由哈密顿原理推导拉格朗日方程
拉格朗日动力学
它是广义坐标、广义速度和时间的函数. 只要确定了系统的自由度, 选择好广义坐标, 并正确写 出拉格朗日 函 数 , 就 可利 用拉格朗日方 程 得到 系 统 的运动微分方程 . 由此 可见 , 拉格朗
日函数是系统的动力学特征函数. 把所有力学系统的动力学方程统一起来. 例题 1 质量为 m 的质点, 被约束在半顶角为 α 的 光滑固定圆锥 面 内运动 , 试通过 拉格朗日方 程, 写出质点的运动微分方程. 解 建立如图所示的与圆 锥固连的柱坐标系. 质点的位 置由 ( ρ ,θ , z ) 确定. 由于质点受 到圆锥面的约束, 约束方程为 z = ρ cot α , 所以质点的广义坐 标只有两个, 选择 ρ ,θ 为广义坐 标. 质点的拉格朗日函数为
0
t1
由于欧拉方程是作用量取极值的必要条件, 因此, 当作用量 S 取极值时, 下面 s 个方程必然成立,
d ∂L ∂L − =0 α ∂qα dt ∂q
α = 1,2, , s
这就是完整有势系的拉格朗日方程. 拉格朗日方程组共有 s 个二阶微分方程, 方程 数与广义坐标的数目 ( 即自由度数目 ) 相等 . 方程 中的 L 是系统的拉格朗日函数,
第八章 拉格朗日动力学
本章由完整系哈密顿原理推导出完整系的拉 格朗日方程. 拉格朗日于 1788 年创立分析力学时, 哈密顿原理还没问世 , 拉格朗日是用另一种方法 演绎出拉格朗日方程的.
§8-1 有势系的拉格朗日方程
对受完整约束的有势系 , 哈密顿原理告诉我
α , t )dt 取极值. 们, 真实运动能使作用量 S = ∫t L(qα , q
+ g θ = 0 θ l
哈密顿原理
关于哈密顿原理
哈密顿原理
Hamilton principle
适用于受理想约束的完整保守系统的重要积分变分原理。
W.R.哈密顿于1834年发表。
其数学表达式为：
式中L＝T－V为拉格朗日函数，T 为系统的动能，V为它的势函数。
哈密顿原理可叙述为：拉格朗日函数从时刻t1到t2的时间积分的变分等于零。
它指出，受理想约束的保守力学系统从时刻t1 的某一位形转移到时刻t2的另一位形的一切可能的运动中，实际发生的运动使系统的拉格朗日函数在该时间区间上的定积分取驻值，大多取极小值。
由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程。
哈密顿原理不但数学形式紧凑，且适用范围广泛。
如替换L的内容，就可扩充用于电动力学和相对论力学。
此外，也可通过变分的近似算法，用哈密顿原理直接求解力学问题。
拉格朗日方程
拉格朗日方程是理论力学中非常重要的方程。
像牛顿力学一样，它是对机械系统的描述。
但是与牛顿力学不同，他从整个系统的角度分析了系统的运动状态，而牛顿力学则分别分析了每个粒子。
这两种方法是等效的，可以相互推论，但使用方案却大不相同。
拉格朗日方程以数学物理学家约瑟夫·拉格朗日（Joseph Lagrange）的名字命名，是分析力学中的重要方程，可用于描述物体的运动，特别适合于理论物理学的研究。
拉格朗日方程的功能等效于牛顿力学中的牛顿第二定律。
假定一个物理系统满足一个完整系统的要求，即所有广义坐标彼此独立，则拉格朗日方程式为：其中，是拉格朗日量，广义坐标，时间函数和广义速度。
以分析力学为指导，有三种方法可以指导拉格朗日方程。
最原始的方法是使用D'Alembert原理来指导Lagrange方程（请参阅D'Alembert原理）。
在更高级的水平上，拉格朗日方程可从哈密顿原理（指哈密顿原理）推导。
最简而言之，它可以通过数学变分方法的欧拉-拉格朗日方程推导：集合函数sum：,,,;哪里是自变量。
如果该函数获得局部平稳值，则Euler-Lagrange方程将保持在区间。
现在，进行以下变换：将自变量设置为时间，将函数设置为广义坐标，并将函数设置为拉格朗日量，从而可以获得拉格朗日方程。
为了满足此转换的正确性，广义坐标必
须彼此独立，因此系统必须是完整的系统。
拉格朗日量是动能减去势，势必须是广义势。
因此，该系统必须是单人系统。
理论力学-拉格朗日方程PPT
拉格朗日方程的推导
拉格朗日方程的推导基于哈密顿原则，通过对系统的运动原理进行最小作用 量的假设，推导出系统的运动方程。
拉格朗日方程的应用
拉格朗日方程在各个物理学和工程学领域都有广泛的应用，例如刚体动力学、 量子力学、控制理论等。
经典示例：单摆运动
单摆运动是拉格朗日方程应用的经典示例之一，通过建立摆角和摆长的关系，可以得到描述摆动的拉格 朗日方程。
拉格朗日方程的优点
相较于牛顿方程，拉格朗日方程具有独特பைடு நூலகம்优点，如坐标自由度更广、描述力学系统更简洁等。
拉格朗日方程在其他领域的应 用
除了物理学和工程学领域外，拉格朗日方程还在经济学、生物学等领域中有 着广泛的应用，为解决复杂问题提供了新的视角。
理论力学-拉格朗日方程 PPT
欢迎大家来到这个关于理论力学的PPT。本次内容将深入探讨拉格朗日方程的 定义、与牛顿方程的关系、推导方法、应用、经典示例和其他领域的应用。
拉格朗日方程的定义
拉格朗日方程是解决运动的一种优雅方法，通过定义拉格朗日函数和广义坐 标来描述系统的动力学行为。
拉格朗日方程与牛顿方程的关系
拉格朗日方程和哈密顿正则方程
重要性
这两个方程的数学结构和原理具有普适性， 可以应用于各种不同的领域。它们为解决复 杂系统的运动和控制问题提供了重要的理论 框架和方法。
05
总结与展望
对拉格朗日方程和哈密顿正则方程的总结
拉格朗日方程
拉格朗日方程是经典力学中的基本方程，用于描述一个质点系的运动。它基于拉格朗日 函数，通过最小化或最大化的原则，确定质点系在给定初始条件下的运动轨迹。拉格朗
拉格朗日方程的应用实例
总结词
拉格朗日方程在物理学、工程学等领域有广泛的应用 。
详细描述
拉格朗日方程是经典力学中描述系统运动的基本方程 之一，具有广泛的应用价值。在物理学中，它可以用 于分析各种力学系统的运动规律，如行星运动、振荡 器等。在工程学中，拉格朗日方程也被广泛应用于各 种实际问题，如控制理论、机器人学、航天器轨道力 学等。通过求解拉格朗日方程，我们可以得到系统的 运动轨迹和状态演化，从而为实际应用提供重要的理 论支持。
与其他理论的结合
拉格朗日方程和哈密顿正则方程作为经典力学的基本理论，可以与其他理论进行结合，例 如相对论、量子力学等。这种结合将有助于更深入地理解物质的运动规律，推动物理学和 其他学科的发展。
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总结词
拉格朗日函数是描述系统运动状态的函数，具有特定的物理 意义和数学性质。
详细描述
拉格朗日函数是描述系统运动状态的函数，通常表示为L(q, ,t)， 其中q是系统的广义坐标，t是时间。它具有一些重要的性质， 如时间无关性、对称性、最小作用量等。这些性质对于理解和 应用拉格朗日方程非常重要。
拉格朗日方程的推导和证明
03
哈密顿正则方程
哈密顿函数的定义和性质
哈密顿函数
拉格朗日方程的三种推导方法
拉格朗日方程的三种推导方法拉格朗日方程是分析力学中极为重要的定理之一，它描述了质点或系统在给定约束条件下的运动方程。
拉格朗日方程的推导方法有三种，分别是拉格朗日第一类方法、拉格朗日第二类方法和哈密顿原理。
下面将对这三种方法进行详尽的介绍。
首先，我们来介绍拉格朗日第一类方法。
这种方法是通过将约束条件转化为广义坐标之间的代数方程，然后使用这些方程消去广义坐标的导数，得到含有广义坐标和广义速度的方程，然后再代入拉格朗日函数，就可以得到拉格朗日方程。
设系统中有n个质点，它们的质量分别为m1、m2、..、mn，它们的位置矢量为r1、r2、..、rn。
约束条件可以表示为f(r1, r2, ..., rn)= 0。
广义坐标q1、q2、..、qs可以用位置矢量表示为q1 = q1(r1,r2, ..., rn)，q2 = q2(r1, r2, ..., rn)，...，qs = qs(r1, r2, ..., rn)。
广义速度可以定义为q1' = dq1/dt，q2' = dq2/dt，...，qs' =dqs/dt。
根据拉格朗日第一类方法，可以将约束条件转化为广义坐标之间的代数方程，即f(q1(q1, q2, ..., qs), q2(q1, q2, ..., qs), ...,qs(q1, q2, ..., qs)) = 0（1）。
然后对式(1)两边求导，以消去广义速度，得到：∂f/∂q1 * q1' + ∂f/∂q2 * q2' + ... + ∂f/∂qs * qs' = 0（2）接下来，根据拉格朗日函数定义为L = T - U，其中T是系统的动能，U是系统的势能。
动能和势能可以分别表示为T = T(q1, q2, ..., qs,q1', q2', ..., qs')，U = U(q1, q2, ..., qs)。
根据广义坐标和广义速度的定义可以得出q1, q2, ..., qs和q1', q2', ..., qs'是相互独立的。
哈密顿方程的推导
哈密顿方程的推导
哈密顿方程是描述质点系在保守力场中运动的方程，由哈密顿原理推导而来。
下面是哈密顿方程的推导过程：
1. 定义拉格朗日函数：首先，我们定义质点系的拉格朗日函数L，该函数是广义坐标q_i和广义速度v_i的函数，即L =
L(q_i, v_i)。
拉格朗日函数可以通过质点系的动能T和势能V
来定义，即L = T - V。
2. 构建作用量：我们引入作用量S，该作用量定义为在一段时
间t_1到t_2内，拉格朗日函数L在质点的运动路径上的积分，即S = ∫(L dt)。
3. 应用哈密顿原理：根据哈密顿原理，质点实际运动的路径是使作用量S达到极小值的路径，即对任意的变分路径δq_i(t)，作用量的变分δS=0。
4. 构建哈密顿函数：为了推导哈密顿方程，我们首先引入广义动量p_i，定义为p_i = ∂L/∂v_i。
接下来，我们定义哈密顿函
数H为哈密顿函数H = Σ(p_i v_i) - L。
哈密顿函数是广义坐标
q_i和广义动量p_i的函数。
5. 变分行为：对于任意的广义坐标q_k，广义速度v_k和广义
动量p_k，我们可以证明在哈密顿函数H为最小值时满足以下方程：
dH/dp_k = v_k (1)
dH/dq_k = - p_k (2)
这两个方程就是哈密顿方程。
通过上述过程，我们从拉格朗日形式的描述推导出了哈密顿形式的描述，即哈密顿方程。
在哈密顿方程中，广义坐标和广义动量的变化率分别由哈密顿函数对广义动量和广义坐标的偏导数来描述，从而实现了对质点系的运动状态的描述。
分析力学拉格朗日方程
分析力学拉格朗日方程分析力学是物理学中的一个重要分支，它主要研究物体的运动规律和力学系统的宏观性质。
拉格朗日力学是分析力学的基础，是分析力学发展过程中的一个重要理论。
它由意大利数学家拉格朗日于18世纪发展而来，利用广义坐标和拉格朗日方程来描述物体的运动学和动力学。
在拉格朗日力学中，系统的运动由极值原理来决定。
这个极值原理是“达朗贝尔原理”，即系统的运动满足使作用量(S)是极值的路径。
作用量是拉格朗日力学中的一个重要概念，它表示物体在运动过程中所受到的所有力的作用。
具体来说，作用量可以表示为：S = ∫ (L - T) dt其中，L是拉格朗日函数，表示系统的动能和势能之差；T是系统的动能，表示物体的运动能量。
积分表示对整个运动过程的积分求和。
根据达朗贝尔原理，系统的运动满足作用量的极值条件，即δS=0。
为了使作用量的变分δS等于零，我们可以通过拉格朗日方程来推导系统的运动方程。
假设系统有n个自由度，我们引入广义坐标q1, q2, ..., qn来描述系统的位置。
每个广义坐标都是关于时间的函数，即q(t)。
拉格朗日函数L也是广义坐标的函数，即L(q, dq/dt, t)。
其中dq/dt表示广义坐标的时间导数。
利用拉格朗日函数，我们可以定义拉格朗日方程：d/dt (∂L/∂(dq/dt)) - ∂L/∂q = 0这个方程就是拉格朗日方程。
其中∂L/∂(dq/dt)表示拉格朗日函数对广义速度的偏导数，∂L/∂q表示拉格朗日函数对广义坐标的偏导数。
该方程描述了系统在广义坐标下的运动规律。
拉格朗日方程的推导过程是基于变分法和哈密顿原理的。
通过对作用量进行变分，我们可以得到极值的条件，即达朗贝尔原理。
然后利用这个极值条件，我们可以推导出拉格朗日方程。
拉格朗日方程在物理学中有着广泛的应用，不仅可以用来描述质点的运动，还可以用来描述刚体的运动、连续介质的运动、以及相对论力学等。
它提供了一种统一的描述物体运动的方法，同时也为我们研究物体的宏观性质提供了一个有力的工具。
拉格朗日方程 拉普拉斯变换
拉格朗日方程拉普拉斯变换全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拉格朗日方程是一种重要的数学工具，它在物理学、工程学、经济学等领域中都有广泛的应用。
拉普拉斯变换则是一种重要的数学变换方法，可以将一个复杂的函数转化为更容易处理的形式。
本文将介绍拉格朗日方程和拉普拉斯变换的基本概念、应用和意义。
让我们来了解一下拉格朗日方程。
拉格朗日方程是以18世纪法国数学家拉格朗日的名字命名的，它是描述物理系统运动的方程。
在经典力学中，拉格朗日方程可以用来描述系统的运动，它基于能量最小原理，并且不需要引入力的概念。
拉格朗日方程可以写成以下形式：\frac{{d}}{{dt}}\left(\frac{{∂L}}{{∂\dot{q_i}}}\right)-\frac{{∂L}}{{∂q_i}} =0L是系统的拉格朗日函数，q_i是广义坐标，\dot{q_i}是广义速度，i=1,2,...,n。
拉格朗日方程可以根据系统的动力学方程导出，从而可以描述系统在给定势能场下的运动规律。
在物理学中，拉格朗日方程广泛应用于描述多种力学系统，例如弹簧振子、摆锤系统、刚体运动等。
通过拉格朗日方程，可以方便地求解系统的运动方程，得到系统的轨迹和各种物理量随时间的演化规律。
拉格朗日方程是理论力学研究的基础之一，也是解决实际问题的有效工具。
接下来，我们来介绍拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种广泛应用于信号处理、控制工程、电路分析等领域的数学工具，它可以将一个函数从时域转换到复频域，使得原有的问题更容易处理。
拉普拉斯变换定义如下：F(s)=\int_0^{∞}f(t)e^{-st} dtf(t)是定义在时域的函数，F(s)是定义在复频域的函数，s是复变量。
通过拉普拉斯变换，可以将时域的微分方程转化为复频域的代数方程，从而可以更方便地求解系统的响应。
在实际应用中，拉普拉斯变换广泛应用于控制系统设计、信号处理、电路分析等领域。
通过拉普拉斯变换，可以简化系统的数学描述，更好地分析系统的性能和稳定性。
《理论力学》一
《理论力学》一一．填空题1. 限制质点运动的物体(如曲线、曲面等 )称为( 约束 )。
2．惯性力（ 约束 ）对应的反作用力，（ 称作 ）牛顿第三定律。
3. 如果力只是位置的函数，并且它的旋度等于零，即满足0F F F z y x)(zy x =∂∂∂∂∂∂=⨯∇k j ir F 则这种力叫做( 惯性力 )。
4．真实力与参考系的选取（ 无关 ），而惯性力却与参与系的选取（相关）。
5．质点系的动能等于质心的动能与各质点相对（速度矢量和）的动能之和。
6. 限制质点运动的物体(如曲线、曲面等 )称为(约束 )。
7．同一质点系中各质点之间的相互作用力称为（约束反力 ）二．选择题1. e a r r θθθθ)2(&&&&+=称为质点的( C )。
a. 法向加速度 b. 切向加速度c. 横向加速度d. 径向加速度2．][)(r F m en '⨯⨯-=ωω称为Aa.平动惯性力b.离心惯性力c.科氏惯性力3． ττdtdv a =称为质点的( C )。
a. 法向加速度 b. 横向加速度c. 切向加速度d. 径加速度4． 质点系中所有内力对任一力矩的矢量和Aa. 等于零b. 不等于零c. 不一定等于零 5. e a r rr r )(2θ&&&-=称为质点的( A )。
a.径向加速度b.横向加速度c.切向加速度d.法向加速度6．质点系内力所作的功Aa. 等于零b. 不等于零c. 不一定等于零 7. n a v n ρ2=称为质点的( B )。
a. 横向加速度 b. 法向加速度c. 径向加速度d. 切向加速度8．如果作用在质点上的力都是保守力，或虽是非保守力作用但非保守力不作功或所作功之和等于零。
则质点系机械能Aa. 守恒b. 不守恒c. 不一定守恒 9．)2(v F r m c ⨯-=ω称为Aa.科氏惯性力b.离心惯性力c.平动惯性力三．简答题1．在曲线坐标系中，单位矢量和基矢有无区别若有，区别何在答：有区别，主要是角度变化。
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
刚体的拉格朗日方程分析
总结词
刚体是一个理想化的物体，其形状和大小在 运动过程中保持不变。刚体的拉格朗日方程 可以用来描述刚体的运动规律。
详细描述
对于刚体，其拉格朗日函数 $L$ 通常由动 能 $T$ 和势能 $V$ 组成，即 $L = T - V$
。刚体的拉格朗日方程可以表示为 $frac{d}{dt}left(frac{partial T}{partial dot{q}}right) - frac{partial T}{partial q} = 0$，其中 $q$ 和 $dot{q}$ 分别是刚体的 广义坐标和速度。这个方程描述了刚体在受
哈密顿正则方程法
总结词
利用哈密顿原理和正则方程，求解系统的运动轨迹。
详细描述
哈密顿正则方程法是求解拉格朗日方程的一种常用方法。它基于哈密顿原理和正则方程，通过构建系统的哈密顿 函数，得到系统的正则方程，进而求解系统的运动轨迹。这种方法在处理多自由度系统、约束系统和非完整系统 时具有优势。
有限元方法
到外力作用下的运动规律。
相对论性粒子的拉格朗日方程分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
相对论性粒子是指具有相对论效应的粒子，其拉格朗日方 程需要考虑相对论效应的影响。
相对论性粒子的拉格朗日方程需要考虑粒子的质量和能量 之间的关系，通常表示为 $frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{q}}right) - frac{partial L}{partial q} = 0$ ，其中 $L$ 是相对论性粒子的拉格朗日函数。这个方程描 述了相对论性粒子在受到外力作用下的运动规律，需要考 虑相对论效应的影响。
在理论力学中，有限元方法可用于求解各种复杂的动力学问题和静态问题。
18拉格朗日方程与哈密顿原理
主讲 贾启芬
第18章 拉格朗日方程与哈密顿原理 18章
18.1 第二类拉格朗日方程
Theoretical Mechanics
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18.1 第二类拉格朗日方程 设质点系有n个质点， 个完整约束且系统所受 设质点系有 个质点，受s个完整约束且系统所受 个质点 的约束是理想约束， 的约束是理想约束，自由度 k=3n- s 。 质点 mi , ri 。若取系统的一组广义坐标 为 q1 , q2 ,⋯ qk ，则
经推导得
d ∂T ∂T − =Q j ɺ dt ∂ q j ∂ q j
( j = 1,2, ⋯ ,k )
拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。 拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。
Theoretical Mechanics
18.1 第二类拉格朗日方程 如果作用于质点系的力是有势力， 如果作用于质点系的力是有势力，则广义力 Q j 可 用质点系的势能来表达。 用质点系的势能来表达。
若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐 若主动力为有势力，须将势能 表示为广义坐 标的函数。 标的函数。 建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出 个二阶常微分 方程。 方程。 求出上述一组微分方程的积分。 5. 求出上述一组微分方程的积分。
Theoretical Mechanics
保守系统的拉格朗日方程。 保守系统的拉格朗日方程。
Theoretical Mechanics
18.1 第二类拉格朗日方程 应用拉氏方程解题的步骤： 应用拉氏方程解题的步骤： 判定质点系的自由度k， 1. 判定质点系的自由度 ，选取适宜的广义坐 必须注意：不能遗漏独立的坐标， 标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有 多余的（不独立）坐标。 多余的（不独立）坐标。 计算质点系的动能T， 2. 计算质点系的动能 ，表示为广义速度和 广义坐标的函数。 广义坐标的函数。
理论力学
i 1 i 1
f1 f1 f1 ( dqi dQi ) dt Qi t i 1 qi
由哈密顿原理推导哈密顿正则方程
• 由哈密顿原理出发，将p，q都看成是独立变 量，变分之后能得到哈密顿正则方程。
S Ldt ( pi dqi Hdt )
B B A A i 1 s
H H [ pi dqi pi d ( qi ) qi dt pi dt ] A qi pi i 1
2 pq H k pq 0 pq const , mr 2 0 3 q mr r
• 不能因为pq是恒量而直接替去L中的 q ，而是应该 用劳斯函数，其中pq才能当常数处理。
作业：3.1, 3.2, 3.3 第15次课
哈密顿正则方程解题步骤
• 用哈密顿正则方程解题的步骤大致有
勒让德变换
• 系统函数以谁为自变量，则它的全微分就 写成这些变量的微分之线性组合，系数就 是该自变量的共轭变量，也即系统函数对 该自变量的偏微分。 • 勒让德变换可以将系统函数的某个自变量 （如下例的x）换为它的共轭变量（u）， 同时，系统函数也有相应变化。例如：
f f df ( x, y ) dx dy udx vdy d (ux) xdu vdy x y dg (u, y ) d (ux f ) xdu vdy
s B
H H B [ ( pi qi pi qi qi pi )dt pi qi A ] A qi pi i 1
s B
H H [( pi ) qi (qi ) pi ]dt 0 A qi pi i 1
拉格朗日方程的三种推导方法甄选范文
拉格朗日方程的三种推导方法1引言拉格朗日方程是分析力学中的重要方程，其地位相当于牛顿第二定律之于牛顿力学。
2达朗贝尔原理推导达朗贝尔原理由法国物理学家与数学家让•达朗贝尔发现并以其命名。
达朗贝尔原理表明：对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总合为零。
即：(1)其中为惯性力，。
为粒子所受外力，为符合系统约束的虚位移。
设粒子的位置为广义坐标与时间 t的函数：则虚位移可以表示为：(2)粒子的速度可表示为：取速度对于广义速度的偏微分：(3)首先转化方程(1) 的加速度项。
将方程(2) 代入：应用乘积法则：注意到的参数为，而速度的参数为，所以，。
因此，以下关系式成立：(4)将方程(3) 与(4) 代入，加速度项成为代入动能表达式：，则加速度项与动能的关系为(5)然后转换方程(1)的外力项。
代入方程(2) 得：(6)其中是广义力：将方程(5) 与(6) 代入方程(1) 可得：(7)假设所有的广义坐标都相互独立，则所有的广义坐标的虚位移也都相互独立。
由于这些虚位移都是任意设定的，只有满足下述方程，才能使方程(7) 成立：(8)这系统的广义力与广义位势之间的关系式为代入得：定义拉格朗日量为动能与势能之差，可得拉格朗日方程：3 哈密顿原理推导 哈密顿原理可数学表述为： 210t t Ldt δ=⎰ 在等时变分情况下，有 ()d q q dt δδ•=2211()0t t t t Ldt L dt δδ==⎰⎰ (1)由拉格朗日量定义得，在等时变分情况下有L L L q q q q δδδ••∂∂=+∂∂ (2)其中第一项可化为：()()()LL d d L d L q q q q dt dt dt q q q q δδδδ•••••∂∂∂∂==•-∂∂∂∂ (3) 将(3)代入(2)得()()d L d L L L q q q dt dt q q q δδδδ••∂∂∂=•-+∂∂∂ (4)将(4)代入(1)得 2121()(())0t t t t Ld L L q q q dt dt qq q δδδ••∂∂∂•+-+=∂∂∂⎰ (5) 在12,t t 处0q δ=，所以(5)变为21(())0t t d L L q q dt dt q q δδ•∂∂-=∂∂⎰ (6) 即21[(())]0t t d L L q dt dt q q δ•∂∂-+=∂∂⎰ (7)q 是独立变量，所以拉格朗日方程：4欧拉-拉格朗日方程推导欧拉-拉格朗日方程可以表述为：设有函数和：其中是自变量。
力学系统的哈密顿量与拉格朗日量的关系
力学系统的哈密顿量与拉格朗日量的关系力学是研究物体运动的学科，它是自然科学中的重要分支之一。
在力学中，我们常常会遇到两个重要的概念：哈密顿量和拉格朗日量。
这两个概念在力学系统的描述中起着至关重要的作用，它们之间存在着一定的关系。
首先，让我们来了解一下哈密顿量和拉格朗日量的定义。
在力学中，哈密顿量是描述系统能量的函数，通常用H表示。
而拉格朗日量则是描述系统运动的函数，通常用L表示。
哈密顿量和拉格朗日量都是由系统的广义坐标和广义速度所决定的。
在经典力学中，我们可以通过拉格朗日量来描述力学系统的运动方程。
拉格朗日量可以通过系统的动能和势能来构造，即L = T - V，其中T是系统的动能，V是系统的势能。
通过变分原理，我们可以得到系统的运动方程，即拉格朗日方程。
拉格朗日方程可以通过求解系统的广义坐标和广义速度的变分来得到。
与此相对应的，我们可以通过哈密顿量来描述力学系统的运动。
哈密顿量可以通过拉格朗日量和广义动量来构造，即H = Σpiqi - L，其中pi是广义动量，qi是广义坐标。
通过求解哈密顿方程，我们可以得到系统的运动方程。
哈密顿方程可以通过对广义坐标和广义动量的变分来得到。
哈密顿量和拉格朗日量之间的关系可以通过勒让德变换来建立。
勒让德变换是一种将拉格朗日量转化为哈密顿量的方法。
它可以通过对拉格朗日量进行勒让德变换，即对广义速度进行变换，来得到哈密顿量。
勒让德变换的过程中，我们需要求解广义动量和广义速度之间的关系。
在经典力学中，哈密顿量和拉格朗日量之间的关系是等价的。
也就是说，通过哈密顿量可以得到与通过拉格朗日量得到的运动方程完全相同。
这种等价关系在经典力学中被称为勒让德定理。
然而，在量子力学中，哈密顿量和拉格朗日量之间的关系并不是等价的。
量子力学是描述微观粒子运动的理论，它与经典力学有着本质的不同。
在量子力学中，哈密顿量和拉格朗日量描述的是系统的能量和运动规律，它们之间存在着一定的关系，但并不是完全等价的。
拉格朗日方程推导
拉格朗日方程推导拉格朗日方程是经典力学中一种非常重要的数学工具，它可以描述物体在运动过程中受到的力和其位置、速度之间的关系。
拉格朗日方程的推导基于哈密顿原理和最小作用量原理，它将物体的运动问题转化为极值问题，从而可以得到物体运动的方程。
要推导拉格朗日方程，我们首先需要引入拉格朗日函数。
拉格朗日函数是一个关于广义坐标q和广义速度q'的函数，记作L(q,q')。
对于一个系统，如果它的势能函数为V(q)、动能函数为T(q,q')，则拉格朗日函数可以表示为L(q,q')=T(q,q')-V(q)。
在获得拉格朗日函数后，我们需要计算拉格朗日函数的变分。
变分表示函数对于其参数的微小变化。
我们对广义坐标q和广义速度q'进行变分，即对于广义坐标q的变分为δq，对于广义速度q'的变分为δq'。
那么拉格朗日函数的变分可以表示为δL=δT-δV。
现在我们需要使用哈密顿原理和最小作用量原理。
哈密顿原理指出在稳定平衡状态下，系统的势能和广义坐标的导数之和为零，即∑∂V/∂q=0。
最小作用量原理指出，在物体从一个空间点A运动到空间点B的过程中，作用量S=S(q(t),q'(t))是一个极小值。
其中S的定义为S=∫L(q,q')dt。
将这两个原理应用于拉格朗日函数的变分中，我们可以得到δL=δT-δV=0。
这个方程就是拉格朗日方程的前一部分。
接下来我们将拉格朗日函数写成广义坐标q和广义速度q'的函数形式，即L(q,q',t)。
然后对L(q,q',t)关于广义速度q'进行偏导数得到∂L/∂q'。
接着我们将∂L/∂q'关于时间t进行偏导数，即∂(∂L/∂q')/∂t。
这个部分是拉格朗日方程的后一部分。
将前一部分和后一部分合并在一起，即δL/∂q-∂(∂L/∂q')/∂t=0，就得到了拉格朗日方程。
结构动力学期末复习题_2014
结构动力学期末复习题_2014结构动力学期末复习题1． 试用哈密顿原理推证第二类拉格朗日方程。
2． 在允许大变形的情况下，请采用拉格朗日方程求出图示系统在指定的广义坐标下的运动微分方程。
若仅考虑小变形振动，写出其运动微分方程。
图中弹簧1未变形时的原长为1l ，弹簧2未变形时的原长为a 。
5. 试讨论对于多自由度体系如何形成一致质量矩阵、一致刚度（包括几何刚度）矩阵、一致荷载列阵并分析与集中质量矩阵的区别。
6. 一栋多层楼房，在地震地面运动作用下运动，若结构在运动中保持为弹性，弹簧1(a +q )P(t)ym 3q 弹簧22k 22q 1k 1m 1x试述求解该结构弹性动力反应的振型叠加法的原理以及求解步骤。
7. 一栋多层楼房，在地震地面运动作用下运动，结构产生非线性变形，试讨论如果将结构简化为集中质量的串模型，如何采用逐步积分法分析该结构在地震地面运动作用下结构的非线性反应时程，写出线性加速度法、Wilson-θ法、Newmark-β法、中央差分法等几种方法中的一种方法分析求解非线性多自由度体系的动力反应的步骤，并就你所知，讨论用于结构非线性时程反应分析的这些逐步积分方法在稳定性和求解精度方面的优缺点，提出你的改进意见和方法。
8.9. (ρ1()(EI x EI o +=试采用10. 满载时为m 1=为kg m 5002=度为k 350=呈正弦波形，可表示为lza x s π2sin =，其中，m l 5=。
求拖车在满载和空载时的振幅比。
11. 试推导粘性阻尼力在一周内消耗的能量的表达式。
12. 试求振动系统02=++kx x x m nζω在图示方波激励下的稳态受迫振动。
13. 图示结构，受到如图所示周期性荷载，可表示如下的正弦级数：t b t p n n n ωsin )(1∑∞==，其中，n n n p b )1(20--=π，不考虑阻尼，且荷载频率与结构自振频率之比为：431=ωω，试求出结构在此荷载作用下的稳态反应。
第二类拉格朗日方程适用范围
第二类拉格朗日方程适用范围拉格朗日方程是经典力学中的一种重要数学工具，用于描述质点、刚体等物体在力的作用下的运动规律。
在拉格朗日力学中，第二类拉格朗日方程是一种常用的分析方法，适用于一些特殊的力学系统，本文将介绍第二类拉格朗日方程的适用范围。
第二类拉格朗日方程是拉格朗日力学中的一个重要定理，它是由哈密顿原理推导出来的。
拉格朗日力学的核心思想是通过引入拉格朗日函数来描述系统的动力学行为，而第二类拉格朗日方程则是一种从拉格朗日函数中导出运动方程的方法。
第二类拉格朗日方程适用于那些具有广义坐标的力学系统。
所谓广义坐标，是指用于描述系统运动的坐标，不仅仅限于笛卡尔坐标系中的直角坐标，还可以是柱坐标、球坐标等其他坐标系。
在这种情况下，拉格朗日函数将会是广义坐标和广义速度的函数。
第二类拉格朗日方程的推导基于哈密顿原理，即系统的真实运动路径是使作用量取极值的路径。
作用量是一个积分量，由拉格朗日函数和时间的积分得到。
根据哈密顿原理，我们可以得到拉格朗日方程。
在具体应用中，第二类拉格朗日方程适用于各种力学系统的分析。
例如，刚体的运动可以通过广义坐标和广义速度来描述，而拉格朗日方程可以将刚体的运动方程表达为一组常微分方程。
此外，弹性体、流体等复杂系统的运动也可以通过第二类拉格朗日方程进行分析。
在实际应用中，第二类拉格朗日方程的求解可以通过数值方法或解析方法来实现。
对于简单的力学系统，可以使用解析方法得到精确的解析解；而对于复杂的系统，由于拉格朗日方程的非线性特性，通常需要借助于数值模拟方法进行求解。
除了力学系统，第二类拉格朗日方程还可以应用于其他领域，如电磁学、光学、量子力学等。
在电磁学中，可以利用拉格朗日方程来描述电荷在电磁场中的运动规律；在光学中，可以利用拉格朗日方程来描述光的传播和折射等现象；在量子力学中，可以利用拉格朗日方程来描述微观粒子的运动。
第二类拉格朗日方程是一种重要的数学工具，适用于描述各种力学系统的运动规律。
哈密顿原理的推导
i 1
k d j1 dt
T q j
T q j
q j
(9)
n
n
n
k
Fi ri miai ri 0 (2)
Fi ri Q jq j (3)
i 1
i 1
i 1
j 1
将此成果代入(2)式中得：
k d
j1 dt
T q j
T q j
Q j q j
0
(10a)
当主动力有势力时： 式中得：
0
(11a)
V 广义力：Q j q j 代入(11a)式中，而拉格朗日
函数L=T-V(质点系旳动能与势能之差又称为动势)
(11a)式又能够写为：
k
j 1
d dt
L q j
q j
L q j
q
j
0
V q j
0 (11b)
将(11b)式乘以dt，并从t1到t2作定积分，有：
t2 t1
mi ri 2 2
n
miai ri
i 1
n
miai
i1
k j 1
ri q j
q
j
k j 1
n i 1
miai
ri q j
q j
ma ri q j
d dt
q j
mi ri 2 2
q
j
mi ri 22(来自)将此成果代回式(4)，并引入质点系动能
得:
T n mi ri2
i1 2
n
q j
ri
q
2ri q t
k 2ri j1 q q j
q j
另一方面，直接由矢径 ri 对某一广义坐