 的取值范围是________
9、已知,175,,=+∈+b a R b a 若
,3211k b a b a ≥+++求k 的最大值
10、若,,,y x a y x R y x +≤+
∈+求a 的范围
11、设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当
z xy 取得最小值时，2x y z +-的 最大值为________
12、已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12z S xyz
+=
的最小值为________
§8.3基本不等式课后作业 班级 姓名 学号
1.已知2x ＋2y
＝1，(x ＞0，y ＞0)，则x ＋y 的最小值为________ 2.若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________
3.若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．
4.已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．
5.设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b
取得最小值为________ 6.已知函数y ＝x －4＋9x ＋1
(x ＞－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝________ 7.若正实数a ，b 满足ab ＝2，则(1＋2a )·(1＋b )的最小值为________
8.函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，
则1m ＋1n
的最小值为________ 9.已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．
10.已知a >0，b >0，则1a ＋1b
＋2ab 的最小值是______． 11.已知x >0，y >0，且2x ＋1y
＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值 范围是________
12.已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab
的最小值为________ 13.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －6≤0x －y ＋2≥0
x ≥0，y ≥0
，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，
则2a ＋3b
的最小值为________． 14.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x
的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．
15.已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围为______________．
16.若不等式4x 2＋9y 2≥2k xy 对一切正数x ，y 恒成立，则k 的最大值为________．
17.某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．
(1)设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用y 1关于x
的函数关系式；
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y 最小，并求出这个最小值．
18.★若实数x ，y ，z ，t 满足1≤x ≤y ≤z ≤t ≤10 000，则x y ＋z t
的最小值为________．
19.★如图，在C 城周边已有两条公路l 1，l 2在点O 处交汇，现规划在公路l 1，l 2上分别选择A ，
B 两处为交汇点(异于点O )直接修建一条公路通过
C 城，已知OC ＝(2＋6)km ，
∠AOB ＝75°，∠AOC ＝45°，设OA ＝x km ，OB ＝y km .
(1)求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域；
(2)试确定点A 、B 的位置，使△AOB 的面积最小．。