物理学中的数学

物理学中的数学

物理学中的数学，这是一个论述范围十分宽广的话题。我是数学系的，学的是纯数学，可我对物理学从小就有着莫大的兴趣，至今对他仍是念念不忘，时刻关注着它的发展。所以，对于物理学中的数学这一话题，也有着浅浅的思考和感悟。物理学和数学是我一生最为感兴趣的学科，鉴于此，我想写一篇关于它们之间的论述，一点也许不着边际的泛泛之谈，以泄自己心头之爱。

数学对于整个自然科学（甚至社会科学也可以算在内）的重要性，我想任何语言都是无法言明的。上帝是数学家，唯一能够描述的语言是数学，这句话却一点也没错。往小一点说，如果没有数学，也就没有今天的现代科技。当然，现在要说的仅仅是物理学中的数学。

事实胜于雄辩，真实的历史往往能反映这一点。所以我们将跟随物理学这一门学科的发展历程，穿过历史的层层迷雾，从中我们可以发现，物理学的建立与发展应用了哪些数学工具，而数学又是如何对物理产生重要影响和推动的，从中我们也可以看到，整个的物理学大厦是如何建立在这些简洁优美的数学法则之上的。

近代物理学都沿袭了希腊古典科学的血统，延续着古希腊式的精神文明。古希腊人从以思辨为主的哲学逐渐地发展出了众多分支学科，其中最重要的分支就是数学和物理学。从很多的事例我们可以看出，古希腊那些有才学的人，当时对数学是非常之重视，例如，毕达哥拉斯学派曾提出了一个重要的理念，数即万物，光从字面意思理解，这句话是很有问题的，但从世界是按照数学逻辑运转的角度看的话，这句话是对于当时是很有前瞻性的，但不管如何，他们还是隐约地发现了数学逻辑在物质运转所诠释的作用。又一个例子，柏拉图在自己新开设的柏拉图学园的门口立了一块牌子：不懂数学者不得入内。以此种种表明他们对数学非常之看重。古希腊的百科全书式学者，亚里士多德，从日常的观察实践，凭借经验总结出万物运行的一套理论，虽然现在看来有些显得非常之荒谬和幼稚，但这至少是人类认识世界和改造世界的一个起始，是物理学的雏形。

伽利略，这位近代物理学之父，创造出了数学推理与实验相结合的科学传统，这是历史上数学与物理学第一次的大融合。数学推导加上物理实验，此后一直是科学发现的一把神器，合称双剑，后来，牛顿利用这把神器大刀阔斧地建立了他的经典物理学，人类也有史以来第一次建立起了整个物理世界的体系（牛顿很幸运，因为机会只有一次），万物毕恭毕敬地遵守着这些法则（laws）运转。这次帮助牛顿建立起的经典物理学大厦的数学工具就是它自己独自发明的流数和反流数（微积分）。今天，我们仍可以回顾那一段令人激动的历史，“1685年牛顿应用微积分证明了，地球吸外部物体时，恰像全部的质量集中在球心（球对称）一样。”其实这是发现万有引力定律很关键的一步，胡克就因为不懂微积分而与发现万有引力定律而无缘。有了万有引力定律，以后再利用数学上的微积分则可以随时计算出各行星的运行轨道（各类双曲线形）。这是多么美妙的一件事，上帝运行这个宇宙的法则和奥秘终于被发现了，有了牛顿，一切都光明了。

分析力学，牛顿力学的另一种表述，或者说是它的推广和严格化，不过这次登场的主要是数学家。其实可以看出，很多时候，数学家和物理学家是互通的，所谓数理不分家，以前的科学家动不动就是数学家兼物理学家，后面还有什么家家的，真的是牛人一个，不过自彭加莱以后，就再也没有这样的通才了（知识爆炸的今天，任何一个小领域都能吞噬一个人一辈子的时间）。18世纪的数学家们创立了分析力学，以先进的数学工具重新表述了牛顿力学体系，用独特的数学形式重新刷新了整个力学系统。数学家欧拉所发明的变分法（其实后来拉格朗日也独自发明了变分法，之间还有他们两人之间的一段小故事）则直接孕育了力学中的最小作用原理。其实上帝在创造宇宙必定是按照这个原理进行的，因为这是最为经济和实惠的创造方式。“分析力学最终的成就是拉格朗日方程。由虚功原理和达朗贝尔原理，可以得到所谓的力学普遍方程，在此基础上，拉格朗日进一步引进了广义坐标，广义速度和广义

力，将力学力学普遍方程改造成拉格朗日方程，这个方程相当于牛顿第二定律，但它更普遍化，更加数学化，适应于几乎一切力学系统。”（这些话不是我说的，我也没这么专业，这些可以从《科学的历程》（吴国盛）P315中找到）。我们可以看出，牛顿的经典力学在数学家的把弄下，变得更加有威力了，它被重新赋予了新的魔幻之力，它适用于几乎一切的力学系统（具体应用了什么数学工具，我水平有限，不得而知）。继分析力学之后，天体力学在Laplace 等人的发展下，也取得了较大的辉煌，在此之中还带动了数学的发展，如发明了位势理论。海王星的发现又是个很好的例子，海王星的发现比上一次赫舍尔通过大海捞针般地用天文望远镜在浩淼的星空中搜寻更富戏剧性，更加激动人心。它不是通过天文观测偶然发现的，而是数学家笔尖上发现的。这又显示了数学和物理结合起来无比强大的威力。

经典力学的第三个高峰，电磁学的统一。法拉第发现了电磁感应现象之后，由于他从小没有受过正规教育，其数学能力十分欠缺（这一点可以从他的总结性著作《电学实验研究》中可窥见一斑，在里面几乎是找不到一条数学公式），但它物理世界天才的洞察力弥补了这一不足，他创造了一种极为出色的非数学化的图像式想像，场和力线。一贯如此，物理学领域每取得一个突破性定律，就有数学物理学家将之用严密精确的数学公式加以数学化。天才数学家（再加上个家，物理学家）Maxwell承担了这一历史的使命。Maxwell凭借他卓越的数学才能，仅仅只用了四个方程，就把整个电磁学统一起来了，超牛啊，赞一个~。这些数学公式是如此的优美简洁和深刻，使得每一个科学家都陶醉在其中，后来Boltzmann也情不自禁地引用歌德的诗句说：“难道这是上帝写的这些吗？”这次的数学工具是场论。

时空革命，广义相对论。1916年，爱因斯坦在老同学格罗斯曼的帮助下，应用黎曼几何完成了广义相对论的最终形式。其实谁又会想到，黎曼以前发明的非欧几何在以后竟然会用在广义相对论上，事情总是很微妙的，这些冥冥之中自有安排。不过，广义相对论使得一个纯数学概念——黎曼几何言之有物了。相对论继承了科学理论的形式化理想，实现了在极度数学化的物理统一性。广义相对论的（引力场）几何化思路（抽象化的数学形式）则可以看成是毕达哥拉斯主义所达到的新巅峰，这又恰恰反映了数学和物理融合起来所发挥的超强力量。

量子力学，这个充满奇幻与冒险的物理学新理论，至今我们还很难完全搞懂这奇妙的量子究竟是什么，难道真的是一颗不确定的骰子（something here and there）。量子力学的导火线是黑体辐射问题（紫外灾难），在黑体辐射（经典物理学天空上的两朵乌云之一）问题中，Planck曾利用数学上的内插法，稍带侥幸地凑出了一个普适的黑体辐射公式，巧妙地调和了维恩公式和瑞利公式在长波和短波之间的矛盾。而后量子力学的创始人之一海森堡，则从可观测到的物理事实出发，重新发现了Matrix，进而创造出了矩阵力学，虽然它比薛定谔的波动方程更加复杂难懂，但这个发现可以说一直是哥本哈根学派的一个骄傲。其实这个Matrix 早就为数学家Arthur Cayley所发明。吼吼，这是多么富于戏剧性，数学家从数学的角度发明了矩阵，这次，物理学家又从单纯的物理角度重新发明了它，两者不约而同地碰在一起了。随着量子力学在各代天才物理学家们的发展下，需要用到越来越高深的数学工具，如群论，李群，这些东东我还没碰过。

前沿阵地。广义相对论代表引力场的几何化，自然而然产生了将所有自然力几何化的想法，即统一场论，为此爱因斯坦十分有远见，他比时代走前了一大步，他是迈出物理学统一这一脚步的第一人（也许前面的都不算是真正意义的统一），由于当时缺乏数学工具，也因为他的过分专注以至于忽略了新兴的物理学领域核物理所取得的进展，当然也就不知道除电磁力，引力以外的两种力强核力和弱核力的存在，不过他的理想最终会实现的，它在等待新的数学工具的出现。贝尔不等式，这个曾被人称为“科学中最深刻的发现”，仅仅一个数学不等式，就可以对这个宇宙的终极命运作出了最后的判决，从而彻底否决了隐变量的存在。夸克，夸克在高能实验中从未发现有单个的自由夸克，也就是说，人们提出的夸克可能只是