数学建模最短时间路径

最短时间路径摘要：本问题是一个最短时间问题，本文首先对路线图进行分析，找出并画出了汽车在拐弯时所消耗时间的等效图，经分析，找到四条规则（具体见：五、模型的建立与求解），可以按这四条规则把转弯的时间算在南北走向的路线上，对图形上数据进行处理，然后通过Dijkstra算法求的从入口点v1到出口点的v8最短时间路径为：v1——>v2——>v4——>v7——>v8，时间为：15。

关键词：最短路径Dijkstra算法一、问题重述在一个城市交通系统中取出一段如下图所示，其入口为定点v1，出口为定点v8，每条弧段的数字表示通过该路段所需的时间，每次转弯需要附加时间为3，求v1到V8的最短时间路径。

（看图时，以上下为北南，左右为西东，那么城市路线分为南北路线、东西路线）（图一）二、问题分析本问题是最短路模型，所求为从城市的一定点（入口点）到另一定点（出口点）所需时间最少路径。

由于每次转弯时要耽搁一定时间为3，所以必须对图形及数据进行等效处理易便找出最短时间路径。

于是就有以下猜想和分析看法：1.是否可以把转弯的的时间附加在某条路线上，假如可以的，那么应该加在出口点的那几条路线上（例如图一的v7---v8与v6---v8这两条路）还是其他路线上.2.若加在出口点的那几条路线上，那么应在v7---v8 加6而在v6---v8应加3或15（5个拐弯）这样就可以解决此题，但是对于稍微复杂一点交通路线图这种做法就不科学了。

3.由于每次拐弯要附加一定的时间消耗，而城市路线以2条东西路线为主，南北3条路线使东西2条路线相同，那么是否可以把转弯的时间统一加在南北路线上，经分析是可行的，而且有一定的规则（具体见：五、模型的建立与求解）问题的关键:1.找到把转弯时间附加在南北路线的内在规则。

2.找到一个等效的图形（等效的办法）使得求解更为方便。

三、模型假设1.无论何时交通路线是可行的。

2.城市的路线均为方行路线（直线图）。

四、符号说明v i ——两条路的交汇处或重要地点.L i,j ——v i 与v j 两地之间的这条路。

T ij ——vi 到v j 所花费的时间 T ——是时间的总和。

五、模型建立与求解一、问题的回答观察问题中给出的图、数据，发现通过把转弯时间附加于在竖直路线上（即：把转弯时所要花费的时间一律加在所要经过的南北路线上）。

具体来说就是满足偶一下规则：1.若规定出口点在此条南北路线上，则在此条路所花时间上加3（即把一个拐弯时花费的时间算在要经过的这条南北路线上）2.若规定出口点不在此条南北路线上，则在此条路所花时间上加6（即把两个拐弯时花费的时间算在要经过的这条南北路线上）3.若规定的出口只在东西路线上，则在任一南北路线所花时间上加6（即把两个拐弯时花费的时间算在要经过的这条南北路线上）4.东西路线上的每段路所花时间不变。

例如：若v 8为出口点，此时v 6到v 8的时间由 图一T 68=3变为图二T 68=3+3=6，而此时v 2到v 4的时间以及由 图一T 24=2变为图二T 24=2+6=8，v 5到v 7的时间以及由 图一T 57=2变为图二T 57=2+6=8。

（对于其他点为出口点时，可类似求的T ij ）按上述所述，此时图一可以等效化为下图二：＋3（图二：即G ）于是建立问题的最短时间模型如下：T=T ij +T jk +···+ T km (1)按照图二写出G 的带权邻接矩阵),(v u wDijkstra 算法【1】：求G 中从顶点0u (即v 1)到其余顶点的最短路.设G 为赋权有向图或无向图，G 边上的权均非负． 对每个顶点，定义两个标记（l v ()，z v ()），其中: l v ()：表从顶点0u 到v 的一条路的权．z v ()：v 的父亲点，用以确定最短路的路线算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终l v ()为从顶点0u 到v 8的最短时间的权．S ：具有永久标号的顶点集。

输入: G 的带权邻接矩阵),(v u w (1)赋初值：令 S ＝{u 0, l u ()0=0},∀∈=v S V S \，令l v ()=W u v (,)0,z v ()= u 0 u ←u 0 （2）更新l v ()、z v ()： ∀∈=v S V S \,若l v ()>l u W u v ()(,)+ 则令l v ()=l u W u v ()(,)+,z v ()= u(3)设v *是使l v ()取最小值的S 中的顶点，则令S=S ∪{v *}，u ←v *（4）若S ≠φ，转2，否则，停止用上述算法求出的l v ()就是u 0到v 8的最短路的权，从v 的父亲标记)(v z 追溯到u 0, 就得到u 0到v 8的最短时间路径。

matlab从表中可知v1到v8的最短时间路径为：v1——>v2——>v4——>v7——>v8； 所用时间为：T= T 12+T 24+T 47+T 78=15二、对数据的几点讨论1.明显的v1到v8按图三进行追踪所得路线为：v1——>v2——>v4——>v7——>v8，所用时间为15（最后标记值），所得值可达到最少；2.对于v1到v4按图三进行追踪所得路线为：v1——>v2——>v4，所用时间为6，为什么不是9（最后标记值），这是由于v4并非规定的出口点，但它按图一追踪所花时间依然是6，所求路径依旧是最少时间路径。

六、模型推广一、对问题的进一步的讨论对于题中简单图形进行分析，通过把转弯时所要浪费的时间附加再南北路线上进行处理，可以求的一定点到另一定点所需时间最少。

但是否能按照以上的处理方法对复杂图形也适应，进而有一定的猜疑，于是将图二变复杂，变为图三、图四：(图三)1115（图四）按照模型第五步（五、模型的建立与求解）中对转弯时所花费的时间的等价转换规则对图三、图四进行处理（见附件2.1），发现图三是完全适合哪种变化处理的.但是对于图四有一定不足（见附件2.2）。

这时对图三、图四进行比较发现：图三的任意2条南北路线没共线的，而图四里L2,6 与L6,12这两条路线共线。

此模型对于图四有一定不足，但仍可以用起求解，（方法见附件2.2）。

七、模型的应用本模型可用于可以描述为:多数点（目的地或其他元素）在几条主要的平行线上（可以看似平行的直线上），而其他的点（目的地或其他元素）所在的线与这几条平行的线（主线）相交且其他的线互不共线，求一点到另一点的最值问题。

八、模型评价模型的优点：能够很快的求的一顶点到规定的另一顶点所花费的最少时间，给出像这种转弯时要附加浪费一定时间或其他东西的模型题的一个想法。

对于南北路线无相连的（共线的）而东西路线多数共线的（平行的几条东西主线）。

模型的缺点：现实中南北路线（相对来说的）在一条线上的城市路线是相对较多的，此模型对于像图四这类有L2,6 与L6,12两条共线的南北路线有一定偏差，若要对图四这样的路径求一点到其他点所花最少时间（转向时附加3）就得对图形分解，在适当运用此模型还是可行的。

九、参考文献[1] 赵静、但琦，《数学建模与数学实验》，北京：高等教育出版社,2009.十、附录1、问题的matlab程序M=1000;w=[0 1 M M M M M M1 0 3 8 M M M MM 3 0 M 1 M M MM 8 M 0 M M 2 MM M 1 M 0 6 8 MM M M M 6 0 M 6M M M 2 8 M 0 4M M M M M 6 4 0];l ＝0 1 4 9 5 11 11 15z = 1 1 2 2 3 5 4 72.路模型推广2.1对图三、图四的处理若v1为入口点v8出口点(图三、一)1115(图四、一)2.2对上两图（主要是图四）分析：对于(图三、一)我们可以看出v1 到v8不管那条路径处理都是对的。

对于(图四、一)我们可以看出v1 到v8从有些路径走是对的，但从另一些路径走却是不正确的。

例如：v1--->v2--->v3—>v4—>v8这条路径(图像处理的正确)，而对于v1--->v2--->v6—>v12—>v13--->v7--->v8这条路径(图像处理的不正确)，因此所建模型对此不太适应，但是可以按以下步骤求的：（1）若先把L6,12（图四、一中的）这条路去掉，就可以运用此模型进行解答，求的一条最短时间路径（记为：P）。

（2）在把L2,6（图四、一中的）这条路去掉，就可以运用此模型进行解答，求的一条最短时间路径（记为：Ｑ）（3）在把L6,7（图四、一中的）这条路去掉，就可以运用此模型进行解答，求的一条最短时间路径（记为：Ｗ）（4）对Ｐ．Ｑ．Ｗ，三条路径进行比较，便可找到最短时间路径。

v1为入口点v8出口点 (图三、一)的邻接矩阵ＡM=1000 ;A=[0 1 M M M M M M M M M M M M M M1 0 3 M M M 8 M M M M M M M M MM 3 0 1 M M M M M M M M M M M MM M 1 0 3 M M M 8 M M M M M M MM M M 3 0 M M M M M 9 M M M M MM M M M M 0 1 M M M M M 8 M M MM M M M M 1 0 1 M M M M M M M MM M M M M M 1 0 2 M M M M M M MM M M 8 M M M 2 0 1 M M M M M MM M M M M M M M 1 0 5 M M M 8 MM M M M 9 M M M M 5 0 2 M M M MM M M M M M M M M M 2 0 M M M 9M M M M M 8 M M M M M M 0 2 M MM M M M M M 5 M M M M M 2 0 3 MM M M M M M M M M 8 M M M 3 0 2M M M M M M M M M M M 9 M M 2 0];l =0 1 4 5 8 10 9 10 12 13 17 19 18 20 21 23z=1 1 2 3 4 7 2 7 8 9 5 11 6 13 10 15M=1000 ;P=[0 1 M M M M M M M M M M M M M1 0 3 M M 8 M M M M M M M M MM 3 0 1 M M M M M M M M M M MM M 1 0 3 M M 5 M M M M M M MM M M 3 0 M M M M 9 M M M M MM 8 M M M 0 1 M M M M M M M MM M M M M 1 0 1 M M M M 8 M MM M M 5 M M 1 0 5 M M M M M MM M M M M M M 5 0 1 M M M 8 MM M M M 9 M M M 1 0 2 M M M MM M M M M M M M M 2 0 M M M 9M M M M M M M M M M M 0 2 M MM M M M M M 8 M M M M 2 0 3 MM M M M M M M M 8 M M M 3 0 2M M M M M M M M M M 9 M M 2 0];l =0 1 4 5 8 9 10 10 15 16 18 20 18 21 23z=1 1 2 3 4 2 6 4 8 9 10 13 7 13 14M=1000 ;w=[0 1 M M M M M M M M M M M M M1 0 3 M M M M M M M M M M M MM 3 0 1 M M M M M M M M M M MM M 1 0 3 M M 5 M M M M M M MM M M 3 0 M M M M 9 M M M M MM M M M M 0 1 M M M M 8 M M MM M M M M 1 0 1 M M M M 8 M MM M M 5 M M 1 0 5 M M M M M MM M M M M M M 5 0 1 M M M 8 MM M M M 9 M M M 1 0 2 M M M MM M M M M M M M M 2 0 M M M 9M M M M M 8 M M M M M 0 2 M MM M M M M M 8 M M M M 2 0 3 MM M M M M M M M 8 M M M 3 0 2M M M M M M M M M M 9 M M 2 0];l = 0 1 4 5 8 12 11 10 15 16 18 20 19 22 24 z=1 1 2 3 4 7 8 4 8 9 10 6 7 13 14 M=1000 ;W=[0 1 M M M M M M M M M M M M M1 0 3 M M 8 M M M M M M M M MM 3 0 1 M M M M M M M M M M MM M 1 0 3 M M 5 M M M M M M MM M M 3 0 M M M M 9 M M M M MM 8 M M M 0 M M M M M 2 M M MM M M M M M 0 1 M M M M 8 M MM M M 5 M M 1 0 5 M M M M M MM M M M M M M 5 0 1 M M M 8 MM M M M 9 M M M 1 0 2 M M M MM M M M M M M M M 2 0 M M M 9M M M M M 2 M M M M M 0 2 M MM M M M M M 8 M M M M 2 0 3 MM M M M M M M M 8 M M M 3 0 2M M M M M M M M M M 9 M M 2 0];l =0 1 4 5 8 9 11 10 15 16 18 11 13 16 18 z=1 1 2 3 4 2 8 4 8 9 10 6 12 13 14。