2021年广东省广州市中考数学压轴题总复习(附答案解析)
2021年广东省中考数学试卷及答案解析
2021年广东省中考数学试卷及答案解析2021年广东省中考数学试卷及答案解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1.（3分）9的相反数是（）A。
-9B。
9C。
1/9D。
-1/22.（3分）一组数据2，4，3，5，2的中位数是（）A。
5B。
3.5C。
3D。
2.53.（3分）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（）A。
（-3，2）B。
（-2，3）C。
（2，-3）D。
（3，-2）4.（3分）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（）A。
4B。
5C。
6D。
75.（3分）若式子√2x-4在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A。
x≠2B。
x≥2C。
x≤2D。
x≠-26.（3分）已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（）A。
8B。
2√2C。
16D。
4√27.（3分）把函数y=(x-1)²+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为（）A。
y=x²+2B。
y=(x-1)²+1C。
y=(x-2)²+2D。
y=(x-1)²-38.（3分）不等式组{x-1≥-2(x+2)。
2-3x≥-1}的解集为（）A。
无解B。
x≤1C。
x≥-1D。
-1≤x≤29.（3分）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD=60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（）A。
1B。
√2C。
√3D。
210.（3分）如图，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=1，下列结论：①abc>0；②b²-4ac>0；③8a+c0。
正确的有（）A。
4个B。
3个C。
2个D。
1个二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）11.（4分）分解因式：xy-x= x(y-1)12.（4分）如果单项式3x^my与-5x^3yn是同类项，那么m+n= 313.（4分）若√(a-2)+|b+1|=3，则（a+b）^2020= 114.（4分）已知x=5-y，xy=2，计算3x+3y-4xy的值为：-115.（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A=30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B，C，D为圆心画圆，相交于点E，F，G，H，求四边形EFGH的面积为。
2021年广东省广州市九年级中考数学 三轮冲刺复习：三角形(含答案)
2021广州中考三轮冲刺复习：三角形一、选择题1. 下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是()2. 在一个三角形中，有一个角是55°，则另外的两个角可能是()A．95°，20°B．45°，80°C．55°，60°D．90°，20°3. 如图，在△ABC中，表示AB边上的高的图形是()4. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的根，则该三角形的周长为()A. 8B. 10C. 8或10D. 125. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为()A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°6. 在△ABC中，若∠B＝3∠A，∠C＝2∠B，则∠B的度数为()A．18°B．36°C．54°D．90°7. (2019•荆门)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1的度数是A．95︒B．100︒C．105︒D．110︒8. 如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC 于点E，则∠ADE的度数是()A．54°B．50°C．45°D．40°二、填空题9. 如图，已知AB，CD相交于点O，且∠A＝38°，∠B＝58°，∠C＝44°，则∠D＝________°.10. 若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是________．11. 如图，已知∠A＝54°，∠B＝31°，∠C＝21°，则∠1＝________°.12. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥OC交BC于点D.若∠A ＝80°，则∠BOD＝________°.13. 在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是________．14. 模拟某人为机器人编制了一段程序(如图)，如果机器人以2 cm/s的速度在平地上按照程序中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需的时间为________s.15. 如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.若∠A＝70°，则∠BOC＝________°.16. 如图，若该图案是由8个形状和大小相同的梯形拼成的，则∠1＝________°.三、解答题17. 如图，佳佳和音音住在同一小区(A点)，每天一块去学校(B点)上学.一天，佳佳要先去文具店(C点)买练习本再去学校，音音要先去书店(D点)买书再去学校(B，D，C三点在同一条直线上).这天两人从家到学校谁走的路程远?为什么?18. 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．19. 某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的15多12°.(1)求出这个正多边形的一个内角的度数; (2)求这个正多边形的边数.20. 如图，CE是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ，∠B ＝25°，∠E＝30°，求∠BAC 的度数．21. 如图，在△ABC中，BD 是角平分线，CE 是AB 边上的高，且∠ACB=60°，∠ADB=97°，求∠A 和∠ACE 的度数.NMEFCBA22. 观察与转化思想如图是五角星形，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．23. 已知:如图1-Z-20，在四边形ABCD中，∠D=90°，∠ABC=∠BCD，点E在直线BC上，点F在直线CD上，且∠AEB=∠CEF.(1)如图①，若AE平分∠BAD，求证:EF⊥AE;(2)如图②，若AE平分四边形ABCD的外角，其余条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立?说明理由.24. 如图①所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C>∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F.(1)试探索∠DEF与∠B，∠C之间的数量关系；(2)如图②所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索得到的结论是否还成立？2021广州中考三轮冲刺复习：三角形-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] ∵在一个三角形中，有一个角是55°，∴另外的两个角的和为125°，各选项中只有B选项中的两个角的和为125°.故选B.3. 【答案】D4. 【答案】B【解析】解一元二次方程x2－6x＋8＝0，得x1＝2，x2＝4.当三角形三边为2，2，4时，∵2＋2＝4，∴不符合三边关系，应舍去；当三角形三边为2，4，4时，∵2＋4>4，符合三边关系，∴三角形的周长为10，故选B.5. 【答案】A【解析】由AE∥BD，可得∠DBC＝∠E＝35°，由BD平分∠ABC可得∠ABC＝2∠DBC＝70°，由AB＝AC可得∠ABC＝∠C＝70°，由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°－70°－70°＝40°.6. 【答案】C[解析] ∵在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝2∠B，∴∠C＝6∠A.设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝6x.由三角形内角和定理可得x＋3x＋6x＝180°，解得x＝18°，∴∠B＝3x＝54°.7. 【答案】C【解析】如图，由题意得，2454903060∠=︒∠=︒︒=︒，-，∴3245∠=∠=︒， 由三角形的外角性质可知，134105∠=∠+∠=︒，故选C ．8. 【答案】D[解析] 由三角形内角和定理可知∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－46°－54°＝80°.因为AD 平分∠BAC ， 所以∠BAD ＝12∠BAC ＝40°. 因为DE ∥AB ，所以∠ADE ＝∠BAD ＝40°.二、填空题9. 【答案】64[解析] 由三角形内角和定理可知∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∠B ＋∠C ＋∠BOC＝180°.∵∠AOD ＝∠BOC ， ∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C. ∴∠D ＝64°.10. 【答案】720°[解析] 该正多边形的边数为360°÷60°＝6.该正多边形的内角和为(6－2)×180°＝720°.11. 【答案】106[解析] 由三角形的外角性质可知，∠CDB ＝∠A ＋∠C ＝75°，∴∠1＝∠CDB ＋∠B ＝106°.12. 【答案】4013. 【答案】4∶3【解析】如解图，过D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE ＝DF ＝h ，则S △ABD S △ACD＝12AB·h 12AC·h ＝43.14. 【答案】16[解析] 由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形，多边形的边数为36045＝8， 则所走的路程是4×8＝32(cm)， 故所用的时间是32÷2＝16(s)．15. 【答案】125[解析] ∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠ABO ＝∠CBO ，∠BCO ＝∠ACO.∴∠CBO ＋∠BCO ＝12(∠ABC ＋∠ACB)＝12(180°－∠A)＝12(180°－70°)＝55°. ∴在△BOC 中，∠BOC ＝180°－55°＝125°.16. 【答案】67.5三、解答题17. 【答案】解:佳佳从家到学校走的路程远.理由:佳佳从家到学校走的路程是AC+CD+BD ，音音从家到学校走的路程是AD+BD.∵在△ACD 中，AC+CD>AD ，∴AC+CD+BD>AD+BD ，即佳佳从家到学校走的路程远.18. 【答案】延长AM 、AN 交BC 于点Q 、R ．由等腰三角形三线合一可得AM QM =、AN RN =再由三角形中位线可得MN BC ∥．19. 【答案】解:(1)设这个多边形的一个内角的度数是x °，则与其相邻的外角度数是15x °+12°.由题意，得x+1x+12=180，解得x=140.5即这个正多边形的一个内角的度数是140°.=9.(2)这个正多边形的每一个外角的度数为180°-140°=40°，所以这个正多边形的边数是36040 20. 【答案】解：∵∠B＝25°，∠E＝30°，∴∠ECD＝∠B＋∠E＝55°.∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE＝∠ECD＝55°.∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝85°.21. 【答案】解:∵∠ADB=∠DBC+∠ACB，∴∠DBC=∠ADB-∠ACB=97°-60°=37°.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABC=74°.∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=46°.∵CE是AB边上的高，∴∠AEC=90°.∴∠ACE=90°-∠A=44°.22. 【答案】解：如图，∵∠1是△CEG的外角，∴∠1＝∠C＋∠E.同理可得∠AFB＝∠B＋∠D.∵在△AFG中，∠A＋∠1＋∠AFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.23. 【答案】解:(1)证明:∵∠BAE=180°-∠ABC-∠AEB，∠EFC=180°-∠BCD-∠CEF，且∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，∴∠BAE=∠EFC.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE.∴∠EFC=∠DAE.∵∠EFC+∠EFD=180°，∴∠DAE+∠EFD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠DAE+∠EFD)=180°.又∵∠D=90°，∴∠AEF=90°.∴EF⊥AE.(2)EF⊥AE仍成立.理由如下:如图.∵∠1=∠ABC-∠AEB，∠F=∠BCD-∠CEF，且∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，∴∠1=∠F.∵AE平分四边形ABCD的外角，∴∠1=∠2.∴∠F=∠2.∵∠2+∠EAD=180°，∴∠F+∠EAD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠F+∠EAD)=180°.又∵∠D=90°，∴∠AEF=90°.∴EF⊥AE.24. 【答案】解：(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＝12∠BAC.又∵∠BAC ＝180°－(∠B ＋∠C)，∴∠1＝12[180°－(∠B ＋∠C)]＝90°－12(∠B ＋∠C)．∴∠EDF ＝∠B ＋∠1＝∠B ＋90°－12(∠B ＋∠C)＝90°＋12(∠B －∠C)．∵EF ⊥BC ，∴∠EFD ＝90°.∴∠DEF ＝90°－∠EDF ＝90°－[90°＋12(∠B －∠C)]＝12(∠C －∠B)．(2)当点E 在AD 的延长线上时，其余条件都不变，在(1)中探索得到的结论仍成立．。
广东中考数学压轴题
广东09压轴题127．（广东省）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；（2）设BM ＝x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时，Rt △ABM ∽Rt △AMN ，并求此时x 的值．128．（广东省广州市）如图，二次函数y ＝x2＋px ＋q （p ＜0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)，△ABC 的面积为45． （1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M (0，m )作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ACBD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．M B CND A129．（广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△P AB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△P AB的最大面积；若没有，请说明理由．130．（广东省深圳市）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．（1）连结P A，若P A＝PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？备用图131．（广东省深圳市）已知：Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA ＜OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图1）．（1）求线段OA 、OB 的长和经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式． （2）如图2，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m ＞0，n ＞0），连接DP 交BC 于点E ．①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E 的坐标． ②又连接CD 、CP （如图3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由．132．（广东省珠海市）已知抛物线y ＝x2－32mx 与x 轴相交于点A 、B ，抛物线的顶点为C ．（1）试用含m 的代数式表示AB 的长度； （2）当△ABC 为等边三角形时，求点C 的坐标； （3）在（2）的条件下，如何平移抛物线，使AC ＝213AB ？133．（广东省佛山市）如图1，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C 1处． （1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当AB ＝4，BC ＝4，CC 1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长； （3）求点B 1到最短路径的距离． A Bxy O 图1C A B x y O PD E图2 C A BPxy O D E 图3 C 备用图 图1134．（广东省茂名市）已知：如图，直线l ：y ＝31x ＋b ，经过点M (0，41)，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)，…，B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1(x 1，0)，A 2(x 2，0)，A 3(x 3，0)，…，A n +1(x n +1，0)（n 为正整数），设x 1＝d （0＜d ＜1）． （1）求b 的值；（2）求经过点A 1、B 1、A 2的抛物线的解析式（用含d 的代数式表示）（3）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．探究：当d （0＜d ＜1）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 的值．135．（广东省湛江市）已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点OA 不重合），现将△POC 沿PC 翻折得到△PEC ，再在AB 边上选取适当的点D ，将△P AD 沿PD 翻折，得到△PFD ，使得直线PE 、PF 重合．（1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P 、C 、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP ＝x ，AD ＝y ，当x 为何值时，y 取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△PDQ 是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．136．（广东省肇庆市）如图，⊙O 的直径AB ＝2，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ．设AD ＝x ，BC ＝y ． （1）求证：AM ∥BN ；（2）求y 关于x 的关系式；（3）求四边形ABCD 的面积S ，并证明：S≥2．137．（广东省清远市）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，∠B 和∠C 都为锐角，M 为AB 上一动点（点M 与点A 、B 不重合），过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，在△AMN 中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将△AMN 沿MN 折叠，使△AMN 落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为A 1，△A 1MN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？138．（广东省梅州市）如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3．点E 是CD 上的动点，以AE 为直径的⊙O 与AB 交于点F ，过点F 作FG ⊥BE 于点G ． （1）当E 是CD 的中点时：①tan ∠EAB 的值为______________； ②证明：FG 是⊙O 的切线；（2）试探究：BE 能否与⊙O 相切？若能，求出此时DE 的长； 若不能，请说明理由．NB C N M A139．（广东省梅州市）如图，已知直线L过点A(0，1)和B(1，0)，P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M．（1）直接写出直线L的解析式；（2）设OP＝t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0＜t＜2时，S的最大值；（3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．1。
2021年广东省中考数学解答题压轴题练习及答案 (2)
2021年广东省中考数学解答题压轴题练习1．已知：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，tan∠ABC＝2．过点B作BM∥AC，动点P在射线BM上（点P不与B重合），连结P A并延长到点Q，使∠AQC＝∠ABP．（1）求△ABC的面积；（2）设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）连接PC，如果△PQC是直角三角形，求BP的长．【分析】（1）用解直角三角形的方法，求出AH和BC长即可求解；（2）证明△ABP∽△CQA，利用，即可求解；（3）连接PC，△PQC是直角三角形，即∠PCQ＝90°，利用cos∠PQC＝cosα＝＝，即可求解．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC交于点H，在Rt△ABH中，tan∠ABC＝＝2，设BH＝m，∴AH＝2m，根据勾股定理得，m2+（2m）2＝36，∴m＝﹣2（舍）或m＝2，∴BH＝2，AH＝2m＝4，在Rt△AHC中，AC＝9，根据勾股定理得，CH＝＝7，∴BC＝BH+CH＝9，S△ABC＝AH•BC＝×4×9＝18；（2）过点A作AG⊥P A交于点G，由（1）知，BC＝9，∵AC＝9，∴AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC，∵BM∥AC，∴∠BAC＝∠ABP，∴∠ABP＝∠ABC，∵AH⊥BC，AG⊥BP，∴AG＝AH＝4，BG＝BH＝2，∴PG＝BP﹣BG＝x﹣2根据勾股定理得，AP＝＝，∵BM∥AC，∴∠QAC＝∠APB，又∠AQC＝∠ABP，∴△ABP∽△CQA，∴，其中：AB＝6，BP＝x，QA＝y，AP＝，AC＝9，∴，∴CQ＝，y＝①（x＞0）；（3）连接PC，△PQC是直角三角形，即∠PCQ＝90°，在Rt△ABH中，cos∠ABH＝＝，∴cos∠PQC＝cosα＝＝其中CQ＝，PQ＝AP+AQ＝y+AP，AP＝，∴＝②联立①②解得：x＝﹣14（舍）或x＝9，即BP的长为9．。
专题04 几何压轴题-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编(广州专用)(解析版)
专题04 几何压轴题1．（2021•广州）如图，在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，2AB =，点E 为边AB 上一个动点，延长BA 到点F ，使AF AE =，且CF 、DE 相交于点G ．（1）当点E 运动到AB 中点时，证明：四边形DFEC 是平行四边形；（2）当2CG =时，求AE 的长；（3）当点E 从点A 开始向右运动到点B 时，求点G 运动路径的长度．【答案】（1）见解析；（2）34；（3）273【详解】（1）连接DF ，CE ，如图所示：，E 为AB 中点，12AE AF AB ∴==， EF AB ∴=，四边形ABCD 是菱形，//EF CD ∴，EF AB CD ==，∴四边形DFEC 是平行四边形．（2）作CH BH ⊥，设AE FA m ==，如图所示，，四边形ABCD 是菱形，//CD EF ∴，CDG FEG ∴∆∆∽， ∴CD EF CG FG =， 2FG m ∴=， 在Rt CBH ∆中，60CBH ∠=︒，2BC =， sin 60CH BC ︒=，3CH =， cos60BH BC︒=，1BH =， 在Rt CFH ∆中，22CF m =+，3CH =，3FH m =+，222CF CH FH =+，即(22)2(3)2(3)2m m +=++，整理得：32280m m +-=，解得：143m =，22m =-（舍去）， ∴43AE =． （3）G 点轨迹为线段AG ，证明：如图，（此图仅作为证明AG 轨迹用），延长线段AG 交CD 于H ，作HM AB ⊥于M ，作DN AB ⊥于N ，四边形ABCD 是菱形，//BF CD ∴，DHG EGA ∴∆∆∽，HGC AGF ∆∆∽，∴AE AG DH HG =，AF AG HC HG =， ∴AE AF DH CH=， AE AF =，1DH CH ∴==，在Rt ADN ∆中，2AD =，60DAB ∠=︒．sin 60DN AD ∴︒=，3DN =．cos60AN AD ︒=，1AN =， 在Rt AHM ∆中，3HM DN ==，2AM AN NM AN DH =+=+=，3tan 2HAM ∠=， G 点轨迹为线段AG ．G ∴点轨迹是线段AG ．如图所示，作GH AB ⊥，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，2AB =，//CD BF ∴，2BD =，CDG FBG ∴∆∆∽，∴CD DG BF BG=，即2BG DG =， 2BG DG BD +==，43BG ∴=， 在Rt GHB ∆中，43BG =，60DBA ∠=︒， sin 60GH BG ︒=，233GH =， cos60BH BG ︒=，23BH =， 在Rt AHG ∆中，24233AH =-=，233GH =， 423282()2()2339AG =+=， 273AG ∴=． G ∴点路径长度为273． 2．（2019•广州）如图，等边ABC ∆中，6AB =，点D 在BC 上，4BD =，点E 为边AC 上一动点（不与点C 重合），CDE ∆关于DE 的轴对称图形为FDE ∆．（1）当点F 在AC 上时，求证：//DF AB ；（2）设ACD ∆的面积为1S ，ABF ∆的面积为2S ，记12S S S =-，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B ，F ，E 三点共线时．求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）713- 【详解】（1）ABC ∆是等边三角形 60A B C ∴∠=∠=∠=︒ 由折叠可知：DF DC =，且点F 在AC 上60DFC C ∴∠=∠=︒DFC A ∴∠=∠//DF AB ∴；（2）存在，过点D 作DM AB ⊥交AB 于点M ，6AB BC ==，4BD =，2CD ∴=2DF ∴=，∴点F 在以D 为圆心，DF 为半径的圆上，且在ABC ∆内部，∴当点F 在DM 上时，ABF S ∆最小，4BD =，DM AB ⊥，60ABC ∠=︒23MD ∴=ABF S ∆∴的最小值16(232)6362=⨯⨯-=- ()12336363362S ∴=⨯⨯--=-+最大值 （3）如图，过点D 作DG EF ⊥于点G ，过点E 作EH CD ⊥于点H ，CDE ∆关于DE 的轴对称图形为FDE ∆2DF DC ∴==，60EFD C ∠=∠=︒GD EF ⊥，60EFD ∠=︒1FG ∴=，33DG FG == 222BD BG DG =+， 2163(1)BF ∴=++，131BF ∴=-13BG ∴=EH BC ⊥，60C ∠=︒2EC CH ∴=，332EH HC EC == GBD EBH ∠=∠，90BGD BHE ∠=∠=︒BGD BHE ∴∆∆∽∴DG EH BG BH= ∴3321362EC EC =- 131EC ∴=-713AE AC EC ∴=-=-3．（2021•广州模拟）如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，30D ∠=︒，AB BC =．（1）求A C ∠+∠的度数；（2）连接BD ，探究AD ，BD ，CD 三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若1AB =，点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足222AE BE CE =+，求点E 运动路径的长度．π【答案】（1）︒270；（2）见解析；（3）3【详解】（1）如图1中，在四边形ABCD中，360D∠=︒，30∠=︒，BA B C D∠+∠+∠+∠=︒，60∴∠+∠=︒-︒-︒=︒．3606030270A C（2）如图2中，结论：222=+．DB DA DC理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形BDQ∆．∠=∠=︒，60ABC DBQ∴∠=∠，ABD CBQ=，=，DB BQAB BCABD CBQ SAS∴∆≅∆，()∴=，A BCQ∠=∠，AD CQ∠+∠=∠+∠=︒，A BCD BCQ BCD270∴∠=︒，DCQ90222∴=+，DQ DC CQ=，DQ DB=，CQ DA222∴=+．DB DA DC（3）如图3中，连接AC，将ACE∆，连接RE．∆绕点A顺时针旋转60︒得到ABR则AER ∆是等边三角形，222EA EB EC =+，EA RE =，EC RB =，222RE RB EB ∴=+，90EBR ∴∠=︒，150RAE RBE ∴∠+∠=︒，210ARB AEB AEC AEB ∴∠+∠=∠+∠=︒，150BEC ∴∠=︒，∴点E 的运动轨迹在O 为圆心的圆上，在O 上取一点K ，连接KB ，KC ，OB ，OC ， 180K BEC ∠+∠=︒，30K ∴∠=︒，60BOC ∠=︒，OB OC =，OBC ∴∆是等边三角形，1OB OC BC ∴===，∴点E 的运动路径6011803ππ==． 4．（2021•天河区一模）如图，ABC ∆中，120BAC ∠︒，AB AC =，点A 关于直线BC 的对称点为点D ，连接BD ，CD ．（1）求证：四边形ABDC 是菱形；（2）延长CA 到E ，使得AB BE =．求证：22BC AC CE AC -⋅=；（3）在（2）小题条件下，可知E ，B ，D ，C 四点在同一个圆上，设其半径为a （定值），若BC kAB =，问k 取何值时，BE CE ⋅的值最大？【答案】见解析；【详解】（1）证明：如图1，连接AD ，交BC 于O ，A ，D 关于直线BC 对称，AD BC ∴⊥，OA OD =，AB AC =，OB OC ∴=，∴四边形ABDC 是菱形；（2）证明：解法一：如图2，延长AE 到F ，使EF BE =，连接BF ，AB BE =，AB BD CD AC BE EF ∴=====，BE CE EF CE CF ∴+=+=，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，同理得EBF F ∠=∠，BAE BEA ∠=∠，BAE ABC ACB ∠=∠+∠，BEA EBF F ∠=∠+∠，ABC ACB EBF F ∴∠=∠=∠=∠，ABC BFC ∴∆∆∽， ∴BC AC CF BC =， 2()()BC AC CF AC CE EF AC CE AC ∴=⋅=⋅+=⋅+，即22BC AC CE AC -⋅=；解法二：如图3，过点B 作BP CE ⊥于P ，AB BE =，AP EP ∴=，且AB AC BE ==，Rt BPC ∆中，222BC BP CP =+，在Rt BPA ∆中，222BA BP AP =+，2222222222()()BC AC BC AB BP CP BP AP CP AP ∴-=-=+-+=-，22()()()CP AP CP AP CP AP CP EP AC CE AC -=+-=+⋅=⋅，22BC AC CE AC ∴-=⋅，即22BC AC CE AC -⋅=；（3）解：如图4，连接AD 交BC 于M ，作CD 的垂直平分线交DA 的延长线于G ，连接CG ，由题意得：CG DG a ==，设DM x =，则GM a x =-，120BAC ∠︒，∴当120BAC ∠=︒时，如图5，ABD ∆和ADC ∆是等边三角形，AB AD AC ∴==，∴当点A 为圆心，即点A 与G 重合，此时1cos602x CD a =⋅︒=， 02a x ∴<， 四边形ABCD 是菱形，BC AD ∴⊥，2BC CM =，由勾股定理得：2222()2CM a a x x ax =--=-+，22222CD x x ax ax =-+=，222448BC CM x ax ∴==-+，222BE CD ax ==，由22BC AC CE AC -⋅=，得2222222239482464()44BE CE BC AC BC BE x ax ax x ax x a a ⋅=-=-=-+-=-+=--+， 02a x<， ∴当12x a =时，BE CE ⋅有最大值，此时223BC a =，222AB BE a ==， 故223BC AB =，所以3BC AB =，故3k =时，BE CE ⋅的值最大．5．（2021•越秀区一模）如图，在四边形ABCD 中，90A ADC ∠=∠=︒，10AB AD ==，15CD =，点E ，F 分别为线段AB ，CD 上的动点，连接EF ，过点D 作DG ⊥直线EF ，垂足为G ．点E 从点B 向点A 以每秒2个单位的速度运动，同时点F 从点D 向点C 以每秒3个单位的速度运动，当点E 运动到点A 时，E ，F 同时停止运动，设点E 的运动时间为t 秒．（1）求BC 的长；（2）当GE GD =时，求AE 的长；（3）当t 为何值时，CG 取最小值？请说明理由．【答案】（1）55；（2）52；（3）见解析【详解】（1）如图1，过点B 作BH CD ⊥于点H ，则四边形ADHB 是矩形，10AB =，15CD =，5CH ∴=，又10BH AD ==， 222210555BC BH CH ∴=+=+=； （2）过点G 作MN AB ⊥，如图2，//AB CD ，MN CD ∴⊥，DG EF ⊥，EG DG =，()EMG GND AAS ∴∆≅∆，MG DN ∴=，设DN a =，GN b =，则MG a =，ME b =，点E 从点B 向点A 以每秒2个单位的速度运动，同时点F 从点D 向点C 以每秒3个单位的速度运动，2BE t ∴=，102AE t =-，3DF t =，153CF t =-，AM DN =，AD MN =，10a b ∴+=，102a b t -=-，解得10a t =-，b t =，DG EF ⊥，GN DF ⊥，DGN GFN ∴∆∆∽，∴GN NF DN GN=， 2GN DN NF ∴=⋅，2210GN t NF DN t ∴==-， 又DF DN NF =+， 231010t t t t ∴=-+-， 解得55t =±，又03t ，55t ∴=-，10225AE t ∴=-=．（3）如图3，连接BD ，交EF 于点K ，//BE DF ，BEK DFK ∴∆∆∽，∴2233BK BE t DK DF t ===， 又10AB AD ==， 2102BD AB ∴==，3625DK BD ∴==， 取DK 的中点，连接OG ，DG EF ⊥，DGK ∴∆为直角三角形，1322OG DK ∴==， ∴点G 在以O 为圆心，32r =的圆弧上运动，连接OC ，OG ，由图可知CG OC OG -，当点G 在线段OC 上时取等号，AD AB =，90A ∠=︒，45ADB ∴∠=︒，45ODC ∴∠=︒，过点O 作OH DC ⊥于点H ， 又32OD =，15CD =， 3OH DH ∴==， 12CH ∴=， 22317OC OH CH ∴=+=，则CG 的最小值为3(172)-，当O ，G ，C 三点共线时，过点O 作直线OR DG ⊥交CD 于点S ， OD OG =，R ∴为DG 的中点，又DG GF ⊥，//OS GF ∴，∴点S 是DF 的中点，OC SC OG SF=， 32DS SF t ∴==，3152SC t =-， ∴31531723322t t -=， 23443t -∴=， 即当23443t -=时，CG 取得最小值为31732-． 6．（2021•天河区二模）如图，矩形ABCD 中，4AB =，8AD =，点E 是边AB 上的一点，点F 是边BC 延长线上的一点，且2AE CF =．连接AC ，交EF 于点O ，过E 作EP AC ⊥，垂足为P ．（1）求证：DAE DCF ∆∆∽；（2）求证：OP 长为定值；（3）记AC 与DE 的交点为Q ，当14PQ OP =时，直接写出此时AP 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6525- 【详解】（1）证明：在矩形ABCD 中，4AB CD ==，90DAE DCB ∠=∠=︒， 90DCF ∴∠=︒， DAE DCF ∴∠=∠，2AE CF =，8AD BC ==，∴2AE AD CF CD==， DAE DCF ∴∆∆∽；（2）证明：如图1，过点E 作//EG BC ，交AC 于点G ，90AEG B ∴∠=∠=︒，AGE ACB ∠=∠，EOG FOC ∆∆∽，在Rt ABC ∆中，4AB =，8BC =，224845AC ∴=+=，EP AC ⊥，90AEP BAC ∴∠+∠=︒，90CAD BAC ∠+∠=︒，AEP CAD ∴∠=∠，1tan tan tan tan 2CAD ACB AGE AEP ∴∠=∠=∠=∠=，即12CD AE AP PE AD EG EP PG ====， 2EG AE ∴=，2AE CF =，4EG CF ∴=，设(0)AP m m =>，(0)OC n n =>，则2PE m =，4PG m =，EOG FOC ∆∆∽，∴4EG OG CF OC==， 44OG OC n ∴==，4445AC AP PG OG OC m m n n ∴=+++=+++=，455m n ∴+=，165445OP PG OG m n ∴=+=+=， 所以OP 是一个定值；（3）如图2，11165454455PQ OP ==⨯=，由（2）知：(0)AP m m =>，5AE m =，//AE CD ，AEQ CDQ ∴∆∆∽，∴AE AQ CD CQ=， ∴4555445455m m m +=--，解得：6525m =±， 054m <<，4505m ∴<<， 6525AP ∴=-． 7．（2021•白云区一模）不在射线DA 上的点P 是边长为2的正方形ABCD 外一点(P 在AB 左侧），且满足45APB ∠=︒，以AP ，AD 为邻边作APQD ．（1）如图，若点P 在射线CB 上，请用尺规补全图形；（2）若点P 不在射线CB 上，求PAQ ∠的度数；（3）设AQ 与PD 交点为O ，当APO ∆的面积最大时，求tan ADO ∠的值．【答案】（1）见解析；（2）︒45；（3）123+ 【详解】（1）如图1，以B 为圆心，AB 长为半径作弧，交射线CB 于点P ，连接BD ，//AD PB ，AD AB PB ==，∴四边形ADBP 是平行四边形，∴点Q 与点B 重合．（2）如图2，连接QA ，QC ，QB ，BD ，四边形APQD 是平行四边形，AP DQ ∴=，//PQ AD ，//AP QD ，180PAD ADQ ∴∠+∠=︒，90PAB ADQ ∴∠=︒-∠，90PAB ADQ QDC ∴∠=︒-∠=∠，又AP QD =，AB CD =，()PAB QDC SAS ∴∆≅∆，45APB DQC ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是正方形，45ABD DBC ∴∠=∠=︒，45CQD CBD ∴∠=∠=︒，∴点B ，点C ，点D ，点Q 四点共圆，90BCD BQD ∴∠=∠=︒，90BQD BAD ∴∠=∠=︒，∴点B ，点D ，点A ，点Q 四点共圆，45AQD ABD ∴∠=∠=︒，//AP QD ，45PAQ AQD ∴∠=∠=︒；（3）四边形APQD 是平行四边形， 14APO APQD S S ∆∴=， ∴当APQD 的面积最大时，APO ∆的面积取最大值，APQD S AD =⨯点P 到AD 的距离，∴当点P 到AD 的距离最大时，APQD 的面积最大，如图3，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABE ，以E 为圆心，AE 为半径作ABP ∆的外接圆，延长CB 交E 于H ，过点E 作FE BH ⊥，交E 于P ，交DA 的延长线于F ，此时点P 到AD 的距离最大，EA EB =，90AEB ∠=︒，2AB =，45EAB ∴∠=︒，2AE =，45EAF ∴∠=︒，EF AF ⊥，45EAF FEA ∴∠=∠=︒，1AF EF ∴==，12PF ∴=+，()212APQD S AD PF ∴=⋅=⨯+最大，12142APQD APO S S ∆+∴==最大， 12tan 3FP ADO DF +∴∠==． 8．（2021•番禺区一模）如图，ABC ∆中，120A ∠=︒，AB AC =，过点A 作AO AC ⊥交BC 于点O ．（1）求证：13BO BC =； （2）设AB k =．①以OB 为半径的O 交BC 边于另一点P ，点D 为CA 边上一点，且2CD DA =．连接DP ，求CPD S ∆．②点Q 是线段AB 上一动点（不与A 、B 合），连接OQ 在点Q 运动过程中，求2AQ OQ +的最小值．【答案】（1）见解析；（2）①2318CPD S k ∆=，②k 【详解】（1）证明：120A ∠=︒，AB AC =，30B C ∴∠=∠=︒，AO AC ⊥，90OAC ∴∠=︒，30BAO ∠=︒，BO AO ∴=，12AO CO =， 12BO CO ∴=， 13BO BC ∴=； （2）①如图：AB k =，AC k ∴=，Rt AOC ∆中，tanOA C AC =， 33OA k OB ∴==， 30C ∠=︒，2323OC OA k ∴==， 33CP OC OP OC OA k ∴=-=-=， 2CD DA =，3k DA ∴=，23DC k =， Rt AOD ∆中，33tan 333kAD AOD OA k ∠===， 30AOD ∴∠=︒，18060AOC OAC C ∠=︒-∠-∠=︒，30AOD DOP ∴∠=∠=︒，又OA OP =，OD OD =，()AOD POD SAS ∴∆≅∆，90DPO OAD ∴∠=∠=︒，DA DP =，3k DP ∴=， 213218CPD S CP DP k ∆∴=⋅=； ②以A 为顶点，AB 为一边，在ABC ∆外部作30BAN ∠=︒，过Q 作QN AN ⊥于N ，过O 作OM AN ⊥于M ，连接OQ ，如图：在Rt AQN ∆中，30BAN ∠=︒，12NQ AQ ∴=， 122()2AQ OQ AQ OQ +=+， 2AQ OQ ∴+最小，即是12AQ OQ +最小，故NQ OQ +最小，此时ON AN ⊥，Q 与Q '重合，N 与M 重合，OM 长度即是12AQ OQ +的最小值， 而由①知：33OA k =，60OAM OAB BAM ∠=∠+∠=︒， Rt AOM ∆中，sin OM OAM OA ∠=， sin 6033OMk ∴︒=，2k OM ∴=， ∴12AQ OQ +的最小值为2k ， 2AQ OQ ∴+的最小值是k ．9．（2021•花都区一模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC cm =，16BC cm =．（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E （保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）连接AE ，动点M ，N 分别从点A ，C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿AE 、CB 向终点E ，B 运动，是否存在某一时刻t 秒(010)t <<，使MNC ∆的面积S 有最大值？若存在，求S 的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）如图，直线DE 即为所求作．（2）过点M 作MH EC ⊥于H ． DE 垂直平分线段AB ，EA EB ∴=，设EA EB x ==cm ，则(16)EC x cm =-，在Rt ACE ∆中，222AE AC EC =+，2228(16)x x ∴=+-，解得10x =，//MH AC ， ∴EM MH EA AC =， ∴10108t MH -=， 4(10)5MH t ∴=-， 2214225(10)2()1025552MNC S t t t t t ∆∴=⨯⨯-=-+=--+， 502-<， 52t ∴=时，MNC ∆的面积最大，最大值为10． 10．（2021•越秀区校级二模）已知ABC ∆，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，D 是AB 的中点，P 是平面上的一点，且1DP =，连接CP（1）如图，当点P 在线段BD 上时，求CP 的长；（2）当BPC ∆是等腰三角形时，求CP 的长；（3）将点B 绕点P 顺时针旋转90︒得到点B '，连接AB '，求AB '的最大值．【答案】（1）3；（2）①13，②42+ 【详解】（1）如图1中，连接CD ．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，2242AB AC BC ∴=+=，AD DB =，1222CD AB ∴==，CD AB ⊥， 在Rt CDP ∆中，223PC PD CD =+=．（2）如图2中，1DP =，∴点P 在以点D 为圆心的D 上．①当PB PC =时，CD DB =，P ∴、D 都在线段BC 的垂直平分线上，设直线DP 交BC 于E ．90PEC ∴∠=︒，2BE CE ==，90CDB ∠=︒， 122DE BC CE ∴===， 在Rt PCE ∆中，22PC EC PE =+，当P 在线段PD 上时，1PE DE DP =-=，22125PC =+=，当P 在线段ED 的延长线上时，3PE ED DP =+=，223213PC =+=．②当PC BC =时，221PC CD PD BC +=+<，PC BC ∴≠，此种情形不存在；③当PB BC =时，同理这种情形不存在；如图3中（3）如图4中，连接BB '．由旋转可知：PB PB ='，90BPB ∠'=︒，45PBB ∴∠'=︒，2BB PB ∴'=，∴2BB PB'=， AC BC =，90ACB ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，ABC PBB ∴∠=∠'，ABB CBP ∴∠'=∠， 4224BA BC ==， ∴BA BB BC PB '=， ∴BA BC BB PB ='， ABB CBP ∴∆'∆∽，∴2AB BA CP BC'==， 221PC CD DP +=+，∴点P 落在CD 的延长线与D 的交点处，PC 的值最大，2(221)42AB ∴'+=+．AB ∴'的最大值为42+．11．（2021•黄埔区二模）如图1，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，延长OD 到点G ，延长OC 到点E ，使2OG OD =，2OE OC =，以OG ，OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ．（1）探究AG 与DE 的位置关系与数量关系，并证明；（2）固定正方形ABCD ，以点O 为旋转中心，将图1中的方形OEFG 逆时针转(0180)n n ︒<<得到正方形111OE F G ，如图2．①在旋转过程中，当190OAG ∠=︒时，求n 的值；②在旋转过程中，设点1E 到直线1AG 的距离为d ，着正方形ABCD 的边长为1，请直接写出d 的最大值与最小值，不必说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①30n =；②见解析【详解】（1）AG DE ⊥，.AG DE =证明：如图1，延长ED 交AG 于点H ，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，OA OC OD ∴==，OA OD ⊥，90AOG DOE ∴∠=∠=︒，2OG OD =，2OE OC =，OG OE ∴=，在AOG ∆和DOE ∆中，OA OD AOG DOE OG OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOG DOE SAS ∴∆≅∆，AG DE ∴=，AGO DEO ∠=∠，90AGO GAO ∠+∠=︒，90GAO DEO ∴∠+∠=︒，90AHE ∴∠=︒，AG DE ∴⊥，故AG DE ⊥，AG DE =；（2）①在旋转过程中，190OAG ∠=︒有两种情况：（Ⅰ）n 由0增大到90过程中，当190OAG ∠=︒时，11122OA OD OG OG ===， ∴在1Rt OAG ∆中，11sin 2OA AG O OG ∠=='， 130AG O ∴∠=︒，OA OD ⊥，1OA AG ⊥，1//OD AG ∴，1130DOG AG O ∴∠=∠=︒，即30n =；（Ⅱ）n 由90增大到180过程中，当190OAG ∠=︒时，同理可求130BOG ∠=︒，118030150DOG ∴∠=︒-︒=︒，150n ∴=；综上所述，当190OAG ∠=︒时，30n =或150．②如图3，d 的最大值为116262222E H DE DH +=+=+=，如图4，d 的最小值为116262222E H DE DH -=-=-=． 理由如下：如图3、图4所示，连接11E G ，设直线1E D 交直线1AG 于H ，作正方形ABCD 的外接圆O ，仿照（1）的证明，可证得DE AG ⊥，即在旋转过程中，1190E HG ∠=︒保持不变，所以1d E H =． 在旋转过程中，1E H 的位置有以下两种情况：第一种情况，当1E H 在1OE G ∠内时，11145E G H OG A ∠=︒+∠，如图3所示，第二种情况：当1E H 在11OE G ∠外时，11145E G H OG A ∠=︒-∠，如图3所示， 1222OG OD BD AB ====，112E G ∴=．在Rt △11E HG 中，11111sin 2E H d E G H E G ∠==， 112sin d E G H ∴=∠， 所以，当11E G H ∠最大时，最大；当最小时，最小； 设点到的距离为，则， 由上式可知，当取最大值时，取最大值．在旋转过程中，当与相切，即时，取最大值．此时，取最大值，从而取最大值或最小值．由①可知，当时，，在（1）中，已证得，且，四边形为正方形，， ， 的最大值为， 的最小值为 d 11E G H ∠d O 1AG m 1sin 2m OG A OG ∠=m 1OG A ∠1E D O 190OAG ∠=︒m 1OG A ∠11E G H ∠190OAG ∠=︒130OG A ∠=︒11AOG DOE ∆≅∆90AHD ∠=︒∴AODH 22DH AO ∴==221126(2)()22DE AG ∴==-=d ∴116262E H DE DH +=+=d 116262E H DE DH -=-=12．（2021•从化区一模）如图，四边形是矩形，点是对角线上一动点（不与点和点重合），连接，过点作交射线于点，连接，已知，，设的长为．（1）线段的最小值为 ． （2）如图，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度；（3）当点在运动的过程中：①试探究是否会发生变化？若不改变，请求出大小；若改变，请说明理由；②当为何值时，是等腰三角形？ABCD P AC C A PB P PF PB ⊥DA F BF 33AD =3CD =CP x PB P AC AP BF G FP H GH P FBP ∠FBP ∠x AFP ∆【答案】（1）；（2（3）见解析 【详解】（1）四边形是矩形，，，，，，，当时，最小，此时为斜边上的高，，即， ，； （2）如图：运动到的中点，，，中，， ， 是等边三角形，，又，，，，是的垂直平分线，3323GH ∴=ABCD 33AD =3CD =3AB CD ∴==33BC AD ==90ABC D ∠=∠=︒226AC AB BC ∴=+=BP AC ⊥BP BP Rt ABC ∆AC 1122ABC S AB BC AC BP ∆∴=⋅=⋅3336BP ⨯=⨯332BP ∴=P AC 6AC =3AP AB ∴==Rt ABC ∆tan 3BC BAC AB∠==60BAC ∴∠=︒ABP ∴∆3AB BP ∴==90BAF BPF ∠=∠=︒BF BF =()BAF BPF HL ∴∆≅∆AF PF ∴=BF ∴AP是中点，是中点，， 是等边三角形，是中点，， 在中，， 得， ， ； （3）①不会发生变化，，理由如下：过作于，交于，如图：，四边形是矩形，，，中，， ，中，， ，， ，， ，， 而，，G ∴AP H PF 12GH AF ∴=ABP ∆G AP 1302PBF PBA ∴∠=∠=︒Rt PBF ∆tan PF PBF BP ∠=tan303PF ∴︒=3PF 3AF ∴=32GH ∴=FBP ∠30FBP ∠=︒P MN AD ⊥M BC N MN AD ⊥ABCD MN BC ∴⊥3MN AB ==Rt ABC ∆3tan AB ACB BC ∠==30ACB ∴∠=︒Rt CPN ∆CP x =1sin302PN CP x ∴=⋅︒=3cos30CN CP x =⋅︒3332BN BC CN x ∴=-=-132PM MN PN x =-=-90BPF ∠=︒90FPM BPN PBN ∴∠=︒-∠=∠90PMF BNP ∠=∠=︒PMF BNP ∴∆∆∽， 在中，， ， ；②当在右侧时，过作于，交于，如图：由①知：，，，，， ， ， ， 中， 而，是等腰三角形，分三种情况：（一，则，解得（舍去）， （二，则，解得（大于6，舍去）或（此时，舍去），（三，则，解得或与重合，舍去）， 当在左侧时，如图： ∴13323332x PF PM BP BN x -===-Rt BPF ∆tan PF FBP BP∠=3tan 3FBP ∴∠=30FBP ∴∠=︒F A P MN AD ⊥M BC N PMF BNP ∆∆∽33PF BP =12PN x =333BN =132PM x =-∴3FM PN =36FM x ∴=23333AF AM FM BN FM x ∴=-=-=-Rt PFM ∆22222311()(3)39623PF FM PM x x x x =+=+-=-+6AP AC CP x =-=-AFP ∆)AP AF =263333x x -==33x =-)AP PF =216393x x x -=-+9x =92x =0AF =)AF PF =2213333933x x x -=-+3x =6(x P =A F A此时， 同理可得，综上所述，是等腰三角形，或．13．（2020•武汉模拟）在中，，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．（1）如图1，若，求证：平分；（2）如图2，若，①求的值； ②连接，当的面积为．【答案】（1）见解析；（2）①773，② 【详解】（1）证明：连接， 由题意知，，，是等边三角形，，又，，，，平分；（2）解：①连接，作等边三角形的外接圆，23333AF FM AM x =-=-33x =AFP ∆3x =33x =ABC ∆120ABC ∠=︒AC C 60︒CD BD AB BC =BD ABC ∠2AB BC =BD AC AD 3ABC S ∆=ABCD 93AD 60ACD ∠=︒CA CD =ACD ∴∆CD AD ∴=AB CB =BD BD =()ABD CBD SSS ∴∆≅∆CBD ABD ∴∠=∠BD ∴ABC ∠AD ACD O，，，点在上，，，，在上截取，使，则为等边三角形，，，又，，，，设，则，，过点作于，在中，，， ， ， 在中， ， ，；②如图3，分别过点，作的垂线，垂足分别为，， 设，，，则由①知，，，在与中，，60ADC ∠=︒120ABC ∠=︒180ADC ABC ∴∠+∠=︒∴B O AD CD =∴AD CD =60CBD CAD ∴∠=∠=︒BD BM BM BC =BCM ∆60CMB ∴∠=︒120CMD CBA ∴∠=︒=∠CB CM =BAC BDC ∠=∠()CBA CMD AAS ∴∆≅∆MD AB ∴=1BC BM ==2AB MD ==3BD ∴=C CN BD ⊥N Rt BCN ∆60CBN ∠=︒30BCN ∴∠=︒1122BN BC ∴==33CN =52ND BD BN ∴=-=Rt CND ∆222235()()722CD CN DN =+=+=7AC ∴=∴377BD AC ==B D AC H Q 1CB =2AB =CH x =7AC =7AH x =-Rt BCH ∆Rt BAH ∆2222BC CH AB AH -=-即，解得，，，在中，，，为与的公共底，，，，，故答案为：．22212(7)x x-=--277x=2227211()77BH∴=-=Rt ADQ∆33217DQ AD==∴2127721BHDQ==AC ABC∆ACD∆∴27ABCACDS BHS DQ∆∆==32ABCS∆=734ACDS∆∴=37393244ABCDS∴=+=四边形93414．（2021•越秀区校级二模）如图1，已知正方形的边长为，点在边上，，连接，点、分别为、边上的点，且．（1）求点到的距离；（2）如图2，连接，当、、三点共线时，求的面积；（3）如图3，过点作于点，过点作于点，求的最小值．【答案】（1）1；（2）518；（3）见解析 【详解】（1）如图1中，过点作于．ABCD 42E BC 2BE =BD F G BD CD FG EF ⊥E BD AF A F G FDG ∆E EM BD ⊥M G GN BD ⊥N MN E EH BF ⊥H四边形是正方形，，，． 点到的距离为1．（2）如图2中，过点作的垂线分别交，于点，．，，共线，，，．设，且，，，， ，，即，ABCD 45DBC ∴∠=︒EH BD ⊥2sin 45212EHBE ∴=⋅︒=⨯=∴E BD F AD AD BC M N A F G 90EFG ∠=︒90AFE ∴∠=︒45ADF ∠=︒∴MF MD a ==AD MN =AM FN ∴=NFE AFM AFM MAF ∠+∠=∠+∠NFE MAF ∴∠=∠()AMF FNE AAS ∴∆≅∆MF EN ∴=32a a =-， ，， ， ．（3）如图3中，设，． 四边形是正方形，，，，，，，，， ，，，， ，，， 322a ∴=//FM DG ∴FM AM DG AD =∴32522242DG =1225DG ∴=112232182525DFG S ∆∴=⨯⨯=2CG y =MF x =ABCD 45CBD CDB ∴∠=∠=︒42CB CD ==28BD BC ∴==22DG y =EM BD ⊥GN BD ⊥90EMF EFG GNF ∴∠=∠=∠=︒4DN NG y ∴==-2BE =1BM EM ∴==7(4)3FN x y x y ∴=---=-+9090MFE GFN GFN FGN ∠+∠=︒∠+∠=︒MFE FGN ∴∠=∠EMF FNG ∴∆∆∽∴EM MF FN GN=， 整理得，△，，解得或，的最小值为，的最小值，观察图象可知，当的值最小时，的值最小，的最小值． 15．（2021•越秀区模拟）如图，四边形为矩形，，，点为边上一动点，过点作交直线于点，连接，．（1）若四边形为菱形，求的长；（2）若的面积为，求的面积； （3）当长为多少时，四边形周长有最小值？并求该最小值．【答案】（1）23；（2）42；（3）见解析 【详解】（1）四边形为菱形，，设, 四边形是矩形，, ,, , ； （2）四边形为矩形，∴134x x y y=-+-2(3)40x y x y -++-=02(3)4(4)0y y ∴+--425y -542y --y ∴25CG ∴852=-CG MN MN 81(942)422=---=ABCD 2AD =2CD =E AD E EF AC ⊥BC F CE AF AECF AE ABF ∆24CDE ∆AE AECF AECF AE EC ∴=AE EC x ==ABCD 90D ∴∠=︒222EC DE CD ∴=+222(2)(2)x x ∴=-+32x ∴=32AE ∴=ABCD，，， ， ，即：， ， ， 在中，， ，， 是的垂直平分线，，由（1）可知：， ， ， ； （3）如图，过点作交的延长线于点，四边形为矩形，，，四边形是平行四边形，，，，，，在中，， , ，2AB CD ∴==2BC AD ==90B D ∠=∠=︒ABF ∆2∴122AB BF ⨯⨯1222BF =12BF ∴=13222CF BC BF ∴=-=-=Rt ABF ∆222213(2)()22AF AB BF =++AF CF ∴=EF AC ⊥EF ∴AC AE CE ∴=32AE CE ==AF CE ∴=Rt CDE Rt ABF(HL)∴∆≅∆24CDE ABF S S ∆∆∴==C //CM EF AD M ABCD //AD BC ∴90ADC ABC BAC ∠=∠=∠=︒∴CFEM EM CF ∴=CM EF =EF AC ⊥CM AC ∴⊥90ACM ∴∠=︒Rt ACD ∆22222(2)6AC AD CD ++tan CD CM CAD AD AC ∠==∴263CM ∴=， , ，即，，延长至，使，过点作于点，连接，过点作交于点， 在中，，四边形是矩形，，，，，四边形是平行四边形，，， 四边形周长，当、、三点共线时，最小，即四边形周长最小， 此时，，，△，， ，此时，，四边形周长最小值为，故当时，四边形周长最小值为6． 3EF CM ∴==cos ADACCAD AC AM ∠==22(6)32AC AM AD ∴===3AE EM +=3AE CF ∴+=CD C '2DC CD '==C E 'F FG AD ⊥G BG E //EH BG BC H Rt EFG ∆2222(3)(2)1EG EF FG =-=-=ABFG AF BG ∴=FBG FAG ∠=∠//BG EH //EG BH ∴BGEH EH BG AF ∴==CHE FBG ∠=∠AECF 3AE AF CF CE AE EM BG CE AM EH C E C E EH =+++=+++=++'=+'+∴C 'E H C E EH '+AECF C ED CHE FBG FAG ∠'=∠=∠=∠90C DE FGA ∠'=∠=︒C D FG '=∴()C DE FGA AAS '≅∆111()(21)222DE AG AD EG ∴==-=-=13222AE AD DE ∴=-=-=222213()(2)22CE DE CD =+=+=∴AECF 33262+⨯=32AE =AECF16．（2021•花都区三模）为等腰三角形，，点为所在平面内一点．（1）若，①如图1，当点在边上，，求证：； ②如图2，当点在外，，，，连接，求的长；（2）如图3，当点在外，且，以为腰作等腰三角形，，，直线交于点，求证：点是中点．【答案】（1）①见解析；②132；（2）见解析 【详解】证明：（1）①，， ，，， ，， ；②如图2，以，为边作等边，等边，以，为边作等边，等边，连接，过点作，交的延长线于， ABC ∆AB AC =D ABC ∆120BAC ∠=︒D BC BD AD =2DC BD =DABC ∆120ADB ∠=︒2AD =4BD =CD CD D ABC ∆90ADB ∠=︒AD ADE ∆DAE BAC ∠=∠AD AE =DE BC F F BC 120BAC ∠=︒AB AC =30ABC ACB ∴∠=∠=︒BD AD =30ABD BAD ∴∠=∠=︒90DAC ∴∠=︒2CD AD ∴=2CD BD ∴=AB AC ABH ∆ACH ∆AD BD ADE ∆BDG ∆GH E EN DG ⊥GD N和都是等边三角形，，，，，，，，，点，点，点三点共线，，和都是等边三角形，，，，，，，，，，，， ， ， ．（2）连接，如图3所示：，，，， ，， 、、、四点共圆，，，BDG ∆ABH ∆4BD BG DG ∴===AB BH =60DBG ABH BGD ∠=∠=︒=∠ABD GBH ∴∠=∠()ADB HGB SAS ∴∆≅∆2AD GH ∴==120ADB BGH ∠=∠=︒180DGB BGH ∴∠+∠=︒∴G H D 426DH ∴=+=ADE ∆ACH ∆AC AH ∴=2AE AD DE ∠===60DAE CAH EDA ∠=∠=∠=︒DAC EAH ∴∠=∠()DAC EAH SAS ∴∆≅∆DC EH ∴=60BDG EDN ∠=∠=︒EN DG ⊥30DEN ∴∠=︒112ND DE ∴==33NE DN =7HN DH DN ∴=+=22349213EH EN NH ∴=+=+=213CD EH ∴==AF DAE BAC ∠=∠AD AE =AB AC =∴AD AE AB AC=ADE ABC ∴∆∆∽ADE ABC ∴∠=∠A ∴D B F 1801809090BFA ADB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒AF BC ∴⊥，，点是中点．17．（2021•越秀区校级四模）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：（Ⅰ）这样的点唯一吗？（Ⅱ）点的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为；②面积的最大值为；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且．①求线段长的最小值；②若，求线段的长．【答案】（1）①2，②；（2）见解析；（3；②【详解】（1）解：①设为圆心，连接，，，，又，是等边三角形，，即半径为2，故答案为：2；AB AC=BF CF∴=∴F BC2BC=30BAC∠=︒AAA BCB C⋯1)ABC∆A'30BAC∠'>︒ABCD 2AB=3BC=P CD4tan3DPC∠=PB23PCD PADS S∆∆=PD32+975-3272244PD DF PF∴=+=+=O BO CO30BCA∠=︒60BOC∴∠=︒OB OC=OBC∴∆2OB OC BC∴===②以为底边，，当点到的距离最大时，的面积最大，如图，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，以为底，则当与重合时，的面积最大，，，，，的最大面积为， 故答案为：；（2）证明：如图，延长，交圆于点，连接，点在圆上，，，，，即；（3）解：①如图，当点在上，且时， ，，， ，为定值， 连接，设点为中点，以点为圆心，为半径画圆， ABC ∆BC 2BC =∴A BC ABC ∆O BC E EO D BC A D ABC ∆1BE CE ∴==2DO BO ==223OE BO BE ∴=-=32DE ∴=+ABC ∴∆12(32)322⨯⨯+32+BA 'D CD D BDC BAC ∴∠=∠BAC BDC ACD ∠'=∠+∠'BAC BDC ∴∠'>∠BAC BAC ∴∠'>∠30BAC ∠'>︒P BC 32PC =90PCD ∠=︒2AB CD ==3AD BC ==4tan 3CD DPC PC ∴∠==PD Q PD Q 12PD当点在优弧上时，，连接，与圆交于， 此时即为的最小值，过点作，垂足为，点是中点，点为中点，即，，， ， ， 圆的半径为， ，即；②，，， ， 中边上的高中边上的高，即点到的距离和点到的距离相等，点在的平分线上， 如图，过点作，垂足为，平分，， 为等腰直角三角形，又，，∴P CPD 4tan 3DPC ∠=BQ Q P 'BP 'BP Q QE BE ⊥E Q PD ∴E PC 112QE CD ==1324PE CE PC ===39344BE BC CE ∴=-=-=22974BQ BE QE ∴=+=2252PD CD PC =+=∴Q 155224⨯=975975444BP BQ P Q -∴'=-'=-=BP 975-3AD =2CD =23PCD PAD S S ∆∆=∴23CD AD =PAD ∴∆AD PCD =∆CD P AD P CD ∴P ADC ∠C CF PD ⊥F PD ADC ∠45ADP CDP ∴∠=∠=︒CDF ∴∆2CD =2CF DF ∴==， ， ． 18．（2020•广州一模）如图①，在四边形中，于点，，点为中点，为线段上的点，且（1）求证：平分；（2）若，连接，当四边形为平行四边形时，求线段的长；（3）若点为的中点，连接、（如图②，求证：．【答案】（1）见解析；（2）510；（3）见解析 【详解】（1）证明：如图①，，， 是的中点，，在中，，在中，， ，，是等腰直角三角形，，，，即平分； （2）解：设， 四边形是平行四边形， ，4tan 3CF DPC PF ∠==324PF ∴=3272244PD DF PF ∴=+=+=ABCD AC BD ⊥E AB AC BD ==M BC N AM MB MN =BN ABE ∠1BD =DN DNBC BC F AB FN FM )MFN BDC ∠=∠AB AC =ABC ACB ∴∠=∠M BC AM BC ∴⊥Rt ABM ∆90MAB ABC ∠+∠=︒Rt CBE ∆90EBC ACB ∠+∠=︒MAB EBC ∴∠=∠MB MN =MBN ∴∆45MNB MBN ∴∠=∠=︒45EBC NBE MAB ABN MNB ∠+∠=∠+∠=∠=︒NBE ABN ∴∠=∠BN ABE ∠BM CM MN a ===DNBC 2DN BC a ∴==在和中，，，，在中，由，可得：，解得：（负值舍去）， ； （3）解：是的中点，在中，，，，，，即， ，．19．（2020•荔湾区一模）如图，在矩形中，，，点是边上的一动点，连接． （1）若将沿折叠，点落在矩形的对角线上点处，试求的长；（2）点运动到某一时刻，过点作直线交于点，将与分别沿与折叠，点与点分别落在点，处，若，，三点恰好在同一直线上，且，试求此时的长；（3）当点运动到边的中点处时，过点作直线交于点，将与分别沿与折叠，点与点重合于点处，请直接写出到的距离．ABN ∆DBN ∆AB DB NBE ABN BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABN DBN SAS ∴∆≅∆2AN DN a ∴==Rt ABM ∆222AM MB AB +=22(2)1a a a ++=1010a =±1025BC a ∴==F AB ∴Rt MAB ∆MF AF BF ==MAB FMN ∴∠=∠MAB CBD ∠=∠FMN CBD ∴∠=∠12MF MN AB BC ==MF MN BD BC=MFN BDC ∴∆∆∽MFN BDC ∴∠=∠ABCD 4AB =3BC =P AB DP DAP ∆DP A A 'AP P P PE BC E DAP ∆PBE ∆DP PE A B A 'B 'P A 'B '2A B ''=AP P AB P PG BC G DAP ∆PBG ∆DP PG A B F F BC【答案】（1）或；；（2）1或3；；（3）【详解】（1）四边形是矩形，，，，分两种情况：①当点落在对角线上时，如图1所示：设，在中，，，由折叠的性质得：，，，，，，在中，，即：，解得：， ； ②当点落在对角线上时，如图2所示： 由翻折性质可知：，，，， ，，， ， 综上所述：的长为或； （2）①如图3所示：设，则，由折叠的性质得：，，，，解得：，；32941613ABCD 4AB CD ∴==3AD BC ==90ABC BCD CDA BAD ∠=∠=∠=∠=︒A BD AP x =Rt ADB ∆90BAD ∠=︒2222435BD AB AD ∴=+=+=AP PA x ='=3AD DA ='=90DA P BAD ∠'=∠=︒532BA BD DA ∴'=-'=-=90BA P ∠'=︒4BP AB AP x =-=-Rt BPA ∆'222BP PA BA ='+'222(4)2x x -=+32x =32AP ∴=A AC PD AC ⊥90PAC APD ∴∠+∠=︒90BAC BCA ∠+∠=︒APD BCA ∴∠=∠90DAP ABC ∠=∠=︒DAP ABC ∴∆∆∽∴AD AB AP BC=33944AD BC AP AB ⋅⨯∴===AP 3294AP x =4PB x =-PA PA x ='=4PB PB x ='=-2A B ''=42x x ∴--=1x =1PA ∴=②如图4所示：设，则，由折叠的性质得：，，，，，；综上所述，的长为1或3；（3）作于，如图5所示：则的长就是到的距离，由翻折的性质得：，，、、共线，设，则，，在中，，即：，解得， ， ，， ， ， ， 到的距离为．APx=4PB x =-PA PA x ='=4PB PB x ='=-2A B ''=(4)2x x ∴--=3x ∴=3PA ∴=PA FH CD ⊥H CH F BC 3AD DF ==BG FG =G F D BG FG x ==3DG DF FG x =+=+3CG BC BG x =-=-Rt GCD ∆222DG CD CG =+222(3)4(3)x x +=+-43x =413333DG ∴=+=//FH CG ∴DH DF CD DG=∴31343DH =3613DH ∴=361641313CH ∴=-=F ∴BC 161320．（2020•越秀区一模）如图所示，四边形为平行四边形，，，，且，点为直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．（1）求平行四边形的面积；（2）当点、、三点共线时，设与相交于点，求线段的长；（3）求线段的长度的最小值．ABCD 13AD =25AB =DAB α∠=5cos 13α=E CD EA E αEF CF ABCD C B F EF AB G BG CF【答案】（1）300；（2）；（3 【详解】解（1）如图1，作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，，在中， ，且， ，， ； （2）如图2，延长至，作，，，过点作于点，由（1）知，，， 11722BG ∴=6613DK AB ⊥K EA E αEF AEF α∴∠=AE EF =Rt DAK ∆5cos cos 13AK DAK AD α∠===13AD =5AK ∴=222213512DK AD AK ∴=-=-=2512300ABCD S AB DK ∴=⨯=⨯=平行四边形CD H AHD α∠=AHD ADH α∠=∠=13AH AD ∴==A AM DH ⊥M 12AM =225DM AD AM ∴=-=10DH ∴=。
2021年广东省中考数学解答题压轴题练习及答案 (47)
2021年广东省中考数学解答题压轴题练习1．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE＝BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC＝∠BEA；（2）求证：AM＝BG+GM．【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，AB＝BC，又BE＝BF，所以△ABE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等即可证出；（2）连接DG，根据正方形的性质，AB＝AD，∠DAC＝∠BAC＝45°，AG是公共边，所以△ABG和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等，BG＝DG，对应角相等∠2＝∠3，因为BG⊥AE，所以∠BAE+∠2＝90°，而∠BAE+∠DAM＝90°，所以∠2＝∠DAM，因此∠3＝∠DAM，根据GM⊥CF和（1）中全等三角形的对应角相等可以得到∠1＝∠BFC＝∠2，在△ADG中，∠DGC＝∠3+45°，所以DGM三点共线，因此△ADM是等腰三角形，AM＝DM＝DG+GM，所以AM＝BG+GM．【解答】证明：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠BFC＝∠BEA；（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，1/ 2，∴△ABG≌△ADG（SAS），∴BG＝DG，∠2＝∠3，∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠2＝90°，∵∠BAD＝∠BAE+∠DAM＝90°，∴∠2＝∠3＝∠DAM，∵GM⊥CF，∴∠BCF+∠1＝90°，又∠BCF+∠BFC＝90°，∴∠1＝∠BFC＝∠2，∴∠1＝∠3，在△ADG中，∠DGC＝∠3+45°，∴∠DGC也是△CGH的外角，∴D、G、M三点共线，∵∠3＝∠DAM（已证），∴AM＝DM，∵DM＝DG+GM＝BG+GM，∴AM＝BG+GM．2/ 2。
2021年广东省广州市数学中考真题含答案解析及答案(word解析版)
解：从几何体的正面看可得图形．点评：从几何体的正面看可得图形．向下移动1格 B 向上移动1格 C 向上移动2格 D分析：根据题意,结合图形,由平移的概念求解解：观察图形可知：从图1到图可以将图形N向下移动2格．故选点评：本题考查平移的基本概念及平移规律,是比较简单的几何图形变换．关键是要观察比较平移前后图形的位是一道基础题：电视,C：网络,D：身边的人,E：其名中学生进行该问卷调查,根据调查的结分析：根据等量关系为：两数x,y之和是得：．故选：点评：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组）分析：根据二次根式的性质和分式的意义解：根据题意得：,解得：点评：本题考查的知识点为：分式有意义EF=AB=2,∵==1,,AF==4,则AC=2AF=8,tanB===2．故选D=AOD=OA=3,OP=,OD=3,PD===2,BO==3,===x+y=1+2+12=2,∴△BA′E≌△DCE点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意掌握数形结合思想的应用．21.（本小题满分12分）（2021年广州市）在某项针对18～35岁的青年人每天发微博数量的调查中,设一个人的“日均发微博条数”为m,规定：当m≥10时为A级,当5≤m＜10时为B级,当0≤m＜5时为C级.现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查,所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下：11 10 6 15 9 16 13 12 0 82 8 10 17 6 13 7 5 7 312 10 7 11 3 6 8 14 15 12（1）求样本数据中为A级的频率。
（2）试估计1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数。
（3）从样本数据为C级的人中随机抽取2人,用列举法求抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率.分析：（1）由抽取30个符合年龄条件的青年人中A级的有15人,即可求得样本数据中为A级的频率。
广东省2021年中考数学试题真题(Word版+答案+解析)
广东省2021年中考数学试卷一、单选题1.（2021·广东）下列实数中，最大的数是（ ）A. πB. √2C. |−2|D. 32.（2021·广东）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（ ） A. 0.510858×109 B. 51.0858×107 C. 5.10858×104 D. 5.10858×1083.（2021·广东）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ） A. 112 B. 16 C. 13 D. 124.（2021·广东）已知 9m =3,27n =4 ，则 32m+3n = （ ） A. 1 B. 6 C. 7 D. 125.（2021·广东）若 |a −√3|+√9a 2−12ab +4b 2=0 ，则 ab = （ ） A. √3 B. 92 C. 4√3 D. 9 6.（2021·广东）下列图形是正方体展开图的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.（2021·广东）如图， AB 是⊙O 的直径，点C 为圆上一点， AC =3,∠ABC 的平分线交 AC 于点D ， CD =1 ，则⊙O 的直径为（ ）A. √3B. 2√3C. 1D. 28.（2021·广东）设 6−√10 的整数部分为a ， 小数部分为b ， 则 (2a +√10)b 的值是（ ） A. 6 B. 2√10 C. 12 D. 9√109.（2021·广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ， b ， c ， 记 p =a+b+c 2，则其面积S =√p(p −a)(p −b)(p −c) ．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若 p =5,c =4 ，则此三角形面积的最大值为（ ）A. √5B. 4C. 2√5D. 510.（2021·广东）设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线 y =x 2 上的两个动点，且 OA ⊥OB ．连接点A 、B ， 过O 作 OC ⊥AB 于点C ， 则点C 到y 轴距离的最大值（ ） A. 12 B. √22C. √32D. 1二、填空题11.（2021·广东）二元一次方程组 {x +2y =−22x +y =2的解为________． 12.（2021·广东）把抛物线 y =2x 2+1 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为________．13.（2021·广东）如图，等腰直角三角形 ABC 中， ∠A =90°,BC =4 ．分别以点B 、点C 为圆心，线段 BC 长的一半为半径作圆弧，交 AB 、 BC 、 AC 于点D 、E 、F ， 则图中阴影部分的面积为________．14.（2021·广东）若一元二次方程 x 2+bx +c =0 （b ， c 为常数）的两根 x 1,x 2 满足 −3<x 1<−1,1<x 2<3 ，则符合条件的一个方程为________． 15.（2021·广东）若 x +1x =136 且 0<x <1 ，则 x 2−1x2= ________． 16.（2021·广东）如图，在 ▱ABCD 中， AD =5,AB =12,sinA =45 ．过点D 作 DE ⊥AB ，垂足为E ， 则 sin ∠BCE = ________．17.（2021·广东）在 △ABC 中， ∠ABC =90°,AB =2,BC =3 ．点D 为平面上一个动点， ∠ADB =45° ，则线段 CD 长度的最小值为________．三、解答题18.（2019·宿迁模拟）解不等式组 {2x −4≥3(x −2)4x >x−72. 19.（2021·广东）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．20.（2021·广东）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB．（1）若AE=1，求△ABD的周长；BD，求tan∠ABC的值．（2）若AD=1321.（2021·广东）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k>0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=4图象的一个交点为P(1,m)．x（1）求m的值；（2）若PA=2AB，求k的值．22.（2021·广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元(50≤x≤65),y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．23.（2021·广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE 折叠得到△FBE,BF交AC于点G，求CG的长．24.（2021·广东）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB≠CD，∠ABC=90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF//CD，AB=AF，CD=DF．（1）求证：CF⊥FB；（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；（3）若EF=2，∠DFE=120°，求△ADE的面积．25.（2021·广东）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)，且对任意实数x，都有4x−12≤ax2+bx+c≤2x2−8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】实数大小的比较【解析】【解答】解：π≈3.14，√2≈1.414，|-2|=2，3.14＞3＞2＞1.414π＞3＞|-2|＞√2故π最大。
中考数学临考题号押广东卷21题(几何证明与计算)(解析版)
【小问2详解】
根据（1）的结论，平行四边形AFCE是菱形，
∴EF、AC相互垂直平分，且AE=EC=CF=FA，
∴EF=2OE，AC=2OA，
∵BC=8，AB=4，
∴BE=BC-EC=8-EC=8-AE， ，
∴OA= ，
在Rt△ABE中，利用勾股定理，有 ，
即： ，解得：AE=5，
（1）求证：四边形 是菱形．
（2）当AB 4，BC 8时，求线段EF的长．
【分析】（1）利用EF是AC的垂直平分线，可得∠EAC=∠ECA，∠CAF=∠FCA，在矩形中有 ，即有∠ECA=∠CAF，∠ECF=∠CFD，即可证得∠CFD=∠EAF，则有 ，再结合 ，AE=EC，可证四边形AFCE是菱形；
∴∠ACF=∠EDC．
∴ED=EC．
【小问2详解】
解：如（1）中图所示，过点C作CG⊥OB于点G，设线段OE与 交于点H．
∵ 的直径 ，OC，OB是 的半径，
∴ ．
∵∠A和∠BOC分别是 所对的圆周角和圆心角，∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°．
∴ ，S扇OBC ．
∴ ．
∴点C右侧的阴影面积S右=S扇OBC- ．
（2）连接 ，根据同弧所对的圆周角相等，可得 ，进而根据正切值以及已知条件可得 的长，勾股定理即可求得 ，进而即可求得圆的半径．
【详解】
（1）连接 ，如图，
是 的切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）连接
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
即 的半径为 ．
6．（2021·山东青岛·中考真题）如图，在 中， 为 边的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，延长 至点 ，使 ，分别连接 ， ， ．
2021年广州市中考数学试卷
2021年广州市中考数学考试题含答案解析一、单选题(共 40 分)1.下列四个选项中为负整数的是（）A.0B.−0.5C.−√2D.−2【答案】D【分析】根据整数的概念可以解答本题【详解】解：A、0既不是正数也不是负数故选项A不符合题意B、−0.5是负分数故选项B不符合题意C、−√2不是负整数故选项C不符合题意D、-2是负整数符合题意故选：D【点睛】本题主要考查了大于0的整数是正整数小于0的整数是负整数本题熟记负整数的概念是解题的关键2.如图在数轴上点A、B分别表示a、b且a+b=0若AB=6则点A表示的数为（）A.−3B.0C.3D.−6【答案】A【分析】由AB的长度结合A、B表示的数互为相反数即可得出AB表示的数【详解】解：∵a+b=0∴AB两点对应的数互为相反数∴可设A表示的数为a则B表示的数为−a∵AB=6∴−a−a=6解得：a=−3∴点A表示的数为-3故选：A【点睛】本题考查了绝对值相反数的应用关键是能根据题意得出方程−a−a=63.方程1x−3=2x的解为（）A.x=−6B.x=−2C.x=2D.x=6【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程求出整式方程的解即得到x的值经检验即可得到分式方程的解【详解】解：1x−3=2x去分母得：x=2x−6移项合并得：−x=−6化系数为“1”得：x=6检验当x=6时x(x−3)=18≠0∴x=6是原分式方程的解故选：D【点睛】此题考查了解分式方程解分式方程的基本思想是“转化思想”把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根4.下列运算正确的是（）A.|−(−2)|=−2B.3+√3=3√3C.(a2b3)2=a4b6D.（a－2）2＝a2－4【答案】C【分析】利用绝对值符号化简可判断A利用同类项定义与合并同类项法则可判断B利用积的乘方运算法则可判断C利用完全平方公式可判断D【详解】A. |−(−2)|=2≠−2选项A计算不正确B. 3与√3不是同类项不能合并3+√3≠3√3选项B计算不正确C. (a2b3)2=a2×2b3×2=a4b6选项C计算正确D. (a−2)2=a2−4a+4≠a2−4选项D计算不正确故选择C【点睛】本题考查绝对值化简同类项、二次根式、积的乘方与完全平方公式等知识掌握以上知识是解题关键5.下列命题中为真命题的是（）（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形（2）对角线互相垂直的四边形是菱形（3）对角线相等的平行四边形是菱形（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形A.（1）（2）B.（1）（4）C.（2）（4）D.（3）（4）【答案】B【分析】正确的命题叫真命题根据定义解答【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形故（1）是真命题对角线互相垂直的平行四边形是菱形故（2）不是真命题对角线相等的平行四边形是矩形故（3）不是真命题有一个角是直角的平行四边形是矩形故（4）是真命题故选：B【点睛】此题考查真命题的定义熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键6.为了庆祝中国共产党成立100周年某校举办了党史知识竞赛活动在获得一等奖的学生中有3名女学生1名男学生则从这4名学生中随机抽取2名学生恰好抽到2名女学生的概率为（）A.23B.12C.13D.16【答案】B【分析】首先根据题意画出树状图然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名学生中恰好有2名女生的情况再利用概率公式即可求得答案【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果选出的2名学生中恰好有2名女生的有6种情况∴P（2女生）=612=12故选：B【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果列表法适合于两步完成的事件树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比7.一根钢管放在V形架内其横截面如图所示钢管的半径是24cm若∠ACB=60°则劣弧AB的长是（）A.8πcmB.16πcmC.32πcmD.192πcm【答案】B【分析】先利用v形架与圆的关系求出∠C+∠AOB=180°由∠C=60°可求∠AOB=120°由OB=24cm利用弧长公式求即可【详解】解：∵AC与BC是圆的切线∴OA⊥ACOB⊥CB∴∠OAC=∠OBC=90°∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°∵∠C=60°∴∠AOB=180°-60°=120°∵OB=24cm,∴l AB⌢=120×π×24180=16πcm故选择B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系四边形内角和弧长公式掌握直线与圆的位置关系四边形内角和弧长公式是解题关键8.抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)且与y轴交于点(0,−5)则当x=2时y的值为（）A.−5B.−3C.−1D.5【答案】A【分析】解法一：先利用待定系数法求出抛物线解析式再求函数值即可解法二：利用二次函数图象的对称性可知：x=2和x=0对应的函数值相等从而得解【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)且与y轴交于点(0,−5)∴{c=−5a−b+c=09a+3b+c=0解方程组得{c=−5 a=53 b=−103∴抛物线解析式为y=53x2−103x−5当x=2时y=53×4−103×2−5=−5故选择A解法二：抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)∴抛物线的对称轴为：x=−1+32=1又∵0+22=1∴x=2和x=0的函数值相等即均为−5故选择A【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式和函数值掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键同时利用数形结合思想和对称性解题会起到事半功倍的效果9.如图在Rt△ABC中∠C=90°AC=6BC=8将△ABC绕点A逆时针旋转得到△A′B′C′使点C′落在AB边上连结BB′则sin∠BB′C′的值为（）A.35B.45C.√55D.2√55【答案】C【分析】由勾股定理求出AB=10并利用旋转性质得出AC′=AC=6B′C=BC=8∠AC′B′=∠C=90°则可求得BC′=4再根据勾股定理求出BB′=4√5最后由三角形函数的定义即可求得结果【详解】解：在Rt△ABC中∠C=90°AC=6BC=8由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√62+82=10∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△A′B′C′∴AC′=AC=6B′C=BC=8∠AC′B′=∠C=90°∴BC′=AB−AC′=10−6=4∴在Rt△BB′C′中由勾股定理得BB′=√BC′2+B′C′2=√42+82=4√5∴sin∠BB′C′=BC′BB′=4√5=√55故选：C【点睛】本题考查了求角的三角形函数值掌握三角形函数的概念并利用勾股定理及旋转的性质求解是解题的关键10.在平面直角坐标系xOy中矩形OABC的点A在函数y=1x(x>0)的图象上点C在函数y=−4x (x<0)的图象上若点B的横坐标为−72则点A的坐标为（）A.(12,2) B.(√22,√2) C.(2,12) D.(√2,√22)【答案】A【分析】构造K字形相似由面积比得出相似比为2从而得出A点坐标与C点坐标关系而P是矩形对角线交点故P是AC、BO的中点由坐标中点公式列方程即可求解【详解】解：过C点作CE⊥x轴过A点作AF⊥x轴∵点A在函数y=1x (x>0)的图象上点C在函数y=−4x(x<0)的图象上∴S△OCE=2S△OAF=12∵CE⊥x轴∴∠CEO=90°∠OCE+∠COE=90°∵在矩形OABC中∠AOC=90°∴∠AOF+∠COE=90°∴∠OCE=∠AOF∴△OCE∼△AOF∴CEOF =OEAF=√S△OCES△OAF=2∴CE=2OFOE=2AF设点A坐标为(x,1x )则点C坐标为(−2x,2x,)连接AC、BO交于点P则P为AC、BO的中点∴x+(−2x )=−72解得：x1=12x2=−4（不合题意舍去）∴点A坐标为(12,2)故选A【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合关键是构造相似三角形根据反比例函数的系数k的几何意义由面积比得到相似三角形的相似比从而确定点A与点C的坐标关系二、填空题(共 24 分)11.代数式√x−6在实数范围内有意义时x应满足的条件是________【答案】x≥6【分析】根据二次根式有意义的条件解答【详解】解：由题意得：x−6≥0解得x≥6故答案为：x≥6【点睛】此题考查二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零12.方程x2=4x的解 __【答案】x=0或x=4【分析】先移项使方程右边为0再提公因式x然后根据“两式相乘值为0这两式中至少有一式值为0”进行求解【详解】解：原方程变为x2﹣4x=0x（x﹣4）=0解得x1=0x2=4故答案为：x=0或x=4【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键.13.如图在Rt△ABC中∠C=90°∠A=30°线段AB的垂直平分线分别交AC、AB 于点D、E连结BD若CD=1则AD的长为________【答案】2【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD∠ABD=∠A=30°求得∠CBD=30°即可求出答案【详解】解：∵∠C=90°∴∠A+∠ABC=90°∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E∴AD=BD∴∠ABD=∠A=30°∴∠CBD=30°∵CD=1∴AD=BD=2CD=2故答案为：2【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质直角三角形30度角的性质熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键14.一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根点A(x1,y1)、B(x2,y2)是反上的两个点若x1<x2<0则y1________y2（填“＜”或“＞”或比例函数y=mx“＝”）【答案】＞【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则Δ=0求出m的取值范围再由反比例函数函数值的变化规律得出结论【详解】解：∵一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根∴Δ=(−4)2−4m=0∴m=4∴点A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函数y=4上的两个点x又∵x1<x2<0∴y1>y2故填：>【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m值再由反比例函数的性质求解15.如图在△ABC中AC=BC∠B=38°点D是边AB上一点点B关于直线CD的对称点为B′当B′D//AC时则∠BCD的度数为________【答案】33°【分析】如图连接CB′根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得∠B′=∠B= 38°∠DCB=∠DCB′并由平行线的性质可推出∠ACB′=∠B′=38°最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果【详解】解：如图连接CB′∵点B关于直线CD的对称点为B′∴CB=CB′DB=DB′∵CD=CD∴△DCB≅△DCB′∴∠B′=∠B=38°∠DCB=∠DCB′∵B′D//AC∴∠ACB′=∠B′=38°∵AC=BC∴∠A=∠B=38°∴∠ACB=180°−2∠B=104°∵∠ACB=∠ACB′+∠DCB+∠DCB′=∠ACB′+2∠DCB=104°∴2∠DCB=104°−∠ACB′=66°∴∠DCB=33°故答案为：33°【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键16.如图正方形ABCD的边长为4点E是边BC上一点且BE=3以点A为圆心3为半径的圆分别交AB、AD于点F、GDF与AE交于点H并与⊙A交于点K连结HG、CH给出下列四个结论（1）H是FK的中点（2）△HGD≌△HEC（3）S△AHG：S△DHC= 9∶16（4）DK=7其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）5【答案】（1）（3）（4）【分析】由正方形的性质可证明△DAF≌△ABE则可推出∠AHF=90°利用垂径定理即可证明结论（1）正确过点H作MN//AB交BC于N交AD于M由三角形面积计算公式求出AH=125再利用矩形的判定与性质证得MG=NE并根据相似三角形的判定与性质分别求出MH=4825NH=5225则最后利用锐角三角函数证明∠MGH≠∠HEN即可证明结论（2）错误根据（2）中结论并利用相似三角形的性质求得AM=3625即可证明结论（3）正确利用（1）所得结论DK=DF−2FH并由勾股定理求出FH再求得DK即可证明结论（4）正确【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB=4∠DAF=∠ABE=90°又∵AF=BE=3∴△DAF≌△ABE∴∠AFD=∠BEA∵∠BEA+∠BAE=90°∴∠AFD+∠BAE=90°∴∠AHF=90°∴AH⊥FK∴FH=KH即H是FK的中点故结论（1）正确（2）过点H作MN//AB交BC于N交AD于M由（1）得AH⊥FK则12AD⋅AF=12DF⋅AH∵DF=√AF2+AD2=5∴AH=125∵四边形ABCD是正方形MN//AB∴∠DAB=∠ABC=∠AMN=90°∴四边形ABNM是矩形∴MN=AB=4AM=BN∵AG=BE∴AG−AM=BE−BN即MG=NE∵AD//BC∴∠MAH=∠AEB∵∠ABE=∠AMN=90°∴△MAH∼△BEA∴AHAE =MHAB即1255=MH4解得MH=4825则NH=4−MH=5225∵tan∠MGH=MHMG tan∠HEN=NHNE∵MG=NEMH≠NH∴MGMH ≠NENH∴∠MGH≠∠HEN∴∠DGH≠∠CEH∴△HGD与△HEC不全等故结论（2）错误（3）∵△MAH ∼△BEA∴AH AE =AM BE 即1255=AM 3解得AM =3625由（2）得S △AHG =12MH ⋅AGS △DHC =12DC ⋅(AD −AM )∴S △AHGS △DHC =MH⋅AG DC⋅(AD−AM )=4825×34×(4−3625)=916故结论（3）正确（4）由（1）得H 是FK 的中点∴DK =DF −2FH由勾股定理得FH =√AF 2−AH 2=√32−(125)2=95 ∴DK =5−2×95=75故结论（4）正确 故答案为：（1）（3）（4）【点睛】本题考查了正方形的综合问题掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键三、解答题(共 36 分)17.解方程组{y =x −4x +y =6【答案】{x =5y =1【分析】利用代入消元法求解方程即可【详解】解：{y =x −4x +y =6 ①②把①代入②得x+(x−4)=6解得x=5把x=5代入①得y=1所以方程组的解为：{x=5y=1【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法仔细观察二元一次方程组的特点灵活选用代入法或加减法是解题关键18.如图点E、F在线段BC上AB//CD∠A=∠DBE=CF证明：AE=DF【答案】见解析【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF即可得到结论【详解】证明：∵AB//CD∴∠B=∠C∵∠A=∠DBE=CF∴△ABE≌△DCF（AAS）∴AE=DF【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质熟记全等三角形的判定定理是解题的关键19.已知A=(mn −nm)⋅√3mnm−n（1）化简A（2）若m+n−2√3=0求A的值【答案】（1）√3(m+n)（2）6【分析】（1）先通分合并后因式分解然后约分化简即可（2）先把式子移项求m+n=2√3然后整体代入进行二次根式乘法运算即可【详解】解：（1）A=(m 2mn −n2nm)⋅√3mnm−n=(m+n)(m−n)mn⋅√3mnm−n=√3(m+n)（2）∵m+n−2√3=0∴m+n=2√3∴A=√3(m+n)=√3×2√3=6【点睛】本题考查分式化简计算会通分因式分解与约分二次根式的乘法运算掌握分式化简计算会通分因式分解与约分二次根式的乘法运算是解题关键20.某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数随机调查了该年级20名学生统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：35363445245613554424根据以上数据得到如下不完整的频数分布表：（1）表格中的a=________b=________（2）在这次调查中参加志愿者活动的次数的众数为________中位数为________（3）若该校初三年级共有300名学生根据调查统计结果估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数【答案】（1）45（2）4次4次（3）90人【分析】（1）观察所给数据即可得到ab的值（2）根据众数和中位数的概念求解即可（3）用300乘以样本中参加志愿者活动的次数为4次的百分比即可得到结论【详解】解：（1）根据所给数据可知参加3次志愿活动的有4人参加5次志愿活动的有5人所以a=4b=5故答案为：45（2）完成表格如下由表格知参加4次志愿活动的的人数最多为6人∴众数是4次20个数据中最中间的数据是第1011个即44=4（次）∴中位数为4+42故答案为：4次4次×100%=30%（3）20人中参加4次志愿活动的有6人所占百分比为620所以∴该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为：300×30%=90（人）答：该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为90人【点睛】本题考查众数、中位数、用样本估计总体解答本题的关键是明确题意利用数形结合的思想解答21.民生无小事枝叶总关情广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程今年计划新增加培训共100万人次（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次（2）“粤菜师傅”工程开展以来已累计带动33.6万人次创业就业据报道经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升已知李某去年的年工资收入为9.6万元预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？【答案】（1）“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次（2）李某的年工资收入增长率至少要达到30%【分析】（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次根据今年计划新增加培训共100万人次列出方程求解即可（2）设李某的年工资收入增长率为y根据“今年的年工资收入不低于12.48万元”列出一元一次不等式求解即可解：设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次根据题意得x+2x+31=100解得x=23答：“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次（2）设李某的年工资收入增长率为y根据题意得9.6(1+y)≥12.48解得y≥0.3答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%【点睛】此题主要考查了一元一次方程以及一元一次不等式的应用准确找出题目中的数量关系是解答此题的关键22.如图在四边形ABCD中∠ABC=90°点E是AC的中点且AC=AD（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF交CD于点F连结EF、BF（保留作图痕迹不写作法）（2）在（1）所作的图中若∠BAD=45°且∠CAD=2∠BAC证明：△BEF为等边三角形【答案】（1）图见解析（2）证明见解析（1）根据基本作图—角平分线作法作出∠CAD的平分线AF即可解答（2）根据直角三角形斜边中线性质得到BE=12AC并求出∠BEC=∠BAC+∠ABE=30°再根据等腰三角形三线合一性质得出CF=DF从而得到EF为中位线进而可证BE=EF∠BEF=60°从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论【详解】解：（1）如图AF平分∠CAD（2）∵∠BAD=45°且∠CAD=2∠BAC∴∠CAD=30°∠BAC=15°∵AE=EC∠ABC=90°∴BE=AE=12AC∴∠ABE=∠BAC=15°∴∠BEC=∠BAC+∠ABE=30°又∵AF平分∠CADAC=AD∴CF=DF又∵AE=EC∴EF=12AD=12ACEF//AD∴∠CEF=∠CAD=30°∴∠BEF=∠BEC+∠CEF=60°∴△BEF为等边三角形【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理23.如图在平面直角坐标系xOy中直线l:y=12x+4分别与x轴y轴相交于A、B两点点P(x,y)为直线l在第二象限的点（1）求A、B两点的坐标（2）设△PAO的面积为S求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围（3）作△PAO的外接圆⊙C延长PC交⊙C于点Q当△POQ的面积最小时求⊙C的半径【答案】（1）A（-80）B（04）（2）S=2x+16-8＜x＜0（3）4【分析】（1）根据一次函数的图像与性质即可求出A、B两点的坐标（2）利用三角形面积公式及点的坐标特点即可求出结果（3）根据圆周角性质可得∠PAO=∠PQO∠POQ=90°由等角的三角函数关系可推出tan∠PAO=OBOA =12=tan∠PQO=OPOQ再根据三角形面积公式得S△POQ=1OP⋅OQ=1⋅m⋅2m=m2由此得结论当m最小时△POQ的面积最小最后利用圆的性质可得m有最小值且OA为⊙C的直径进而求得结果【详解】解：（1）当y=0时0=12x+4解得x=−8∴A（-80）当x=0时y=12×0+4=4∴B（04）（2）∵A（-8,0）∴OA=8点P在直线l:y=12x+4上∴y P=12x+4∴S△PAO=12OA⋅y P=12×8×(12x+4)=2x+16∵点P在第二象限∴12x+4＞0且x＜0解得-8＜x＜0（3）∵B（04）∴OB=4∵⊙C为△PAO的外接圆∴∠PAO=∠PQO∠POQ=90°∴tan∠PAO=OBOA =12=tan∠PQO=OPOQ设OP=m则OQ=2m∴S△POQ=12OP⋅OQ=12⋅m⋅2m=m2∴当m最小时△POQ的面积最小∴当OP⊥AB时m有最小值且OA为⊙C的直径即⊙C的半径为4【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质等知识熟练掌握一次函数的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质是解题的关键24.已知抛物线y=x2−(m+1)x+2m+3（1）当m=0时请判断点（24）是否在该抛物线上（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动当顶点移动到最高处时求该抛物线的顶点坐标（3）已知点E(−1,−1)、F(3,7)若该抛物线与线段EF只有一个交点求该抛物线顶点横坐标的取值范围【答案】（1）不在（2）（25）（3）x顶点<−12或x顶点>32或x顶点=1【分析】（1）先求出函数关系式再把（24）代入进行判断即可（2）根据二次函数的顶点坐标公式求出抛物线顶点纵坐标最大值即为顶点最高点的纵坐标代入求解即可（3）运用待定系数法求出直线EF的解析式代入二次函数解析式求出交点坐标再根据题意分类讨论求出m的值即可【详解】解：（1）把m=0代入y=x2−(m+1)x+2m+3得y=x2−x+3当x=2时y=22−2+3=5≠4所以点（24）不在该抛物线上（2）y=x2−(m+1)x+2m+3∴抛物线y =x 2−(m +1)x +2m +3的顶点坐标为（m+122m +3−(m+1)24）∴纵坐标为2m +3−(m+1)24令y =2m +3−(m+1)24=−14(m −3)2+5∵−14<0∴抛物线有最高点 ∴当m =3时y =2m +3−(m+1)24有最大值将m =3代入顶点坐标得（25） （3）∵E （-1-1）F （37） 设直线EF 的解析式为y =kx +b 把点E 点F 的坐标代入得{−k +b =−13k +b =7解得{k =2b =1∴直线EF 的解析式为y =2x +1将y =2x +1代入y =x 2−(m +1)x +2m +3得x 2−(m +1)x +2m +3=2x +1整理得：x 2−(m +3)x +2m +2=0 解得x 1=2,x 2=m +1 则交点为：（25）和（m +12m +3） 而（25）在线段EF 上∴若该抛物线与线段EF 只有一个交点则（m +12m +3）不在线段EF 上或（25）与（m +12m +3）重合∴m +1＜-1或m +1＞3或m +1=2（此时2m +3=5） ∴此时抛物线顶点横坐标x 顶点=m+12<−12或x 顶点=m+12>32或x 顶点=m+12=1【点睛】25.如图在菱形ABCD 中∠DAB =60°AB =2点E 为边AB 上一个动点延长BA 到点F 使AF =AE 且CF 、DE 相交于点G（1）当点E 运动到AB 中点时证明：四边形DFEC 是平行四边形 （2）当CG =2时求AE 的长（3）当点E 从点A 开始向右运动到点B 时求点G 运动路径的长度 【答案】（1）见解析（2）43（3）23√7【分析】（1）根据E 为AB 中点可得EF =AB 再由菱形的性质推出CD ∥AB CD =AB 则EF =CD 即可证明结论（2）过点C 作CH ⊥AB 交FB 的延长线于点H 利用菱形及直角三角形的性质可求出BH =12BC =1并由勾股定理求得CH =√BC 2−BH 2=√3再根据相似三角形的判定及性质可证得EF =FG 设AE =x 则EF =2x 可表示出FH =3+xCF =2+2x 即可由CH 2+FH 2=CF 2建立关于x 的方程求解后可得出AE 的长（3）连接AG 并延长交CD 于点M 连接BD 交AM 于点N 并连接BM 首先由菱形的性质得出△ABD 为等边三角形则BD =AB =BC 再由CD ∥AB 得△AFG ∼△MCG △AEG ∼△MDG 由此可证得AF MC=AE MD再结合AE =AF 得出MC =MD =1则由等腰三角形性质推出BM ⊥CD 并分别求出BM =√3AM =√AM 2+BM 2=√7最后根据题意可得点G 运动路径的长度为线段AN 的长由平行线分线段成比例性质可得出AN =2MN 此题得解（1）证明：∵E为AB中点AB∴AF=AE=12∴EF=AB∵四边形ABCD是菱形∴CD∥AB CD=AB∴EF=CD∴四边形DFEC是平行四边形（2）解：如图过点C作CH⊥AB交FB的延长线于点H∵四边形ABCD是菱形AB=2∴AD∥BC AB=BC=CD=2∴∠CBH=∠DAB=60°∴∠BCH=30°BC=1∴BH=12则由勾股定理得CH=√BC2−BH2=√3∴△CDG∽△FEG∴CDEF =CGFG∵CD=CG=2∴EF=FG设AE=x则EF=2x∴FH=3+xCF=2+2x在Rt△CFH中由勾股定理得：CH2+FH2=CF2∴(√3)2+(3+x)2=(2+2x)2解得x1=43x2=−2（不合题意舍去）∴AE的长为43（3）如图连接AG并延长交CD于点M连接BD交AM于点N并连接BM∵四边形ABCD是菱形∠DAB=60°∴AB=AD∠DCB=∠DAB=60°∴△ABD为等边三角形同理可证：△BCD为等边三角形∴BD=AB=BC∵CD∥AB∴△AFG∼△MCG△AEG∼△MDG∴AFMC =AGMGAGMG=AEMD∴AFMC =AEMD∴MC=MD=12CD=1∴BM⊥CD则由勾股定理得：BM=√BC2−CM2=√3AM=√AM2+BM2=√7当点E从A出发运动到点B时点G始终在直线AM上运动运动轨迹为线段当点E与A重合时点G与点A重合当点E与B重合时点G为BD与AM的交点N∴点G运动路径的长度为线段AN的长∵CD∥AB∴ANMN =ABMD∴AN=2MN∴点G运动路径的长度为AN=23AM=23√7【点睛】此题属于四边形的综合问题考查了菱形的性质、平行四边形及相似三角形的判定与性质等知识点熟练掌握所学知识并灵活运用所学知识是解题的关键。
2021年广东省中考数学解答题压轴题练习及答案 (7)
2021年广东省中考数学解答题压轴题练习1．如图，点B为长为5的线段AC上一点，且AB＝2，过B作BE⊥BC于B，且BE＝4，以BC、BE为邻边作矩形BCDE，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段BF，优弧交BE于N，交BC于M，设旋转角为a（1）若扇形MBF的面积为π，则a的度数为200；（2）连接EC，判断CE与扇形ABF所在圆⊙B的位置关系，并说明埋由．（3）设P为直线AC上一点，沿EP所在直线折叠矩形，若折叠后DE所在的直线与扇形ABF所在的⊙B相切，求CP的长．【分析】（1）由扇形的面积公式得：＝，则∠MBF＝20°，即可求解；（2）过点B作BG⊥CE于点G，则CB×BE＝CE×BG，求出BG＝＞2，即可求解；（3）分点Q在BE的左侧、点Q在BE右侧两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由扇形的面积公式得：＝，则∠MBF＝20°，a＝180°+20°＝200°，答案为：200；（2）相离．如图1，∵BE⊥BC，∴∠EBC＝90°，∵BE＝4，BC＝3，∴EC＝5，过点B作BG⊥CE于点G，∴CB×BE＝CE×BG，∴BG＝＞2，∴CE与扇形ABF所在圆⊙B相离；（3）①当折叠后DE所在的直线与扇形ABF所在的圆B相切时，切点为Q，如图2，当点Q在BE的左侧时，连接BQ，则∠BQE＝90°，∵BQ＝2，BE＝4，sin∠QEB＝，∴∠QEB＝30°，∵四边形EBCD为矩形，∴∠DEB＝90°，∴∠QED＝120°，又由题意得：∠QEP＝∠PED＝60°，∴∠EPB＝30°，∵BE＝4，∴PB＝，∴CP＝3﹣；②如图3，当点Q在BE右侧时，同理可得：∠QEB＝30°，又由题意得：∠QEP＝∠PED＝30°，∵BE＝4，∴PB＝4，∠BEP＝60°，∴CP＝4﹣3．③当D′E于圆相切时，如图3，由折叠知：∠1＝∠2，在Rt△BQE中，∵BQ＝BE，∴∠BEC＝30°，又∠B′EC＝90°，∴∠1＝∠2＝30°，在Rt△PBE中，PB＝tan∠PEB•BE＝×4＝，PC＝3+；④当D′E同左侧圆相切时，如图4，同理可得：PB＝4，PC＝4+3；综上，PC＝3﹣或4﹣3或3+或4+3．。
用简便的方法，解2021年广东中考数学压轴题，题型较新颖
用简便的方法，解2021年广东中考数学压轴题，题型较新颖这是今年，2021年广东省中考数学的压轴题：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点(-1,0), 且对任意实数x,都有4x-12≤ax^2+bx+c≤2x^2-8x+6.(1)求该二次函数的解析式；(2)若(1)中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C; 点M是(1)中二次函数图象上的动点.问在x轴上是否存在点N, 使得以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出所有满足条件的点N的坐标;若不存在, 说明理由.分析：(1)最简单的一步是将点(-1,0)代入解析式，列得一个三元一次方程；又当4x-12=2x^2-8x+6时，必有ax^2+bx+c=4x-12，求得x=3，代入上式，又可以列得一个三元一次方程；又因为ax^2+bx+c=4x-12有唯一解，即直线与抛物线相切，因此可以由判定式列得第三个三元方程。
最后由前两个三元方程，求出b,c与a的关系，再代入第三个三元方程，就可以解得a，从而解得三个参数的值。
解：(1)将(-1,0)代入y=ax^2+bx+c得：a-b+c=0 (1)当4x-12=2x^2-8x+6时, 解得x=3,又当x=3时, 4x-12=0, ∴9a+3b+c=0 (2)由(2)-(1)得, 8a+4b=0, ∴b=-2a, 代入(1)得c=-3a,依题意, 方程4x-12=ax^2+bx+c有唯一解,∴△=(b-4)^2-4a(c+12)=0,∴(-2a-4)^2-4a(-3a+12)=0,解得a=1, b=-2, c=-3,∴二次函数解析式为：y=x^2-2x-3.分析：(2)先设M，N的坐标，写出A，C的坐标。
必须自己作出图象，然后分情况讨论。
当AC是对角线时，有一种可能；当AC是边是有三种可能。
这里要利用平行四边形的性质，结合几何法，如果直接求线段的距离，运用两点的距离公式，有可能出现高次方程。
2021年广东省中考数学解答题压轴题练习及答案 (79)
2021年广东省中考数学解答题压轴题练习1．如图，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠DAP＝∠PBA．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠APC＝∠BPC＝60°，试探究线段P A，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在第（2）问的条件下，若AD＝2，PD＝1，求线段AC的长．【分析】（1）欲证明AD是⊙O的切线，只需推知AD⊥AE即可；（2）首先在线段PC上截取PF＝PB，连接BF，进而得出△BP A≌△BFC（AAS），即可得出P A+PB＝PF+FC＝PC；（3）利用△ADP∽△BDA，得出＝＝，求出BP的长，进而得出△ADP∽△CAP，则＝，则AP2＝CP•PD求出AP的长，即可得出答案．【解答】（1）证明：先作⊙O的直径AE，连接PE，∵AE是直径，∴∠APE＝90°．∴∠E+∠P AE＝90°．又∵∠DAP＝∠PBA，∠E＝∠PBA，∴∠DAP＝E，∴∠DAP+∠P AE＝90°，即AD⊥AE，∴AD是⊙O的切线；（2）P A+PB＝PC，证明：在线段PC上截取PF＝PB，连接BF，∵PF＝PB，∠BPC＝60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB＝BF，∠BFP＝60°，∴∠BFC＝180°﹣∠PFB＝120°，∵∠BP A＝∠APC+∠BPC＝120°，∴∠BP A＝∠BFC，在△BP A和△BFC中，，∴△BP A≌△BFC（AAS），∴P A＝FC，AB＝CB，∴P A+PB＝PF+FC＝PC；（3）解：∵△ADP∽△BDA，∴＝＝，∵AD＝2，PD＝1，∴BD＝4，AB＝2AP，∴BP＝BD﹣DP＝3，∵∠APD＝180°﹣∠BP A＝60°，∴∠APD＝∠APC，∵∠P AD＝∠E，∠PCA＝∠E，∴∠P AD＝∠PCA，∴△ADP∽△CAP，∴＝，∴AP2＝CP•PD，∴AP2＝（3+AP）•1，解得：AP＝或AP＝（舍去），∴BC＝AB＝2AP＝1+．。
2021年广东省广州市中考数学试卷及解析(真题样卷)
2021年广东省广州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2021•广州）四个数﹣3。
14，0，1，2中为负数的是（）A．﹣3。
14 B．0C．1D．22．（3分）（2021•广州）将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（）3．（3分）（2021•广州）已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（）A．2。
5 B．3C．5D．104．（3分）（2021•广州）两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（）A．众数B．中位数C．方差D．以上都不对5．（3分）（2021•广州）下列计算正确的是（）A．a b•ab=2ab B．（2a）3=2a3C．3﹣=3（a≥0）D．•=（a≥0，b≥0）6．（3分）（2021•广州）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（）A．B．C．D．7．（3分）（2021•广州）已知a，b 满足方程组，则a+b的值为（）A．﹣4 B．4C．﹣2 D．28．（3分）（2021•广州）下列命题中，真命题的个数有（）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．A．3个B．2个C．1个D．0个9．（3分）（2021•广州）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3B．9C．18D．3610．（3分）（2021•广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）（2021•广州）如图，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1=50°，则∠2的度数为．12．（3分）（2021•广州）根据环保局公布的广州市2021年至2021年PM2。
2021年中考数学《二次函数综合压轴题》模拟训练题集(广州)
2021年中考数学《二次函数综合压轴题》模拟训练题集（广州）1．如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线D1：y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线L：y＝x+m过顶点C和点B．（1）求抛物线D1：y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（2）点D（0，），在x轴上任取一点Q（x，0），连接DQ，作线段DQ的垂直平分线l1，过点Q作x轴的垂线，记l2，l2的交点为P（x，y），在x轴上多次改变点Q的位置，相应的点P也在坐标系中形成了曲线路径D2，写出点P（x，y）的路径D2所满足的关系式（即x，y所满足的关系式），能否通过平移、轴对称或旋转变换，由抛物线D1得到曲线D2？请说明理由．（3）抛物线D1上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（），B（）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△P AC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．设CD的长为m，问当m取何值时，S△PDE＝S四边形ABMC．3．如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与直线l：y＝﹣x﹣交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）（1）求抛物线C1的解析式；（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点）PM⊥AB于点M，PN∥y 轴交AB于点N，求MN的最大值；（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C1上，且抛持线C2与抛物线C1交于点D，过点D作DF∥x轴交抛物线C2于点F，过点E作EG ∥x轴交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．4．抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于B，与x轴交于点D、A，点A在点D的右边，顶点为F，C（0，1）（1）直接写出点B、A、F的坐标；（2）设Q在该抛物线上，且S△BAF＝S△BAQ，求点Q的坐标；（3）对大于1常数m，在x轴上是否存在点M，使得sin∠BMC＝？若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由？5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），点B（1，0）两点，与y轴交于点C （1）求抛物线的解析式：（2）若点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接P A、PC、AC．①求△ACP的面积S关于t的函数关系式．②求△ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．6．如图①，△ABC表示一块含有60°角的直角三角板，60°所对的边BC的长为6，以斜边AB所在直线为x轴，AB边上的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．等腰直角△DEF的直角顶点F初始位置落在y轴的负半轴，斜边DE始终在x轴上移动，且DE＝6．抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点．（1）求a、b、c；（2）△DEF经过怎样的平移后，点E与点B重合？求出点E与点B重合时，点F的坐标；（3）△DEF经过怎样的平移后，⊙E与直线AC和BC均相切？（参考数据：＝，＝）7．已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y 与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣，过点A（﹣3，2）和点B（2，），与y轴交于点C，连接AC交x轴于点D，连接OA，OB（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）∠AOB的大小是；（4）将△OCD绕点O旋转，旋转后点C的对应点是点C′，点D的对应点是点D′，直线AC′与直线BD′交于点M，在△OCD旋转过程中，当点M与点C′重合时，请直接写出点M到AB的距离．9．如图，已知二次函数的图象经过点A（﹣3，6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，顶点为点P．（1）求这个二次函数解析式；（2）设D为x轴上一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；（3）作直线AP，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，在直线AP上是否存在点N，使AM+MN的值最小？若存在，求出M、N的坐标：若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c与x轴从左到右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接AC，BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点，连接P A，PB，PC，设点P的纵坐标为h，试探究：①当h为何值时，|P A﹣PC|的值最大？并求出这个最大值．②在P点的运动过程中，∠APB能否与∠ACB相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由．11．如图，抛物物y＝ax2过点（﹣，2），点P（h，k）是抛物线上在第一象限内的动点．连结OP，过点O作OP的垂线交抛物线于另一点N，连结PN，交y轴于点M，作P A⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）求a的值，写出抛物线的对称轴；（2）如图①，当h＝时，在y轴上找一点C，使△OCN是等腰三角形，求点C的坐标；（3）如图②，连结AM，BM，试猜想线段AM与线段BM之间的位置关系，并证明结论．12．抛物线L：y＝+bx+c经过点A（0，﹣1），与它的对称轴直线x＝2交于点B．（1）求出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣2k﹣5（k＞0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于3，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向下平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C 作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．点F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD 与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．13．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（2，0），点B（0，2），动点D以1个单位长度/秒的速度从点A 出发向x轴负半轴运动，同时动点E以个单位长度/秒的速度从点B出发向y轴负半轴运动，设运动时间为t 秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F（1）求∠OAB度数；（2）当t为何值时，四边形ADEF为菱形，请求出此时二次函数解析式；（3）是否存在实数t，使△AGF为直角三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．14．如图，已知，抛物线y＝ax2﹣2x过点A（﹣2，5），过A点作x轴的平行线，交抛物线与另一点C，交y轴与点Q，点D（m，5）为线段QC上一动点（不与Q、C重合），作点Q关于直线OD的对称点P，连接PC，PD．（1）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△OPD的面积；（2）若直线PD交x轴与点E．试探究四边形OECD能否为平行四边形？若能，求出m的值，若不能，请说明理由．（3）设点P（h，k）．①求PC取最小值时k的值；②当0＜m≤5时，试探究h与m之间的关系．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），二次函数y＝+bx﹣2的图象经过C点．（1）求二次函数的解析式；（2）平移该二次函数图象的对称轴所在直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出此时直线l与x轴的交点坐标；（3）将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折180°，得到△AB′C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB′C是以B′C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求3m+n的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．17．如图，抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+2m（其中m＞0）与其对称轴l相交于点P．与y轴相交于点A（0，m）连接并延长P A、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C落在抛物线上，设点B、C的对应点分别是点B′和C′．（1）当m＝1时，该抛物线的解析式为：．（2）求证：∠BCA＝∠CAO；（3）试问：BB′+BC﹣BC′是否存在最小值？若存在，求此时实数m的值，若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．19．如图，抛物线y＝x2﹣2mx+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求该抛物线的解析式；（2）点D为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接AC，若∠DAB＝∠ACO，求点D的坐标；（3）若点E为线段OC上一动点，试求2AE+EC的最小值．20．已知直线y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+mx﹣4经过点A，和x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF 的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C（1，2），且与直线y＝x交于点B（，）；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P作PQ∥y轴交线段OB于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；（3）点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．22．如图1，已知直线y＝kx与抛物线y＝﹣x2+交于点A（3，6）．（1）求直线y＝kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴正半轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴正半轴于点N，连结MN，若OM＝ON＝2，试求tan∠QNM及点Q的坐标；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD．继续探究：m取何值时，符合条件的E点的个数只有1个．23．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+m与x轴、y轴分别交于点A、点B（0，﹣1），抛物线y＝+bx+c 经过点B，交直线AB于点C（4，n）．（1）分别求m、n的值；（2）求抛物线的解析式；（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4），DE∥y轴交直线AB于点E，点F在直线AB上，且四边形DFEG为矩形（如图2），若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式和p的最大值．24．抛物线y＝a（x+2）2+c与x轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，已知点A（﹣1，0），OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若把抛物线与直线y＝﹣x﹣4的交点称为抛物线的不动点，若将此抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点；（3）Q为直线y＝﹣x﹣4上一点，在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝2∠AQB，且这样的Q 点有且只有一个？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．26．已知：如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且B（4，0）、C（0，﹣2），点D是第四象限的抛物线上的一个动点，过点D作直线DF⊥x轴，垂足为点F，交线段BC于点E（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）当DE＝2EF时，求点D的坐标；（3）在y轴上是否存在P点，使得△P AC是以AC为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．27．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长（3）若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．28．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y＝x2+bx+c经过B点，且顶点在直线x＝上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由．（3）在（2）的条件下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD 于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，写出自变量t的取值范围，并求s 取大值时，点M的坐标．29．如图，平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的部分图象与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，连接BC，D为顶点（1）求∠OBC的度数；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使△ABQ的面积等于5？如存在，求Q点的坐标，如不存在，说明理由；（3）点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合），过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF 长度的最大值．30．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上，直线y＝﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线y＝﹣1交于点M，求证：PF＝PM；（3）当△FPM时等边三角形时，求P点的坐标．31．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y＝﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．32．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．33．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P 上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x＝﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．34．如图1，抛物线y＝ax2﹣9ax﹣36a（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OC＝OA，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，连接PB，试问△PCB的面积是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否能成为菱形？如果能，请直接写出点P的坐标；如果不能，请说明理由．35．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4）．且经过点N（2，3）．与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．抛物线的对称轴与x轴交于点E，点P在对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）直线CM与x轴交于点D，若∠DME＝∠APE，求点P的坐标；（3）请探索：是否存在这样的点P，使∠ANB＝2∠APE？若存在，求出点P的坐标；若不存在；请说明理由．36．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（A左B右），与y轴交于C，直线y＝﹣x+5经过点B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为m，点P到直线BC的距离为d，求d与m的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若∠PCB+∠POB＝180°，求d的值．37．如图，抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣1，）及原点，交x轴于另一点C（2，0），点D（0，m）是y轴正半轴上一动点，直线AD交抛物线于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AO、BO，若△OAB的面积为5，求m的值；（3）如图2，作BE⊥x轴于E，连接AC、DE，当D点运动变化时，AC、DE的位置关系是否变化？请证明你的结论．38．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），A点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标，并求出四边形ABPC的最大面积；（3）若Q为抛物线对称轴上一动点，直接写出使△QBC为直角三角形的点Q的坐标．39．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A 点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．40．如图，抛物线y1＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，交y轴于点C（0，﹣2），且抛物线对称轴x＝﹣2交x 轴于点D，E是抛物线在第3象限内一动点．（1）求抛物线y1的解析式；（2）将△OCD沿CD翻折后，O点对称点O′是否在抛物线y1上？请说明理由．（3）若点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴上，过E′作x轴的垂线交抛物线y1于点F，①求点F的坐标；②直线CD上是否存在点P，使|PE﹣PF|最大？若存在，试写出|PE﹣PF|最大值．41．如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O 重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N （如图2所示）．①当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．42．如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣1，﹣1），A（3，﹣3），抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C．（1）求点C的坐标；（2）若点P为线段OA上的一个动点（不与O，A重合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴右侧），连接OD，AD①当△OPC为等腰三角形，求点P的坐标；②求△AOD面积的最大值，并求出此时点D的坐标．43．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE＝5EF，点P的横坐标是m，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（﹣3，0），顶点为（﹣2，1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，点P为线段BC上的动点（点P不与C、B重合），以P为顶点作∠OPQ＝45°，射线PQ交线段OC于点Q，当△POQ为等腰三角形时，求此时点P的坐标；（3）若点D为抛物线上位于第二象限内的一个动点，且点D的横坐标m满足m≥﹣2，画出边长为的正方形DEFG，使DE∥x轴，点F在点D的左下方，那么边EF与直线BC总有交点，请说明理由．45．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式．（2）D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连结BD、CD设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围．②当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值．46．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，抛物线的对称轴上有一点P，且点P在x轴下方，线段PB绕点P顺时针旋转90°，点B的对应点B′恰好落在抛物线上，求点P的坐标．（3）如图②，直线y＝x+交抛物线于A、E两点，点D为线段AE上一点，连接BD，有一动点Q从B 点出发，沿线段BD以每秒1个单位的速度运动到D，再沿DE以每秒2个单位的速度运动到E，问：是否存在点D，使点Q从点B到E的运动时间最少？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．47．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．48．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A、B、C三点，已知B（4，0），C（2，﹣6）．（1）求该抛物线的解析式和点A的坐标；（2）点D（m，n）（﹣1＜m＜2）在抛物线图象上，当△ACD的面积为时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴为l，点D关于l的对称点为E，能否在抛物线图象和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．49．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）AB＝4，与y轴交于点C，OC ＝OA，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图1，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积；（3）已知H（0，﹣1），点G在抛物线上，连HG，直线HG⊥CF，垂足为F，若BF＝BC，求点G的坐标．50．如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝x2+bx+c经过矩形ABCO 的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝x2+bx+c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．。
初中数学中考压轴题及答案详解(广东篇)
专题训练122. 如图，抛物线923212--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC 。
（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合）。
过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点D 。
设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）。
参考答案： 解：（1）令y=0，即0923212=--x x ， 整理得 01832=--x x ， 解得：31-=x ，62=x ， ∴ A （—3，0），B （6，0） 令x = 0，得y = —9， ∴ 点C （0，—9）∴ 9)3(6=--=AB ，99=-=OC ， （2）281992121=⨯⨯=⋅=∆OC AB S ABC， ∵ l ∥BC ，∴ △ADE ∽△ACB ， ∴22ABAE S S ABC=∆，即229281m S = ∴ 221m S =，其中90<<m 。
（3）88129212192122+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⨯⨯=-=∆∆∆m m m S S S ADEACE CDE ， ∵ 021<-∴ 当29=m 时，S △CDE 取得最大值，且最大值是881。
这时点E （23，0），yA OB xElCD题22图∴29236=-=-=OE OB BE ，133962222=+=+=OC OB BC ， 作EF ⊥BC ，垂足为F ，∵∠EBF=∠CBO ，∠EFB=∠COB ， ∴△EFB ∽△COB ，∴CB BEOC EF =，即133299=EF ∴132627=EF ， ∴ ⊙E 的面积为：πππ5272913262722=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=⋅=EF S 。
2021年中考数学压轴题100题精选(附答案解析)
【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。
【004】如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移， 设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．A DB EO C F x y1l 2l （G ） （第4题）【005】如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.【006】如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。
2021年广东省中考数学试卷(解析版)
2021年广东省中考数学试卷一．选择题〔共5小题〕1．〔2021河南〕﹣5的绝对值是〔〕A． 5 B．﹣5 C．D．﹣考点：绝对值。
解答：解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|=5．应选A．2．〔2021广东〕地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为〔〕A． 0.64×107B． 6.4×106C． 64×105D．640×104考点：科学记数法—表示较大的数。
解答：解：6400000=6.4×106．应选B．3．〔2021广东〕数据8、8、6、5、6、1、6的众数是〔〕A． 1 B． 5 C． 6 D．8考点：众数。
解答：解：6出现的次数最多，故众数是6．应选C．4．〔2021广东〕如下图几何体的主视图是〔〕A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图。
解答：解：从正面看，此图形的主视图有3列组成，从左到右小正方形的个数是：1，3，1．应选：B．5．〔2021广东〕三角形两边的长分别是4和10，那么此三角形第三边的长可能是〔〕 A． 5 B． 6 C． 11 D．16考点：三角形三边关系。
解答：解：设此三角形第三边的长为x，那么10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．应选C．二．填空题〔共5小题〕6．〔2021广东〕分解因式：2x2﹣10x=2x〔x﹣5〕．考点：因式分解-提公因式法。
解答：解：原式=2x〔x﹣5〕．故答案是：2x〔x﹣5〕．7．〔2021广东〕不等式3x﹣9＞0的解集是x＞3．考点：解一元一次不等式。
解答：解：移项得，3x＞9，系数化为1得，x＞3．故答案为：x＞3．8．〔2021广东〕如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，那么∠AOC的度数是50．考点：圆周角定理。
解答：解：∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对，∴∠AOC=2∠ABC，又∠ABC=25°，那么∠AOC=50°．故答案为：509．〔2021广东〕假设x，y为实数，且满足|x﹣3|+=0，那么〔〕2021的值是1．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值。
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2021年广东省广州市中考数学压轴题总复习中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题，得分率低，需要引起重视。
从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要考查知识点为二次函数，圆，多边形，相似，锐角三角形等。
预计2021年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。
1．等边三角形ABC内接于⊙O，点D在弧AC上，连接AD、CD、BD．（1）如图1，求证BD平分∠ADC；
（2）如图2，若∠DBC＝15°，求证：AD：AC=√2：√3；
（3）如图3，若AC、BD交于点E，连接OE，且OE＝2√7，若BD＝3CD，求AD的长．
2．（1）初步思考：
如图1，在△PCB中，已知PB＝2，BC＝4，N为BC上一点且BN＝1，试证明：PN=1
2PC
（2）问题提出：
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求
PD+1
2PC的最小值．
（3）推广运用：
如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一
个动点，求PD−1
2PC的最大值．。