非线性方程组的解

1 D0 1 其中 D0 为材料本构矩阵，由应力可以求得
相当的节点力为
P1 B dV 其中， 为几何矩阵，这样 与原加荷载的差为 P1 P P1
T
非线性方程组的解法
c)将P 再加于结构，仍用初始刚度 求得附加位移将 再 加于结构，仍用初始刚度K 0 求得附加位移
1
2 K0 1 P1
d)重复上述步骤，知道得到足够近似的解。 特点： a)每轮迭代只改变荷载项， [K]保持不变，故只需分 解一次系数矩阵，计算量 大为减小。 b)收敛性速度变慢。
非线性方程组的解法
3、增量法
增量法的基本思想是将荷载划分 为许多小的荷载部分（称为增 量），这些荷载增量一般取成大 小相等，也可根据需要改为不等。 计算时每次施加一个荷载增量。 在一个荷载增量中，假定刚度矩 阵是常数；在不同的荷载增量中， 刚度矩阵可以有不同的数值。增 量法使用一系列线性问题去逼近 非线性问题，实质上时用分段线 性去代替非线性曲线。
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i 1
非线性方程组的解法
求解步骤： 1)施加第n步荷载增量 Pn ，利用始点线性刚度矩阵K n1 求 得这一步荷载增量下的位移增量 n ； 2)由位移增量计算各单元应变增量及相应的应力增 n ， 并计算总的位移与应力
n n1 n n n1 n
由初始位移可以求得单元应变，进而求得单元应力。 有单元应力可以求得相应的节点荷载 P1 。 第二步，用相应于1 时的切线模量K1 ，在荷载 P1 P P1 作用下求得位移增量 2 ，即
P1 P P1 2 K1 1 P1
非线性方程组的解法
2)切线刚度迭代法 切线刚度迭代法是一种变刚度 迭代法，但不是用割线刚度而是用 变化的切线刚度。其迭代过程如图 所示。这一迭代法又称为NewtonRaphson法。 首先取初始刚度矩阵K0 ，求得位 移的第一次近似值
1 K0 1 P
非线性方程组的解法
3)等刚度迭代法 等刚度迭代法又称为修正的Newton-Raphson法，这一 方法在迭代过程中采用不变的刚度。 具体步骤： a)首先取初始刚度矩阵 K0 ，求得位移的第一次近似值
1 K0 1 P b)按 求出单元应变 1 ，有单元应变求的单元应力 ，
1
3)增判断是不是最后一级荷载，如果是最后一级荷载，则 结束计算；若不是，则进行下一步计算； 4)根据总应力水平 n ，修正材料弹性常数，求出相应的单 元刚度和集合总体刚度矩阵K n 并转到步骤2)，施加下一步 荷载增量Pn1 。
非线性方程组的解法
4、增量迭代法 增量迭代法及荷载也划分为荷载增量，但增量上的个数较 少，而对每一个荷载增量进行迭代计算。
[K]不再是常数矩阵，而是随结构的应力和位移的变化而变化的。 对于上述非线性代数方程组，常用解法有迭代法、增量法以及由两 者结合起来派生的其他方法。
非线性方程组的解法
2、迭代法 迭代法在每次迭代过程中都施加全部荷载，但逐 步修改位移和应变，使之满足非线性的应力-应变 关系。 1）割线刚度迭代法 割线刚度迭代法是迭代 法中比较简单的一种， 又称直接迭代法，其迭 代过程如图所示
非线性方程组的解法
欧拉折线法： m Pi 设荷载分为m个增量： P i 1 每个荷载增量产生一个位移 i ，因而在施加n个荷载 增量之后，总荷载为 m Pn Pi
n n1 n
欧拉折线法计算第n个位移增量时，其刚度矩阵取为上 一级荷载增量结束时的线性刚度矩阵K n1 ，也即第n级荷 载开始的线性刚度，即 K n1 n P 。 n
从而求得位移的第二次近似值为
2 1 2
重复上述步骤
Pn1 P Pn1
n Kn1 1 Pn1 n n1 n 直到误差的某种范数小于容许值，迭代即可终止
非线性方程组的解法
非线性方程组的解法简介
小组成员：田芳 王悦瑜 冯同同 杨林
非线性方程组的解法
1、基本概念 非线性问题可以分为三类：几何非线性、材 料非线性及边界条件非线性。无论哪一种非线性 问题，总是最终归结为求解非线性代数方程组：
K P 0
式中：
P
——荷载矩阵；
——节点位移矩阵； K ——总体刚度矩阵。
重复上述过程，可以得到n次近似解： n Kn1 1 P 直到误差的某种范数小于容许值，迭代即可终止：
e n n1 er
非线性方程组的解法
特点： a)步骤简单。 b)每步都要重新计算[K]，再重新分解并求解线性方程 组，计算量大。 c)收敛性有时难以保证，如图所示。
非线性方程组的解法
在某级荷载P作用下，用初始刚度矩阵，求得位移的 第一次近似值
1 K0 1 P
然后，利用 1 求的单元的应变、应力，根据应力 状态确定此刻的本构矩阵，再根据这一本构矩阵 求得新的割线刚度矩阵K1 ,再求得位移的第二次近 似值 1
2 K1 P