由哈密顿原理推导拉格朗日方程

由哈密顿原理推导拉格朗日方程 谭建 222010315210236 2010级4班

一、问题重述

试由210t t Ldt δ=⎰推导()0d L L dt q q αα

∙∂∂-=∂∂ 二、问题分析及 由于是等时变分，有()d q q dt δδ∙=

，和 22

11()0t t t t Ldt L dt δδ==⎰⎰ (1)

现在来秋L δ。L 是q , q ∙

, t 的函数，又由于是等时变分，所以有 L

L L q q q

q δδδ∙∙∂∂=+∂∂……………………..（2） ()()()L

L d d L d L q q q q dt

dt dt q q q q δδδδ∙∙∙∙∙∂∂∂∂==∙-∂∂∂∂……………….（3） 将（3）代入（2）得

()()d L d L L L q q q dt dt q

q q δδδδ∙∙∂∂∂=∙-+∂∂∂…………………………（4） 将（4）代入（1）得 2121()(())0t t t t L

d L L q q q dt dt q

q q δδδ∙∙∂∂∂∙+-+=∂∂∂⎰…………………………….（5） 在12,t t 处0q δ=，所以（5）变为

2

1(())0t t d L L q q dt dt q

q δδ∙∂∂-=∂∂⎰………………………………（6）即 2

1[(())]0t t d L L q dt dt q

q δ∙∂∂-+=∂∂⎰……………………………………（7） q 是独立变量，所以有

()0d L L dt q

q ∙∂∂-+=∂∂即 ()0d L L dt q

q ∙∂∂-=∂∂此式即为拉格朗日方程