电磁场与电磁波(王家礼 西电第三版)第三章 恒定电流的电场和磁场[精]
电磁场理论_第三章_恒定电流的电场和磁场
• 恒定磁场的知识结构框图。 恒定磁场的知识结构框图。
安培定律） 基本实验定律 (安培定律） 安培定律 磁感应强度（ ）（毕奥 沙伐定律） 毕奥—沙伐定律 磁感应强度（ B）（毕奥 沙伐定律）
H 的旋度 基本方程
磁位( 磁位 ϕm ) J = 0 分界面上衔接条件 边值问题 数值法 有限差分法 电感的计算 有限元法
1.电流强度 电流强度 单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。 单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。
I= dq 的流动情况。 是通量,并不反映电流在每一点的流动情况 并不反映电流在每一点的流动情况。 2. 恒定电场的基本物理量 恒定电场的基本物理量——电流密度 电流密度 为描述电流在空间每点的流动情况， 为描述电流在空间每点的流动情况，引入电流密度的概 电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中， 念。电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中，它 与电场强度方向一致， 与电场强度方向一致，大小等于垂直于其方向上单位面积上 的电流强度： 的电流强度： ∆I J = lim en A m2 ∆S→0 ∆ S ρ 分布的体电荷以速度 作匀速运动形成的运流电流。 分布的体电荷以速度v作匀速运动形成的运流电流。 作匀速运动形成的运流电流 其电流密度 电流
例如 两金属导体作为正负极板置于无限大电介质或导电媒 质中，可用静电比拟法计算两极板间的电导。 质中，可用静电比拟法计算两极板间的电导。 U0
I S G= = = U ∫ E ⋅ dl
l
∫ J ⋅ dS
σ∫ E ⋅ dS
S
∫ E ⋅ dl
l
G
C
=σ
ε
电磁场与电磁波(第三版)课后答案第3章解读(优.选)
第三章习题解答3.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和-q，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。
解由点电荷q和-q共同产生的电通密度为qR+R-D=[3-3]=4πRR+-q4π{err+ez(z-a)[r+(z-a)]2232-err+ez(z+a)[r+(z+a)]2232Φ=则球赤道平面上电通密度的通量⎰D dS=⎰D eSSzz=0dS=]2πrdr=q4πa题3.1 图⎰[02(-a)(r+a)qaa-a(r+a)2232(r+a)=0-1)q=-0.293q3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为-Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量），通Ze⎛1r⎫过实验得到球体内的电通量密度表达式为D0=er 2-3⎪，试证明之。
4π⎝rra⎭Ze解位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 D1=er 24πrZe3Ze=-原子内电子云的电荷体密度为ρ=-334πra4πra电子云在原子内产生的电通量密度则为D2=erρ4πr4πr32=-erZer4πra3题3. 3图(a)故原子内总的电通量密度为 D=D1+D2=er 2-3⎪4π⎝rra⎭33.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为ρ0Cm, 两圆柱面半径分别为a和b，轴线相距为c(c<b-a)，如题3.3图(a)所示。
求空间各部分的电场。
解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。
但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为±ρ0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为ρ0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为-ρ0的均匀电荷分布，如题3.3图(b)所示。
空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。
在r>b区域中，由高斯定律⎰E dS=Sqε022，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P E1'=er'-πaρ02πε0r'2产生的电场分别为 E1=erπbρ02πε0r2=ρ0br2ε0r=-ρ0ar'22ε0r'2＝＋题3. 3图(b)点P处总的电场为 E=E1+E1'= ρ2ε0(brr-2r')在r<b且r'>a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为E2=erπrρ2πε0r=ρr2ε0'=er' E2-πaρ2πε0r'=-ρar'2ε0r''=点P处总的电场为 E=E2+E2ρ02ε0(r-ar'r')在r'<a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为E3=erπrρ02πε0r=ρ0r2ε0'=er' E3-πr'ρ02πε0r'=-ρ0r'2ε0'=点P处总的电场为 E=E3+E3ρ0(r-r')=ρ02ε0c3.4 半径为a的球中充满密度ρ(r)的体电荷，已知电位移分布为⎧r3+Ar2⎪Dr=⎨a5+Aa4⎪2⎩r(r≤a)(r≥a)其中A为常数，试求电荷密度ρ(r)。
电磁场与电磁波
0 JdV ' JdV ' ( ) 4 R R
( JdV ') 0
dB
0 JdV ' 4 R
14
电磁场与电磁波
dB dA (
第3章 恒定磁场
S V
B 0
恒定磁场的散度处处为零（无散度源，没有所谓“磁荷”的 东西存在），磁感应强度矢量沿任意闭合曲面的通量（磁通 量）为零，可见恒定磁场是个无散场，即磁通连续。 矢量磁位
0
B dS 0
S
1 0 R
恒定磁场散度方程的积分形式
B 0
A 0
电磁场与电磁波
第3章 恒定磁场
0 JdV '
4 R
)
dA
0 JdV ' 矢量磁位 4 R
例： 求带有恒定电流I的无限长直导线外P点(距离导线的垂直距 离为r)的磁感应强度。 [例题3.3] Z
JdV ' JdV ' A 0 V ' R ) V ' 4 R J S dS ' JdV ' Id l ' 0 0 0 A A A 4 s ' R 4 V ' R 4 l ' R 面电流分布 体电流分布 线电流分布 0 Idl eR 0 J S dS eR 0 JdV eR B B B 4 C R 2 4 S R2 4 V R2
0 Id l e R dB 4 R2
sin r ( z z' )2 r 2
电磁场与电磁波(第三版之3)解读
r
'
0
r r'
r r '
r
r
'
d
0
r r'
1 r r '
f r r r 'd f r '
◇ 于是位于 r r ' 处的点电荷q 的体密度为 q r r '
◇ 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程 2 r r ' /0
满足的方程：2G r, r ' r r '
◇
定义格林函数
当 r dl
因此
1 r
1 r
1 r2
dl
cos
1 40
1 r2
dl
cos
1 r
1 r
由于
q 40
dl
cos r2
qdl cos qdl er p er
得电偶极子的电位
1 40
p er r2
1 40
pr r3
电偶极子的电场强度
E
1 40
3
pr
r5
r
p r3
3.4 泊松方程 拉普拉斯方程
2
1 n
2
2 n
例 3.9.1 半径分别为a和b 的同轴线，外加电压U。圆柱电极间在图示 1 角部分 填充介电常数为 的介质，其余部分为空气，求内外导体间的电场。（教材例
3.9.2)
解：问题具有轴对称性，选用柱坐标系，
待求函数 1 1 r ，2 2 r
在圆柱坐标系下
2
1 r
d dr
r
d dr
r 0
r2
r4 a2
dr
40
r3 3
r5 5a
电磁场与电磁波第3章ppt_图文
q
4 0
1 rP
1 rQ
O
选参考点位于无穷远处，即令rQ ，得 P
rP q
4 0rP
P
由此得到点电荷电位的一般表达式 q 4 0r
对于位于r的点电荷，电位表达式为
q
q
40 r r 40R
无限长线电荷：设线电荷l在原点，参考点Q，场点 (电位
微分形式：
D
E 0
本构关系：D E
边界条件
en E1 E2 0
en
D1
D2
S
或
E1t E2t
D1n
D2 n
S
对于理想介质，有
en E1 E2
0 或
en D1 D2 0
x a 处，φ2 (a) = 0
x b处，φ1(b) =φ2 (b),
2 ( x)
x
1(x)
x
xb
S0 0
所以 D1 = 0
C2a + D2 = 0
C1b + D1 = C2 b + D2
C2
-
C1
=
-ρS0 ε0
由此解得
C1
=
-ρS0 (b ε0a
证明 对于单个点电荷产生的场
把试探电荷q0从P移到Q 设电荷q0 受到的电场力为F， 在该力作用下的位移为dl，
则电场力做功为 dW F dl qE dl
WPQ
Q
F dl
P
Q
Q
F cos θdl Fdr
电磁场与电磁波课件 第3章2
已知矢量磁位 A 与磁感应强度 B 的关系为 B A
矢量磁位与电位不同，它没有任何物理意义，仅是一个计算辅助量。
当电流分布未知时，必须利用边界条件求解恒定电磁场的方程。为 此，需要导出矢量磁位应该满足的微分方程。
已知 A 0，那么 A A 2 A
M 21 4π
l2
dl1 dl2 l1 r2 r1
M12 4π
l1
dl2 dl1 l2 r1 r2
诺伊曼公式
考虑到 dl1 dl2 dl2 dl1, r2 r1 r1 r2 ，所以由上两式可见，
M12 M 21
M 21 4π
互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的电流方向，但电感 始终应为正值。
若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链增加，互感应为正 值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链减少，互感 为负值。
例1 求双线传输线单位长度的自感。导线半径为a，导线间距离D>>a。
y
总的磁感应强度
x dx
x
D
解：由 H dl I l 得二导线在x处产生的磁场分别为
静态场问题通常分为两大类：
分布型问题
由已知场源（电荷、电流）分布，直接从场的积分 公式求空间各点的场分布
边值型问题
已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布
静态场边值问题的解法可分为
解析法
给出的结果是场量的解析表示式，如镜像法、分离 变量法
数值法
通过数值计算，给出场量的一组离散数据，如有限 差分法、有限元法
2 Ax 0J x 2 Ay 0J y 2 Az 0J z
电磁场与电磁波第三版答案第三章
《电磁场与电磁波》——习题详解第三章 恒定电流的电场和磁场3-1 一个半径为 a 的球内均匀分布着总量为 q 的电荷,若其以角速度 ω 绕一直径匀 速旋转,求球内的电流密度. 解:传导电流:导体中的自由电子或半导体中的自由电荷在电场作用下作定向 运动所形成的电流. 运流电流: 带电粒子在真空或气体中运动时形成的电流. 本题求的是运流电流. 选 取 球 坐 标系 . 设 转 轴和 直 角 坐 标系 的 z 轴 重 合 , 球 内 某 一点 的 坐标为 ( r , θ , φ ),则电流密度为v v J =ρv =q v 3qω r sin θ v eφ ω r sin θ eφ = 2 4π a 3 4π a 3注意到球面坐标的有向面积元为v v v v d S = er r 2 sin θ d θ d φ + eθ r sin θ d r d φ + eφ r d r d θ可以得到总电流为I=∫∫Sv v J dS =∫ ∫0πJr d r d θ =0aqω 2π2π总电流也可以通过电流强度的定义计算. 因为球体转动一周的时间为 T = 所以ω,I=3-2球形电容器内,外极板的半径分别为 a , b ,其间媒质的电导率为 σ ,当外加 电压为 U 0 时,计算功率损耗并求电阻. 解:设内,外极板之间的总电流为 I .由对称性,可以得到极板间的电流密q qω = T 2π度为v J= v E=I24π r I v e 2 r 4πσ rv er ,U0 = E d r =a∫bI 1 1 4πσ a b 25习题三从而I=v 4πσU 0 σU 0 v ,J = er 1 1 1 1 2 r a b a b2单位体积内功率损耗为 U0 J 1 1 p= =σ r 2 σ a b 2总功率损耗为P=∫b ap 4π r d r =24πσ U 02 1 1 a b2∫d r 4πσ U 02 = 2 1 1 a r a bb由P =U 02 ,得 R R= 1 1 1 4πσ a b 3-3土壤的电导率为 σ . 略去地面的影 一个半径为 a 的导体球作为电极深埋地下, 响,求电极的接地电阻. 解: 当不考虑地面影响时, 这个问题就相当于计算位于无限大均匀导电媒质中的导体球的恒定电流问题.设导体球的电流为 I ,则任意点的电流密度为v J=I 4π rI2v v er , E =I 4πσ rI2v er导体球面的电位为(选取无穷远处为电位零点)U =接地电阻为∫∞a4πσ r2dr =4πσ aR=3-4U 1 = I 4πσ a在无界非均匀导电媒质(电导率和介电常数均是坐标的函数)中,若恒定电流存 在,证明媒质中的自由电荷密度为 ρ = E (ε 证明:由方程 J = 0 得vε σ ) . σv26《电磁场与电磁波》——习题详解v v v v J = (σ E ) = E σ + σ E = 0即E = 故有vσ v Eσρ = D = (ε E ) = E ε + ε Ev ε σ v v = E ε ε E = E ε σ σ σ vvvv3-5如图 3-1,平板电容器间由两种媒质完全填充,厚度分别为 d1 和 d 2 ,介电常数 分别为 ε 1 和 ε 2 ,电导率分别为 σ 1 和 σ 2 ,当外加电压 U 0 时,求分界面上的自 由电荷面密度. 解:设电容器极板之间的电流密度为 J ,则J = σ 1 E1 = σ 2 E2E1 =于是Jσ1, E2 =Jσ2U0d1 d2ε1,σ1 ε2,σ2U0 =即Jd1σ1+Jd 2σ2图 3-1J=U0σ1 σ 2分界面上的自由面电荷密度为d1+d2ρ S = D2 n D1n = ε 2 E2 ε 1 E1 = ε ε U0 = 2 1 σ σ d1 d 2 1 2 +3-6 ε2σ2ε1 J σ1 σ1 σ 2内,外导体半径分别为 a , c 的同轴线,其间填充两种漏电媒质,电导率分别27习题三为 σ 1 ( a < r < b )和 σ 2 ( b < r < c ),求单位长度的漏电电阻. 解:设每单位长度从内导体向外导体的电流为 I ,则电流密度为v J=各区域的电场为I2π rv erv E1 = v E2 =内,外导体间的电压为I2πσ 1rv er ( a < r < b ) v er ( b < r < c )I2πσ 2 rU0 =∫c av v E dr =∫I dr + 2πσ 1 r ab∫ 2πσ r = 2πσb 2cI drIln1b I c + ln a 2πσ 2 b因而,单位长度的漏电电阻为R=3-71 1 U b c = ln + ln I 2πσ 1 a 2πσ 2 b一个半径为 10cm 的半球形接地电极,电极平面与地面重合,如图 3-2,若土 壤的电导率为 0.01S/m,求当电极通过的电流为 100A 时,土壤损耗的功率. 解:半球形接地器的电导为G = 2πσ a接地电阻为I σ a图 3-21 1 R= = G 2πσ a土壤损耗的功率为100 2 = ≈ 1.59 ×106 W P=I R= 2πσ a 2π × 0.01× 0.12I23-8一个正 n 边形(边长为 a )线圈中通过的电流为 I ,试证此线圈中心的磁感应强 度为B= 0 nI π tan 2π a n解:先计算有限长度的直导线在线圈中心产生的磁场.使用公式B=0 I (sin α1 sin α 2 ) 4π r28《电磁场与电磁波》——习题详解并注意到α1 = α 2 =2π π = 2n n设正多边形的外接圆半径是 a .由于r π = cos a n所以,中心点的磁感应强度为B=3-9 0 nI π tan 2π a n求载流为 I ,半径为 a 的圆形导线中心的磁感应强度. 解:电流元 I d l 在中心处产生的磁场为vv v v 0 I d l × er dB = 4π r2各电流元在中心处产生的磁场在同一方向,并注意 的磁场为 3-100 I2a∫rdl2=2π ,所以,圆心处 a.一个载流 I1 的长直导线和一个载流 I 2 的圆环(半径为 a )在同一平面内,圆心 与导线的距离是 d .证明两电流之间的相互作用力为 0 I1 I 2 1 d a d22BdF解:选取图 3-3 所示的坐标.直线电流产生的 I1 磁感应强度为I2 d图 3-3v I v 0 I1 v B1 = 0 1 eφ = eφ 2π r 2π (d + a cos θ )v v v F = I 2 d l 2 × B1θ a∫由对称性可以知道,圆电流环受到的总作用力仅仅有水平分量, d l2 × eφ 的 水平分量为 a cos θ d θ ,再考虑到圆环上,下对称,得vvF=使用公式 0 I1 I 2 2π∫π20 0 I1 I 2 a cos θ dθ = π d + a cos θ∫π0d 1 d θ d + a cos θ 29习题三∫π0dθ = d + a cos θπd a22最后得出二回路之间的作用力为 0 I1 I 2 力). 3-11 d 1 (负号表示吸引 2 2 d a 内,外半径分别为 a , b 的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流 I ,求柱 内,外的磁感应强度. 解:法一:取积分回路为半径为 r ,圆心在轴上的圆,由安培定律 r≤a 时∫lv v v v H dl = 0 H = 0 B = 0a<r≤b 时 v v H dl =∫lI π (r 2 a 2 ) π (b a 2 )2(r 2 a 2 ) I H 2π r = 2 b a2 H = (r 2 a 2 ) I 2π r (b 2 a 2 )v v (r 2 a 2 ) I 0 v er B = 0 H = 2π r (b 2 a 2 )r >b时∫lv v H dl = I v H= I v er2π r v v I v B = 0 H = 0 er 2π r法二:使用圆柱坐标系.电流密度沿轴线方向为30《电磁场与电磁波》——习题详解 r<a 0, I J = , a<r <b 2 2 π (b a ) 0, b<r 由电流的对称性,可以知道磁场只有圆周分量.用安培定律计算不同区域的磁 场.当 r < a 时,磁场为零.当 a < r < b 时,选取安培回路为半径等于 r 且与导电 圆柱的轴线同心的圆.该回路包围的电流为I ′ = Jπ (r 2 a 2 ) =由 B dl = 2π rB =I (r 2 a 2 ) b2 a2∫vv 0 I ′ ,得 0 I (r 2 a 2 ) B= 2π r (b 2 a 2 )当 r > b 时,回路内包围的总电流为 I ,于是 B = 3-120 I . 2π r两个半径都为 a 的圆柱体,轴间距为 d , d < 2a (如图 3-4).除两柱重叠部 分 ( R 区域) 外,柱间有大小相等,方向相反的电流,密度为 J ,求 R 区域 的B.v解:在重叠区域分别加上量值相等(密度为 J ),方向相反的电流分布,可以 将原问题电流分布化为一个圆柱体内均匀分布正向电流,另一个圆柱体内均匀分布 反向电流.由其产生的磁场可以通过叠加原理计算. 由沿正方向的电流(左边圆柱)在重叠y区域产生的磁感应强度为 B1 :∫B1 d l = 2π r1 B1 = 0π r12 JJ r1r2JB1 = 0 r1 J2o1 vdo2x其方向为左边圆周方向 eφ 1 .图 3-4由沿负方向的电流(右边圆柱)在重叠区域产生的磁感应强度为 B2 :B2 = 0 r2 J231习题三其方向为右边圆柱的圆周方向 eφ 2 . 注意:vv v v v v v eφ1 = ez × eρ1 , eφ 2 = ez × eρ 2 v v v Jv v v B = B1 + B2 = 0 ez × (r1eρ 1 r2 eρ 2 ) 2 Jv J v v = 0 ez × (d ex ) = 0 d e y 2 2 v v v v v 3-13 证明矢位 A1 = ex cos y + e y sin x 和 A2 = e y (sin x + x sin y ) 给出相同的磁场 v B ,并证明它们得自相同的电流分布.它们是否均满足矢量泊松方程?为什么? 证明:与给定矢位相应的磁场为v v ex ey v v B1 = × A1 = x y cos y sin x v ex v v B2 = × A2 = x 0v ez v = ez (cos x + sin y ) z 0 v ez v = ez (cos x + sin y ) z 0v ey y sin x + x sin y所以,两者的磁场相同.与其相应的电流分布为v v 1 1 v v J1 = × B1 = (ex cos y + e y sin x)00v 1 v v J2 = (ex cos y + e y sin x)0可以验证,矢位 A1 满足矢量泊松方程,即vv v v v v 2 A1 = 2 (e x cos y + e y sin x) = (e x cos y + e y sin x) = 0 J 1但是,矢位 A2 不满足矢量泊松方程,即v32《电磁场与电磁波》——习题详解v v v v 2 A2 = 2 [e y (sin x + x sin y )] = e y (sin x + x sin y ) ≠ 0 J 2这是由于 A2 的散度不为零.当矢位不满足库仑规范时,矢位与电流的关系为vv v v v × × A2 = 2 A2 + ( A2 ) = 0 J 2可以验证,对于矢位 A2 ,上式成立,即vv v v 2 A2 + ( A2 ) = e y (sin x + x sin y ) + ( x cos y )v v v = e y (sin x + x sin y ) + ex cos y e y x sin y v v = e y sin x + ex cos y v = 0 J 23-14 半径为 a 的长圆柱面上有密度为 J S 的面电流, 电流方向分别为沿圆周方向和 沿轴线方向,分别求两种情况下柱内,外的 B . 解:(1)当面电流沿圆周方向时,由问题的对称性可以知道,磁感应强度仅仅 是半径 r 的函数,而且只有轴向方向的分量,即vvv v B = ez Bz (r )由于电流仅仅分布在圆柱面上,所以,在柱内或柱外, × B = 0 .将 B = ez Bz (r ) 代入 × B = 0 ,得vvvvv v B × B = eφ z = 0 r即磁场是与 r 无关的常量.在离柱面无穷远处的观察 点,由于电流可以看成是一系列流向相反而强度相同的电流 元之和,所以磁场为零.由于 B 与 r 无关,所以在柱外的任 一点处,磁场恒为零 . 为了计算柱内的磁场, 选取安培回路为图 3-5 所示的矩 形回路vh图 3-533习题三∫lv v B d l = hB = h 0 J S因而柱内任一点处, B = e z 0 J S (2) 当面电流沿轴线方向时,由对称性可知,空间的磁场仅仅有圆周分量,且 只是半径的函数.在柱内,选取安培回路为圆心在轴线并且位于圆周方向的圆.可 以得出,柱内任一点的磁场为零.在柱外,选取圆形回路, B d l =lvv∫vv 0 I ,与该回路交链的电流为 2π aJ S , B d l = 2π rB ,所以l∫vvv v a B = eφ 0 J S r 3-15 一对无限长平行导线,相距 2a ,线上载有大小相等,方向相反的电流 I (如 v v 图 3-6),求磁矢位 A ,并求 B .解:将两根导线产生的磁矢位看作是单个导线产生的磁矢位的叠加,对单个 导线,先计算有限长度产生的磁矢位.设导线长度为 l ,导线 1 的磁矢位为(场点选 在 xoy 平面)A1 =0 I 4π∫ I l / 2 + [(l / 2) 2 + r12 ]l / 2 dz = 0 ln 2 2 12 2π r1 l / 2 (r + z ) 1l/2当 l → ∞ 时,有y A1 =0 I l ln r1 2π-ar2 I图 3-6r1 a I x同理,导线 2 产生的磁矢位为A2 = 由两个导线产生的磁矢位为0 I l ln r2 2πv v l v I l A = ez ( A1 + A2 ) = ez 0 ln ln r 2π 1 r2 v 0 I r2 v 0 I ( x + a) 2 + y 2 = ez ln = ez ln 2π r1 4π ( x a) 2 + y 2相应的磁场为34《电磁场与电磁波》——习题详解v v A v A v B = × A = ex z e y z y x v I = ex 0 2π y y ( x + a) 2 + y 2 ( x a) 2 + y 2 x+a xa v I ey 0 2 2 2 2 2π ( x + a) + y ( x a) + y v v v v v v 3-16 由无限长载流直导线的 B 求矢位 A (用 B d S = A d l , 并且 r = r0 处为∫S∫C磁矢位的参考零点),并验证 × A = B . 解:设导线和 z 轴重合.由于电流只有 z 分量,磁矢位也只有 z 分量.用安培 环路定律,可以得到直导线的磁场为vvv I v B = 0 eφ 2π r 选取矩形回路 C ,如图 3-7 所求.在此回路上,注意到磁矢位的参考点.磁矢位的线积分为∫ ∫SCv v A d l = Az hv v BdS =∫∫0 I Ih r d r d z = 0 ln r0 2π r 2πIBh r0 r图 3-7由此得到I r Az (r ) = 0 ln r0 2π可以验证rv v I v A v B = × A = z eφ = 0 eφ 2π r r3-17 证明 xoy 平面上半径为 a , 圆心在原点的圆电流环(电流为 I )在 z 轴上的磁标 位为 m = 1 2 2 1 2 2 (a + z ) 证明:法一:由毕奥萨伐尔定律可求得,z 轴上某一点的磁感应强度为:Iz35习题三v B=Ia 22( a + z )2 2 3/ 2v ezv v B H = =Ia 2 v e 2 2 3/ 2 z 2(a + z )由 H = m = (v m v m v m v e + e + e ) x x y y z z可得 m Ia 2 = z 2( a 2 + z 2 ) 3 / 2 m = ∫ Ia 2 Iz dz = +C 2 2 3/ 2 2 2( a + z ) 2(a + z 2 )1 / 2当 z → ∞ 时, m = 0 ,求得C=所以I 2 z ) ( a + z 2 )1 / 22 m = (1 I 2法二:整个圆形回路在轴线上产生的磁场,由于对称,仅仅有轴向分量.使用 叠加原理,可以计算出轴线上任一点的磁场强度为Ia 2 H= 2( a 2 + z 2 ) 3 2由磁标位与磁场强度的关系式 H = m ,可以得到m =3-18∫∞zHdz =∫∞z Ia 2 I z d z = 1 2 2 12 2 2 32 2 (a + z ) 2(a + z )一个长为 L ,半径为 a 的圆柱状磁介质沿轴向方向均匀磁化(磁化强度为M 0 ),求它的磁矩.若 L = 10cm , a = 2cm , M 0 = 2 A / m ,求出磁矩的值. 解:均匀磁化介质内的磁化电流为零.在圆柱体的顶面与底面,有v v v Jms = M × n = 036《电磁场与电磁波》——习题详解在侧面v v v v v v J m s = M × n = M 0 ez × er = M 0 eφ侧面的总电流为I = JmsL = M 0L磁矩为m = IS = Iπ a 2 = M 0 Lπ a 2代入相关数值后得m = M 0 Lπ a 2 = 2 × 0.1× π × 0.02 2 = 2.512 × 10 4 A m 23-19 球心在原点,半径为 a 的磁化介质球中, M = M 0 磁化电流的体密度和面密度. 解:磁化电流的体密度为vz2 v ez ( M 0 为常数) ,求 a2v v Jm = × M = 0在球面上v v v z2 v v v J m s = M × n = M 0 ez × er = M 0 2 sin θ eφ a注意,在球面上v v z = a cos θ , J m s = M 0 cos 2 θ sin θ eφ3-20 证明磁介质内部的磁化电流是传导电流的( r 1 )倍. 证明:由于 J = × H , J m = × Mvvvv因而 3-21v v v v v v v B = H = 0 ( H + M ) , M = 1 H = ( r 1) H 0 v v J m = ( r 1) J已知内,外半径分别为 a , b 的无限长铁质圆柱壳(磁导率为 )沿轴向有恒 定的传导电流 I ,求磁感应强度和磁化电流.37习题三解: 考虑到问题的对称性, 用安培环路定律可以得出各个区域的磁感应强度. 当 r < a 时, B = 0vv I (r 2 a 2 ) v 当 a < r < b 时, B = eφ 2π r (b 2 a 2 )当 r > b 时, B = 当 a < r < b 时,v0 I v eφ 2π rv v I (r 2 a 2 ) v 1 v M = ( r 1) H = ( r 1) B = ( r 1) eφ 2π r (b 2 a 2 ) v v v 1 (rM ρ ) v ( r 1) I J m = × M = ez = ez r r π (b 2 a 2 )当 r > b 时, J m = 0 在 r = a 处,磁化强度 M = 0 ,所以vvv v v v v J m s = M × n = M × (er ) = 0在 r = b 处,磁化强度 M =v Jms3-22( r 1) I v eφ ,所以 2π b v v v v ( 1) I v = M × n = M × er = r ez 2π b v设 x < 0 的半空间充满磁导率为 的均匀磁介质, x > 0 的空间为真空,线电流 I 沿 z 轴方向,如图 3-8,求磁感应强度和磁场强度. 解:由恒定磁场的边界条件,可以判断出,在磁介质和真空中,磁感应强度相 同,而磁场强度不同.由问题的对称性,选取以 z 轴为轴线,半径为 r 的圆环为安 培回路,有∫注意到lv v H d l = π rH 1 + π rH 2 = Iy0H1 =1B1, H2 =2B2, B1 = B2 = BIx图 3-838《电磁场与电磁波》——习题详解1 = 0 , 2 = 因而得B= 0 I π ( 0 + )r其方向沿圆周方向. 3-23 已知在半径为 a 的无限长圆柱导体内有恒定电流 I 沿轴向方向.设导体的磁 导率为 1 ,其外充满磁导率为 2 的均匀磁介质,求导体内,外的磁场强度, 磁感应强度,磁化电流分布. 解:考虑到问题的对称性,在导体内,外分别选取与导体圆柱同轴的圆环作 为安培回路,并注意电流在导体内是均匀分布的.可以求出磁场强度如下:Ir v eφ 2π a 2 v I v r > a 时, H = eφ 2π r磁感应强度如下:v r ≤ a 时, H =v Ir v r ≤ a 时, B = 1 2 eφ 2π a v 2 I v r > a 时, B = eφ 2π r为了计算磁化电流,要求出磁化强度:v v v v Ir I v , J m = × M = e z 1 1 r ≤ a 时, M = eφ 1 1 2 2π a 2 0 0 π av v v v I r > a 时, M = eφ 2 1 , Jm = × M = 0 0 2π r在 r = a 的界面上计算面电流时,可以理解为在两个磁介质之间有一个很薄的 真空层.这样,其磁化面电流就是两个磁介质的磁化面电流之和,即v v v v v J m s = M 1 × n1 + M 2 × n2这里的 n1 , n2 分别是从磁介质到真空的单位法向.如果取从介质 1 到介质 2 的单位法向是 n ,则有vvvv v v v v J m s = M1 × n M 2 × n39习题三代入界面两侧的磁化强度,并注意到 n = er ,得vvv I v v 2 I J m s = e z 1 1 2π a + ez 1 2π a 0 0 I v = ez 2 1 0 0 2π a3-24 试证长直导线和其共面的正三角形之间的互感为M=0 a (a + b) ln1 + b a π 3 其中 a 是三角形的高,b 是三角形平行于长直导线的边至直导线的距离(且该 边距离直导线最近). 证明:取如图 3-9 所示的坐标.直线电流 I 产生的磁场为B=0 I 2π x由图 3-9 知道,三角形三个顶点的坐标分别为 A(b, a3 ) , B (b, a3) ,C (a + b,0) ,直线 AC 的方程为 z=互感磁通为z A I1 b B图 3-91 (a + b x) 3C b+axΨ = BdS = 2∫∫a +b b0 I 1 (a + b x) d x 2π x 3=0 I a (a + b) ln1 + b a π 3 0 a (a + b) ln1 + b a π 3 直线与矩形回路的互感为M=3-25无限长的直导线附近有一矩形回路(二者不共面,如图 3-10),试证它们之间 的互感为40《电磁场与电磁波》——习题详解M =0 a R ln 2 2 12 2π [2b( R c ) + b 2 + R 2 ]1 2b a R R1图 3-10IIc证明:直线电流 I 产生的磁场为 B =0 I ,作积分,得出磁通量 2π rΨ = BdS =注意:∫∫R1 R 0 Ia Ia R d r = 0 ln 1 R 2π r 2π1 2 1 2 1 2R1 = [c + (b + R c ) ] = [2b( R c ) + b + R ]2 2 2 2 2 2 2 2将其代入,即可得到互感. 3-26 外导体的内半径为 b , 通过的电流为 I . 空气绝缘的同轴线, 内导体半径为 a , 设外导体壳的厚度很薄,因而其储存的能量可以忽略不计.计算同轴线单位 长度的储能,并由此求单位长度的自感. 解:设内导体的电流均匀分布,用安培环路定律可求出磁场.r < a 时, H =Ir 2π a 2 I a < r < b 时, H = 2π rWm =单位长度的磁场能量为∫a01 H 2 2π r d r + 2 0∫b a1 H 2 2π r d r 2 0=0 I 2 0 I 2 b ln + 16π 4π aL=故得单位长度的自感为0 0 b + ln 8π 2π a41习题三其中第一项是内导体的内自感. 3-27 一个长直导线和一个圆环(半径为 a )在同一平面,圆心与导线的距离是 d , 证明它们之间互感为M = 0 (d d 2 a 2 )证明:设直导线位于 z 轴上,由其产生的磁场I r d θB=0 I 0 I = 2π x 2π (d + r cos θ ) 0 I其中各量的含义如图 3-11 所示,磁通量为图 3-11Φ = BdS =∫∫∫0 2π 0a2π 02π (d + r cos θ )2πr dθ d r上式先对 θ 积分,并用公式∫得dθ = d + a cos θd 2 a2Φ = 0 I所以互感为 3-28∫ardr d r2 20= 0 I (d d 2 a 2 )M = 0 (d d 2 a 2 )如图 3-12 所示的长密绕螺线管(单位长度 n 匝),通过的电流为 I ,铁心的磁 导率为 ,面积为 S ,求作用在它上面的力. 解:在忽略边缘影响时,密绕螺线管内部的磁场是一个均匀磁场,其值为H = NI , 管外磁场为零. 设螺线管的长度为 L , 铁心位于螺线管内的部分长度为 x , 总的磁场能量为Wm =1 1 Sx( NI ) 2 + 0 S ( L x)( NI ) 2 2 2Wm xL● ● ● ● ● ● ●用电流不变情形下的虚位移公式,得到铁心受力 x0SF==I1 ( 0 ) SN 2 I 2 2× × × × × × × 图 3-12力的方向沿 x 增加的方向.42。
电磁场与电磁波(王家礼 西电第三版)第三章 恒定电流的电场和磁场[精]
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其定义是：在电源内部搬运单位正电荷从负极到正极时非静
电力所做的功，用E 表示(见图 3-3)，其数学表达式为
AE' dl B
(3-12)
对于恒定电流而言，与之相应的库仑电场E是不随时间变
化的恒定电场，它是由不随时间变化的电荷产生的，因而，其
性质与由静止电荷产生的静电场相同，即
lEdl 0
的界面上(如图 3-4所示)，可得出恒定电流场的边界条件为
n×(E2－E1)=0
(3-20)
n·(J2－J1)=0
(3-21)
或
J1n=J2n
(3-22)
E1t=E2t
(3-23)
这表明，电流密度J在通过界面时其法向分量连续，电场强度E
的切向分量连续。
在恒定电场中，用电位j表示的边界条件为
j1 j2
第三章 恒定电流的电场和磁场
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1 恒定电流的电场 3.2 磁感应强度 3.3 恒定磁场的基本方程 3.4 矢量磁位 3.5 磁偶极子 3.6 磁介质中的场方程 3.7 恒定磁场的边界条件 3.8 标量磁位 3.9 互感和自感 3.10 磁场能量 3.11 磁场力 小结
第三章 恒定电流的电场和磁场
J
ar
I 2πr2
这样，就得到土壤内的电场为
Ear
I
2πr2
第三章 恒定电流的电场和磁场
例3-4 求一条形状均匀，但电导率非均匀的导线的电阻。
设导线的横截面为A，长度为L，电导率沿长度方向的分布为
01
x2 L2
，其中σ0为常数。
解：我们先计算位于x和x+Δx之间的这一小段导线的电阻，
电磁场理论 第三章 恒定电流的磁场(2)PPT课件
意曲面的电流的代数和的 倍0 。 L1 B空间所有电流共同产生的
I内 与L套连的电流
L2
Ii内 代数和
I2
i （与L绕行方向成右螺电流取正）
L B 1 d l 0I2I3
L B 2 dl0I1I2
36
37
38
39
安培环路定理的应用
例题
——用来求解具有高度对称的磁场
I
求：无限长直线电流的磁场
1
π 2
2 π
BP
0I
4 π r0
17
无限长载流长直导线的磁场
B 0I
2πr
I B
I XB
电流与磁感强度成右螺旋关系
18
例2 圆形载流导线轴线上的磁场.
解
BBxdBcos40
I
cosdl
r2
Idl
cossinRr
R
r
dB
B4π0IrR3
2πR
dl
0
o
x
*p
x
B
0IR2 （ 2 x2 R2）32
解：对称性分析——磁感应线是
躺在垂直平面上的同心圆，选环路
rB L B
LB dl0I dr//B
B d l B2r
B 0I 2 r
r
0
40
例题 r
求：无限长圆柱面电流的磁场
解：对称性分析——磁感应线是 躺在垂直平面上的同心圆，选环路
I
RL
LBdl
0I rR 0 rR
B d l B2r
B
20r IrR
107
108
7.磁场能量
109
110
111
112
《电磁场与电磁波》第三版 电子课件003
(3-3-4)
如果将无限大导电平面看做半径为无限大的圆， 则在无限大导
d
( 2 h 2 )
3 2 2 0
d －q
(3-3-5)
可见， 导体表面感应的总电荷正是预期值－q。
第3章
边值问题的解法
当一点电荷置于两平行导电平面之中时，其镜像电荷数趋
于无穷。然而，对于两相交平面，若两平面的夹角为θ，且 360°/θ为偶数，则可以用镜像法来求解，此时镜像电荷的个数
S f1 (S )
问题。
(3-1-1)
称为第一类边界条件或狄利克利条件。这类问题称为第一类边值
第3章
边值问题的解法
(2) 已知场域边界面S上各点电位法向导数的值，即给定
(3-1-2) S f 2 (S ) n 称为第二类边界条件或诺伊曼条件。这类问题称为第二类边值 问题。 (3) 已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组 合值，即给定 ( ) S f3 (S ) (3-1-3) n 称为第三类边界条件或混合边界条件。这类问题称为第三类边 值问题。
第3章
边值问题的解法
图3-3 接地导体球外的点电荷
第3章
边值问题的解法
q 1 m ( － ) 4π 0 r1 r2
(3-3-6)
式中，
r1 r 2 d 2－2rdcos r2 r 2 b 2－2rbcos
电位函数在球表面处满足电位为零的边界条件，即在r = a
处对任意角度θ，有
(3-3-1)
第3章
边值问题的解法
图3-1 平面边界上的点电荷与其镜像
第3章
边值问题的解法
下面来验证解的正确性。
在上半平面(除点电荷所在的点外)均满 显然，电位函数
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·J=0
(3-9)
上式是保证恒定电流场的条件，也叫做恒定电流场的方程。
其积分形式是
SJdS0
(3-10)
上述方程表明，恒定电流J的矢量线总是无起始点无终点
的闭合曲线。
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1.3 欧姆定律的微分形式 导体中由于存在自由电子，在电场的作用下，这些自由
电子作定向运动，就形成了电流。实验表明，对于线性各向
其定义是：在电源内部搬运单位正电荷从负极到正极时非静
电力所做的功，用E 表示(见图 3-3)，其数学表达式为
AE' dl B
(3-12)
对于恒定电流而言，与之相应的库仑电场E是不随时间变
化的恒定电场，它是由不随时间变化的电荷产生的，因而，其
性质与由静止电荷产生的静电场相同，即
lEdl 0
电导率（S/m） 107 1.46107 3.54107 3.10107 4.55107 5.80107 6.20107 1.5610-3
第三章 恒定电流的电场和磁场
我们将非静电力对电荷的影响等效为一个非保守电场(也 叫非库仑场)，其电场强度E′只存在于电源内部。在电源外部 只存在由恒定分布的电荷产生的电场，称为库仑场，以E表 示。在电源内部既有库仑场E，也有非保守电场E′，二者方向 相反。为了定量描述电源的特性，引入电动势这个物理量。
第三章 恒定电流的电场和磁场
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1 恒定电流的电场 3.2 磁感应强度 3.3 恒定磁场的基本方程 3.4 矢量磁位 3.5 磁偶极子 3.6 磁介质中的场方程 3.7 恒定磁场的边界条件 3.8 标量磁位 3.9 互感和自感 3.10 磁场能量 3.11 磁场力 小结
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1.5 恒定电流场的基本方程 我们将电源外部导体中恒定电场的基本方程归纳如下：
t
此式是电流连续性方程的微分形式。 在恒定电流的情况下，虽然带电粒子不断地运动，但是从
宏观上看，可认为某点的带电粒子离开以后，立即由相邻的带 电粒子来补偿，以便保证电流的恒定。也就是说，导电媒质内， 任意点的电荷分布不随时间变化，即
0 t
(3-8)
第三章 恒定电流的电场和磁场
因此，恒定电流场的电流连续性方程变为
点处的电流密度J为
JlimIndIn S 0S dS
(3-1)
电流密度的单位是安培/米2(A/m2)。导体内每一点都有一个电流
密度，因而构成一个矢量场。我们称这一矢量场为电流场。电
流场的矢量线叫做电流线。
第三章 恒定电流的电场和磁场
图 3-1 电流密度
第三章 恒定电流的电场和磁场
可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一般 情况下，电流密度J和面积元dS的方向并不相同。此时，通过 面积S的电流就等于电流密度J在S上的通量，即
第三章 恒定电流的电场和磁场
图 3-3 电动势
第三章 恒定电流的电场和磁场
式中积分路径l是电源之内或之外的导体中的任意闭合回路。 式中的电场表示由库仑场和非保守场叠加而成的总电场。
我们可以将电动势用总电场(库仑场与非库仑场之和)的 回路积分表示：
EB A E 'd ll(E C E ')d l
式中的积分是沿整个电流回路进行的。
(3-13)
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1.4 焦耳定律 当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时
间内电场力对电荷所做的功，即功率是
P=UI 在导体中，沿电流线方向取一长度为Δl、截面为ΔS的体 积元，该体积元内消耗的功率为
P U I E l I E l S J E V J 当ΔV→0时，取ΔP/ΔV的极限，就得出导体内任一点的热
ISJdSSJco dsS
(3-2)
有时电流仅仅分布在导体表面的一个薄层内，为此，需要
引入面电流密度的概念。空间任一点面电流密度的方向是该点
正电荷运动的方向，大小等于通过垂直于电流方向的单位长度
上的电流。若用n表示某点处的正电荷运动方向，取与n相互垂
直的线元Δl，如图 3-2 所示。设通过Δl的电流为ΔI，则该点处
同性的导体，任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，
即
J=σE
(3-11)
上式叫做欧姆定律的微分形式，σ是电导率，其单位是西门子
/米(S/m)。表 3-1 列出了几种材料在常温(20℃)下的电导率。
第三章 恒定电流的电场和磁场
材料 铁（99.98） 黄铜 铝 金 铅 铜 银 硅
表 3-1 常用材料的电导率
3.1 恒定电流的电场
3.1.1 电流密度 我们知道，导体内的自由电子在电场的作用下，会沿着
与电场相反的方向运动，这样就形成电流。习惯上，规定正 电荷运动的方向为电流的方向，用电流强度描述一根导线上 电流的强弱(电流强度定义为单位时间内通过某导线截面的电 荷量)。
第三章 恒定电流的电场和磁场
电流强度只能描述一根导线上总电流的强弱。为了描述
功率密度，表示为
plim PE JE2
V 0V
(3-14)
或
p=J·E
(3-15)
第三章 恒定电流的电场和磁场
此式就是焦耳定律的微分形式。 应该指出，焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流
电流而言，电场力对电荷所做的功转变为电荷的动能，而不 是转变为电荷与晶格碰撞的热能。
第三章 恒定电流的电场和磁场
电荷在空间的流动情况(即考虑导体截面的大小)，要引入电 流密度的概念。电流密度是一个矢量，它的方向与导体中某
点的正电荷运动方向相同（实际上是自由电子移动方向的反
方向），大小等于与正电荷运动方向垂直的单位面积上的电
流强度。若用n表示某点处的正电荷运动方向，取与n相互垂
直的面积元ΔS，如图 3-1 所示。设通过ΔS的电流为ΔI，则该
的面电流密度JS为
JS
lim IndIn l 0l dl
(3-3)
第三章 恒定电流的电场和磁场
第三章 恒定电流的电场和磁场
第三章 恒定电流的电场和磁场
上式是电荷守恒的数学表达式，亦称为电流连续性方程的积 分形式。对其应用散度定理，则有
V(Jt)dV0
(3-7)
要使这个积分对任意的体积V均成立, 必须使被积函数为零, 即 J 0