全概率公式及其应用论文

浅谈全概率公式及其应用

作 者：王托洛夫斯基文帅酷之健

指导教师：Yangjinying

摘要：本文分析了全概率公式的直观意义，介绍了使用全概率公式时寻找完备事件组的两种方法，并通过实例阐述了全概率公式在解决实际问题中的应用。

关键字：全概率公式；完备事件组；应用；样本空间

引言：概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件A ，如果能找到一件伴随事件A 发生的完备事件组1B ,2B ,…，而计算各个i B 的概率与条件概率)|(i B A P 相对又要容易些，这是为了计算与事件A 有关的概率，可能需要是用全概率公式，本文就全概率公式及其应用做了详细的叙述。

一、 全概率公式及直观意义

全概率公式，又称全概公式，是指

∑==n

i i i A B P A P B P 1)|()()(

它实质上是一种分解式，若注意到

)()|()(i i i BA P A B P A P =

则求)(B P 的问题就转化为

+++)()()(321BA P BA P BA P …)(n BA P +

这里1BA ，2BA ，3BA ，…,n BA 两两互斥，注意到

321BA BA BA B =… n BA

)(1 n

i i A B ==

就应有1A ,2A ,3A ,…，n A 两两互斥，且Ω== n

i i A 1

于是1A ，2A ，3A …，n A 就成为一个完备事件组，这个完备事件组分割了事件B ，从而求)(B P 的问题最后归结为找一个合适的完备事件组的问题，

因此当事件B 比较复杂，直接计算)(B P 比较难时，设法找一个完备事件组1A ，2A ，3A ，…，n A 使 n

i i BA B 1==，然后分别求出)(i BA P ，再相加，即可

求出)(B P

全概率公式的直观意义是：某事件B 发生的各种可能原因i A 1(=i ,2，3，…，)n 并且这些原因两两不能同时发生，如果B 是由原因i A 所引起的，

则B 发生时，i BA 必同时发生，因而)(B P 与)(i BA P 有关1(=i ,2，3，…，)n ，且等于其总和

∑∑===n

i i

i n i i A B P A P BA P 11)|()()( 全概率的“全”就是总和的含义，当然这个总和要能求出来，需已知概率)|(i A B P 1(=i ,2，3，…，)n ，通俗地说，事件B 发生的可能性，就是其诸原因i A 发生的可能性与i A 发生的条件下事件B 发生的可能性的乘积之和。

二、寻找完备事件组的两种方法

方法一：

从第一个试验入手，分解其样本空间，找出完备事件组。

如果所求概率的事件与前后两个试验有关，且这两个试验彼此有关联，第一个试验的各个结果对第二个试验产生影响，而问第二个试验出现某结果的概率，这些问题，即可用全概率公式求解。此时，通常将第一个试验的样本空间分解成若干个互不相容的事件的和，这些事件就是所求的一个完备事件组。

例1. 假设有两个同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱 内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中随机取出两个零件，试求：取出的零件均是一等品的概率P ；

解 引进下列事件：

i A ={被挑出的是第i 箱}1(=i ，)2

B ={取出的零件是一等品}

有条件知 21)()(21==A P A P , 51)|(1=A B P , 5

3)|(2=A B P 由全概率公式，知

)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += =5

253215121=⋅+⋅ 方法二：

从事件B 发生的两两互不相容的诸原因找完备事件组。

如果事件B 能且只能在“原因” 1A ，2A ，3A ，…，n A 下发生，且1A ，2A ，3A ，…，n A 两两互不相容，那么这些“原因” 1A ，2A ，3A ，…，n A 就是一个完备事件组。

例2.采购员要购买10个一包的电器元件。他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如这3个原件都是好的，他才买下这一包。假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含有1个次品。求采购员拒绝购买的概率。

解： 记

1A ={取到的是含4个次品的包}，2A ={取到的是含1个次品的包}， B ={采购员拒绝购买}

则1A ，2A 构成样本空间的一个正划分，且)(1A P =0.3，)(2A P =0.7，又由古典概型计算知

=)|(1A B P 6

5131036=-C C 1031)|(310392=-=C C A B P 从而由全概率公式得到 50

2310310765103)|()()|()()(2211=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P 上述例题介绍了全概率公式寻找完备事件组的两种方法，对于以上这种简单事件，需先找出完备事件组，然后直接应用全概率公式就可求出我们所需的结果。

三、全概率公式的应用

在全概率公式的应用中，主要会有四个方面的应用：赌徒输光问题、抛掷不均匀硬币问题、随机分流的不变性、保险公司的索赔额模型。这些应用不仅仅是全概率公式的简单应用，还会与其他知识相结合，例如差分方程，递推计算等。这些知识的结合有效地将全概率公式得到广泛应用。

1.赌徒输光问题

例3.设甲有赌本)1(≥i i 元，其对手乙有赌本i a ->0元。每赌一次甲以概率p 赢一元，而乙以概率p q -=1输一元。假定不欠不借，赌博一直到甲乙有一人输光才结束。因此，两个人中的赢者最终有赌资a 元。求甲输光的概率。 解：一般地，我们以i p 记甲有赌本i 元而最终输光的概率，而求此概率的关键是给出下面的事件关系式，其方法称为首步分析法，记事件

=i A {甲有赌本i 元，但最终输光}

B ={甲第1次赌赢}

于是我们有

)()|(1+i i A P B A P ＝，)()|(1-=i A P B Ai P

由上述关系式及全概率公式，我们得到

)()|()()|()(B P B A P B P B A P A P p i i i i +==

=q A P p A P i i )1()1(-++

=11--+i i qp pp （1）

这是一个常系数二阶差分方程，且满足两个边界条件：

1)0(0==p P 元而最终输光甲有赌本

0)(==αp a P 元而最终输光甲有赌本

为解(1), 注意到它等价于)()(11-+-=-i i i i p p q P P p